Принцип бивалентности

В логике семантический принцип (или закон ) бивалентности гласит, что каждое повествовательное предложение, выражающее утверждение (проверяемой теории), имеет ровно одно истинностное значение : истинное или ложное . ^[1]^[2] Логика, удовлетворяющая этому принципу, называется двузначной логикой. ^[3] или бивалентная логика . ^[2]^[4]

В формальной логике принцип бивалентности становится свойством, которым семантика может обладать, а может и не обладать. Однако это не то же самое, что закон исключенного третьего , и семантика может удовлетворять этому закону, не будучи бивалентной. ^[2]

Принцип бивалентности изучается в философской логике для решения вопроса о том, какие утверждения естественного языка имеют четко определенное истинностное значение. Предложения, предсказывающие события в будущем, и предложения, которые кажутся открытыми для интерпретации, особенно сложны для философов, которые считают, что принцип бивалентности применим ко всем декларативным высказываниям естественного языка. ^[2] Многозначные логики формализуют идеи о том, что реалистическая характеристика понятия следствия требует допустимости посылок, которые из-за неопределенности, временной или квантовой неопределенности или отсутствия ссылки не могут считаться классически бивалентными. Сбои ссылок также могут быть устранены с помощью свободной логики . ^[5]

Связь с законом исключенного третьего

Принцип бивалентности связан с законом исключенного третьего, хотя последний является синтаксическим выражением языка логики формы «P ∨ ¬P». Разница между принципом бивалентности и законом исключенного третьего важна, поскольку существует логика, подтверждающая закон, но не сам принцип. ^[2] Например, трехзначная Логика Парадокса (LP) подтверждает закон исключенного третьего, но не закон непротиворечия ¬(P ∧ ¬P), и ее предполагаемая семантика не является бивалентной. ^[6] В интуиционистской логике закон исключенного третьего не выполняется. В классической двузначной логике действуют как закон исключенного третьего, так и закон непротиворечия . ^[1]

Классическая логика

Предполагаемая семантика классической логики бивалентна, но это верно не для каждой семантики классической логики. В булевозначной семантике (для классической логики высказываний ) значениями истинности являются элементы произвольной булевой алгебры , «истина» соответствует максимальному элементу алгебры, а «ложь» соответствует минимальному элементу. Промежуточные элементы алгебры соответствуют значениям истинности, отличным от «истина» и «ложь». Принцип бивалентности справедлив лишь тогда, когда в качестве булевой алгебры принимается двухэлементная алгебра , не имеющая промежуточных элементов.

Присвоение булевой семантики классическому исчислению предикатов требует, чтобы модель была полной булевой алгеброй , поскольку квантор универсальности отображается в операцию нижней границы , а квантор существования отображается в супремум ; ^[7] это называется булевозначной моделью . Все конечные булевы алгебры полны.

диссертация Сушко

Чтобы оправдать свое утверждение о том, что истинное и ложное являются единственными логическими значениями, Роман Сушко (1977) отмечает, что каждая структурная многозначная логика высказываний Тарского может быть снабжена бивалентной семантикой. ^[8]

Критика

Будущие контингенты

Известный пример ^[2] — случай морского сражения , описанный в De работе Аристотеля Interpretatione , глава 9:

Представьте, что P относится к утверждению «Завтра будет морское сражение».

Принцип бивалентности здесь утверждает:

Либо правда, что завтра будет морское сражение, либо неверно, что завтра будет морское сражение.

Аристотель отрицает признание бивалентности таких будущих контингентов; ^[9] Хрисипп , логик- стоик , действительно придерживался двувалентности этого и всех других положений. Этот спор продолжает иметь центральное значение как в философии времени , так и в философии логики . ^{[ нужна ссылка ]}

одним из первых мотивов изучения многозначной логики Именно этот вопрос был . В начале 20-го века польский формальный логик Ян Лукасевич предложил три истинностных значения: истинное, ложное и еще не определенное . Этот подход позже был развит Арендом Хейтингом и Л. Дж. Брауэром ; ^[2] см. логику Лукасевича .

Подобные проблемы также рассматривались в различных темпоральных логиках , где можно утверждать, что « в конечном итоге либо завтра будет морское сражение, либо его не будет». (Что верно, если «завтра» в конце концов наступит.)

Неясность

Такие загадки, как парадокс Сорита и связанная с ним ошибка континуума, вызывают сомнения в применимости классической логики и принципа бивалентности к концепциям, применение которых может быть неясным. Нечеткая логика и некоторые другие многозначные логики были предложены в качестве альтернатив, которые лучше справляются с расплывчатыми понятиями. Например, истина (и ложность) в нечеткой логике проявляется в разной степени. Рассмотрим следующее утверждение при сортировке яблок на движущейся ленте:

Это яблоко красное. ^[10]

При наблюдении видно, что яблоко имеет неопределенный цвет между желтым и красным или имеет пятна обоих цветов. Таким образом, цвет не попадает ни в категорию «красный», ни в «желтый», но это единственные категории, доступные нам при сортировке яблок. Мы могли бы сказать, что это «50% красного». Это можно перефразировать: на 50% верно, что яблоко красное. Следовательно, P на 50% верно и на 50% ложно. Теперь рассмотрим:

Это яблоко красное и некрасное.

Другими словами, П и не-П. Это нарушает закон непротиворечия и, как следствие, двувалентности. Однако это лишь частичный отказ от этих законов, поскольку P верен лишь частично. Если бы P было на 100% истинным, не-Р было бы на 100% ложным, и здесь нет противоречия, потому что P и не-P больше не верны.

Однако закон исключенного третьего сохраняется, поскольку Р и не-Р влечет за собой Р или не-Р, поскольку «или» включает в себя. Единственные два случая, когда P и not-P является ложным (когда P на 100% истинно или ложно), — это те же самые случаи, которые рассматриваются двузначной логикой, и применяются одни и те же правила.

Пример трехзначной логики, примененной к расплывчатым (неопределенным) случаям : Клини, 1952. ^[11] (§64, стр. 332–340) предлагает трехзначную логику для случаев, когда алгоритмы, включающие частично рекурсивные функции, могут не возвращать значения, а скорее заканчиваться обстоятельствами «u» = неопределенными. Он допускает «t» = «истина», «f» = «ложь», «u» = «нерешительно» и переделывает все пропозициональные связки. Он замечает, что:

Мы были интуиционистски оправданы в использовании классической двузначной логики, когда использовали связки при построении примитивных и общерекурсивных предикатов, поскольку для каждого общерекурсивного предиката существует процедура решения; т.е. интуиционистски доказано, что закон исключенного третьего применим к общерекурсивным предикатам.
Теперь, если Q(x) является частично рекурсивным предикатом, существует процедура принятия решения для Q(x) в области его определения, поэтому закон исключенного третьего или исключенного «третьего» (говорящий, что Q(x) либо t или f) применимо интуиционистски к диапазону определения. Но алгоритма для определения того, определено ли Q(x) по заданному x, может отсутствовать. [...] Следовательно, только классически, а не интуиционистски, мы имеем закон исключенной четвертой (говоря, что для каждого x Q (x) равно t, f или u).
Таким образом, третье «истинное значение» u не соответствует двум другим t и f в нашей теории. Рассмотрение ее статуса покажет, что мы ограничены особым видом таблицы истинности».

Ниже приведены его «сильные таблицы»: ^[12]

~В			КВР	Р	т	ж	в	Вопросы и ответы	Р	т	ж	в	Q→R	Р	т	ж	в	Q = Р	Р	т	ж	в
вопрос	т	ж	вопрос	т	т	т	т	вопрос	т	т	ж	в	вопрос	т	т	ж	в	вопрос	т	т	ж	в
	ж	т		ж	т	ж	в		ж	ж	ж	ж		ж	т	т	т		ж	ж	т	в
	в	в		в	т	в	в		в	в	ж	в		в	т	в	в		в	в	в	в

Например, если невозможно определить, является ли яблоко красным или нет, то значение истинности утверждения Q: «Это яблоко красное» равно «u». Аналогично, истинностное значение утверждения R «Это яблоко не красное» равно «u». Таким образом, AND из них в утверждении Q AND R, т.е. «Это яблоко красное И это яблоко некрасное», согласно таблицам, даст «u». И утверждение Q OR R, т. е. «Это яблоко красное ИЛИ это яблоко некрасное», также даст «u».

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Лу Гобл (2001). Руководство Блэквелла по философской логике . Уайли-Блэквелл. п. 309. ИСБН 978-0-631-20693-4 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Пол Томасси (1999). Логика . Рутледж. п. 124. ИСБН 978-0-415-16696-6 .
^ Лу Гобл (2001). Руководство Блэквелла по философской логике . Уайли-Блэквелл. п. 4. ISBN 978-0-631-20693-4 .
^ Марк Хюрлиманн (2009). Борьба со сложностью реального мира: ограничения, улучшения и новые подходы для политиков . Габлер Верлаг. п. 42. ИСБН 978-3-8349-1493-4 .
^ Дов М. Габбай; Джон Вудс (2007). Многозначный и немонотонный поворот в логике . Справочник по истории логики. Том. 8. Эльзевир. п. VII. ISBN 978-0-444-51623-7 .
^ Грэм Прист (2008). Введение в неклассическую логику: от if к is . Издательство Кембриджского университета. стр. 124–125. ISBN 978-0-521-85433-7 .
^ Мортен Хейне Соренсен; Павел Ужичин (2006). Лекции по изоморфизму Карри-Говарда . Эльзевир. стр. 206–207. ISBN 978-0-444-52077-7 .
^ Шрамко Ю.; Вансинг, Х. (2015). « Истинные ценности , Стэнфордская энциклопедия философии» .
^ Джонс, Рассел Э. (2010). «Истина и противоречие в De Interpretatione 6–9 Аристотеля» . Фронезис . 55 (1): 26–67. дои : 10.1163/003188610X12589452898804 . JSTOR 20720827 . S2CID 53398648 – через JSTOR.
^ Обратите внимание на использование (чрезвычайно) определенного артикля: «This» в отличие от более расплывчатого «The». Если используется «The», его необходимо будет сопровождать указательным жестом, чтобы сделать его окончательным. Ff Principia Mathematica (2-е издание), с. 91. Рассел и Уайтхед отмечают, что это «это» указывает на «нечто данное в ощущении» и как таковое должно считаться «элементарным».
^ Стивен К. Клини, 1952 г., «Введение в метаматематику» , 6-е переиздание, 1971 г., издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7294-2130-9 .
^ «Сильные столы» - выбор слов Клини. Обратите внимание, что хотя «u» может отображаться для значения Q или R, «t» или «f» в этих случаях могут отображаться как значение в «QVR», «Q & R» и «Q → R». . С другой стороны, «слабые таблицы» являются «регулярными», то есть в них «u» появляется во всех случаях, когда значение «u» применяется либо к Q, либо к R, либо к обоим. Клини отмечает, что эти таблицы не совпадают с первоначальными значениями таблиц Лукасевича 1920 г. (Клин приводит эти различия на стр. 335). Он также заключает, что «u» может означать любое или все из следующего: «неопределенное», «неизвестное (или значение несущественное)», «ценность, не учитываемая в данный момент», т.е. это третья категория, которая (в конечном итоге) не исключает «t» и «f» (стр. 335).

Дальнейшее чтение

Девиди, Д.; Соломон, Г. (1999). «О путанице в отношении бивалентности и исключенного третьего». Диалог (на французском языке). 38 (4): 785–799. дои : 10.1017/S0012217300006715 . S2CID 170829533 . .
Бетти Арианна (2002) Неполная история Лукасевича и двувалентность у Т. Чайлдерса (ред.) Ежегодник Logica 2002 , Прага: Чешская академия наук - Философия, стр. 21–26
Жан-Ив Безио (2003) « Двухвалентность, исключенное середина и непротиворечивость », в Ежегоднике Логики, 2003 г. , Л. Бехоунек (редактор), Академия наук, Прага, стр. 73–84.
Шрифт, Дж. М. (2009). «Серьезно относиться к степеням истины». Студия Логика . 91 (3): 383–406. дои : 10.1007/s11225-009-9180-7 . S2CID 12721181 .

Внешние ссылки

Шрамко, Ярослав; Вансинг, Генрих. «Истинные ценности» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

[Goble2001bis-1] Jump up to: ^а ^б Лу Гобл (2001). Руководство Блэквелла по философской логике . Уайли-Блэквелл. п. 309. ИСБН 978-0-631-20693-4 .

[Tomassi1999-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Пол Томасси (1999). Логика . Рутледж. п. 124. ИСБН 978-0-415-16696-6 .

[Goble2001-3] Лу Гобл (2001). Руководство Блэквелла по философской логике . Уайли-Блэквелл. п. 4. ISBN 978-0-631-20693-4 .

[Hürlimann2009-4] Марк Хюрлиманн (2009). Борьба со сложностью реального мира: ограничения, улучшения и новые подходы для политиков . Габлер Верлаг. п. 42. ИСБН 978-3-8349-1493-4 .

[GabbayWoods2007-5] Дов М. Габбай; Джон Вудс (2007). Многозначный и немонотонный поворот в логике . Справочник по истории логики. Том. 8. Эльзевир. п. VII. ISBN 978-0-444-51623-7 .

[Priest2008-6] Грэм Прист (2008). Введение в неклассическую логику: от if к is . Издательство Кембриджского университета. стр. 124–125. ISBN 978-0-521-85433-7 .

[SørensenUrzyczyn2006-7] Мортен Хейне Соренсен; Павел Ужичин (2006). Лекции по изоморфизму Карри-Говарда . Эльзевир. стр. 206–207. ISBN 978-0-444-52077-7 .

[8] Шрамко Ю.; Вансинг, Х. (2015). « Истинные ценности , Стэнфордская энциклопедия философии» .

[9] Джонс, Рассел Э. (2010). «Истина и противоречие в De Interpretatione 6–9 Аристотеля» . Фронезис . 55 (1): 26–67. дои : 10.1163/003188610X12589452898804 . JSTOR 20720827 . S2CID 53398648 – через JSTOR.

[10] Обратите внимание на использование (чрезвычайно) определенного артикля: «This» в отличие от более расплывчатого «The». Если используется «The», его необходимо будет сопровождать указательным жестом, чтобы сделать его окончательным. Ff Principia Mathematica (2-е издание), с. 91. Рассел и Уайтхед отмечают, что это «это» указывает на «нечто данное в ощущении» и как таковое должно считаться «элементарным».

[11] Стивен К. Клини, 1952 г., «Введение в метаматематику» , 6-е переиздание, 1971 г., издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7294-2130-9 .

[12] «Сильные столы» - выбор слов Клини. Обратите внимание, что хотя «u» может отображаться для значения Q или R, «t» или «f» в этих случаях могут отображаться как значение в «QVR», «Q & R» и «Q → R». . С другой стороны, «слабые таблицы» являются «регулярными», то есть в них «u» появляется во всех случаях, когда значение «u» применяется либо к Q, либо к R, либо к обоим. Клини отмечает, что эти таблицы не совпадают с первоначальными значениями таблиц Лукасевича 1920 г. (Клин приводит эти различия на стр. 335). Он также заключает, что «u» может означать любое или все из следующего: «неопределенное», «неизвестное (или значение несущественное)», «ценность, не учитываемая в данный момент», т.е. это третья категория, которая (в конечном итоге) не исключает «t» и «f» (стр. 335).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]