Доля

Чтобы узнать о других значениях, см. Дробь (значения) .

Торт, у которого удалена одна четверть (одна четверть). Остальные три четверти показаны пунктирными линиями и обозначены дробью 1 / 4

Дробь fractus (от латинского — « сломанный ») представляет собой часть целого или, в более общем плане, любое количество равных частей. В повседневном английском языке дробь описывает количество частей определенного размера, например, половина, восемь пятых, три четверти. Обыкновенная обыкновенная , или дробь ( простая примеры: ${\tfrac {1}{2}}$ и ${\tfrac {17}{3}}$) состоит из целочисленного числителя , отображаемого над строкой (или перед косой чертой, например 1 ⁄ 2 ) и ненулевой целочисленный знаменатель , отображаемый под (или после) этой строки. Если эти целые числа положительны, то числитель представляет собой количество равных частей, а знаменатель указывает, сколько из этих частей составляют единицу или целое. Например, в дроби 3/4 что дробь представляет собой 3 равные части, а знаменатель 4 указывает , числитель 3 указывает , что 4 части составляют целое. На рисунке справа показано 3/4 ​ торта .

Другое использование дробей — для представления соотношений и деления . Таким образом, дробь 3/4 ÷ 3 также может использоваться для обозначения соотношения 3:4 (отношение части к целому) и деления 4 (три разделить на четыре).

Мы также можем записать отрицательные дроби, которые представляют собой противоположность положительной дроби. Например, если 1/2 — тогда представляет собой прибыль в полдоллара, 1/2 представляет собой потерю в полдоллара . Из-за правил деления чисел со знаком (в которых частично говорится, что отрицательное, разделенное на положительное, является отрицательным), — 1 / 2 , −1/2 ​ ​ и 1 / -2 представляют одну и ту же дробь – отрицательную половину. И поскольку отрицательное, разделенное на отрицательное, дает положительное, −1 / −2 представляет собой положительную половину.

В математике рациональное число — это число, которое можно представить дробью в виде a / b , где a и b — целые числа, а b не равно нулю; множество всех рациональных чисел обычно обозначается символом Q или $\mathbb {Q}$, что означает частное . Термин дробь и обозначения a / b также может использоваться для математических выражений, которые не представляют собой рациональное число (например, $\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$), и даже не представляют никакого числа (например, рациональную дробь $\textstyle {\frac {1}{x}}$).

Словарный запас

См. также: Числа (лингвистика) § Дробные числа и английские цифры § Дроби и десятичные дроби.

В дроби количество описываемых равных частей является числителем (от латинского : numerātor , «счетчик» или «числитель»), а тип или разновидность частей — знаменателем ( от латинского : dēnōminātor , «вещь, которая называет или обозначает»). Например, дробь 8/5 частей, каждая из которых состоит из восьми относится к типу «пятая». С точки зрения деления числитель соответствует делимому , а знаменатель соответствует делителю .

Неофициально числитель и знаменатель можно отличить только по расположению, но в формальном контексте они обычно разделяются чертой дроби . Черта дроби может быть горизонтальной (как в 1/3 в ), косой (как в 2/5 ) или диагональной (как 4 ⁄ 9 ). Эти отметки соответственно известны как горизонтальная полоса; косая черта, косая черта ( США ) или штрих ( Великобритания ); и дробная черта, солидус, или дробная косая черта . В типографике дроби, сложенные вертикально, также известны как « en » или « ореховые дроби», а диагональные — как « em » или «бараньи дроби», в зависимости от того, занимает ли дробь с однозначными числителем и знаменателем долю узкий квадрат или более широкий квадрат . В традиционном наборе шрифтов фрагмент шрифта, содержащий полную дробь (например, 1/2 ) была известна как « частная дробь», а те, что представляли собой только часть дроби , назывались «штучными дробями».

Знаменатели английских дробей обычно выражаются в виде порядковых чисел во множественном числе, если числитель не равен 1. (Например, 2/5 ​ ​ и 3/5 . Оба числа читаются как число «пятых».) Исключения включают знаменатель 2, который всегда читается как «половина» или «половинки», знаменатель 4, который альтернативно может быть выражен как «четверть»/«четверти» или как «четвертая»/«четвертые» и знаменатель 100, который альтернативно может быть выражен как «сотая»/«сотые» или « проценты ».

Когда знаменатель равен 1, его можно выразить в виде «целого числа», но чаще всего его игнорируют, а числитель считывается как целое число. Например, 3/1 . можно описать как « три целых» или просто как «три» Если числитель равен 1, его можно опустить (например, «десятая часть» или «каждая четверть»).

Вся дробь может быть выражена как одна композиция, в этом случае она пишется через дефис, или как количество дробей с числителем, равным единице, в этом случае это не так. (Например, «две пятых» — это дробь 2/5 пятых» — это одна и та же дробь , и « две понимаемая как 2 экземпляра 1/5 . . ) При использовании в качестве прилагательных дроби всегда следует писать через дефис В качестве альтернативы дробь можно описать, читая ее как числитель «над» знаменателем, при этом знаменатель выражается в виде кардинального числа . (Например, 3/1 также может быть выражено как «три больше одного».) Термин « более » используется даже в случае дробей солидуса, где числа располагаются слева и справа от косой черты . (Например, 1/2 может читаться как «половина», «половина» или «один больше двух».) Дроби с большими знаменателями, не являющимися степенями десяти, часто изображаются таким образом (например, 1/117 например , как «один больше ста семнадцати»), тогда как числа со знаменателем, кратным десяти, обычно читаются в обычном порядковом порядке ( 6/1000000 как « шестимиллионные » , «шестимиллионные» или «шесть миллионных»).

Формы дробей

Простые, обыкновенные или вульгарные дроби

Простая дробь (также известная как обыкновенная дробь или вульгарная дробь , где вульгарное в переводе с латыни означает «общий») — это рациональное число , записываемое как a / b или ${\tfrac {a}{b}}$, где a и b — целые числа . Как и в случае с другими дробями, знаменатель ( b ) не может быть равен нулю. Примеры включают в себя 1 / 2 , − 8 / 5 , −8/5 ​ и ​ 8 / −5 . Этот термин первоначально использовался, чтобы отличить этот тип дроби от шестидесятеричной дроби, используемой в астрономии.

Простейшие дроби могут быть положительными и отрицательными, а также правильными и неправильными (см. ниже). Сложные дроби, комплексные дроби, смешанные цифры и десятичные дроби (см. ниже) не являются обыкновенными дробями ; хотя, если они не иррациональны, их можно оценить до обыкновенной дроби.

• Единичная дробь – это обыкновенная дробь с числителем 1 (например, 1/7 ​ ) . Дроби единицы также можно выразить с помощью отрицательных показателей, как в 2 ⁻¹ , что представляет собой 1/2 и 2 ⁻² , что представляет собой 1/(2 ² ) или 1/4.
• Двоичная дробь — это обыкновенная дробь, у которой знаменатель — степень двойки , например 1 / 8 = 1 / 2 ³ .

В Юникоде предварительно составленные дробные символы находятся в блоке числовых форм .

Правильные и неправильные дроби

Обыкновенные дроби можно разделить на правильные и неправильные. Если числитель и знаменатель положительны, то дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя, и неправильной в противном случае. Концепция «неправильной дроби» возникла поздно, а терминология возникла из того факта, что «дробь» означает «кусок», поэтому правильная дробь должна быть меньше 1. Это было объяснено в учебнике 17 века « Основа искусств» .

В общем, обыкновенная дробь называется правильной дробью , если абсолютное значение дроби строго меньше единицы, то есть если дробь больше -1 и меньше 1. Говорят, что это неправильная дробь , а иногда и тяжелая сверху дробь . если абсолютное значение дроби больше или равно 1. Примерами правильных дробей являются 2/3, -3/4 и 4/9, тогда как примерами неправильных дробей являются 9/4, -4/3 и 3/3.

Взаимные величины и «невидимый знаменатель»

Обратная дробь — это другая дробь , в которой числитель и знаменатель поменяны местами. Взаимное значение 3/7 , например , 7/3 ​ ​ . Произведение дроби и обратной ей дроби равно 1, следовательно, обратная дробь является мультипликативной обратной дробью. Обратная дробь правильной дроби является неправильной, а обратная дробь неправильной, не равная 1 (т. е. числитель и знаменатель не равны), является правильной дробью.

Когда числитель и знаменатель дроби равны (например, 7/7 , его значение равно ) 1, поэтому дробь неправильная. Его обратное значение идентично и, следовательно, также равно 1 и несобственно.

Любое целое число можно записать в виде дроби, где в знаменателе стоит единица. Например, 17 можно записать как 17/1 где , 1 иногда называют невидимым знаменателем . Следовательно, каждая дробная или целая дробь, кроме нуля, имеет обратную величину. Например. обратное число 17 1 / 17 .

Соотношения

Отношение — это отношение между двумя или более числами , которое иногда можно выразить в виде дроби. Обычно несколько элементов группируются и сравниваются в определенном соотношении, численно определяющем взаимосвязь между каждой группой. Соотношения выражаются как «группа 1 к группе 2… к группе n ». Например, если на автостоянке 12 автомобилей, из них

• 2 белых,
• 6 красных, и
• 4 желтые,

тогда соотношение красных, белых и желтых автомобилей составляет 6:2:4. Соотношение желтых автомобилей к белым составляет 4:2 и может быть выражено как 4:2 или 2:1.

Отношение часто преобразуют в дробь, когда оно выражается как отношение к целому числу. В приведенном выше примере соотношение желтых машин ко всем машинам на участке составляет 4:12 или 1:3. Мы можем преобразовать эти отношения в дробь и сказать, что 4/12 ​ машин или 1/3 . машин на стоянке желтые Следовательно, если человек случайно выбрал на стоянке одну машину, то вероятность того , что она будет желтой, составляет один из трех.

Десятичные дроби и проценты

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой не задан явно, но понимается как целая степень десяти. Десятичные дроби обычно выражаются с использованием десятичной системы счисления, в которой подразумеваемый знаменатель определяется количеством цифр справа от десятичного разделителя , внешний вид которого (например, точка, межпунктовый знак (·), запятая) зависит от локаль (примеры см. в разделе Десятичный разделитель ). Таким образом, для 0,75 числитель равен 75, а подразумеваемый знаменатель равен 10 во второй степени, а именно 100, поскольку справа от десятичного разделителя есть две цифры. В десятичных числах больше 1 (например, 3,75) дробная часть числа выражается цифрами справа от десятичной запятой (в данном случае со значением 0,75). 3,75 можно записать либо в виде неправильной дроби 375/100, либо в виде смешанного числа, 3 + 75 / 100 .

Десятичные дроби также можно выразить с использованием экспоненциальной записи с отрицательными показателями, например 6,023 × 10. ⁻⁷ , что представляет собой 0,0000006023. 10 ​ ⁻⁷ представляет собой знаменатель 10 ⁷ . Деление на 10 ⁷ перемещает десятичную точку на 7 знаков влево.

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд . Например, 1/3 .... = 0,333 ... представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 +

Другой вид дроби — процентная (от латинского , per centum что означает «на сто», обозначается символом %), в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51% означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311% равно 311/100, а -27% равно -27/100.

Соответствующее понятие промилле или частей на тысячу (ppt) имеет подразумеваемый знаменатель 1000, в то время как более общее обозначение частей на миллион , например 75 частей на миллион (ppt), означает, что пропорция составляет 75/1 000 000.

Использование обыкновенных или десятичных дробей часто зависит от вкуса и контекста. Обыкновенные дроби используются чаще всего, когда знаменатель относительно мал. При мысленном подсчёте легче умножить 16 на 3/16, чем делать то же самое вычисление, используя десятичный эквивалент дроби (0,1875). И точнее, например , умножить 15 на 1/3, чем умножить 15 на любое десятичное приближение к одной трети. Денежные значения обычно выражаются в виде десятичных дробей со знаменателем 100, т. е. с двумя десятичными знаками, например 3,75 доллара. Однако, как отмечалось выше, в додесятичной британской валюте шиллингам и пенсам часто придавалась форма (но не значение) дроби, как, например, «3/6» (читай «три и шесть»), означающее 3 шиллинга и 6 пенсов, и не имеющие никакого отношения к дроби 3/6.

Смешанные числа

Смешанное число (также называемое смешанной дробью или смешанным числом ) — это сумма ненулевого целого числа и правильной дроби, традиционно записываемая путем сопоставления (или конкатенации ) двух частей без использования промежуточного плюса (+) или знак минус (-). Когда дробь написана горизонтально, между целым числом и дробью добавляется пробел для их разделения.

В качестве простого примера два целых торта и три четверти другого торта можно записать как $2{\tfrac {3}{4}}$ торты или $2\ \,3/4$ торты с цифрой $2$ представляющие целые торты и дробь ${\tfrac {3}{4}}$представление дополнительной части торта, наложенной рядом; это более кратко, чем более явное обозначение $2+{\tfrac {3}{4}}$торты. Смешанное число 2 + 3/4 произносится как «две и три четверти », при этом целая и дробная части соединяются словом и . Вычитание или отрицание применяется ко всему смешанному числительному, поэтому $-2{\tfrac {3}{4}}$ означает $-{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.$

Любое смешанное число можно преобразовать в неправильную дробь , применив правила сложения разнородных величин . Например, $2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.$И наоборот, неправильную дробь можно преобразовать в смешанное число с помощью деления с остатком , при этом правильная дробь состоит из остатка, разделенного на делитель. Например, поскольку 4 дважды входит в 11, а 3 остается, ${\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.$

В начальной школе учителя часто настаивают на том, чтобы каждый дробный результат выражался в виде смешанного числа. За пределами школы для описания измерений обычно используются смешанные числа, например 2 + 1/2 часа и остаются широко распространенными в повседневной жизни и в торговле, особенно в регионах , или 5 3/16 дюйма где не используется десятичная метрическая система . Однако в научных измерениях обычно используется метрическая система, основанная на десятичных дробях, и, начиная с уровня средней школы, математическая педагогика единообразно рассматривает каждую дробь как рациональное число , частное p / q целых чисел, оставив позади понятия «неправильная дробь» и «смешанное число». Студенты колледжей с многолетним математическим образованием иногда сбиваются с толку, встречая смешанные числа, поскольку они привыкли к соглашению, согласно которому сопоставление в алгебраических выражениях означает умножение.

Исторические представления

Египетская фракция

Египетская дробь представляет собой сумму различных положительных дробных единиц, например ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$. Это определение вытекает из того факта, что древние египтяне выражали все дроби, кроме ${\tfrac {1}{2}}$, ${\tfrac {2}{3}}$ и ${\tfrac {3}{4}}$таким образом. Каждое положительное рациональное число можно разложить в египетскую дробь. Например, ${\tfrac {5}{7}}$ можно записать как ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.$Любое положительное рациональное число можно записать в виде суммы единичных дробей бесконечным множеством способов. Два способа написать ${\tfrac {13}{17}}$ являются ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}$ и ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$.

Сложные и составные фракции

Не путать с комплексными числами .

В сложной дроби либо числитель, либо знаменатель, либо оба являются дробью или смешанным числом. соответствует делению дробей. Например, ${\tfrac {1/2}{1/3}}$ и ${\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26$являются сложными дробями. Чтобы интерпретировать вложенные дроби, написанные «сложенными друг на друга» с горизонтальными полосами дробей, рассматривайте более короткие столбцы как вложенные внутри более длинных столбцов. Сложные дроби можно упростить с помощью умножения на обратную величину, как описано ниже в § Деление . Например:

${\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}$

Никогда не следует записывать сложную дробь без очевидного маркера, показывающего, какая дробь вложена в другую, поскольку такие выражения неоднозначны. Например, выражение $5/10/20$ можно было бы правдоподобно интерпретировать либо как ${\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}$ или как $5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.$ Значение можно сделать явным, записав дроби с использованием различных разделителей или добавив явные круглые скобки, в данном случае. $(5/10){\big /}20$ или $5{\big /}(10/20).$

Сложная дробь – это часть дроби или любое количество дробей, связанных словом , соответствующий умножению дробей. Чтобы свести сложную дробь к простой, достаточно выполнить умножение (см. § Умножение ). Например, ${\tfrac {3}{4}}$ из ${\tfrac {5}{7}}$ – сложная дробь, соответствующая ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$. Термины «сложная дробь» и «комплексная дробь» тесно связаны, и иногда один используется как синоним другого. (Например, составная дробь ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}$ эквивалентно комплексной дроби ${\tfrac {3/4}{7/5}}$.)

Тем не менее, «сложную дробь» и «сложную дробь» можно считать устаревшими. и в настоящее время не используются четко определенным образом, частично даже воспринимаются как синонимы друг друга или для смешанных чисел. Они утратили свое значение как технические термины, а атрибуты «сложный» и «составной» имеют тенденцию использоваться в их повседневном значении «состоящий из частей».

Арифметика с дробями

Как и целые числа, дроби подчиняются коммутативным , ассоциативным и распределительным законам, а также правилу против деления на ноль .

Арифметика смешанных чисел может выполняться либо путем преобразования каждого смешанного числа в неправильную дробь, либо путем рассмотрения каждого из них как суммы целых и дробных частей.

Эквивалентные дроби

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же (ненулевое) число дает дробь, эквивалентную исходной дроби. Это верно, потому что для любого ненулевого числа $n$, дробь ${\tfrac {n}{n}}$ равно 1. Поэтому, умножив на ${\tfrac {n}{n}}$это то же самое, что умножить на единицу, и любое число, умноженное на единицу, имеет то же значение, что и исходное число. В качестве примера начнем с дроби ${\tfrac {1}{2}}$. Если числитель и знаменатель умножить на 2, результат будет 2/4 и что , которое имеет то же значение (0,5), 1/2 ​ ​ . Чтобы представить это визуально, представьте, что вы разрезаете торт на четыре части; две детали вместе ( 2/4 ( ) составляют половину торта 1 / 2 ).

Упрощение (сокращение) дробей

Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число дает эквивалентную дробь: если числитель и знаменатель дроби делятся на число (называемое множителем), большее 1, то дробь можно уменьшить. к эквивалентной дроби с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Например, если и числитель, и знаменатель дроби ${\tfrac {a}{b}}$ делятся на $c$, то их можно записать как $a=cd$, $b=ce$, и дробь становится cd / ce , который можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на c , чтобы получить уменьшенную дробь. д / э .

Если взять за c наибольший общий делитель числителя и знаменателя, то получится эквивалентная дробь, числитель и знаменатель которой имеют наименьшие абсолютные значения . Говорят, что дробь сократилась до наименьшего размера .

Если в числителе и знаменателе нет общего делителя, превышающего 1, дробь уже сокращается до наименьших членов, и ее называют несократимой , приведенной или, проще говоря, неприводимой . Например, ${\tfrac {3}{9}}$ не в самых простых выражениях, потому что и 3, и 9 можно точно разделить на 3. Напротив, ${\tfrac {3}{8}}$ это в самых простых терминах: единственное положительное целое число, которое равномерно входит и в 3, и в 8, — это 1.

Используя эти правила, мы можем показать, что 5 / 10 = 1 / 2 = 10 / 20 = 50/100 , например .

Другой пример: поскольку наибольший общий делитель чисел 63 и 462 равен 21, дробь 63/462 , можно сократить до наименьших членов разделив числитель и знаменатель на 21:

${\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\tfrac {3}{22}}$

Алгоритм Евклида дает метод нахождения наибольшего общего делителя любых двух целых чисел.

Сравнение дробей

Сравнение дробей с одинаковым положительным знаменателем дает тот же результат, что и сравнение числителей:

${\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}$ потому что 3 > 2 и знаменатели равны $4$ являются положительными.

Если равные знаменатели отрицательны, то для дробей справедлив противоположный результат сравнения числителей:

${\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.$

Если две положительные дроби имеют одинаковый числитель, то большее число будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Когда целое разделено на равные части, и если для составления целого необходимо меньшее количество равных частей, то каждая часть должна быть больше. Когда две положительные дроби имеют одинаковый числитель, они представляют одинаковое количество частей, но в дроби с меньшим знаменателем части больше.

Один из способов сравнения дробей с разными числителями и знаменателями — найти общий знаменатель. Сравнивать ${\tfrac {a}{b}}$ и ${\tfrac {c}{d}}$, они преобразуются в ${\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ и ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$(где точка означает умножение и является альтернативой символу ×). Тогда bd — общий знаменатель и числители ad и bc можно сравнить. Для сравнения дробей не обязательно определять значение общего знаменателя – можно просто сравнить ad и bc , не оценивая bd , например, сравнивая ${\tfrac {2}{3}}$ ? ${\tfrac {1}{2}}$ дает ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$.

Для более трудоемкого вопроса ${\tfrac {5}{18}}$ ? ${\tfrac {4}{17}},$ умножьте верхнюю и нижнюю часть каждой дроби на знаменатель другой дроби, чтобы получить общий знаменатель, что даст ${\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ? ${\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}$. Не обязательно рассчитывать $18\times 17$– нужно сравнивать только числители. Поскольку 5×17 (= 85) больше, чем 4×18 (= 72), результат сравнения равен ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$.

Поскольку каждое отрицательное число, включая отрицательные дроби, меньше нуля, а каждое положительное число, включая положительные дроби, больше нуля, отсюда следует, что любая отрицательная дробь меньше любой положительной дроби. Это позволяет вместе с приведенными выше правилами сравнивать все возможные дроби.

Добавление

Первое правило сложения состоит в том, что можно складывать только одинаковые количества; например, различное количество четвертаков. Отличия от величин, такие как прибавление третей к четвертям, необходимо сначала преобразовать в аналогичные величины, как описано ниже: Представьте себе карман, содержащий две четверти, и другой карман, содержащий три четверти; всего пять кварталов. Поскольку четыре четвертака эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

${\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}$.

Если ${\tfrac {1}{2}}$ торта нужно добавить к ${\tfrac {1}{4}}$ Для торта куски необходимо преобразовать в сопоставимые количества, например, в восьмые или четверти торта.

Добавление разных количеств

Чтобы сложить дроби, содержащие разные величины (например, четверти и трети), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества. Легко определить выбранный тип дроби для преобразования; просто перемножьте два знаменателя (нижнее число) каждой дроби. В случае целого числа примените невидимый знаменатель 1.

Для прибавления четвертей к третям оба типа дробей преобразуются в двенадцатые, таким образом:

${\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.$

Рассмотрим добавление следующих двух величин:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$

Сначала конвертируйте ${\tfrac {3}{5}}$ на пятнадцатые числа, умножив числитель и знаменатель на три: ${\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$. С 3/3 равно 1, умножение на 3/3 не . меняет значения дроби

Во-вторых, конвертировать 2/3 на пятнадцатые , разложим умножив числитель и знаменатель на пять: ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$.

Теперь видно, что:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$

эквивалентно:

${\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}$

Этот метод можно выразить алгебраически:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}$

Этот алгебраический метод работает всегда, гарантируя тем самым, что сумма простых дробей снова всегда будет простой дробью. Однако если отдельные знаменатели содержат общий множитель, можно использовать знаменатель, меньший, чем их произведение. Например, при добавлении ${\tfrac {3}{4}}$ и ${\tfrac {5}{6}}$ одинарные знаменатели имеют общий множитель 2, поэтому вместо знаменателя 24 (4×6) можно использовать уменьшенный пополам знаменатель 12, уменьшая не только знаменатель в результате, но и множители в числителе.

${\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}$

Наименьший возможный знаменатель определяется наименьшим общим кратным отдельных знаменателей, которое получается в результате деления механического кратного на все общие делители отдельных знаменателей. Это называется наименьшим общим знаменателем.

Вычитание

Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения: найдите общий знаменатель и замените каждую дробь эквивалентной дробью с выбранным общим знаменателем. Полученная дробь будет иметь этот знаменатель, а ее числитель будет результатом вычитания числителей исходных дробей. Например,

${\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}$

Чтобы вычесть смешанное число, из уменьшаемого можно позаимствовать лишнее, например

$4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.$

Умножение

Умножение дроби на другую дробь

Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели. Таким образом:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}$

Чтобы объяснить этот процесс, рассмотрим одну треть четверти. На примере торта: если три маленьких ломтика одинакового размера составляют четверть, а четыре четверти составляют целое, то двенадцать таких маленьких равных ломтиков составляют целое. Следовательно, треть четверти — это двенадцатая. Теперь рассмотрим числители. Первая фракция, две трети, в два раза больше одной трети. Поскольку одна треть четверти равна одной двенадцатой, две трети четверти равны двум двенадцатым. Вторая дробь, три четверти, в три раза больше одной четверти, поэтому две трети трех четвертей в три раза больше, чем две трети одной четверти. Таким образом, две трети умножить на три четверти — это шесть двенадцатых.

Короткий путь умножения дробей называется «отменой». Фактически ответ сводится к наименьшим членам во время умножения. Например:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\frac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

Двойка является общим делителем как в числителе левой дроби, так и в знаменателе правой, и делится на обе дроби. Три — это общий делитель левого знаменателя и правого числителя, который делится на оба.

Умножение дроби на целое число

Поскольку целое число можно переписать как само деление на 1, по-прежнему применимы обычные правила умножения дробей.

$6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}$

Этот метод работает, поскольку дробь 6/1 означает шесть равных частей, каждая из которых является целым.

Умножение смешанных чисел

Произведение смешанных чисел можно вычислить, преобразуя каждое из них в неправильную дробь. Например:

$3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}$

С другой стороны, смешанные числа можно рассматривать как суммы и умножать как биномы . В этом примере

$3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.$

Разделение

Чтобы разделить дробь на целое число, можно либо разделить числитель на число, если оно входит в числитель равномерно, либо умножить знаменатель на число. Например, ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ равно ${\tfrac {2}{3}}$ а также равно ${\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}$, что сводится к ${\tfrac {2}{3}}$. Чтобы разделить число на дробь, умножьте это число на обратную величину этой дроби. Таким образом, ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$.

Преобразование десятичных дробей в дроби

Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, выполните длинное деление десятичных представлений числителя на знаменатель (это идиоматически также формулируется как «разделить знаменатель на числитель») и округлите ответ до желаемой точности. Например, изменить 1/4 чтобы получить до десятичной дроби, разделите 1,00 на 4 (« 4 на 1,00 »), 0,25 . Изменить 1/3 ") и остановитесь , знаках после до десятичной дроби, разделите 1,000... на 3 (" 3 на 1,000... когда будет достигнута желаемая точность, например, на 4 запятой с 0,3333 . Фракция 1/4 можно дробь записать ровно двумя десятичными цифрами, а 1/3 не может быть записано в точном виде десятичной дроби с конечным числом цифр. Чтобы превратить десятичную дробь в дробь, напишите в знаменателе 1 , за которым следует столько нулей, сколько цифр находится справа от десятичной запятой, а в числителе запишите все цифры исходной десятичной дроби, опуская только десятичную точку. Таким образом $12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.$

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

Дополнительная информация: Десятичное представление § Преобразование в дробь.

См. также: Повторение десятичной дроби.

Десятичные числа, хотя, возможно, и более полезны для работы при выполнении вычислений, иногда им не хватает точности, которую имеют обыкновенные дроби. бесконечное повторяющееся десятичное число Иногда для достижения той же точности требуется . Таким образом, часто бывает полезно преобразовать повторяющиеся десятичные дроби в дроби.

Обычный способ указать повторяющуюся десятичную дробь — поместить черту (известную как винкулум ) над повторяющимися цифрами, например 0. 789 = 0,789789789... Для повторяющихся шаблонов, которые начинаются сразу после десятичной точки, результатом преобразование — это дробь, у которой в числителе образец, а в знаменателе такое же количество девяток. Например:

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

Если перед шаблоном стоят ведущие нули , к девяткам добавляется такое же количество конечных нулей :

0.0 5 = 5/90

0.000 392 = 392/999000

0.00 12 = 12/9900

Если шаблону предшествует неповторяющийся набор десятичных знаков (например, 0,1523 987 ), можно записать число как сумму неповторяющейся и повторяющейся частей соответственно:

0.1523 + 0.0000 987

Затем преобразуйте обе части в дроби и сложите их описанными выше методами:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

В качестве альтернативы можно использовать алгебру, как показано ниже:

1. Пусть x = повторяющаяся десятичная дробь:

   х = 0,1523  987

2. Умножьте обе части на достаточно большую степень 10 (в данном случае 10). ⁴ ), чтобы переместить десятичную точку непосредственно перед повторяющейся частью десятичного числа:

   10 000 х = 1523. 987

3. Умножьте обе части на 10 (в данном случае 10). ³ ), что соответствует количеству повторяющихся мест:

   10 000 000 х = 1 523 987. 987

4. Вычтите два уравнения друг из друга (если a = b и c = d , то a - c = b - d ):

   10 000 000 х − 10 000 х = 1 523 987. 987 − 1523. 987

5. Продолжите операцию вычитания, чтобы очистить повторяющуюся десятичную дробь:

   9 990 000 х = 1 523 987 − 1 523

   9 990 000 х = 1 522 464

6. Разделите обе части на 9 990 000, чтобы представить x как дробь.

   х = 1522464 / 9990000

Дроби в абстрактной математике

Помимо большого практического значения, дроби также изучаются математиками, которые проверяют, что приведенные выше правила для дробей непротиворечивы и надежны . Математики определяют дробь как упорядоченную пару. $(a,b)$ чисел целых $a$ и $b\neq 0,$ для которых операции сложения , вычитания , умножения и деления определяются следующим образом:

$(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,$

$(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)$

$(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)$

Эти определения во всех случаях согласуются с определениями, данными выше; только обозначения другие. Альтернативно, вместо определения вычитания и деления как операций, «обратные» дроби по отношению к сложению и умножению можно определить как:

${\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}$

Кроме того, отношение , заданное как

$(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,$

является отношением эквивалентности дробей. Каждую дробь одного класса эквивалентности можно рассматривать как представителя всего класса, а каждый целый класс можно рассматривать как одну абстрактную дробь. Эта эквивалентность сохраняется за счет определенных выше операций, т. е. результаты действий над дробями не зависят от выбора представителей из их класса эквивалентности. Формально для сложения дробей

$(a,b)\sim (a',b')\quad$ и $\quad (c,d)\sim (c',d')\quad$ подразумевать

$((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))$

и аналогично для остальных операций.

В случае дробей целых чисел дроби a / b с a и b взаимно простыми и b > 0 часто считаются однозначно определенными представителями их эквивалентных дробей, которые считаются одним и тем же рациональным числом. Таким образом, дроби целых чисел составляют поле рациональных чисел.

более общем смысле a и b могут быть элементами любой области целостности R в этом случае дробь является элементом поля дробей R. , и В Например, многочлены от одной неопределенной, с коэффициентами из некоторой области целостности D , сами являются областью целостности, назовем P. ее Таким образом, для a и b элементов из P сгенерированное поле дробей является полем рациональных дробей (также известным как поле рациональных функций ).

Алгебраические дроби

Основная статья: Алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь — это указанное частное двух алгебраических выражений . Как и в случае с целыми дробями, знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю. Два примера алгебраических дробей: ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ и ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. Алгебраические дроби подчиняются тем же свойствам поля , что и арифметические дроби.

Если числитель и знаменатель являются полиномами , как в ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$, алгебраическая дробь называется рациональной дробью (или рациональным выражением ). Иррациональная дробь — это дробь, которая не является рациональной, как, например, та, которая содержит переменную под дробным показателем или корнем, как в ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$.

Терминология, используемая для описания алгебраических дробей, аналогична терминологии, используемой для описания обыкновенных дробей. Например, алгебраическая дробь является наименьшей, если единственные множители, общие для числителя и знаменателя, - это 1 и -1. Алгебраическая дробь, числитель или знаменатель которого (или оба) содержат дробь, например: ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}$, называется комплексной дробью .

Поле рациональных чисел — это поле дробных целых чисел, а сами целые числа — это не поле, а область целого числа . Аналогично, рациональные дроби с коэффициентами в поле образуют поле дробей многочленов с коэффициентами в этом поле. Учитывая рациональные дроби с действительными коэффициентами, радикальные выражения, представляющие числа, такие как $\textstyle {\sqrt {2}}/2$, также являются рациональными дробями, как и трансцендентные числа , такие как ${\textstyle \pi /2,}$ поскольку все ${\sqrt {2}},\pi ,$ и $2$являются действительными числами и поэтому считаются коэффициентами. Однако эти же числа не являются рациональными дробями с целыми коэффициентами.

Термин «частная дробь» используется при разложении рациональных дробей на суммы более простых дробей. Например, рациональная дробь ${\frac {2x}{x^{2}-1}}$ можно разложить как сумму двух дробей: ${\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}$. Это полезно для вычисления первообразных рациональных функций ( см. Разложение на частичные дроби подробнее ).

Радикальные выражения

Основные статьи: корень N и рационализация (математика)

Дробь также может содержать радикалы в числителе или знаменателе. Если знаменатель содержит радикалы, может быть полезно его рационализировать (сравнить Упрощенную форму радикального выражения ), особенно если необходимо выполнить дальнейшие операции, такие как добавление или сравнение этой дроби с другой. Также удобнее, если деление будет производиться вручную. Когда знаменатель представляет собой одночленный квадратный корень, его можно рационализировать, умножив верхнюю и нижнюю часть дроби на знаменатель:

${\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}$

Процесс рационализации биномиальных знаменателей включает умножение верхней и нижней части дроби на сопряженное знаменателю так, чтобы знаменатель стал рациональным числом. Например:

${\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}$

${\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}$

Даже если этот процесс приводит к тому, что числитель становится иррациональным, как в примерах выше, этот процесс все равно может облегчить последующие манипуляции за счет уменьшения количества иррациональных чисел, с которыми приходится работать в знаменателе.

Типографские вариации

См. Также: Слэш § Кодирование.

В компьютерных дисплеях и типографике простые дроби иногда печатаются как один символ, например ½ ( половина ). , см. в статье « Числовые формы» Дополнительную информацию о том, как сделать это в Юникоде .

В научных публикациях выделяются четыре способа установки дробей вместе с рекомендациями по их использованию:

• Специальные дроби : дроби, которые представлены в виде одного символа с наклонной полосой, примерно такой же высоты и ширины, как и другие символы в тексте. Обычно используется для простых дробей, таких как: ½, ⅓, ⅔, ¼ и ¾. Поскольку цифры меньше, читаемость может быть проблемой, особенно для шрифтов небольшого размера. Они используются не в современных математических обозначениях, а в других контекстах.
• Дроби регистра : подобно специальным дробям, они отображаются как один типографский символ, но с горизонтальной полосой, что делает их вертикальными . Примером может быть 1/2 . , но отображается с той же высотой, что и другие символы Некоторые источники включают все дроби в виде регистровых дробей, если они занимают только одно типографское пространство, независимо от направления полосы.
• Дроби шиллинга или солидуса : 1/2, названные так потому, что это обозначение использовалось для обозначения британской валюты до десятичной дроби ( фунтов стерлингов ), например, «2/6» для половины кроны , что означает два шиллинга и шесть пенсов. Хотя обозначение «два шиллинга и шесть пенсов» не обозначало дробь, косая черта теперь используется в дробях, особенно для дробей, встроенных в прозу (а не отображаемых), чтобы избежать неровных строк. Он также используется для дробей внутри дробей ( сложных дробей ) или внутри показателей для повышения разборчивости. Дроби, записанные таким образом, также известны как штучные дроби . пишутся все в одну типографскую строку, но занимают 3 и более типографских пробела.
• Застроенные дроби : ${\frac {1}{2}}$. В этой нотации используются две или более строки обычного текста, что приводит к изменению интервала между строками при включении в другой текст. Несмотря на то, что они большие и разборчивые, они могут мешать работе, особенно для простых дробей или внутри сложных дробей.

История

Самые ранние дроби были обратными целым числам : древние символы, обозначающие одну часть двух, одну часть трех, одну часть четырех и так далее. Египтяне использовали египетские дроби c. 1000 г. до н.э. Около 4000 лет назад египтяне делили дроби немного другими методами. Они использовали наименьшие общие кратные с единичными дробями . Их методы дали тот же ответ, что и современные методы. У египтян также существовало другое обозначение двоичных дробей , использовавшееся для определенных систем мер и весов.

Греки непрерывные использовали единичные дроби и (позже) дроби . Последователи греческого квадратный философа Пифагора ( ок. 530 г. до н. э.) обнаружили, что корень из двух не может быть выражен в виде дроби целого числа . приписывают Гиппасу из Метапонта был казнен за раскрытие этого факта.) В г. ошибочно , как говорят , 150 хотя, вероятно , (Это обычно , , который , операции и операции с дробями.

Современное выражение дробей, известное как бхиннараси, по-видимому, зародилось в Индии в работах Арьябхатты ( ок. 500 г. н. э. ), Брахмагупта ( ок. 628 г. ) и Бхаскара ( ок. 1150 г. ). В их произведениях дроби образуются путем размещения числителей ( санскрит : амса ) над знаменателями ( чеда ), но без перемычки между ними. В санскритской литературе дроби всегда выражались как прибавление к целому числу или вычитание из него. Целое число записывалось в одной строке, а дробь, состоящая из двух частей, — в следующей строке. Если дробь отмечена маленьким кружком ⟨०⟩ или крестиком ⟨+⟩ , она вычитается из целого числа; если такого знака не появляется, считается, что он добавлен. Например, Бхаскара I пишет:

६  १  २

१  १  १ _०

४  ५  ९

что эквивалентно

6  1  2

1  1  −1

4  5  9

и будет записано в современных обозначениях как 6 1 / 4 , 1 1/5 - и 2 1/9 т.е. 1 ( 8 / 9 ).

Горизонтальная дробная черта впервые упоминается в работе Аль-Хассара ( эт. 1200 ), мусульманский математик из Феса ( Марокко) , специализирующийся на исламском праве наследования . В своем рассуждении он пишет: «Например, если вам велят написать три пятых и треть пятой, напишите так: ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$". То же дробное обозначение - дробь указана перед целым числом. — появляется вскоре после этого в работах Леонардо Фибоначчи в 13 веке.

Обсуждая происхождение десятичных дробей , Дирк Ян Струик утверждает:

Введение десятичных дробей как общепринятой вычислительной практики можно отнести к фламандской брошюре De Thiende , опубликованной в Лейдене в 1585 году вместе с французским переводом La Disme фламандского математика Саймона Стевина (1548–1620), тогда оседлого в Северных Нидерландах . Это правда, что десятичные дроби использовались китайцами за много веков до Стевина, и что персидский астроном Аль-Каши с большой легкостью использовал как десятичные, так и шестидесятеричные дроби в своем « Ключе к арифметике» ( Самарканд , начало пятнадцатого века).

В то время как персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что сам открыл десятичные дроби в 15 веке, Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби были впервые использованы за пять столетий до него багдадским математиком Абуль-Хасаном аль-Каши. -Уклидиси еще в 10 веке.

Неформальное обучение

Педагогические инструменты

В начальных школах дроби демонстрировались с помощью стержней Куизенера , брусков дроби, полосок дробей, кругов дробей, бумаги (для складывания или вырезания), блоков с узорами , кусочков в форме пирога, пластиковых прямоугольников, сетки, бумаги для точек , геобордов , счетчиков и компьютерное программное обеспечение.

Документы для учителей

Несколько штатов США приняли траектории обучения из рекомендаций Common Core State Standards Initiative для математического образования. Помимо последовательности изучения дробей и операций с дробями, в документе дается следующее определение дроби: «Число, выражаемое в виде $a$/ $b$ где $a$ это целое число и $b$является положительным целым числом. (Слово « доля» в этих стандартах всегда относится к неотрицательному числу.)» В самом документе также говорится об отрицательных дробях.

Смотрите также

• Перекрестное умножение
• 0.999...
• Несколько
• ФРАКТРАН

Системы счисления Сложный $:\;\mathbb {C}$ Настоящий $:\;\mathbb {R}$ Рациональный $:\;\mathbb {Q}$ Целое число $:\;\mathbb {Z}$ Естественный $:\;\mathbb {N}$ Ноль : 0 Один : 1 простые числа Составные числа Отрицательные целые числа Доля Конечная десятичная дробь Диадический (конечный бинарный) Повторяющаяся десятичная дробь иррациональный Алгебраическая иррациональность трансцендентный Воображаемый

Рекомендации

Вайсштейн, Эрик (2003). «Краткая математическая энциклопедия CRC, второе издание». CRC Краткая математическая энциклопедия . Чепмен и Холл/CRC. п. 1925. ISBN  1-58488-347-2 .

Внешние ссылки

• «Дробь арифметическая» . Интернет-энциклопедия математики .
• "Доля" . Британская энциклопедия . 5 января 2024 г.