Обратные тригонометрические функции

"Arctangent" перенаправляет здесь. Для альбома Earthtone9 см. Arc'tan'gent . Для музыкального мероприятия см. Arctangent Festival .

В математике обратные тригонометрические функции (иногда также называемые функциями Arcus , антитригонометрические функции или циклометрические функции ) являются обратными функциями , тригонометрических функций под соответствующим образом ограниченными доменами . В частности, они являются обращениями синусоисед , косинуса , тангенса , котангента , секунды и космосантов , и используются для получения угла из любого из тригонометрических соотношений угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в инженерии , навигации , физике и геометрии .

Обозначение

For a circle of radius 1, arcsin and arccos are the lengths of actual arcs determined by the quantities in question.

См. Также: Тригонометрические функции § Обозначение

Several notations for the inverse trigonometric functions exist. The most common convention is to name inverse trigonometric functions using an arc- prefix: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), etc. (This convention is used throughout this article.) This notation arises from the following geometric relationships: when measuring in radians, an angle of θ radians will correspond to an arc whose length is rθ, where r is the radius of the circle. Thus in the unit circle, the cosine of x function is both the arc and the angle, because the arc of a circle of radius 1 is the same as the angle. Or, "the arc whose cosine is x" is the same as "the angle whose cosine is x", because the length of the arc of the circle in radii is the same as the measurement of the angle in radians. In computer programming languages, the inverse trigonometric functions are often called by the abbreviated forms asin, acos, atan.

The notations sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x), etc., as introduced by John Herschel in 1813, are often used as well in English-language sources, much more than the also established sin^[−1](x), cos^[−1](x), tan^[−1](x) – conventions consistent with the notation of an inverse function, that is useful (for example) to define the multivalued version of each inverse trigonometric function: $\tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.$ However, this might appear to conflict logically with the common semantics for expressions such as sin²(x) (although only sin² x, without parentheses, is the really common use), which refer to numeric power rather than function composition, and therefore may result in confusion between notation for the reciprocal (multiplicative inverse) and inverse function.

The confusion is somewhat mitigated by the fact that each of the reciprocal trigonometric functions has its own name — for example, (cos(x))⁻¹ = sec(x). Nevertheless, certain authors advise against using it, since it is ambiguous. Another precarious convention used by a small number of authors is to use an uppercase first letter, along with a “−1” superscript: Sin⁻¹(x), Cos⁻¹(x), Tan⁻¹(x), etc. Although it is intended to avoid confusion with the reciprocal, which should be represented by sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), etc., or, better, by sin⁻¹ x, cos⁻¹ x, etc., it in turn creates yet another major source of ambiguity, especially since many popular high-level programming languages (e.g. Mathematica and MAGMA) use those very same capitalised representations for the standard trig functions, whereas others (Python, SymPy, NumPy, Matlab, MAPLE, etc.) use lower-case.

Hence, since 2009, the ISO 80000-2 standard has specified solely the "arc" prefix for the inverse functions.

Basic concepts

The points labelled 1, Sec(θ), Csc(θ) represent the length of the line segment from the origin to that point. Sin(θ), Tan(θ), and 1 are the heights to the line starting from the x-axis, while Cos(θ), 1, and Cot(θ) are lengths along the x-axis starting from the origin.

Principal values

Since none of the six trigonometric functions are one-to-one, they must be restricted in order to have inverse functions. Therefore, the result ranges of the inverse functions are proper (i.e. strict) subsets of the domains of the original functions.

For example, using function in the sense of multivalued functions, just as the square root function $y={\sqrt {x}}$ could be defined from $y^{2}=x,$ the function $y=\arcsin(x)$ is defined so that $\sin(y)=x.$ For a given real number $x,$ with $-1\leq x\leq 1,$ there are multiple (in fact, countably infinitely many) numbers $y$ such that $\sin(y)=x$; for example, $\sin(0)=0,$ but also $\sin(\pi )=0,$ $\sin(2\pi )=0,$ etc. When only one value is desired, the function may be restricted to its principal branch. With this restriction, for each $x$ in the domain, the expression $\arcsin(x)$ will evaluate only to a single value, called its principal value. These properties apply to all the inverse trigonometric functions.

The principal inverses are listed in the following table.

Name	Usual notation	Definition	Domain of $x$ for real result	Range of usual principal value (radians)	Range of usual principal value (degrees)
arcsine	$y=\arcsin(x)$	x = sin(y)	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }$
arccosine	$y=\arccos(x)$	x = cos(y)	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }$
arctangent	$y=\arctan(x)$	x = tan(y)	all real numbers	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
arccotangent	$y=\operatorname {arccot}(x)$	x = cot(y)	all real numbers	$0<y<\pi$	$0^{\circ }<y<180^{\circ }$
arcsecant	$y=\operatorname {arcsec}(x)$	x = sec(y)	${\left\vert x\right\vert }\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ or }}90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }$
arccosecant	$y=\operatorname {arccsc}(x)$	x = csc(y)	${\left\vert x\right\vert }\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ or }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }$

Note: Some authors define the range of arcsecant to be ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$, because the tangent function is nonnegative on this domain. This makes some computations more consistent. For example, using this range, $\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},$ whereas with the range ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$, we would have to write $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},$ since tangent is nonnegative on ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ but nonpositive on ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ For a similar reason, the same authors define the range of arccosecant to be ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ or ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Domains

If $x$ is allowed to be a complex number, then the range of $y$ applies only to its real part.

The table below displays names and domains of the inverse trigonometric functions along with the range of their usual principal values in radians.

Name	Symbol		Domain		Image/Range	Inverse function		Domain		Image of principal values
sine	$\sin$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arcsin$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$
cosine	$\cos$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arccos$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$[0,\pi ]$
tangent	$\tan$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\arctan$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$
cotangent	$\cot$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {arccot}$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$(0,\pi )$
secant	$\sec$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arcsec}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$[\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}$
cosecant	$\csc$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arccsc}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

The symbol $\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )$ denotes the set of all real numbers and $\mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}$ denotes the set of all integers. The set of all integer multiples of $\pi$ is denoted by

$$\pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.$$

The symbol $\,\setminus \,$ denotes set subtraction so that, for instance, $\mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$ is the set of points in $\mathbb {R}$ (that is, real numbers) that are not in the interval $(-1,1).$

The Minkowski sum notation ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ and $\pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}$ that is used above to concisely write the domains of $\cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec$ is now explained.

Domain of cotangent $\cot$ and cosecant $\csc$: The domains of $\,\cot \,$ and $\,\csc \,$ are the same. They are the set of all angles $\theta$ at which $\sin \theta \neq 0,$ i.e. all real numbers that are not of the form $\pi n$ for some integer $n,$

$${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}$$

Domain of tangent $\tan$ and secant $\sec$: The domains of $\,\tan \,$ and $\,\sec \,$ are the same. They are the set of all angles $\theta$ at which $\cos \theta \neq 0,$

$${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}$$

Solutions to elementary trigonometric equations

Each of the trigonometric functions is periodic in the real part of its argument, running through all its values twice in each interval of $2\pi :$

• Sine and cosecant begin their period at ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ (where $k$ is an integer), finish it at ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ and then reverse themselves over ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ to ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Cosine and secant begin their period at $2\pi k,$ finish it at $2\pi k+\pi .$ and then reverse themselves over $2\pi k+\pi$ to $2\pi k+2\pi .$
• Tangent begins its period at ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ finishes it at ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ and then repeats it (forward) over ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ to ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Cotangent begins its period at $2\pi k,$ finishes it at $2\pi k+\pi ,$ and then repeats it (forward) over $2\pi k+\pi$ to $2\pi k+2\pi .$

This periodicity is reflected in the general inverses, where $k$ is some integer.

The following table shows how inverse trigonometric functions may be used to solve equalities involving the six standard trigonometric functions. It is assumed that the given values $\theta ,$ $r,$ $s,$ $x,$ and $y$ all lie within appropriate ranges so that the relevant expressions below are well-defined. Note that "for some $k\in \mathbb {Z}$" is just another way of saying "for some integer $k.$"

The symbol $\,\iff \,$ is logical equality and indicates that if the left hand side is true then so is the right hand side and, conversely, if the right hand side is true then so is the left hand side (see this footnote for more details and an example illustrating this concept).

Equation	if and only if	Solution
$\sin \theta =y$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\arcsin(y)$	$+$		$\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$
$\csc \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\operatorname {arccsc}(r)$	$+$		$\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$
$\cos \theta =x$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm \,$	$\arccos(x)$	$+$	$2$	$\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$
$\sec \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm \,$	$\operatorname {arcsec}(r)$	$+$	$2$	$\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$
$\tan \theta =s$	$\iff$	$\theta =\,$		$\arctan(s)$	$+$		$\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$
$\cot \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$		$\operatorname {arccot}(r)$	$+$		$\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$

where the first four solutions can be written in expanded form as:

Equation	if and only if	Solution
$\sin \theta =y$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\arcsin(y)+2\pi h$           or $\theta =-\arcsin(y)+2\pi h+\pi$	for some $h\in \mathbb {Z}$
$\csc \theta =r$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arccsc}(r)+2\pi h$           or $\theta =-\operatorname {arccsc}(r)+2\pi h+\pi$	for some $h\in \mathbb {Z}$
$\cos \theta =x$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\arccos(x)+2\pi k$          or $\theta =-\arccos(x)+2\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$
$\sec \theta =r$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k$          or $\theta =-\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k$	for some $k\in \mathbb {Z}$

For example, if $\cos \theta =-1$ then $\theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)$ for some $k\in \mathbb {Z} .$ While if $\sin \theta =\pm 1$ then ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ for some $k\in \mathbb {Z} ,$ where $k$ will be even if $\sin \theta =1$ and it will be odd if $\sin \theta =-1.$ The equations $\sec \theta =-1$ and $\csc \theta =\pm 1$ have the same solutions as $\cos \theta =-1$ and $\sin \theta =\pm 1,$ respectively. In all equations above except for those just solved (i.e. except for $\sin$/$\csc \theta =\pm 1$ and $\cos$/$\sec \theta =-1$), the integer $k$ in the solution's formula is uniquely determined by $\theta$ (for fixed $r,s,x,$ and $y$).

With the help of integer parity $$\operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}$$ it is possible to write a solution to $\cos \theta =x$ that doesn't involve the "plus or minus" $\,\pm \,$ symbol:

$cos\;\theta =x\quad$ if and only if $\quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad$ for some $h\in \mathbb {Z} .$

And similarly for the secant function,

$sec\;\theta =r\quad$ if and only if $\quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad$ for some $h\in \mathbb {Z} ,$

where $\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)$ equals $\pi h$ when the integer $h$ is even, and equals $\pi h+\pi$ when it's odd.

Detailed example and explanation of the "plus or minus" symbol ±

The solutions to $\cos \theta =x$ and $\sec \theta =x$ involve the "plus or minus" symbol $\,\pm ,\,$ whose meaning is now clarified. Only the solution to $\cos \theta =x$ will be discussed since the discussion for $\sec \theta =x$ is the same. We are given $x$ between $-1\leq x\leq 1$ and we know that there is an angle $\theta$ in some interval that satisfies $\cos \theta =x.$ We want to find this $\theta .$ The table above indicates that the solution is $$\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$$ which is a shorthand way of saying that (at least) one of the following statement is true:

1. $\,\theta =\arccos x+2\pi k\,$ for some integer $k,$
   or
2. $\,\theta =-\arccos x+2\pi k\,$ for some integer $k.$

As mentioned above, if $\,\arccos x=\pi \,$ (which by definition only happens when $x=\cos \pi =-1$) then both statements (1) and (2) hold, although with different values for the integer $k$: if $K$ is the integer from statement (1), meaning that $\theta =\pi +2\pi K$ holds, then the integer $k$ for statement (2) is $K+1$ (because $\theta =-\pi +2\pi (1+K)$). However, if $x\neq -1$ then the integer $k$ is unique and completely determined by $\theta .$ If $\,\arccos x=0\,$ (which by definition only happens when $x=\cos 0=1$) then $\,\pm \arccos x=0\,$ (because $\,+\arccos x=+0=0\,$ and $\,-\arccos x=-0=0\,$ so in both cases $\,\pm \arccos x\,$ is equal to $0$) and so the statements (1) and (2) happen to be identical in this particular case (and so both hold). Having considered the cases $\,\arccos x=0\,$ and $\,\arccos x=\pi ,\,$ we now focus on the case where $\,\arccos x\neq 0\,$ and $\,\arccos x\neq \pi ,\,$ So assume this from now on. The solution to $\cos \theta =x$ is still $$\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$$ which as before is shorthand for saying that one of statements (1) and (2) is true. However this time, because $\,\arccos x\neq 0\,$ and $\,0<\arccos x<\pi ,\,$ statements (1) and (2) are different and furthermore, exactly one of the two equalities holds (not both). Additional information about $\theta$ is needed to determine which one holds. For example, suppose that $x=0$ and that all that is known about $\theta$ is that $\,-\pi \leq \theta \leq \pi \,$ (and nothing more is known). Then $$\arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}$$ and moreover, in this particular case $k=0$ (for both the $\,+\,$ case and the $\,-\,$ case) and so consequently, $$\theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.$$ This means that $\theta$ could be either $\,\pi /2\,$ or $\,-\pi /2.$ Without additional information it is not possible to determine which of these values $\theta$ has. An example of some additional information that could determine the value of $\theta$ would be knowing that the angle is above the $x$-axis (in which case $\theta =\pi /2$) or alternatively, knowing that it is below the $x$-axis (in which case $\theta =-\pi /2$).

Equal identical trigonometric functions

The table below shows how two angles $\theta$ and $\varphi$ must be related if their values under a given trigonometric function are equal or negatives of each other.

Equation	if and only if	Solution (for some $k\in \mathbb {Z}$)	Also a solution to
${\phantom {-}}\sin \theta =\sin \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {\quad }}(-1)^{k}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\csc \theta =\csc \varphi$
${\phantom {-}}\cos \theta =\cos \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\sec \theta =\sec \varphi$
${\phantom {-}}\tan \theta =\tan \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {(-1)^{k+1}}}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\cot \theta =\cot \varphi$
$-\sin \theta =\sin \varphi$	$\iff$	$\theta =(-1)^{k+1}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	$-\csc \theta =\csc \varphi$
$-\cos \theta =\cos \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k+\pi {\phantom {+\pi }}$	$-\sec \theta =\sec \varphi$
$-\tan \theta =\tan \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}-\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	$-\cot \theta =\cot \varphi$
${\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\sin \theta \right|&=\left|\sin \varphi \right|\\&\Updownarrow \\{\phantom {-}}\left|\cos \theta \right|&=\left|\cos \varphi \right|\end{aligned}}$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\tan \theta \right|&=\left|\tan \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\sec \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\cot \varphi \right|\end{aligned}}$

The vertical double arrow $\Updownarrow$ in the last row indicates that $\theta$ and $\varphi$ satisfy $\left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|$ if and only if they satisfy $\left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.$

Set of all solutions to elementary trigonometric equations

Thus given a single solution $\theta$ to an elementary trigonometric equation ($\sin \theta =y$ is such an equation, for instance, and because $\sin(\arcsin y)=y$ always holds, $\theta :=\arcsin y$ is always a solution), the set of all solutions to it are:

If $\theta$ solves	then	Set of all solutions (in terms of $\theta$)
$\;\sin \theta =y$	then	$\{\varphi :\sin \varphi =y\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$	$-\pi$	$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\csc \theta =r$	then	$\{\varphi :\csc \varphi =r\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$	$-\pi$	$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\cos \theta =x$	then	$\{\varphi :\cos \varphi =x\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$		$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\sec \theta =r$	then	$\{\varphi :\sec \varphi =r\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$		$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\tan \theta =s$	then	$\{\varphi :\tan \varphi =s\}=\,$	$\theta$	$\,+\,$	$\pi \mathbb {Z}$
$\;\cot \theta =r$	then	$\{\varphi :\cot \varphi =r\}=\,$	$\theta$	$\,+\,$	$\pi \mathbb {Z}$

Transforming equations

The equations above can be transformed by using the reflection and shift identities:

Transforming equations by shifts and reflections

Argument: ${\underline {\;~~~~~~\;}}=$	$-\theta$	${\frac {\pi }{2}}\pm \theta$	$\pi \pm \theta$	${\frac {3\pi }{2}}\pm \theta$	$2k\pi \pm \theta ,$ $(k\in \mathbb {Z} )$
$\sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\sin \theta$	${\phantom {-}}\cos \theta$	$\mp \sin \theta$	$-\cos \theta$	$\pm \sin \theta$
$\csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\csc \theta$	${\phantom {-}}\sec \theta$	$\mp \csc \theta$	$-\sec \theta$	$\pm \csc \theta$
$\cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	${\phantom {-}}\cos \theta$	$\mp \sin \theta$	$-\cos \theta$	$\pm \sin \theta$	${\phantom {-}}\cos \theta$
$\sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	${\phantom {-}}\sec \theta$	$\mp \csc \theta$	$-\sec \theta$	$\pm \csc \theta$	${\phantom {-}}\sec \theta$
$\tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\tan \theta$	$\mp \cot \theta$	$\pm \tan \theta$	$\mp \cot \theta$	$\pm \tan \theta$
$\cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\cot \theta$	$\mp \tan \theta$	$\pm \cot \theta$	$\mp \tan \theta$	$\pm \cot \theta$

These formulas imply, in particular, that the following hold:

$${\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&=-\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}$$

где обмен $\sin \leftrightarrow \csc ,$ swapping $\cos \leftrightarrow \sec ,$ and swapping $\tan \leftrightarrow \cot$ gives the analogous equations for $\csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,$ соответственно.

Так, например, с помощью равенства ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ уравнение $\cos \theta =x$ может быть преобразован в ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ что позволяет решению уравнения $\;\sin \varphi =x\;$ (где ${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$) для использования; это решение: $\varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,$ который становится: $${\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$$ где использовать тот факт, что $(-1)^{k}=(-1)^{-k}$ и замена $h:=-k$ доказывает, что другое решение для $\;\cos \theta =x\;$ является: $$\theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .$$ Замена $\;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;$ может использоваться экспресс правой стороны вышеуказанной формулы с точки зрения $\;\arccos x\;$ вместо $\;\arcsin x.\;$

Отношения между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций приведены ниже. Быстрый способ их получить-рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника, с одной стороной длины 1 и другой стороной длины $x,$ Затем применение пифагорейской теоремы и определений тригонометрических соотношений. Стоит отметить, что для Arcsecant и Arccosecant диаграмма предполагает, что $x$ является положительным, и, таким образом, результат должен быть скорректирован с помощью использования абсолютных значений и операции Signum (SGN).

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$	Диаграмма
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Отношения между обратными тригонометрическими функциями

Обычные основные значения функций Arcsin ( x ) (красный) и Arccos ( x ) (синий) графики на картезианской плоскости.

Обычные основные значения функций Arctan ( x ) и Arccot ​​( x ), графированные на картезианской плоскости.

Основные значения функций ArcSec ( x ) и ArcCSC ( x ), графированные на картезианской плоскости.

Дополнительные углы:

${\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}$

Негативные аргументы:

${\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}$

Взаимные аргументы:

${\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}$

Приведенные выше идентификаторы могут быть использованы (и получены из) того факта, что $\sin$ и $\csc$ взаимные т.е. ( $\csc ={\tfrac {1}{\sin }}$), как есть $\cos$ и $\sec ,$ и $\tan$ и $\cot .$

Полезные идентичности, если у них есть только фрагмент синусоидальной таблицы:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

Всякий раз, когда здесь используется квадратный корень сложного числа, мы выбираем корень с положительной реальной частью (или положительной воображаемой частью, если квадрат был отрицательным реальным).

Полезная форма, которая следует непосредственно из таблицы выше, является

$\arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0$.

Это получено путем признания того, что $\cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)$.

Из полуголового формулы $\tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}$, мы получаем:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}$

Арктангентная формула добавления

$\arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.$

Это получено из формулы касательной добавления

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,$

путем разрешения

$\alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.$

В исчислении

Производные обратных тригонометрических функций

Основная статья: дифференциация тригонометрических функций

Производные Z для сложных значений следующие :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}$

Только для реальных значений x :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}$

Эти формулы могут быть получены в терминах производных тригонометрических функций. Например, если $x=\sin \theta$, затем ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$ так

${\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

Выражение как определенные интегралы

Интегрирование производной и исправление значения в одну точку дает выражение для обратной тригонометрической функции в качестве определенного интеграла:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}$

Когда X равно 1, интегралы с ограниченными доменами являются неправильными интегралами , но все же четко определенными.

Бесконечная серия

Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также могут быть рассчитаны с использованием серии мощности следующим образом. Для Arcsine серия может быть получена путем расширения его производной, ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$, как биномиальная серия и интегрирование термина по термину (используя интегральное определение, как указано выше). Серия для Arctangent также может быть получена путем расширения его производной ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$ в геометрическом серии и применение интегрального определения выше (см. Серию Лейбниза ).

${\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

$\arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i$

Серии для других обратных тригонометрических функций могут быть предоставлены в терминах их в соответствии с данными, приведенными выше. Например, $\arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)$, $\operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)$, и так далее. Другая серия дана:

$2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

Леонхард Эйлер нашел серию для Arctangent, которая сходится быстрее, чем его серия Taylor :

$\arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$

(Термин в сумме для n = 0 является пустым продуктом , так же: 1.)

В качестве альтернативы, это может быть выражено как

$\arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.$

Другая серия для функции Arctangent определяется

$\arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),$

где $i={\sqrt {-1}}$ это воображаемая единица .

Продолжающиеся фракции для Arctangent

Две альтернативы серии Power для Arctangent - эти обобщенные продолжающиеся фракции :

$\arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

Второй из них действителен в комплексной плоскости. Есть две порезы: от - i до точки в бесконечности, спускающейся по воображаемой оси, и от I до точки в бесконечности, поднимаясь по той же оси. Он лучше всего подходит для реальных чисел, проходящих от -1 до 1. Частичные знаменатели являются нечетными натуральными числами, а частичные числители (после первого) - справедливые ( NZ ) ² , с каждым идеальным квадратом, появляющимся один раз. Первый был разработан Леонхардом Эйлером ; Второй Карл Фридрих Гаусс с использованием гауссовой гипергеометрической серии .

Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций

Для реальных и сложных значений z :

${\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}$

Для реального x ≥ 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

Для всех реальных x не между -1 и 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}$

Абсолютное значение необходимо, чтобы компенсировать как отрицательные, так и положительные значения функций Arcsecant и Arccosecant. Функция Signum также необходима из -за абсолютных значений в производных двух функций, которые создают два разных решения для положительных и отрицательных значений x. Они могут быть дополнительно упрощены, используя логарифмические определения обратных гиперболических функций :

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}$

Абсолютное значение в аргументе функции Arcosh создает отрицательную половину своего графика, что делает ее идентичной для логарифмической функции Signum, показанной выше.

Все эти антидодевативные средства могут быть получены с использованием интеграции по частям и простые производные формы, показанные выше.

Пример

С использованием $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (т.е. интеграция по частям ), установка

${\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}$

Затем

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,$

который по простой замене $w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx$ дает конечный результат:

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Расширение на сложную плоскость

Поверхность римана для аргумента отношения tan z = x . Оранжевый лист в середине является основным листом, представляющим Arctan x . Синий лист выше и зеленый лист внизу смещены на 2 π и -2 π соответственно.

Поскольку обратные тригонометрические функции являются аналитическими функциями , они могут быть расширены от реальной линии до сложной плоскости. Это приводит к функциям с несколькими листами и точками ветвления . Одним из возможных способов определения расширения является:

$\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i$

где часть воображаемой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (-i и +i), - это ветвь между основным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересечь разрез ветви. Для Z не на вырезании ветви, прямая линия от 0 до z является такой пути. Для z на вырезании ветви путь должен приближаться к RE [x]> 0 для верхней ветви и от re [x] <0 для нижней ветви.

Функция аркине может быть определена как:

$\arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1$

Где (функция квадратного корня имеет свою разреза вдоль отрицательной реальной оси и) часть реальной оси, которая не лежит строго между -1 и +1, является разрез между основным листом аркина и другими листами;

$\arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1$

который имеет тот же срез, что и Arcsin;

$\operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i$

который имеет тот же срез, что и Arctan;

$\operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1$

где часть реальной оси между −1 и +1 включительно включает в себя разреза между основным листом дугового уровня и другими листами;

$\operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1$

который имеет такой же разрез, что и Arcsec.

Логарифмические формы

Эти функции также могут быть выражены с использованием сложных логарифмов . Это расширяет их домены до сложной плоскости естественным образом. Следующие идентичности для основных значений функций сохраняются везде, где они определены, даже при их срезе.

${\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}$

Обобщение

Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол правого треугольника, они могут быть обобщены, используя формулу Эйлера , образуя правый треугольник в сложной плоскости. Алгебраически это дает нам:

$ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )$

или

$ce^{i\theta }=a+ib$

где $a$ соседняя сторона, $b$ это противоположная сторона, и $c$ это гипотенуза. Отсюда мы можем решить для $\theta$.

${\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}$

или

$\theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)$

Просто принять воображаемую часть работает для любых реальных $a$ и $b$, но если $a$ или $b$ Сложный, мы должны использовать окончательное уравнение, чтобы реальная часть результата не была исключена. Поскольку длина гипотенузы не меняет угол, игнорируя реальную часть $\ln(a+bi)$ Также удаляется $c$ из уравнения. В окончательном уравнении мы видим, что угол треугольника в сложной плоскости можно найти, введя длины каждой стороны. Установив одну из трех сторон, равных 1 и одной из оставшихся сторон, равных нашим входу $z$, мы получаем формулу для одной из обратных функций тригея, в общей сложности шесть уравнений. Поскольку обратные функции тригея требуют только одного ввода, мы должны поставить конечную сторону треугольника с точки зрения двух других, используя пифагорской теоремы отношение

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

В таблице ниже показаны значения A, B и C для каждой из обратных функций тригея и эквивалентных выражений для $\theta$ Это является результатом подключения значений к уравнениям $\theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)$ выше и упрощающе.

${\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}$

Особая форма упрощенного выражения может привести к тому, что вывод отличается от обычной основной ветви каждой из обратных функций тригея. Представленные составы выведут обычную основную ветвь при использовании $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]$ и $\operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ Основная ветвь для каждой функции, кроме Arccotangent в $\theta$ столбец. Arccotangent в $\theta$ столбец будет выводить на свою обычную основную ветвь с помощью $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )$ и $\operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ соглашение.

В этом смысле все обратные функции триггея можно рассматривать как конкретные случаи сложной стоимости функции логарифма. Поскольку это определение работает для любого сложного значения $z$определения позволяют гиперболические углы в качестве выходов и могут использоваться для дальнейшего определения обратных гиперболических функций . Можно алгебраически доказать эти отношения, начиная с экспоненциальных форм тригонометрических функций и решения для обратной функции.

Пример доказательства

${\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}$

Использование экспоненциального определения синуса и разрешения $\xi =e^{i\phi },$

${\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}$

(Положительная ветвь выбирается)

$\phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)$

Цветовые колеса графики обратных тригонометрических функций в сложной плоскости

$\arcsin(z)$	$\arccos(z)$	$\arctan(z)$

$\operatorname {arccsc}(z)$	$\operatorname {arcsec}(z)$	$\operatorname {arccot}(z)$

Приложения

Поиск угла правого треугольника

Правый треугольник с сторонами относительно угла в $A$ точка.

Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить оставшиеся два угла правого треугольника, когда известны длина сторон треугольника. Вспоминая определения правого треугольника синуса и косинуса, из этого следует, что

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).$

Часто гипотенуза неизвестна и должна быть рассчитана, прежде чем использовать арксин или арккозин с использованием пифагорской теоремы : $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ где $h$ это длина гипотенузы. Arctangent пригодится в этой ситуации, так как длина гипотенузы не нужна.

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.$

Например, предположим, что крыша падает на 8 футов, когда она выходит на 20 футов. Крыша делает угол θ с горизонтальной, где θ может быть рассчитано следующим образом:

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.$

В информатике и технике

Вариант с двумя аргументами Arctangent

Основная статья: Atan2

с двумя аргументом Функция ATAN2 вычисляет Arctangent of y / x, данный y и x , но с диапазоном ( -π , π ] . Другими словами, atan2 ( y , x ) -угол между положительной осьми x -оси плоскость и точка ( x , y ) на нем, с положительным знаком для углов против часовой стрелки (верхняя половина плоскости, y > 0) и отрицательный знак для углов по часовой стрелке (нижняя половина плоскости, y <0) впервые был представлен во многих языках компьютерного программирования, но теперь он также распространен в других областях науки и техники.

С точки зрения стандартной функции арктана , то есть диапазона ( - ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ), это может быть выражено следующим образом:

$\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}$

равняется основному значению аргумента Это также комплексного числа x + i y .

Эта ограниченная версия функции выше также может быть определена с использованием тангентных формул полуугла следующим образом:

$\operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)$

при условии, что либо x > 0, либо y ♠ 0. Однако это не удается, если дается x ≤ 0 и y = 0, чтобы выражение не подходит для вычислительного использования.

Приведенный выше порядок аргумента ( y , x ) кажется наиболее распространенным, и, в частности, используется в стандартах ISO , таких как язык программирования C , но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение ( x , y ), поэтому некоторая осторожность оправдана Полем Эти вариации подробно описаны на ATAN2 .

Функция Arctangent с параметром местоположения

Во многих приложениях решение $y$ уравнения $x=\tan(y)$ должен приблизиться как можно ближе к данной стоимости $-\infty <\eta <\infty$Полем Адекватное решение создается модифицированной параметром Arctangent Function

$y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.$

Функция $\operatorname {rni}$ Раунды до ближайшего целого числа.

Численная точность

Для углов около 0 и π арккозин плохо поддерживается и аналогично аркусину для углов вблизи- π /2 и π /2. Таким образом, компьютерные приложения должны учитывать стабильность входов к этим функциям и чувствительность их расчетов или использовать альтернативные методы.

Смотрите также

• Распределение арксина
• Обратное выполнение
• Обратный Версин
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических идентичностей
• Тригонометрическая функция
• Тригонометрические функции матриц

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью -Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-61272-0 .

Внешние ссылки

• Вейсштейн, Эрик У. "обратная тангенс" . MathWorld .