Теорема Шрёдингера – ХЮВ

В квантовой теории информации и квантовой оптике теорема Шредингера -ХЮВ представляет собой результат о реализации смешанного состояния квантовой системы как ансамбля чистых квантовых состояний и связи между соответствующими очищениями операторов плотности . Теорема названа в честь физиков и математиков Эрвина Шрёдингера , Лейн П. Хьюстон , Ричард Джожа и Уильям Вуттерс . Результат был также найден независимо (хотя и частично) Николя Гизеном , и Николаса Хаджисавваса, опирающегося на работу Эда Джейнса , при этом значительная часть его была также независимо открыта Н. Дэвидом Мермином . Благодаря своей сложной истории, она также известна под другими названиями, такими как теорема GHJW , теорема HJW и теорема очистки .

Очистка смешанного квантового состояния

Позволять ${\mathcal {H}}_{S}$ быть конечномерным комплексным гильбертовым пространством и рассмотреть общее (возможно, смешанное ) квантовое состояние. $\rho$ определено на ${\mathcal {H}}_{S}$ и допуская разложение вида $$\rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$$для набора (не обязательно взаимно ортогональных) состояний $|\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}$ и коэффициенты $p_{i}\geq 0$ такой, что ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$. Заметим, что любое квантовое состояние можно записать таким образом для некоторого $\{|\phi _{i}\rangle \}_{i}$ и $\{p_{i}\}_{i}$.

Любой такой $\rho$ может быть очищено , то есть представлено как частичный след чистого состояния, определенного в большем гильбертовом пространстве. Точнее, всегда можно найти (конечномерное) гильбертово пространство. ${\mathcal {H}}_{A}$ и чистое состояние $|\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}$ такой, что $\rho =\operatorname {Tr} _{A}{\big (}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|{\big )}$. Кроме того, государства $|\Psi _{SA}\rangle$ удовлетворяющие этому все и только те, которые имеют вид $$|\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$$для некоторого ортонормированного базиса $\{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}$. Государство $|\Psi _{SA}\rangle$ тогда называется «очищением $\rho$". Так как вспомогательное пространство и базис могут быть выбраны произвольно, то очищение смешанного состояния не однозначно; фактически существует бесконечно много очищений данного смешанного состояния. Поскольку все они допускают разложение в приведенном выше виде при любой паре очисток $|\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}$, всегда существует некоторая унитарная операция $U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}$ такой, что $$|\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle .$$

Теорема

Рассмотрим смешанное квантовое состояние $\rho$ с двумя разными реализациями как ансамбль чистых состояний как ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ и ${\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$. Здесь оба $|\phi _{i}\rangle$и $|\varphi _{j}\rangle$ не считаются взаимно ортогональными. Будет два соответствующих очищения смешанного состояния. $\rho$ читая следующее:

Очистка 1: $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle$;

Очистка 2: $|\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$.

Наборы $\{|a_{i}\rangle \}$и $\{|b_{j}\rangle \}$ представляют собой два набора ортонормированных базисов соответствующих вспомогательных пространств. Эти два очищения отличаются лишь унитарным преобразованием, действующим на вспомогательное пространство, а именно, существует унитарная матрица $U_{A}$ такой, что $|\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle$. Поэтому, ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$Это означает, что мы можем реализовать различные ансамбли смешанного состояния, просто проводя разные измерения в очистительной системе.