Закон Ома

Эта статья о законе, связанном с электричеством. Чтобы узнать о других значениях, см. Закон акустики Ома .

V , I и R , параметры закона Ома.

Закон Ома гласит, что ток через проводник между двумя точками прямо пропорционален напряжению электрический в этих двух точках. Вводя константу пропорциональности сопротивление , можно прийти к трем математическим уравнениям, используемым для описания этой зависимости:

$$V=IR\quad {\text{or}}\quad I={\frac {V}{R}}\quad {\text{or}}\quad R={\frac {V}{I}}$$

где I — ток через проводник, V — напряжение, измеренное на проводнике, а R — сопротивление проводника. Более конкретно, закон Ома гласит, что R в этом отношении является постоянным и не зависит от тока. Если сопротивление непостоянно, предыдущее уравнение нельзя назвать законом Ома , но его все равно можно использовать для определения статического/постоянного сопротивления . Закон Ома — это эмпирическое соотношение , которое точно описывает проводимость подавляющего большинства электропроводящих материалов при токе на многие порядки. Однако некоторые материалы не подчиняются закону Ома; они называются неомическими .

Закон был назван в честь немецкого физика Георга Ома , который в трактате, опубликованном в 1827 году, описал измерения приложенного напряжения и тока с помощью простых электрических цепей, содержащих провода различной длины. Ом объяснил свои экспериментальные результаты немного более сложным уравнением, чем его современная форма, приведенная выше (см. § Историю ниже).

В физике термин закон Ома также используется для обозначения различных обобщений закона; например, векторная форма закона, используемая в электромагнетике и материаловедении:

$$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} ,$$

где J — плотность тока в данном месте резистивного материала, E — электрическое поле в этом месте, а σ ( сигма ) — зависящий от материала параметр, называемый проводимостью , определяемый как обратная величина удельного сопротивления ρ ( rho ). Эта переформулировка закона Ома принадлежит Густаву Кирхгофу .

История

Георг Ом

В январе 1781 года, до Георга Ома работы , Генри Кавендиш экспериментировал с лейденскими банками и стеклянными трубками различного диаметра и длины, наполненными соляным раствором. Он измерил силу тока, отметив, какой сильный удар он почувствовал, замыкая цепь своим телом. Кавендиш писал, что «скорость» (ток) напрямую зависит от «степени электрификации» (напряжения). В то время он не сообщал о своих результатах другим ученым. и его результаты были неизвестны до тех пор, пока Джеймс Клерк Максвелл не опубликовал их в 1879 году.

Фрэнсис Рональдс определил «интенсивность» (напряжение) и «количество» (ток) для сухой батареи — источника высокого напряжения — в 1814 году с помощью электрометра с сусальным золотом . Для сухой сваи он обнаружил, что соотношение между двумя параметрами не было пропорциональным при определенных метеорологических условиях.

Ом работал над сопротивлением в 1825 и 1826 годах и опубликовал свои результаты в 1827 году в книге Die galvanische Kette, mathematisch Bearbeitet («Гальваническая цепь, исследованная математически»). В теоретическом объяснении своей работы он черпал значительное вдохновение из работ Жозефа Фурье по теплопроводности. Для экспериментов он сначала использовал гальванические батареи , но позже использовал термопару , поскольку это обеспечивало более стабильный источник напряжения с точки зрения внутреннего сопротивления и постоянного напряжения. Он использовал гальванометр для измерения тока и знал, что напряжение между выводами термопары пропорционально температуре перехода. Затем он добавил тестовые провода разной длины, диаметра и материала, чтобы завершить схему. Он обнаружил, что его данные можно смоделировать с помощью уравнения $$x={\frac {a}{b+\ell }},$$ где x — показания гальванометра , ℓ — длина испытательного проводника, a зависела от температуры спая термопары, а b — константа всей установки. Исходя из этого, Ом определил свой закон пропорциональности и опубликовал свои результаты.

Модель внутреннего сопротивления

В современных обозначениях мы бы написали: $$I={\frac {\mathcal {E}}{r+R}},$$ где ${\mathcal {E}}$ холостого хода - ЭДС термопары, $r$ внутреннее сопротивление термопары и $R$ сопротивление испытательного провода. С точки зрения длины провода это будет: $$I={\frac {\mathcal {E}}{r+{\mathcal {R}}\ell }},$$ где ${\mathcal {R}}$ – сопротивление испытательного провода на единицу длины. Таким образом, коэффициенты Ома равны: $$a={\frac {\mathcal {E}}{\mathcal {R}}},\quad b={\frac {\mathcal {r}}{\mathcal {R}}}.$$

Закон Ома в лабораторной книге Георга Ома.

Закон Ома был, вероятно, самым важным из ранних количественных описаний физики электричества. Сегодня мы считаем это почти очевидным. Когда Ом впервые опубликовал свою работу, это было не так; критики отреагировали на его отношение к этой теме враждебно. Его работы называли «паутиной голых фантазий». а министр просвещения заявил, что «профессор, проповедующий подобные ереси, недостоин преподавать науку». Преобладающая в то время научная философия в Германии утверждала, что для развития понимания природы нет необходимости проводить эксперименты, поскольку природа так хорошо устроена, и что научные истины могут быть выведены только посредством рассуждений. Кроме того, брат Ома Мартин, математик, боролся с немецкой системой образования. Эти факторы препятствовали принятию работ Ома, и его работы не получили широкого признания до 1840-х годов. Однако Ом получил признание за свой вклад в науку задолго до своей смерти.

В 1850-х годах закон Ома был широко известен и считался доказанным. Альтернативы, такие как « закон Барлоу », были дискредитированы с точки зрения реального применения к проектированию телеграфных систем, как обсуждал Сэмюэл Ф.Б. Морс в 1855 году.

Электрон , и быстро стало понятно , был открыт в 1897 году Дж. Дж. Томсоном что это частица ( носитель заряда ), переносящая электрический ток в электрических цепях. первая ( классическая ) модель электропроводности — модель Друде была предложена В 1900 году Полем Друде , которая наконец дала научное объяснение закону Ома. В этой модели твердый проводник состоит из неподвижной решетки атомов ( ионов ), электроны проводимости в которой беспорядочно перемещаются . Напряжение на проводнике создает электрическое поле , которое ускоряет электроны в направлении электрического поля, вызывая дрейф электронов, который и есть электрический ток. Однако электроны сталкиваются с атомами, что заставляет их рассеиваться и хаотизировать их движение, преобразуя кинетическую энергию в тепло ( тепловую энергию ). Используя статистические распределения, можно показать, что средняя скорость дрейфа электронов и, следовательно, ток пропорциональны электрическому полю и, следовательно, напряжению в широком диапазоне напряжений.

Развитие квантовой механики в 1920-х годах несколько изменило эту картину, но в современных теориях все еще можно показать, что средняя скорость дрейфа электронов пропорциональна электрическому полю, выведя таким образом закон Ома. В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил квантовое распределение энергий электронов Ферми-Дирака к модели Друде, в результате чего появилась модель свободных электронов . Год спустя Феликс Блох показал, что электроны движутся волнами ( блоховские электроны ) через твердую кристаллическую решетку, поэтому рассеяние атомов решетки, постулируемое в модели Друде, не является основным процессом; электроны рассеиваются на атомах примесей и дефектах материала. Последний преемник, современная теория квантовых зон твердых тел, показала, что электроны в твердом теле не могут принимать никакой энергии, как предполагалось в модели Друде, а ограничены энергетическими зонами с промежутками между ними энергий, которые электронам запрещено иметь. Размер запрещенной зоны является характеристикой конкретного вещества и во многом зависит от его удельного электрического сопротивления, что объясняет, почему некоторые вещества электрические проводники , некоторые полупроводники и некоторые изоляторы .

Хотя старый термин для электропроводности, mho (обратная единица сопротивления ом), все еще используется, новое название, siemens , было принято в 1971 году в честь Эрнста Вернера фон Сименса . В официальных документах предпочтительнее использовать Siemens.

В 1920-х годах было обнаружено, что ток через практический резистор на самом деле имеет статистические колебания, зависящие от температуры, даже когда напряжение и сопротивление совершенно постоянны; это колебание, теперь известное как шум Джонсона – Найквиста , связано с дискретной природой заряда. Этот тепловой эффект подразумевает, что измерения тока и напряжения, проводимые в течение достаточно коротких периодов времени, дадут отношения V/I, которые колеблются от значения R, подразумеваемого средним по времени или средним по ансамблю измеренного тока; Закон Ома остается верным для среднего тока в случае обычных резистивных материалов.

Работа Ома задолго до появления уравнений Максвелла и любого понимания частотно-зависимых эффектов в цепях переменного тока. Современные разработки в области электромагнитной теории и теории цепей не противоречат закону Ома, если их оценивать в соответствующих пределах.

Объем

Закон Ома — это эмпирический закон , обобщение многих экспериментов, которые показали, что ток примерно пропорционален электрическому полю для большинства материалов. Оно менее фундаментально, чем уравнения Максвелла , и не всегда соблюдается. Любой материал разрушается под действием достаточно сильного электрического поля, а некоторые материалы, представляющие интерес для электротехники, являются «неомическими» в слабых полях.

Закон Ома наблюдался в широком диапазоне масштабов длин. В начале 20-го века считалось, что закон Ома не работает в атомном масштабе , но эксперименты не подтвердили это ожидание. По состоянию на 2012 год исследователи продемонстрировали, что закон Ома работает для кремниевых проводов шириной всего четыре атома и высотой один атом.

Микроскопическое происхождение

Электроны модели Друде (показаны здесь синим цветом) постоянно отскакивают от более тяжелых неподвижных кристаллических ионов (показаны красным).

Основная статья: Модель Друде

Зависимость плотности тока от приложенного электрического поля имеет по существу квантово-механический характер; (см. Классическая и квантовая проводимость .) Качественное описание, ведущее к закону Ома, может быть основано на классической механике с использованием модели Друде, разработанной Полем Друде в 1900 году.

Модель Друде рассматривает электроны (или другие носители заряда) как шарики, прыгающие среди ионов , составляющих структуру материала. Электроны будут ускоряться в направлении, противоположном электрическому полю, под действием среднего электрического поля в месте их расположения. Однако при каждом столкновении электрон отклоняется в случайном направлении со скоростью, намного превышающей скорость, приобретаемую электрическим полем. Конечным результатом является то, что электроны из-за столкновений выбирают зигзагообразный путь, но обычно дрейфуют в направлении, противоположном электрическому полю.

Скорость дрейфа тогда определяет плотность электрического тока и ее связь с E и не зависит от столкновений. Друде рассчитал среднюю скорость дрейфа по формуле p = − e E τ, где p — средний импульс , — e — заряд электрона, а τ — среднее время между столкновениями. Поскольку и импульс, и плотность тока пропорциональны скорости дрейфа, плотность тока становится пропорциональной приложенному электрическому полю; это приводит к закону Ома.

Гидравлическая аналогия

гидравлическую аналогию Для описания закона Ома иногда используют . Давление воды, измеряемое в паскалях (или фунтах на квадратный дюйм ), является аналогом напряжения, поскольку установление разницы давления воды между двумя точками вдоль (горизонтальной) трубы заставляет воду течь. Объемный расход воды, измеряемый в литрах в секунду, является аналогом тока в кулонах в секунду. Наконец, ограничители потока, такие как отверстия, расположенные в трубах между точками, где измеряется давление воды, являются аналогом резисторов. Мы говорим, что скорость потока воды через дроссель пропорциональна разности давлений воды на дросселе. Точно так же скорость потока электрического заряда, то есть электрического тока, через электрический резистор пропорциональна разнице напряжений, измеренных на резисторе. В более общем смысле, гидравлический напор можно рассматривать как аналог напряжения, и тогда закон Ома аналогичен закону Дарси , который связывает гидравлический напор с объемным расходом через гидравлическая проводимость .

Переменные расхода и давления можно рассчитать в сети потоков жидкости, используя аналогию с гидравлическим сопротивлением. Этот метод может быть применен как к установившимся, так и к нестационарным ситуациям с потоком. линейного ламинарного течения В области закон Пуазейля описывает гидравлическое сопротивление трубы, но в области турбулентного течения зависимость давления от потока становится нелинейной.

Гидравлическая аналогия с законом Ома использовалась, например, для аппроксимации потока крови через систему кровообращения.

Анализ схемы

Покрытие неизвестного закона Ома в мнемонике изображения дает формулу в терминах остальных параметров.

Колесо закона Ома с символами международных единиц

В анализе цепей три эквивалентных выражения закона Ома используются взаимозаменяемо:

$$I={\frac {V}{R}}\quad {\text{or}}\quad V=IR\quad {\text{or}}\quad R={\frac {V}{I}}.$$

В некоторых источниках каждое уравнение цитируется как определяющее соотношение закона Ома. или все три цитируются, или получено из пропорциональной формы, или даже иногда могут быть приведены только два, которые не соответствуют исходному утверждению Ома.

Взаимозаменяемость уравнения может быть представлена ​​треугольником, где V ( напряжение ) располагается в верхней части, I ( ток ) — в левой части, а R ( сопротивление ) — в правой. Разделитель между верхней и нижней частями указывает на разделение (отсюда и полоса разделения).

Резистивные цепи

Резисторы которые препятствуют прохождению электрического заряда в соответствии с законом Ома и рассчитаны на определенное значение сопротивления R. — это элементы схемы , На принципиальных схемах резистор изображается в виде длинного прямоугольника или зигзагообразного символа. Элемент (резистор или проводник), который ведет себя согласно закону Ома в некотором рабочем диапазоне, называется омическим устройством (или омическим резистором ), поскольку закона Ома и одного значения сопротивления достаточно, чтобы описать поведение устройства в этом диапазоне. диапазон.

Закон Ома справедлив для цепей, содержащих только резистивные элементы (без емкостей или индуктивностей) для всех форм управляющего напряжения или тока, независимо от того, является ли управляющее напряжение или ток постоянным ( постоянный ток ) или изменяющимся во времени, например, переменный ток . Для таких цепей в любой момент времени справедлив закон Ома.

Резисторы, включенные последовательно или параллельно, могут быть сгруппированы в одно «эквивалентное сопротивление», чтобы применить закон Ома при анализе цепи.

Реактивные цепи с изменяющимися во времени сигналами

Когда реактивные элементы, такие как конденсаторы, катушки индуктивности или линии передачи, участвуют в цепи, к которой приложен переменный ток или изменяющееся во времени напряжение или ток, соотношение между напряжением и током становится решением дифференциального уравнения , поэтому закон Ома (как определено) выше) не применяется напрямую, поскольку эта форма содержит только сопротивления, имеющие значение R , а не комплексные импедансы, которые могут содержать емкость ( C ) или индуктивность ( L ).

Уравнения для неизменяемых во времени цепей переменного тока принимают ту же форму, что и закон Ома. Однако переменные обобщаются до комплексных чисел , а формы сигналов тока и напряжения представляют собой комплексные экспоненты .

При таком подходе форма сигнала напряжения или тока принимает форму Ae ^ул. , где t — время, s — комплексный параметр, а A — комплексный скаляр. В любой линейной, не зависящей от времени системе все токи и напряжения могут быть выражены с помощью того же параметра s , что и входные данные системы, что позволяет исключить изменяющийся во времени комплексный экспоненциальный член и систему описать алгебраически в терминах комплексные скаляры в формах тока и напряжения.

Сложным обобщением сопротивления является импеданс , обычно обозначаемый Z ; можно показать, что для индуктора $$Z=sL$$ и для конденсатора, $$Z={\frac {1}{sC}}.$$

Теперь мы можем написать, $$V=Z\,I$$ где V и I — комплексные скаляры напряжения и тока соответственно, а Z — комплексный импеданс.

Эта форма закона Ома, в которой Z вместо R , обобщает более простую форму. Когда Z является комплексным, за рассеивание тепла отвечает только действительная часть.

В обычной цепи переменного тока Z сильно меняется в зависимости от частотного параметра s , как и соотношение между напряжением и током.

Для общего случая установившейся синусоиды параметр s принимается равным $j\omega$, соответствующий сложной синусоиде $Ae^{{\mbox{ }}j\omega t}$. Реальные части таких сложных сигналов тока и напряжения описывают реальные синусоидальные токи и напряжения в цепи, которые могут находиться в разных фазах из-за разных комплексных скаляров.

Линейные приближения

См. Также: Моделирование малых сигналов и сетевой анализ (электрические цепи) § Эквивалентная схема малых сигналов.

Закон Ома — одно из основных уравнений, используемых при анализе электрических цепей . Это относится как к металлическим проводникам, так и к компонентам схемы ( резисторам ), специально предназначенным для такого поведения. Оба широко распространены в электротехнике. Материалы и компоненты, подчиняющиеся закону Ома, называются «омическими». Это означает, что они производят одно и то же значение сопротивления ( R = V / I ) независимо от значения V или I , которое применяется, и от того, является ли приложенное напряжение или ток постоянным током ( постоянный ток ) положительной или отрицательной полярности или переменным током ( переменный ток ). текущий ).

В настоящем омическом устройстве одно и то же значение сопротивления будет рассчитываться по формуле R = V / I независимо от значения приложенного V. напряжения То есть соотношение V / I постоянно, и когда ток отображается как функция напряжения, кривая является линейной (прямая линия). Если напряжение увеличить до некоторого значения V , то это напряжение V, на измеренный ток I, будет равно R. деленное если ток принудительно достигает некоторого значения I , то измеренное напряжение V, деленное на этот ток I, также равно R. Или , Поскольку график зависимости I от V представляет собой прямую линию, то также верно, что для любого набора двух разных напряжений V ₁ и V _2, приложенных к данному устройству с сопротивлением R , возникают токи I ₁ = V ₁ / R и I. ₂ = V ₂ / R , что отношение ( V ₁ − V ₂ )/( I ₁ − I ₂ ) также является константой, равной R . Оператор «дельта» (Δ) используется для обозначения разницы в величине, поэтому мы можем записать Δ V = V ₁ – V ₂ и Δ I = I ₁ – I ₂ . Подводя итог, для любого истинно омического устройства, имеющего сопротивление R , V / I = Δ V / Δ I = R для любого приложенного напряжения или тока или для разницы между любым набором приложенных напряжений или токов.

ВАХ четырех двух диода ​ устройств резисторов , : и батареи . Два резистора подчиняются закону Ома: график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Два других устройства не подчиняются закону Ома.

Однако существуют компоненты электрических цепей, которые не подчиняются закону Ома; то есть их взаимосвязь между током и напряжением (их нелинейна ) ВАХ ( или . неомична) Примером может служить диод с p – n-переходом (кривая справа). Как видно на рисунке, ток не увеличивается линейно с приложенным к диоду напряжением. Можно определить значение тока ( I ) для заданного значения приложенного напряжения ( V ) по кривой, а не по закону Ома, поскольку значение «сопротивления» не является постоянной функцией приложенного напряжения. Кроме того, ток значительно увеличивается только в том случае, если приложенное напряжение положительное, а не отрицательное. Отношение V / I для некоторой точки вдоль нелинейной кривой иногда называют статическим , или хордальным , или постоянным сопротивлением, но, как видно на рисунке, значение общего V по сравнению с общим I варьируется в зависимости от выбранной конкретной точки нелинейной кривой. означает, что «сопротивление постоянному току» V/I в какой-то точке кривой не то же самое, что было бы определено путем подачи сигнала переменного тока с пиковой амплитудой Δ Это Вольт или ΔI ампер с центром в той же точке кривой и измерения Δ V /Δ I . Однако в некоторых диодных приложениях сигнал переменного тока, подаваемый на устройство, мал, и можно проанализировать схему с точки зрения динамического , малосигнального или возрастающего сопротивления, определяемого как сопротивление, превышающее наклон напряжения V – I. кривая при среднем значении (рабочая точка постоянного тока) напряжения (т. е. по производной тока по напряжению). Для достаточно малых сигналов динамическое сопротивление позволяет рассчитать сопротивление малого сигнала по закону Ома примерно как единицу по наклону линии, проведенной по касательной к кривой V – I в рабочей точке постоянного тока.

Температурные эффекты

Закон Ома иногда формулируется так: «Для проводника в данном состоянии электродвижущая сила пропорциональна производимому току». То есть сопротивление, отношение приложенной электродвижущей силы (или напряжения) к току, «не меняется в зависимости от силы тока». Условие «в данном состоянии» обычно интерпретируется как означающее «при постоянной температуре», поскольку удельное сопротивление материалов обычно зависит от температуры. Поскольку проводимость тока связана с джоулевым нагревом проводящего тела, согласно первому закону Джоуля , температура проводящего тела может меняться, когда по нему протекает ток. Таким образом, зависимость сопротивления от температуры приводит к тому, что сопротивление зависит от тока в типичной экспериментальной установке, что затрудняет прямую проверку закона в этой форме. Максвелл и другие разработали несколько методов экспериментальной проверки закона в 1876 году, контролируя эффекты нагрева. Обычно измерения сопротивления образца проводятся при малых токах, чтобы предотвратить джоулевый нагрев. Однако даже небольшой ток вызывает нагрев (охлаждение) при первом (втором) контакте образца за счет эффекта Пельтье. Температуры на контактах образца становятся разными, их разница линейна по току. Падение напряжения в цепи дополнительно включает в себя термоэлектродвижущую силу Зеебека, которая снова линейна по току. В результате даже при пренебрежимо малом токе существует тепловая поправка к сопротивлению образца. Величина поправки может быть сравнима с сопротивлением образца.

Связь с теплопроводностью

См. Также: Проводимость (тепло)

Принцип Ома предсказывает течение электрического заряда (то есть тока) в электрических проводниках, когда они подвергаются влиянию разницы напряжений; Принцип Жана-Батиста-Жозефа Фурье предсказывает поток тепла в теплопроводниках при воздействии разницы температур.

Оба явления описываются одним и тем же уравнением, причем переменные уравнения в обоих случаях принимают разное значение. В частности, решение задачи теплопроводности (Фурье) с переменными температуры (движущей «силы») и потока тепла (скорости потока движимого «количества», т. е. тепловой энергии) также решает аналогичную задачу электропроводности (Ом). имеющие переменные электрический потенциал (движущую «силу») и электрический ток (скорость потока движимого «количества», т. е. заряда).

Основой работы Фурье была его четкая концепция и определение теплопроводности . Он предположил, что при прочих равных условиях поток тепла строго пропорционален градиенту температуры. Хотя это, несомненно, верно для небольших градиентов температуры, строго пропорциональное поведение будет потеряно, когда реальные материалы (например, имеющие теплопроводность, зависящая от температуры) подвергаются большим температурным градиентам.

Аналогичное предположение сделано и в формулировке закона Ома: при прочих равных условиях сила тока в каждой точке пропорциональна градиенту электрического потенциала. Точность предположения о том, что поток пропорционален градиенту, легче проверить с использованием современных методов измерения для электрического случая, чем для теплового случая.

Другие версии

Закон Ома в приведенной выше форме является чрезвычайно полезным уравнением в области электротехники и электроники, поскольку он описывает, как напряжение, ток и сопротивление взаимосвязаны на «макроскопическом» уровне, то есть обычно как элементы схемы в электрической схеме. схема . Физики, изучающие электрические свойства материи на микроскопическом уровне, используют тесно связанное и более общее векторное уравнение, иногда также называемое законом Ома, имеющее переменные, тесно связанные со скалярными переменными V, I и R закона Ома. но каждая из которых является функцией положения внутри проводника. Физики часто используют эту континуальную форму закона Ома:

$$\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}$$

где E — вектор электрического поля с единицами вольт на метр (аналог V закона Ома, который имеет единицы вольт), J — вектор плотности тока с единицами ампер на единицу площади (аналог I закона Ома, который имеет единицы измерения ампер), а ρ « rho » — удельное сопротивление, измеряемое в ом·метрах (аналогично R закону Ома , единицы которого измеряются в омах). Приведенное выше уравнение также записывается как J = σ E , где σ « сигма » — проводимость , обратная ρ .

Ток, текущий через однородный цилиндрический проводник (например, круглый провод) с приложенным однородным полем.

Напряжение между двумя точками определяется как: $${\Delta V}=-\int {\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$$ с $d{\boldsymbol {\ell }}$ элемент пути вдоль интегрирования вектора электрического поля E . Если приложенное поле E однородно и ориентировано по длине проводника, как показано на рисунке, то напряжение V определяется обычным соглашением: оно противоположно направлению поля (см. рисунок) и с учетом того, что напряжение V измеряется дифференциально по длине проводника, что позволяет нам опустить символ Δ, приведенное выше векторное уравнение сводится к скалярному уравнению:

$$V={E}{\ell }\ \ {\text{or}}\ \ E={\frac {V}{\ell }}.$$

Поскольку поле E однородно в направлении длины провода, для проводника, имеющего равномерно постоянное удельное сопротивление ρ, плотность тока J также будет однородной в любой площади поперечного сечения и ориентирована в направлении длины провода, поэтому мы можем написать: $$J={\frac {I}{a}}.$$

Подставив два приведенных выше результата (для E и J соответственно) в континуальную форму, показанную в начале этого раздела: $${\frac {V}{\ell }}={\frac {I}{a}}\rho \qquad {\text{or}}\qquad V=I\rho {\frac {\ell }{a}}.$$

Электрическое сопротивление однородного проводника выражается через удельное сопротивление : $${R}=\rho {\frac {\ell }{a}}$$ где ℓ — длина проводника в единицах СИ метров, a — площадь поперечного сечения (для круглого провода a = πr ² если r — радиус) в метрах в квадрате, а ρ — удельное сопротивление в единицах ом·метров.

После подстановки R из приведенного выше уравнения в предшествующее ему уравнение континуальная форма закона Ома для однородного поля (и однородной плотности тока), ориентированного по длине проводника, сводится к более знакомой форме: $$V=IR.$$

Идеальная кристаллическая решетка с достаточно низким тепловым движением и без отклонений от периодической структуры не будет иметь удельного сопротивления . но настоящий металл имеет кристаллографические дефекты , примеси, несколько изотопов и тепловое движение атомов. Электроны рассеиваются от всех них, что приводит к сопротивлению их потоку.

Более сложные обобщенные формы закона Ома важны для физики конденсированного состояния , изучающей свойства вещества и, в частности, его электронную структуру . В широком смысле они подпадают под тему материальных уравнений и теории транспортных коэффициентов .

Магнитные эффекты

Если присутствует внешнее B -поле и проводник не покоится, а движется со скоростью v , то необходимо добавить дополнительный член для учета тока, индуцированного силой Лоренца на носителях заряда. $$\mathbf {J} =\sigma (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$$

В системе покоя движущегося проводника это слагаемое выпадает, поскольку v = 0 . Противоречия нет, поскольку электрическое поле в покоящейся системе отличается от E -поля в лабораторной системе: E' = E + v × B . Электрические и магнитные поля относительны, см. Преобразование Лоренца .

Если ток J является переменным, поскольку приложенное напряжение или электрическое поле изменяется во времени, то к сопротивлению необходимо прибавить реактивное сопротивление, чтобы учесть самоиндукцию, см. электрический импеданс . Реактивное сопротивление может быть сильным, если частота высокая или проводник скручен.

Проводящие жидкости

В проводящей жидкости, такой как плазма , наблюдается аналогичный эффект. Рассмотрим жидкость, движущуюся со скоростью $\mathbf {v}$ в магнитном поле $\mathbf {B}$. Относительное движение индуцирует электрическое поле $\mathbf {E}$ который оказывает электрическое воздействие на заряженные частицы, вызывая электрический ток. $\mathbf {J}$. Уравнение движения электронного газа с числовой плотностью $n_{e}$, записывается как $$m_{e}n_{e}{d\mathbf {v} _{e} \over dt}=-n_{e}e\mathbf {E} +n_{e}m_{e}\nu (\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{e})-en_{e}\mathbf {v} _{e}\times \mathbf {B} ,$$

где $e$, $m_{e}$ и $\mathbf {v} _{e}$ - заряд, масса и скорость электронов соответственно. Также, $\nu$ - частота столкновений электронов с ионами, имеющими поле скоростей $\mathbf {v} _{i}$. Поскольку электрон имеет очень малую массу по сравнению с массой ионов, мы можем игнорировать левую часть приведенного выше уравнения и записать $$\sigma (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=\mathbf {J} ,$$

где мы воспользовались определением плотности тока , а также положили $\sigma ={n_{e}e^{2} \over \nu m_{e}}$ что такое электропроводность . Это уравнение также можно эквивалентно записать как $$\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {J} ,$$ где $\rho =\sigma ^{-1}$ это электрическое сопротивление . Также принято писать $\eta$ вместо $\rho$ что может сбить с толку, поскольку это те же обозначения, которые используются для магнитной диффузии, определяемой как $\eta =1/\mu _{0}\sigma$.

См. также

• Закон диффузии Фика
• Закон Хопкинсона («Закон Ома для магнетиков»)
• Теорема о максимальной передаче мощности
• Теорема Нортона
• Электроэнергия
• Листовое сопротивление
• Теорема суперпозиции
• Тепловой шум
• Теорема Тевенена

Дальнейшее чтение

• Глава «Закон Ома» из «Уроки электрических цепей, том 1» DC книги и серии .
• Джон К. Шедд и Мэйо Д. Херши, «История закона Ома» , Popular Science , декабрь 1913 г., стр. 599–614, Bonnier Corporation. ISSN   0161-7370 , содержит историю исследований Ома, предыдущие работы, ложное уравнение Ома в первой статье, иллюстрацию экспериментального аппарата Ома.
• Шагрин, Мортон Л. (1963). «Сопротивление закону Ома». Американский журнал физики . 31 (7): 536–547. Бибкод : 1963AmJPh..31..536S . дои : 10.1119/1.1969620 . S2CID   120421759 . Исследует концептуальные изменения, лежащие в основе экспериментальной работы Ома.
• Кеннет Л. Канева, «Ом, Георг Саймон». Полный словарь научной биографии . 2008 год
• s:Научные мемуары/2/Математическое исследование гальванической цепи , перевод оригинальной статьи Ома.

Внешние ссылки

• Калькулятор закона Ома