Усеченный икосододекаэдр

Усеченный икосододекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 62, E = 180, V = 120 (χ = 2)
Лица по сторонам	30{4}+20{6}+12{10}
Обозначение Конвея	ДР или ТАД
Символы Шлефли	tr{5,3} или $t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$
	т 0,1,2 {5,3}
Символ Витхоффа	2 3 5 |
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I h , H 3 , [5,3], (*532), порядок 120
Группа вращения	Я , [5,3] + , (532), порядок 60
Двугранный угол	6-10: 142.62° 4-10: 148.28° 4-6: 159.095°
Ссылки	Ю 28 , Ц 31 , Ж 16
Характеристики	Полуправильный выпуклый зоноэдр
Цветные лица	4.6.10 ( фигура вершины )
Триаконтаэдр Дисдякиса ( двойной многогранник )	Сеть

В геометрии усечённый икосододекаэдр , ромбоусечённый икосододекаэдр , большой ромбокосододекаэдр , всеусеченный додекаэдр или всеусеченный икосаэдр Архимедово тело , одно из тринадцати выпуклых , изогональных , непризматических тел, построенных из двух или более типов правильных многоугольных граней .

У него 62 грани: 30 квадратов , 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников . У него больше всего ребер и вершин среди всех платоновых и архимедовых тел, хотя у курносого додекаэдра больше граней. Из всех вершинно-транзитивных многогранников он занимает наибольший процент (89,80%) объема сферы, в которую вписан , очень узко обгоняя курносый додекаэдр (89,63%) и малый ромбокосододекаэдр (89,23%) и менее узко обгоняя усеченный икосаэдр (86,74%); он также имеет наибольший объем (206,8 кубических единиц), когда длина его ребра равна 1. Из всех вершинно-транзитивных многогранников, которые не являются призмами или антипризмами , он имеет наибольшую сумму углов (90 + 120 + 144 = 354 градуса). в каждой вершине; только призма или антипризма с числом сторон более 60 будут иметь большую сумму. Поскольку каждая из его граней имеет точечную симметрию (что эквивалентно вращательной симметрии 180° ), усеченный икосододекаэдр представляет собой 15 - зоноэдр .

Имена

Название усеченный икосододекаэдр , данное первоначально Иоганном Кеплером , вводит в заблуждение. Фактическое усечение икосододекаэдра ​ имеет прямоугольники вместо квадратов . Этот неоднородный многогранник топологически эквивалентен архимедову телу. Альтернативные взаимозаменяемые названия: Усеченный икосододекаэдр ( Иоганн Кеплер ) Ромбоусечённый икосододекаэдр ( Магнус Веннингер) ) Большой ромбокосододекаэдр ( Роберт Уильямс , Питер Кромвель ) Всеусеченный додекаэдр или икосаэдр ( Норман Джонсон) )

Икосододекаэдр и его усечение.

Название «большой ромбикосидодекаэдр» относится к взаимосвязи с (маленьким) ромбикосидодекаэдром (сравните раздел «Рассечение »).
Существует невыпуклый однородный многогранник с аналогичным названием — невыпуклый большой ромбикосидодекаэдр .

Площадь и объём

Площадь поверхности A и объем V усеченного икосододекаэдра с длиной ребра a равны:

${\begin{aligned}A&=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 174.292\,0303a^{2}.\\V&=\left(95+50{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\approx 206.803\,399a^{3}.\end{aligned}}$

Если бы набор из всех 13 архимедовых тел был построен с равными длинами ребер, усеченный икосододекаэдр был бы самым большим.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усеченного икосододекаэдра с длиной ребра 2 φ - 2, с центром в начале координат, представляют собой все четные перестановки :

(± ⁠ 1 / φ ⁠ , ± ⁠ 1 / φ ⁠ , ±(3 + φ )),

(± ⁠ 2 / φ ⁠ , ± φ , ±(1 + 2 φ )),

(± ⁠ 1 / φ ⁠ , ± φ ² , ±(−1 + 3 φ )),

(±(2 φ − 1), ±2, ±(2 + φ )) и

(± φ , ±3, ±2 φ ),

где φ = ⁠ 1 √ 5/2 + ⁠ — золотое сечение .

Диссекция

Усеченный икосододекаэдр — это выпуклая оболочка ромбокосододекаэдра кубоидами с равно над 30 квадратами, отношение высоты к основанию которых φ . Остальное его пространство можно разделить на неоднородные купола, а именно 12 между внутренними пятиугольниками и внешними десятиугольниками и 20 между внутренними треугольниками и внешними шестиугольниками .

Альтернативная диссекция также имеет ромбокододекаэдрическое ядро. Он имеет 12 пятиугольных ротонд между внутренними пятиугольниками и внешними десятиугольниками. Оставшаяся часть представляет собой тороидальный многогранник .

скрывать изображения вскрытия
На этих изображениях показаны ромбокосододекаэдр (фиолетовый) и усеченный икосододекаэдр (зеленый). Если длина их ребер равна 1, расстояние между соответствующими квадратами равно φ . Тороидальный многогранник, оставшийся после вырезания ядра и двенадцати ротонд.

Ортогональные проекции

Усеченный икосододекаэдр имеет семь особых ортогональных проекций с центрами на вершине, на трех типах ребер и трех типах граней: квадратной, шестиугольной и десятиугольной. Последние два соответствуют _{A 2} и H ₂ плоскостям Кокстера .

Ортогональные проекции

В центре	Вертекс	Край 4-6	Край 4-10	Край 6-10	Лицо квадрат	Лицо шестиугольник	Лицо десятиугольник
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[2] +	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной изображение

Сферические мозаики и диаграммы Шлегеля

Усеченный икосододекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Диаграммы Шлегеля аналогичны, с перспективной проекцией и прямыми краями.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	Декагон -центрированный	Шестиугольник -центрированный	Квадрат -центрированный

Геометрические вариации

В рамках икосаэдрической симметрии существуют неограниченные геометрические вариации усеченного икосододекаэдра с изогональными гранями. , Усеченный додекаэдр ромбикосидодекаэдр и усеченный икосаэдр как вырожденные предельные случаи.

Усеченный икосододекаэдрический граф

Усеченный икосододекаэдрический граф
5-кратная симметрия
Вершины	120
Края	180
Радиус	15
Диаметр	15
Обхват	4
Автоморфизмы	120 (A 5 ×2)
Хроматическое число	2
Характеристики	Кубический , гамильтонов , регулярный , нуль-симметричный
Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов усеченный икосододекаэдр (или большой ромбокосододекаэдрический граф ) — это график вершин и ребер усеченного икосододекаэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 120 вершин ребер и представляет собой нуль-симметричный кубический и 180 архимедовый граф .

диаграммы Шлегеля Графики

3-кратная симметрия

2-кратная симметрия

Связанные многогранники и мозаики

Икосаэдр-бабочка и додекаэдр содержат две трапециевидные грани вместо квадрата.

показывать Семейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2p ) и диаграммой Кокстера-Дынкина. . Для p < 6 членами последовательности являются всеусеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p > 6 они представляют собой мозаику гиперболической плоскости, начиная с усеченной тригептагональной мозаики .

показывать * n 32 мутация симметрии всеусеченных мозаик: 4.6.2n
Sym. *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Compact hyperb.		Paraco.	Noncompact hyperbolic
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Figures
Config.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Config.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Ссылки

• Веннингер, Магнус (1974), Модели многогранников , Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-09859-5 , МР   0467493
• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN  0-521-55432-2 .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-Х .
• Кромвель, П.; Многогранники , CUP хбк (1997), пбк. (1999).
• Вайсштейн, Эрик В. , « Большой ромбикосидодекаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3x5x — сетка» .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Большой ромбокододекаэдр» . Математический мир .
• * Вайсштейн, Эрик В. «Великий ромбокододекаэдрический граф» . Математический мир .
• Редактируемая для печати сетка усеченного икосододекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников