Теория Штурма – Лиувилля

В математике и ее приложениях задача Штурма–Лиувилля второго порядка представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение вида $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda w(x)y$$для заданных функций $p(x)$, $q(x)$ и $w(x)$, вместе с некоторыми граничными условиями при экстремальных значениях $x$. Целями данной задачи Штурма – Лиувилля являются:

• Найти λ , для которого существует нетривиальное решение задачи. Такие значения λ называются собственными значениями задачи.
• Для каждого собственного значения λ найти соответствующее решение $y=y(x)$ проблемы. Такие функции $y$ называются собственными функциями, связанными с каждым λ .

Теория Штурма–Лиувилля — это общее исследование проблем Штурма–Лиувилля. В частности, для «регулярной» задачи Штурма – Лиувилля можно показать, что существует бесконечное число собственных значений, каждое из которых имеет уникальную собственную функцию, и что эти собственные функции образуют ортонормированный базис определенного гильбертова пространства функций.

Эта теория важна в прикладной математике , где проблемы Штурма-Лиувилля возникают очень часто, особенно при работе с раздельными линейными дифференциальными уравнениями в частных производных . Например, в квантовой механике одномерное независимое от времени уравнение Шредингера представляет собой задачу Штурма – Лиувилля.

Теория Штурма-Лиувилля названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма (1803–1855) и Жозефа Лиувилля (1809–1882), разработавших эту теорию.

Основные результаты

Основные результаты теории Штурма–Лиувилля применимы к задаче Штурма–Лиувилля.

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y$$ ( 1 )

на конечном интервале $[a,b]$ это «обычно». Задача называется регулярной, если:

• Коэффициентные функции $p,q,w$ и производная $p'$ все постоянно включены $[a,b]$;
• $p(x)>0$ и $w(x)>0$ для всех $x\in [a,b]$;
• задача имеет разделенные граничные условия вида

$$\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0,\qquad \alpha _{1},\alpha _{2}{\text{ not both }}0,$$ ( 2 )

$$\beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0,\qquad \beta _{1},\beta _{2}{\text{ not both }}0.$$ ( 3 )

Функция $w=w(x)$, иногда обозначаемый $r=r(x)$, называется функцией веса или плотности .

Цели задачи Штурма – Лиувилля:

• найти собственные значения: те λ, для которых существует нетривиальное решение;
• для каждого собственного значения λ найти соответствующую собственную функцию $y=y(x)$.

Для регулярной задачи Штурма–Лиувилля функция $y=y(x)$ называется решением , если оно непрерывно дифференцируемо и удовлетворяет уравнению ( 1 ) в каждом $x\in (a,b)$. В случае более общего $p,q,w$решения следует понимать в слабом смысле .

Термины «собственное значение» и «собственный вектор» используются, поскольку решения соответствуют дифференциального оператора в соответствующем собственным значениям и собственным функциям эрмитова гильбертовом пространстве функций со скалярным произведением , определенным с помощью весовой функции. Теория Штурма – Лиувилля изучает существование и асимптотическое поведение собственных значений, соответствующую качественную теорию собственных функций и их полноту в функциональном пространстве.

Основной результат теории Штурма – Лиувилля гласит, что для любой регулярной задачи Штурма – Лиувилля:

• Собственные значения $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ реальны и могут быть пронумерованы так, что $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty .$
• Соответствующий каждому собственному значению $\lambda _{n}$ — уникальная (с точностью до постоянного кратного) собственная функция $y_{n}=y_{n}(x)$ точно с $n-1$ нули в $[a,b]$, называемое n-м фундаментальным решением .
• Нормированные собственные функции $y_{n}$ образуют ортонормированный базис относительно w -взвешенного скалярного произведения в гильбертовом пространстве $L^{2}{\big (}[a,b],w(x)\,\mathrm {d} x{\big )}$; то есть, $$\langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm},$$ где $\delta _{nm}$ это дельта Кронекера .

Приведение к форме Штурма – Лиувилля.

Говорят, что дифференциальное уравнение ( 1 ) имеет форму Штурма–Лиувилля или самосопряженную форму . второго порядка Все линейные однородные обыкновенные дифференциальные уравнения можно привести к форме, указанной в левой части ( 1 ), умножив обе части уравнения на соответствующий интегрирующий коэффициент (хотя этого нельзя сказать о частных дифференциальных уравнениях второго порядка). уравнения , или если y — вектор ). Некоторые примеры приведены ниже.

Уравнение Бесселя

$$x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0$$который можно записать в форме Штурма – Лиувилля (сначала путем деления на x , затем путем объединения первых двух членов слева в один член) как $$\left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.$$

Уравнение Лежандра

$$\left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0$$которую легко привести к форме Штурма–Лиувилля, поскольку ⁠ d / dx ⁠ (1 − x ² ) = −2 x , поэтому уравнение Лежандра эквивалентно $$\left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0$$

Пример использования интегрирующего коэффициента

$$x^{3}y''-xy'+2y=0$$

Разделите все на x ³ : $$y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0$$

Умножая на интегрирующий коэффициент $$\mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {dx}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}},$$дает $$e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0$$которую легко привести к форме Штурма–Лиувилля, поскольку $${\frac {d}{dx}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}$$поэтому дифференциальное уравнение эквивалентно $$\left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0.$$

Интегрирующий коэффициент для общего однородного уравнения второго порядка

$$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$$

Умножение на интегрирующий коэффициент $$\mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right),$$и затем сбор дает форму Штурма – Лиувилля: $${\frac {d}{dx}}\left(\mu (x)P(x)y'\right)+\mu (x)R(x)y=0,$$или, явно: $${\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.$$

Уравнения Штурма–Лиувилля как самосопряженные дифференциальные операторы

Отображение определяется: $$Lu=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left[p(x)\,{\frac {du}{dx}}\right]+q(x)u\right)$$можно рассматривать как линейный оператор L, отображающий функцию u в другую функцию Lu , и его можно изучать в контексте функционального анализа . Фактически уравнение ( 1 ) можно записать как $$Lu=\lambda u.$$

Это и есть проблема собственных значений ; то есть ищут собственные значения 1 _, λ 2 _, λ 3 _, ... и соответствующие собственные векторы u ₁ , u ₂ , u ₃ ,... оператора L. λ Правильным решением этой проблемы является гильбертово пространство. $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ со скалярным произведением $$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,dx.$$

В этом пространстве L определяется на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих указанным выше регулярным граничным условиям. Более того, L — самосопряженный оператор: $$\langle Lf,g\rangle =\langle f,Lg\rangle .$$

Формально в этом можно убедиться, дважды применив интегрирование по частям , когда граничные члены обращаются в нуль в силу граничных условий. Отсюда следует, что собственные значения оператора Штурма – Лиувилля вещественны и что собственные функции оператора L, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Однако этот оператор неограничен , и поэтому существование ортонормированного базиса собственных функций не очевидно. Чтобы решить эту проблему, рассмотрим резольвенту $$\left(L-z\right)^{-1},\qquad z\in \mathbb {R} ,$$где z не является собственным значением. Тогда вычисление резольвенты сводится к решению неоднородного уравнения, что можно сделать с помощью формулы вариации параметров . Это показывает, что резольвента является интегральным оператором с непрерывным симметричным ядром ( функция Грина задачи). Как следствие теоремы Арзела-Асколи , этот интегральный оператор компактен, и существование последовательности собственных значений α _n , сходящихся к 0, и собственных функций, образующих ортонормированный базис, следует из спектральной теоремы для компактных операторов . Наконец, обратите внимание, что $$\left(L-z\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,$$эквивалентны, поэтому мы можем взять $\lambda =z+\alpha ^{-1}$ с теми же собственными функциями.

Если интервал неограничен или коэффициенты имеют особенности в граничных точках, L называют сингулярным. В этом случае спектр уже не состоит только из собственных значений и может содержать непрерывную компоненту. Все еще существует соответствующее разложение собственных функций (аналогично ряду Фурье и преобразованию Фурье). Это важно в квантовой механике , поскольку одномерное независимое от времени уравнение Шредингера является частным случаем уравнения Штурма – Лиувилля.

Приложение к неоднородным краевым задачам второго порядка

Рассмотрим общее неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f(x)$$ для заданных функций $P(x),Q(x),R(x),f(x)$. Как и раньше, это можно свести к форме Штурма–Лиувилля. $Ly=f$: запись общего оператора Штурма – Лиувилля как: $$Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x)}}u,$$решается система: $$p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.$$

Достаточно решить первые два уравнения, что сводится к решению ( Pw )′ = Qw , или $$w'={\frac {Q-P'}{P}}w:=\alpha w.$$

Решение:

$$w=\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\exp \left(\int \alpha \,dx\right).$$

Учитывая это преобразование, остается решить: $$Ly=f.$$

В общем, если заданы начальные условия в какой-то точке, например y ( a ) = 0 и y ′( a ) = 0 , дифференциальное уравнение второго порядка можно решить обычными методами, а теорема Пикара – Линделёфа гарантирует, что дифференциальное уравнение уравнение имеет единственное решение в окрестности точки, где заданы начальные условия.

Но если вместо указания начальных значений в одной точке желательно указать значения в двух разных точках (так называемые граничные значения), например y ( a ) = 0 и y ( b ) = 1 , возникает проблема. быть гораздо сложнее. Обратите внимание, что, добавляя к y подходящую известную дифференцируемую функцию , значения которой в точках a и b удовлетворяют желаемым граничным условиям, и вводя внутрь предложенное дифференциальное уравнение, можно без ограничения общности предположить, что граничные условия имеют форму y ( а ) знак равно 0 и y ( б ) знак равно 0 .

Здесь вступает в игру теория Штурма–Лиувилля: действительно, большой класс функций f можно расширить в терминах ряда ортонормированных собственных функций оператора _λi Лиувилля с соответствующими собственными значениями ui _: ассоциированного $$f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R} }.$$

Тогда решение предложенного уравнения, очевидно, имеет вид: $$y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.$$

Это решение будет действительным только в открытом интервале a < x < b и может потерпеть неудачу на границах.

Пример: ряд Фурье

Рассмотрим задачу Штурма–Лиувилля:

$$Lu=-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\lambda u$$ ( 4 )

ибо неизвестными являются λ и ты ( Икс ) . В качестве граничных условий возьмем, например: $$u(0)=u(\pi )=0.$$

Заметим, что если k — любое целое число, то функция $$u_{k}(x)=\sin kx$$является решением с собственным значением λ = k ² . Мы знаем, что решения задачи Штурма – Лиувилля образуют ортогональный базис , и из рядов Фурье мы знаем , что этот набор синусоидальных функций является ортогональным базисом. Поскольку ортогональные базисы всегда максимальны (по определению), заключаем, что задача Штурма–Лиувилля в этом случае не имеет других собственных векторов.

Учитывая вышесказанное, решим теперь неоднородную задачу $$Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )$$с теми же граничными условиями $y(0)=y(\pi )=0$. В этом случае мы должны разложить f ( x ) = x в ряд Фурье. Читатель может проверить, либо проинтегрировав ∫ e ^ikx x dx или сверившись с таблицей преобразований Фурье, мы таким образом получаем $$Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.$$

Этот конкретный ряд Фурье вызывает затруднения из-за его плохих свойств сходимости. неясно, Априори сходится ли ряд поточечно. Благодаря анализу Фурье, поскольку коэффициенты Фурье « суммируются с квадратом », ряд Фурье сходится в L ² это все, что нам нужно для того, чтобы эта конкретная теория функционировала. Заметим для заинтересованного читателя, что в этом случае мы можем опираться на результат, который гласит, что ряды Фурье сходятся в каждой точке дифференцируемости, а в точках скачка (функция x , рассматриваемая как периодическая функция, имеет скачок в точке π ) сходится к среднему левого и правого пределов (см. сходимость рядов Фурье ).

Следовательно, воспользовавшись формулой ( 4 ), получаем решение: $$y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1}{6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).$$

В этом случае мы могли бы найти ответ, используя антидифференцирование , но это уже бесполезно в большинстве случаев, когда дифференциальное уравнение находится во многих переменных.

Приложение к уравнениям в частных производных

Обычные режимы

Некоторые уравнения в частных производных можно решить с помощью теории Штурма – Лиувилля. Предположим, нас интересуют моды колебаний тонкой мембраны, заключенной в прямоугольную рамку, 0 ≤ x ≤ L ₁ , 0 ≤ y ≤ L ₂ . Уравнение движения вертикального смещения мембраны W ( x , y , t ) задается волновым уравнением : $${\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.$$

Метод разделения переменных предлагает искать сначала решения простого вида W = X ( x )× Y ( y )× T ( t ) . Для такой функции W уравнение в частных производных принимает вид ⁠ X ″ / X ⁠ + ⁠ Y ″ / Y ⁠ = ⁠ 1 / с ² ⁠ ⁠ Т ″ / Т ⁠ . Поскольку три члена этого уравнения являются функциями x , y , t по отдельности, они должны быть константами. Например, первое слагаемое дает X ″ = λX для постоянной λ . Граничные условия («удерживаемые в прямоугольной рамке») равны W = 0 , когда x = 0 , L ₁ или y = 0 , L ₂ , и определяют простейшие возможные проблемы собственных значений Штурма – Лиувилля, как в примере, что дает «нормальный режим» решения» для W с гармонической зависимостью от времени, $$W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)$$где m и n — ненулевые целые числа , A _mn — произвольные константы, а $$\omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).$$

Функции W _mn составляют основу гильбертова пространства (обобщенных) решений волнового уравнения; т. е. произвольное решение W можно разложить в сумму этих мод, колеблющихся на своих индивидуальных частотах ω _mn . Для этого представления может потребоваться сходящаяся бесконечная сумма.

Линейное уравнение второго порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в одном пространственном измерении и первого порядка по времени вида: $$f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h(x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,$$$$u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).$$

Разделяя переменные, мы предполагаем, что $$u(x,t)=X(x)T(t).$$ Тогда наше приведенное выше уравнение в частных производных можно записать как: $${\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}$$где $${\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h(x),\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).$$

Поскольку по определению L̂ и X ( x ) не зависят от времени t , а M̂ и T ( t ) не зависят от положения x , то обе части приведенного выше уравнения должны быть равны константе: $${\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)=\lambda T(t).$$

Первое из этих уравнений необходимо решать как задачу Штурма–Лиувилля в терминах собственных функций X _n ( x ) и собственных значений λ _n . Второе из этих уравнений можно решить аналитически, если известны собственные значения.

$${\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)$$$$T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)$$$$u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)$$$$a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}$$

где $${\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx,$$$$w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}.$$

Представление решений и численный расчет

Дифференциальное уравнение Штурма–Лиувилля ( 1 ) с граничными условиями может быть решено аналитически, что может быть точным или обеспечивать приближение, методом Рэлея–Ритца или матрично-вариационным методом Герка и др.

В числовом отношении также доступны различные методы. В сложных случаях может потребоваться провести промежуточные вычисления с точностью до нескольких сотен десятичных знаков, чтобы правильно получить собственные значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

• Методы съемки
• Метод конечных разностей
• спектральных параметров степенных рядов Метод

Методы съемки

Методы стрельбы основаны на угадывании значения λ , решении задачи начального значения, определяемой граничными условиями в одной конечной точке, скажем, a , интервала [ a , b ] , сравнении значения, которое это решение принимает в другой конечной точке b, с другие желаемые граничные условия и, наконец, увеличивая или уменьшая λ по мере необходимости для исправления исходного значения. Эта стратегия неприменима для поиска комплексных собственных значений.

Метод степенных рядов спектральных параметров

Метод степенных рядов по спектральным параметрам (SPPS) использует обобщение следующего факта об однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка: если y является решением уравнения ( 1 ), которое не обращается в нуль ни в одной точке [ a , b ] , то функция $$y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}$$является решением того же уравнения и линейно не зависит от y . Кроме того, все решения являются линейными комбинациями этих двух решений. В алгоритме SPPS необходимо начинать с произвольного значения λ ^∗
₀ (часто λ ^∗
₀ = 0 ; оно не обязательно должно быть собственным значением) и любое решение y ₀ уравнения ( 1 ) с λ = λ ^∗
_0, который не обращается в нуль на [ a , b ] . ( Ниже обсуждаются способы найти подходящие y ₀ и λ ^∗
₀ .) Две последовательности функций X ^{( н )} ( т ) , X̃ ^{( н )} ( t ) на [ a , b ] , называемые повторными интегралами , определяются рекурсивно следующим образом. Сначала, когда n = 0 , они считаются тождественно равными 1 на [ a , b ] . Для получения следующих функций их поочередно умножают на ⁠ 1 / ру ²
₀ ⁠ и wy ²
₀ и интегрировано, в частности, для n > 0 :

$$X^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle -\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle \quad \int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ even}}\end{cases}}$$ ( 5 )

$${\tilde {X}}^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle \quad \int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle -\int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ even.}}\end{cases}}$$ ( 6 )

Полученные повторные интегралы теперь применяются в качестве коэффициентов в следующих двух степенных рядах по λ : $$u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\tilde {X}}^{(2k)},$$$$u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^{(2k+1)}.$$Тогда для любого λ (действительного или комплексного) u ₀ и u ₁ являются линейно независимыми решениями соответствующего уравнения ( 1 ). (Функции p ( x ) и q ( x ) этой конструкции благодаря своему влиянию на выбор y0 _{принимают участие в} .)

Далее выбираются коэффициенты c ₀ и c ₁ так, чтобы комбинация y = c ₀ u ₀ + c ₁ u ₁ удовлетворяла первому граничному условию ( 2 ). Это легко сделать, поскольку X ^{( н )} ( а ) = 0 и X̃ ^{( н )} ( а ) знак равно 0 , для п > 0 . Значения X ^{( н )} ( б ) и X̃ ^{( н )} ( b ) предоставляют значения u ₀ ( b ) и u ₁ ( b ) производные u 0 _b ( ) ) и u 0 _и ( b ) , поэтому второе граничное условие ( 3 становится уравнением в степенном ряду в λ . Для численной работы можно усечь этот ряд до конечного числа членов, получив вычислимый многочлен от λ , корни которого являются аппроксимацией искомых собственных значений.

При λ = λ ₀ это сводится к описанной выше исходной конструкции для решения, линейно независимого от заданного. Представления ( 5 ) и ( 6 ) имеют также теоретические приложения в теории Штурма–Лиувилля.

Построение неисчезающего решения.

Метод SPPS сам по себе может использоваться для поиска начального решения y ₀ . Рассмотрим уравнение ( py ′)′ = µqy ; т. е. q , w и λ заменяются в ( 1 ) на 0, − q и µ соответственно. Тогда постоянная функция 1 является ненулевым решением, соответствующим собственному значению µ ₀ = 0 . Хотя нет никакой гарантии, что u ₀ или u ₁ не обратится в нуль, комплексная функция y ₀ = u ₀ + iu ₁ никогда не обратится в нуль, поскольку два линейно независимых решения регулярного уравнения Штурма–Лиувилля не могут обратиться в нуль одновременно вследствие Теорема Штурма о разделении . Этот трюк дает решение y ₀ уравнения ( 1 ) для значения λ ₀ = 0 . На практике, если ( 1 ) имеет действительные коэффициенты, решения, основанные на y _0, будут иметь очень маленькие мнимые части, которые необходимо отбросить.

См. также

• Обычный режим
• Теория колебаний
• Самосопряженный
• Изменение параметров
• Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
• Теорема Аткинсона – Мингарелли.

Дальнейшее чтение

• «Теория Штурма – Лиувилля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хартман, Филип (2002). Обыкновенные дифференциальные уравнения (2-е изд.). Филадельфия: СИАМ . ISBN  978-0-89871-510-1 .
• Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN  1-58488-297-2 .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 . (Глава 5)
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4660-5 . (о сингулярных операторах Штурма–Лиувилля и связях с квантовой механикой см. главу 9)
• Зеттл, Антон (2005). Теория Штурма–Лиувилля . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  0-8218-3905-5 .
• Биркгоф, Гаррет (1973). Справочник по классическому анализу . Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN  0-674-82245-5 . (См. главу 8, часть Б, где вы найдете выдержки из работ Штурма и Лиувилля и комментарии к ним.)
• Кравченко, Владислав (2020). Прямая и обратная задачи Штурма-Лиувилля: метод решения . Чам: Биркхойзер . ISBN  978-3-030-47848-3 .