Атом водорода

Эта статья о физике атома водорода. Химическое описание см. в разделе «водород» . Чтобы узнать об одноатомном водороде, см. Водород § Атомный водород .

Атом водорода, ¹ ЧАС

Общий
Символ	1 ЧАС
Имена	атом водорода, 1H, H-1, белок
Протоны ( С )	1
Нейтроны ( Н )	0
Данные о нуклидах
Природное изобилие	99.985%
Период полураспада ( т 1/2 )	стабильный
масса изотопа	1,007825 Да
Вращаться	⁠ 1 / 2 ⁠
Избыточная энергия	7 288 , 969 ± 0,001 кэВ
Энергия связи	0,000 ± 0,0000 кэВ
Изотопы водорода Полная таблица нуклидов

Изображение атома водорода, диаметр которого примерно в два раза превышает радиус модели Бора . (Изображение не в масштабе)

Атом водорода — это атом химического элемента водорода . Электрически связанного нейтральный атом водорода содержит ядро ​​из одного положительно заряженного протона и одного отрицательно заряженного электрона, с ядром силой Кулона . Атомарный водород составляет около 75% массы барионной Вселенной.

В повседневной жизни на Земле изолированные атомы водорода (называемые «атомарным водородом») встречаются крайне редко. Вместо этого атом водорода имеет тенденцию соединяться с другими атомами в соединениях или с другим атомом водорода с образованием обычного ( двуатомного ) газообразного водорода H ₂ . «Атомный водород» и «атом водорода» в обычном английском языке имеют пересекающиеся, но разные значения. Например, молекула воды содержит два атома водорода, но не содержит атомарного водорода (что относилось бы к изолированным атомам водорода).

Атомная спектроскопия показывает, что существует дискретный бесконечный набор состояний, в которых может существовать атом водорода (или любой другой), вопреки предсказаниям классической физики . Попытки разработать теоретическое понимание состояний атома водорода были важны для истории квантовой механики , поскольку все остальные атомы можно примерно понять, зная подробно об этой простейшей атомной структуре.

изотопы

Основная статья: Изотопы водорода

Самый распространенный изотоп протий ( ¹ H), или легкий водород, не содержит нейтронов и представляет собой просто протон и электрон . Протий стабилен и составляет 99,985% встречающихся в природе атомов водорода.

Дейтерий ( ² H) содержит в своем ядре один нейтрон и один протон. Дейтерий стабилен, составляет 0,0156% встречающегося в природе водорода. и используется в промышленных процессах, таких как ядерные реакторы и ядерный магнитный резонанс .

Тритий ( ³ H) содержит в своем ядре два нейтрона и один протон и нестабилен, распадается с периодом полураспада 12,32 года. Из-за короткого периода полураспада тритий не существует в природе, за исключением следовых количеств.

Более тяжелые изотопы водорода создаются только искусственно в ускорителях частиц и имеют период полураспада порядка 10. ⁻²² секунды. Это несвязанные резонансы , расположенные за пределами линии капель нейтронов ; это приводит к мгновенному испусканию нейтрона .

Приведенные ниже формулы действительны для всех трех изотопов водорода, но несколько разные значения константы Ридберга для каждого изотопа водорода необходимо использовать (поправочная формула приведена ниже).

Ион водорода

Основные статьи: катион водорода и анион водорода

Одинокие нейтральные атомы водорода в нормальных условиях встречаются редко. Однако нейтральный водород часто встречается, когда он ковалентно связан с другим атомом, а атомы водорода также могут существовать в катионной и анионной формах.

Если нейтральный атом водорода теряет свой электрон, он становится катионом. Образующийся ион, состоящий исключительно из протона для обычного изотопа, записывается как «H ⁺ »и иногда его называют гидроном . Свободные протоны распространены в межзвездной среде и солнечном ветре . В контексте водных растворов классических кислот Бренстеда-Лоури , таких как соляная кислота , на самом деле это гидроний , H ₃ O ⁺ , это имеется в виду. Вместо образования буквального ионизированного одиночного атома водорода кислота переносит водород в H ₂ O, образуя H ₃ O. ⁺ .

Если вместо этого атом водорода получает второй электрон, он становится анионом. Анион водорода записывается как «H ^– " и называется гидридом .

Теоретический анализ

Атом водорода имеет особое значение в квантовой механике и квантовой теории поля как простая физическая система задачи двух тел , которая дала множество простых аналитических решений в замкнутой форме.

Неудачное классическое описание

Эксперименты Эрнеста Резерфорда в 1909 году показали, что структура атома представляет собой плотное положительное ядро ​​с разреженным облаком отрицательного заряда вокруг него. Это сразу же вызвало вопросы о том, как такая система может быть стабильной. Классический электромагнетизм показал, что любой ускоряющийся заряд излучает энергию, как показано формулой Лармора . Если предположить, что электрон вращается по идеальной окружности и непрерывно излучает энергию, электрон быстро войдет в ядро ​​по спирали со временем падения: $$t_{\text{fall}}\approx {\frac {a_{0}^{3}}{4r_{0}^{2}c}}\approx 1.6\times 10^{-11}{\text{ s}},$$ где $a_{0}$ - радиус Бора и $r_{0}$ – классический радиус электрона . Если бы это было правдой, все атомы мгновенно схлопнулись бы, однако атомы кажутся стабильными. Кроме того, по мере того, как орбита уменьшалась, вращение спирали внутрь будет высвобождать мазок электромагнитных частот. Вместо этого было замечено, что атомы излучают только дискретные частоты излучения. Решение будет заключаться в развитии квантовой механики .

Модель Бора – Зоммерфельда

Основная статья: модель Бора

В 1913 году Нильс Бор получил уровни энергии и спектральные частоты атома водорода, сделав ряд простых предположений, чтобы исправить неудавшуюся классическую модель. Предположения включали:

1. Электроны могут находиться только на определенных дискретных круговых орбитах или в стационарных состояниях , тем самым имея дискретный набор возможных радиусов и энергий.
2. Электроны не излучают излучение, находясь в одном из этих стационарных состояний.
3. Электрон может приобретать или терять энергию, перепрыгивая с одной дискретной орбиты на другую.

Бор предположил, что угловой момент электрона квантуется с возможными значениями: $$L=n\hbar$$ где $n=1,2,3,\ldots$ и $\hbar$ является постоянной Планка по $2\pi$. Он также предположил, что центростремительная сила , удерживающая электрон на его орбите, обеспечивается кулоновской силой и что энергия сохраняется. Бор вывел энергию каждой орбиты атома водорода как: $$E_{n}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},$$ где $m_{e}$ — масса электрона , $e$ – заряд электрона , $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума , а $n$ — квантовое число (теперь известное как главное квантовое число ). Предсказания Бора соответствовали экспериментам по измерению спектрального ряда водорода в первом порядке, что придало больше уверенности теории, в которой использовались квантованные значения.

Для $n=1$, значение $${\frac {m_{e}e^{4}}{2(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8h^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}=1\,{\text{Ry}}=13.605\;693\;122\;994(26)\,{\text{eV}}$$ называется единицей энергии Ридберга. Это связано с постоянной Ридберга. $R_{\infty }$ атомной физики ​ $1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }.$

Точное значение постоянной Ридберга предполагает, что ядро ​​бесконечно массивно по отношению к электрону. Для водорода-1, водорода-2 ( дейтерия ) и водорода-3 ( трития ), которые имеют конечную массу, константу необходимо слегка изменить, чтобы использовать приведенную массу системы, а не просто массу электрона. Сюда входит и кинетическая энергия ядра в задаче, поскольку полная (электрон плюс ядерная) кинетическая энергия эквивалентна кинетической энергии приведенной массы, движущейся со скоростью, равной скорости электрона относительно ядра. Однако, поскольку ядро ​​намного тяжелее электрона, масса электрона и приведенная масса почти одинаковы. Константа Ридберга R _M для атома водорода (один электрон), R определяется выражением $$R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}},$$ где $M$ – масса атомного ядра. Для водорода-1 количество $m_{\text{e}}/M,$ составляет около 1/1836 (т.е. отношение масс электрона к протону). Для дейтерия и трития эти соотношения составляют примерно 1/3670 и 1/5497 соответственно. Эти цифры, добавленные к 1 в знаменателе, представляют собой очень небольшие поправки к значению R и, следовательно, лишь небольшие поправки ко всем энергетическим уровням в соответствующих изотопах водорода.

С моделью Бора все еще были проблемы:

1. ему не удалось предсказать другие детали спектра, такие как тонкая и сверхтонкая структура.
2. он мог с любой точностью предсказывать уровни энергии только для одноэлектронных атомов (водородоподобных атомов).
3. прогнозируемые значения были верны только для $\alpha ^{2}\approx 10^{-5}$, где $\alpha$ – константа тонкой структуры .

Большинство этих недостатков было устранено с помощью Арнольдом Зоммерфельдом модификации модели Бора, предложенной . Зоммерфельд ввел две дополнительные степени свободы, позволяющие электрону двигаться по эллиптической орбите, характеризующейся его эксцентриситетом и склонением относительно выбранной оси. Это ввело два дополнительных квантовых числа, которые соответствуют орбитальному угловому моменту и его проекции на выбранную ось. Таким образом, была найдена правильная множественность состояний (кроме фактора 2, учитывающего пока неизвестный спин электрона). Далее, применив специальную теорию относительности к эллиптическим орбитам, Зоммерфельду удалось получить правильное выражение для тонкой структуры спектров водорода (которое оказалось точно таким же, как и в наиболее сложной теории Дирака). Однако некоторые наблюдаемые явления, такие как аномальный эффект Зеемана , остались необъяснимыми. Эти вопросы были решены с полным развитием квантовой механики и уравнения Дирака . Часто утверждается, что Уравнение Шредингера превосходит теорию Бора – Зоммерфельда при описании атома водорода. Это не так, поскольку большинство результатов обоих подходов совпадают или очень близки (замечательным исключением является задача об атоме водорода в скрещенных электрическом и магнитном полях, которая не может быть решена самосогласованно в рамках теории Бора–Магнита). теория Зоммерфельда), и в обеих теориях основные недостатки связаны с отсутствием спина электрона. Полная неспособность теории Бора-Зоммерфельда объяснить многоэлектронные системы (такие как атом гелия или молекула водорода) продемонстрировала ее неадекватность для описания квантовых явлений.

Уравнение Шрёдингера

Уравнение Шрёдингера — это стандартная модель квантовой механики; это позволяет рассчитывать стационарные состояния, а также эволюцию во времени квантовых систем. Точные аналитические ответы доступны для нерелятивистского атома водорода. Прежде чем мы приступим к представлению формального отчета, мы дадим элементарный обзор.

Учитывая, что атом водорода содержит ядро ​​и электрон, квантовая механика позволяет предсказать вероятность обнаружения электрона на любом заданном радиальном расстоянии. $r$. Оно определяется квадратом математической функции, известной как « волновая функция », которая является решением уравнения Шрёдингера. Равновесное состояние атома водорода с наименьшей энергией известно как основное состояние. Волновая функция основного состояния известна как $1\mathrm {s}$ волновая функция. Это написано как: $$\psi _{1\mathrm {s} }(r)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-r/a_{0}}.$$

Здесь, $a_{0}$ — численное значение радиуса Бора. Плотность вероятности найти электрон на расстоянии $r$ в любом радиальном направлении — это квадрат значения волновой функции: $$|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}={\frac {1}{\pi a_{0}^{3}}}\mathrm {e} ^{-2r/a_{0}}.$$

The $1\mathrm {s}$ волновая функция сферически симметрична, а площадь поверхности оболочки на расстоянии $r$ является $4\pi r^{2}$, поэтому полная вероятность $P(r)\,dr$ электрона, находящегося в оболочке на расстоянии $r$ и толщина $dr$ является $$P(r)\,\mathrm {d} r=4\pi r^{2}|\psi _{1\mathrm {s} }(r)|^{2}\,\mathrm {d} r.$$

Оказывается, это максимум при $r=a_{0}$. То есть картина Бора об электроне, вращающемся вокруг ядра с радиусом $a_{0}$ соответствует наиболее вероятному радиусу. На самом деле существует конечная вероятность того, что электрон может находиться в любом месте. $r$, с вероятность, обозначенная квадратом волновой функции. Поскольку вероятность найти электрон где-то во всем объеме равна единице, интеграл от $P(r)\,\mathrm {d} r$ это единство. Тогда мы говорим, что волновая функция правильно нормирована.

Как обсуждается ниже, основное состояние $1\mathrm {s}$ также обозначается квантовыми числами $(n=1,\ell =0,m=0)$. Вторые по величине энергетические состояния, расположенные чуть выше основного состояния, определяются квантовыми числами $(2,0,0)$, $(2,1,0)$, и $(2,1,\pm 1)$. Эти $n=2$ все состояния имеют одинаковую энергию и известны как $2\mathrm {s}$ и $2\mathrm {p}$ государства. есть один $2\mathrm {s}$ состояние: $$\psi _{2,0,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}\left(2-{\frac {r}{a_{0}}}\right)\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}},$$ и есть три $2\mathrm {p}$ говорится: $$\psi _{2,1,0}={\frac {1}{4{\sqrt {2\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}}\cos \theta ,$$ $$\psi _{2,1,\pm 1}=\mp {\frac {1}{8{\sqrt {\pi }}a_{0}^{3/2}}}{\frac {r}{a_{0}}}\mathrm {e} ^{-r/2a_{0}}\sin \theta ~e^{\pm i\varphi }.$$

Электрон в $2\mathrm {s}$ или $2\mathrm {p}$ состояние, скорее всего, будет найдено на второй орбите Бора с энергией, определяемой формулой Бора.

Волновая функция

Гамильтониан . атома водорода представляет собой оператор радиальной кинетической энергии и кулоновскую силу притяжения между положительным протоном и отрицательным электроном Используя независимое от времени уравнение Шредингера, игнорируя все взаимодействия спиновой связи и используя приведенную массу $\mu =m_{e}M/(m_{e}+M)$, уравнение записывается как: $$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)\psi (r,\theta ,\varphi )=E\psi (r,\theta ,\varphi )$$

Разложение лапласиана по сферическим координатам: $$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \varphi ^{2}}}\right]-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi =E\psi$$

Это разделимое уравнение в частных производных , которое можно решить в терминах специальных функций. Когда волновая функция разделена как произведение функций $R(r)$, $\Theta (\theta )$, и $\Phi (\varphi )$ появляются три независимые дифференциальные функции где A и B — константы разделения:

• радиальный: $${\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)+{\frac {2\mu r^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(E+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\right)R-AR=0$$
• полярный: $${\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)+A\sin ^{2}\theta -B=0$$
• азимут: $${\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}+B=0.$$

Нормированные волновые функции положения , заданные в сферических координатах : $$\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}^{*}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}\mathrm {e} ^{-\rho /2}\rho ^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$$

3D-иллюстрация собственного состояния $\psi _{4,3,1}$. Электроны в этом состоянии с вероятностью 45% находятся внутри показанного твердого тела.

где:

• $\rho ={2r \over {na_{0}^{*}}}$,
• $a_{0}^{*}$ – приведенный радиус Бора , $a_{0}^{*}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}$,
• $L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\rho )$ является обобщенным полиномом Лагерра степени $n-\ell -1$, и
• $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ представляет собой сферическую гармоническую функцию степени $\ell$ и заказать $m$.

Отметим, что обобщенные полиномы Лагерра разные авторы определяют по-разному. Использование здесь соответствует определениям, используемым Мессией: и Математика. В других местах полином Лагерра включает в себя множитель $(n+\ell )!$, или обобщенный полином Лагерра, входящий в волновую функцию водорода, равен $L_{n+\ell }^{2\ell +1}(\rho )$ вместо.

Квантовые числа могут принимать следующие значения:

• $n=1,2,3,\ldots$ ( главное квантовое число )
• $\ell =0,1,2,\ldots ,n-1$ ( азимутальное квантовое число )
• $m=-\ell ,\ldots ,\ell$ ( магнитное квантовое число ).

Кроме того, эти волновые функции нормированы (т.е. интеграл от квадрата их модуля равен 1) и ортогональны : $$\int _{0}^{\infty }r^{2}\,dr\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\psi _{n\ell m}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'\ell 'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,\ell ,m|n',\ell ',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},$$ где $|n,\ell ,m\rangle$ это состояние, представленное волновой функцией $\psi _{n\ell m}$ в обозначениях Дирака и $\delta$ – дельта- функция Кронекера.

Волновые функции в пространстве импульсов связаны с волновыми функциями в пространстве положений посредством преобразования Фурье. $$\varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})=(2\pi \hbar )^{-3/2}\int \mathrm {e} ^{-i{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}/\hbar }\psi (r,\theta ,\varphi )\,dV,$$ что для связанных состояний приводит к $$\varphi (p,\theta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-\ell -1)!}{(n+\ell )!}}}}n^{2}2^{2\ell +2}\ell !{\frac {n^{\ell }p^{\ell }}{(n^{2}p^{2}+1)^{\ell +2}}}C_{n-\ell -1}^{\ell +1}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{\ell }^{m}(\theta _{p},\varphi _{p}),$$ где $C_{N}^{\alpha }(x)$ обозначает полином Гегенбауэра и $p$ находится в единицах $\hbar /a_{0}^{*}$.

Решения уравнения Шредингера для водорода являются аналитическими , дают простое выражение для энергетических уровней водорода и, следовательно, частот спектральных линий водорода , полностью воспроизводят модель Бора и выходят за ее пределы. Это также дает два других квантовых числа и форму волновой функции электрона («орбитали») для различных возможных квантово-механических состояний, что объясняет анизотропный характер атомных связей.

Уравнение Шредингера применимо и к более сложным атомам и молекулам . Когда имеется более одного электрона или ядра, решение не является аналитическим, и необходимы либо компьютерные расчеты, либо необходимо сделать упрощающие предположения.

Поскольку уравнение Шрёдингера справедливо только для нерелятивистской квантовой механики, решения, которые оно дает для атома водорода, не совсем верны. Уравнение Дирака релятивистской квантовой теории улучшает эти решения (см. ниже).

Результаты уравнения Шредингера

Решение уравнения Шредингера (волнового уравнения) для атома водорода использует тот факт, что кулоновский потенциал, создаваемый ядром, изотропен (радиально симметричен в пространстве и зависит только от расстояния до ядра). Хотя результирующие собственные функции энергии ( орбитали ) не обязательно сами по себе изотропны, их зависимость от угловых координат в общем случае полностью следует из этой изотропии основного потенциала: собственные состояния гамильтониана ( то есть собственные состояния энергии) могут быть выбраны как одновременные собственные состояния оператора углового момента . Это соответствует тому, что при орбитальном движении электрона вокруг ядра сохраняется угловой момент. Следовательно, собственные состояния энергии можно классифицировать по двум квантовым числам углового момента : $\ell$ и $m$ (оба целые числа). Квантовое число углового момента $\ell =0,1,2,\ldots$ определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число $m=-\ell ,\ldots ,+\ell$ определяет проекцию момента импульса на (произвольно выбранную) $z$-ось.

Помимо математических выражений для полного момента импульса и проекции момента импульса волновых функций, необходимо найти выражение для радиальной зависимости волновых функций. Только здесь раскрываются подробности $1/r$ Входит кулоновский потенциал (что приводит к полиномам Лагерра в $r$). Это приводит к третьему квантовому числу, главному квантовому числу. $n=1,2,3,\ldots$. Главное квантовое число водорода связано с полной энергией атома.

Обратите внимание, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничено главным квантовым числом: оно может достигать только до $n-1$, то есть, $\ell =0,1,\ldots ,n-1$.

В силу сохранения углового момента состояния одного и того же $\ell$ но другой $m$ имеют одинаковую энергию (это справедливо для всех задач с вращательной симметрией ). Кроме того, для атома водорода состояния одного и того же $n$ но другой $\ell$ также вырождены (т. е. имеют одинаковую энергию). Однако это специфическое свойство водорода, и оно уже не справедливо для более сложных атомов, имеющих (эффективный) потенциал, отличный от формы $1/r$ (из-за наличия внутренних электронов, экранирующих потенциал ядра).

Учет спина электрона добавляет последнее квантовое число — проекцию углового момента спина электрона вдоль $z$-ось, которая может принимать два значения. Следовательно, любое собственное состояние электрона в атоме водорода полностью описывается четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это также объясняет, почему выбор $z$-ось для направленного квантования вектора углового момента несущественна: орбиталь заданной $\ell$ и $m'$ получено для другой предпочтительной оси $z'$ всегда можно представить как подходящую суперпозицию различных состояний различных $m$ (но то же самое $\ell$), полученные за $z$.

Математическое обобщение собственных состояний атома водорода

Основная статья: Водородоподобный атом

В 1928 году Поль Дирак нашел уравнение , которое было полностью совместимо со специальной теорией относительности , и (как следствие) превратил волновую функцию в 4-компонентный « спинор Дирака », включающий «верхнюю» и «нижнюю» компоненты спина, как с положительными, так и с «нисходящими» компонентами спина. отрицательная» энергия (или материя и антиматерия). Решение этого уравнения дало следующие результаты, более точные, чем решение Шрёдингера.

Уровни энергии

Энергетические уровни водорода, включая тонкую структуру (исключая лэмбовский сдвиг и сверхтонкую структуру ), определяются выражением тонкой структуры Зоммерфельда : $${\begin{aligned}E_{j\,n}={}&-\mu c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\right]\\\approx {}&-{\frac {\mu c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right],\end{aligned}}$$ где $\alpha$ – константа тонкой структуры и $j$ – квантовое число полного углового момента , равное $\left|\ell \pm {\tfrac {1}{2}}\right|$, в зависимости от ориентации спина электрона относительно орбитального углового момента. Эта формула представляет собой небольшую поправку к энергии, полученной Бором и Шредингером, как указано выше. Множитель в квадратных скобках в последнем выражении почти равен единице; дополнительный член возникает из-за релятивистских эффектов (подробнее см. #Функции, выходящие за рамки решения Шрёдингера ). Стоит отметить, что это выражение было впервые получено А. Зоммерфельдом в 1916 году на основе релятивистской версии старой теории Бора . Однако Зоммерфельд использовал другие обозначения для квантовых чисел.

Визуализация электронных орбиталей водорода

Основная статья: Атомная орбиталь

Плотности вероятности через плоскость xz для электрона с разными квантовыми числами ( ℓ , сверху; n , снизу; m = 0)

На изображении справа показаны первые несколько орбиталей атома водорода (собственные энергетические функции). Это сечения плотности вероятности , имеющие цветовую маркировку (черный представляет нулевую плотность, а белый представляет наивысшую плотность). Квантовое число углового момента (орбитальное) ℓ обозначается в каждом столбце с использованием обычного спектроскопического буквенного кода ( s означает ℓ = 0, p означает ℓ = 1, d означает ℓ = 2). главное (главное) квантовое число n Справа от каждой строки отмечено (= 1, 2, 3, ...). Для всех изображений магнитное квантовое число m установлено равным 0, а плоскость поперечного сечения — это плоскость xz ( z — вертикальная ось). Плотность вероятности в трехмерном пространстве получается вращением показанной здесь плотности вокруг оси z .

« Основное состояние », то есть состояние с наименьшей энергией, в котором обычно находится электрон, является первым, состоянием 1 s ( главный квантовый уровень n = 1, ℓ = 0).

Черные линии встречаются на каждой орбитали, кроме первой: это узлы волновой функции, т.е. там, где плотность вероятности равна нулю. (Точнее, узлы — это сферические гармоники , возникающие в результате решения уравнения Шрёдингера в сферических координатах.)

Квантовые числа определяют расположение этих узлов. Есть:

• $n-1$ общее количество узлов,
• $\ell$ из них угловые узлы:
  • $m$ угловые узлы огибают $\varphi$ ось (в плоскости xy ). (На рисунке выше эти узлы не показаны, поскольку на нем изображены сечения плоскости xz .)
  • $\ell -m$ (остальные угловые узлы) встречаются на $\theta$ (вертикальная) ось.
• $n-\ell -1$ (остальные неугловые узлы) являются радиальными узлами.

Колебания орбиталей

Колебания двух орбиталей с одинаковым числом m

Частота состояния на уровне n равна $\omega _{n}=E_{n}/\hbar$, поэтому в случае суперпозиции нескольких орбиталей они будут колебаться из-за разницы в частоте. Например, два состояния, ψ ₁ и ψ ₂ : волновая функция определяется выражением $\psi =\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+\psi _{2}e^{i\omega _{2}t}$ и функция вероятности $P(t)=|\psi |^{2}=(\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+\psi _{2}e^{i\omega _{2}t})(\psi _{1}^{*}e^{-i\omega _{1}t}+\psi _{2}^{*}e^{-i\omega _{2}t})$ $\propto |\psi _{1}\psi _{2}|\cos {[(\omega _{1}-\omega _{2})t]}$

Колебания двух орбиталей с разными числами углового момента

Результатом является вращающаяся волновая функция. Движение электронов и изменение квантовых состояний излучают свет с частотой косинуса.

Возможности, выходящие за рамки решения Шрёдингера

Существует несколько важных эффектов, которые не учитываются уравнением Шрёдингера и которые ответственны за некоторые небольшие, но измеримые отклонения реальных спектральных линий от предсказанных:

• Хотя средняя скорость электрона в водороде составляет всего 1/137 скорости света , многие современные эксперименты достаточно точны, и полное теоретическое объяснение требует полностью релятивистского подхода к проблеме. Релятивистская трактовка приводит к увеличению импульса электрона примерно на 1 часть из 37 000. Поскольку длина волны электрона определяется его импульсом, орбитали, содержащие электроны с более высокой скоростью, сокращаются из-за меньших длин волн.
• Даже при отсутствии внешнего магнитного поля в инерциальной системе отсчета движущегося электрона электромагнитное поле ядра имеет магнитную составляющую. Спин электрона имеет связанный с ним магнитный момент , который взаимодействует с этим магнитным полем. Этот эффект также объясняется специальной теорией относительности и приводит к так называемому спин-орбитальному взаимодействию , то есть взаимодействию между вокруг электрона орбитальным движением ядра и его спином .

Обе эти особенности (и многие другие) включены в релятивистское уравнение Дирака , а предсказания еще ближе приближаются к эксперименту. Опять же, уравнение Дирака может быть решено аналитически в частном случае системы двух тел, такой как атом водорода. Полученные квантовые состояния решения теперь должны быть классифицированы по полному числу углового момента j (возникающему из-за связи между спином электрона и орбитальным угловым моментом ). Состояния одного и того же j и того же n все еще вырождены. Таким образом, прямое аналитическое решение уравнения Дирака предсказывает 2S( ⁠ 1/2 и 2P ⁠ ) ( ⁠ 1/2 эксперимент ⁠ Лэмба ) уровней водорода иметь совершенно одинаковую энергию, что находится в противоречии с наблюдениями ( – Ретерфорда ).

• всегда существуют вакуумные флуктуации электромагнитного поля Согласно квантовой механике, . Благодаря таким флуктуациям вырождение между состояниями с одинаковыми j, но разными l снимается, что придает им немного разные энергии. Это было продемонстрировано в знаменитом эксперименте Лэмба-Ретерфорда и стало отправной точкой для развития теории квантовой электродинамики (которая способна учитывать эти вакуумные флуктуации и использует знаменитые диаграммы Фейнмана для приближений с использованием теории возмущений ). Этот эффект теперь называется лэмбовским сдвигом .

Для этих разработок было важно, чтобы решение уравнения Дирака для атома водорода могло быть получено точно, так что любое экспериментально наблюдаемое отклонение нужно было воспринимать всерьез как сигнал о провале теории.

Альтернативы теории Шрёдингера

На языке Гейзенберга матричной механики атом водорода был впервые решен Вольфгангом Паули. используя вращательную симметрию в четырех измерениях [O(4)-симметрию], порождаемую угловым моментом и вектор Лапласа–Рунге–Ленца . Расширяя группу симметрии O(4) до динамической группы O(4,2), весь спектр и все переходы были уложены в одно неприводимое групповое представление.

В 1979 году (нерелятивистский) атом водорода был впервые решен в рамках Фейнмана. формулировки интеграла по траекториям квантовой механики Дуру и Кляйнерта. Эта работа значительно расширила диапазон применимости метода Фейнмана .

Дальнейшими альтернативными моделями являются механика Бома и сложная формулировка квантовой механики Гамильтона-Якоби .

См. также

• Антиводород
• Атомная орбиталь
• Серия Бальмера
• Атом гелия
• Молекулярный ион водорода
• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями
• Атом лития
• Распад протона
• Квантовая химия
• Квантовое состояние
• Триводородный катион

Книги

• Гриффитс, Дэвид Дж . (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . ISBN  0-13-111892-7 . Раздел 4.2 посвящен конкретно атому водорода, но вся глава 4 имеет отношение к делу.
• Кляйнерт, Х. (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, Worldscibooks.com , World Scientific, Сингапур (также доступно на сайте Physik.fu-berlin.de )

Внешние ссылки

• Атом водорода и таблица Менделеева - Фейнмановские лекции по физике
• Физика атома водорода в Scienceworld