Прецессия Линзы – Тирринга

В общей теории относительности прецессия Лензе-Тирринга или эффект Лензе-Тирринга ( Австрийский немецкий: [ˈlɛnsə ˈtɪrɪŋ] ; названный в честь Йозефа Ленсе и Ганса Тирринга ) — релятивистская поправка к прецессии гироскопа вблизи большой вращающейся массы , такой как Земля. Это гравитомагнитный эффект перетаскивания рамки . Это предсказание общей теории относительности, состоящее из вековых прецессий долготы восходящего узла и аргумента перицентра пробной частицы, свободно вращающейся вокруг центральной вращающейся массы, наделенной угловым моментом. $S$.

Разница между прецессией де Ситтера и эффектом Лензе-Тирринга заключается в том, что эффект де Ситтера обусловлен просто наличием центральной массы, тогда как эффект Лензе-Тирринга обусловлен вращением центральной массы. Полная прецессия рассчитывается путем объединения прецессии де Ситтера с прецессией Лензе – Тирринга.

Согласно историческому анализу Герберта Пфистера 2007 года, эффект следует переименовать в эффект Эйнштейна -Тирринга-Ленсе.

Метрика Лензе-Тирринга

Гравитационное поле вращающегося сферического тела постоянной плотности изучалось Ленсом и Тиррингом в 1918 году в приближении слабого поля . Они получили метрику

$$\mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-\left(1+{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)\,\mathrm {d} \sigma ^{2}+4G\epsilon _{ijk}S^{k}{\frac {x^{i}}{c^{3}r^{3}}}c\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x^{j},$$ где символы обозначают:

• $\mathrm {d} s^{2}$ метрика ​ ,
• $\mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}$ плоского пространства линейный элемент в трех измерениях,
• ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ «радиальное» положение наблюдателя,
• $c$ скорость света ,
• $G$ гравитационная постоянная ,
• $\epsilon _{ijk}$ полностью антисимметричный символ Леви-Чивита ,
• ${\textstyle M=\int T^{00}\,\mathrm {d} ^{3}x}$ масса вращающегося тела,
• ${\textstyle S_{k}=\int \epsilon _{klm}x^{l}T^{m0}\,\mathrm {d} ^{3}x}$ угловой момент вращающегося тела,
• $T^{\mu \nu }$ тензор энергии -импульса .

Вышеуказанное представляет собой приближение слабого поля полного решения уравнений Эйнштейна для вращающегося тела, известного как метрика Керра , которое из-за сложности решения не было получено до 1965 года.

Термин Кориолиса

Эффект перетаскивания кадров можно продемонстрировать несколькими способами. Один из способов — решить геодезические задачи ; тогда они будут проявлять термин, подобный силе Кориолиса , за исключением того, что в этом случае (в отличие от стандартной силы Кориолиса) сила не является вымышленной, а возникает из-за сопротивления кадра, вызванного вращающимся телом. Так, например, (мгновенно) радиально падающая на экваторе геодезическая будет удовлетворять уравнению $$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2{\frac {GJ}{c^{2}r^{3}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,$$ где

• $t$ это время,
• $\varphi$ – азимутальный угол (продольный угол),
• $J=\Vert S\Vert$ – величина момента импульса вращающегося массивного тела.

Вышеупомянутое можно сравнить со стандартным уравнением движения под действием силы Кориолиса :

$$r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,$$

где $\omega$ – угловая скорость вращающейся системы координат. Обратите внимание, что в любом случае, если наблюдатель не находится в радиальном движении, т. е. если $dr/dt=0$, на наблюдателя никакого воздействия нет.

Прецессия

Эффект перетаскивания кадра приведет гироскопа к прецессии . Скорость прецессии определяется выражением $$\Omega ^{k}={\frac {G}{c^{2}r^{3}}}\left[S^{k}-3{\frac {(S\cdot x)x^{k}}{r^{2}}}\right],$$ где:

• $\Omega$ – угловая скорость прецессии, вектор, а $\Omega _{k}$ один из его компонентов,
• $S_{k}$ момент импульса вращающегося тела, как и раньше,
• $S\cdot x$ обычное скалярное произведение позиции и углового момента в плоской метрике.

То есть, если угловой момент гироскопа относительно неподвижных звезд равен $L^{i}$, то он прецессирует как $${\frac {\mathrm {d} L^{i}}{\mathrm {d} t}}=\epsilon _{ijk}\Omega ^{j}L^{k}.$$

Скорость прецессии определяется выражением $$\epsilon _{ijk}\Omega ^{k}=\Gamma _{ij0},$$ где $\Gamma _{ij0}$ — символ Кристоффеля для указанной выше метрики. Гравитация Миснера, Торна и Уиллера дает подсказки о том, как проще всего это вычислить.

Гравитомагнитный анализ

В некоторых кругах популярно использовать гравитомагнитный подход к линеаризованным уравнениям поля . Причина такой популярности должна быть сразу очевидна ниже, если сравнить ее с трудностями работы с приведенными выше уравнениями. Линеаризованная метрика $h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }$ можно прочитать из приведенной выше метрики Лензе – Тирринга, где $ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }$, и $\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$. В этом подходе записывается линеаризованная метрика, заданная через гравитомагнитные потенциалы $\phi$ и ${\vec {A}}$ является $$h_{00}={\frac {-2\phi }{c^{2}}}$$ и $$h_{0i}={\frac {2A_{i}}{c^{2}}},$$ где $$\phi ={\frac {-GM}{r}}$$ - гравитоэлектрический потенциал, а $${\vec {A}}={\frac {G}{2r^{3}c}}{\vec {S}}\times {\vec {r}}$$ – гравитомагнитный потенциал. Здесь ${\vec {r}}$ - трехмерная пространственная координата наблюдателя, а ${\vec {S}}$ — угловой момент вращающегося тела, точно такой, как определено выше. Соответствующие поля $${\vec {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$$ для гравитоэлектрического поля, и $${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$$ – гравитомагнитное поле. Тогда речь идет о замене и перестановке, чтобы получить $${\vec {B}}=-{\frac {G}{2cr^{3}}}\left[{\vec {S}}-3{\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}}{r^{2}}}\right]$$ как гравитомагнитное поле. Обратите внимание, что это половина частоты прецессии Лензе – Тирринга. В этом контексте прецессию Лензе-Тирринга можно по существу рассматривать как форму прецессии Лармора . Коэффициент 1/2 предполагает, что правильный гравитомагнитный аналог гиромагнитного отношения равен (любопытно!) двум. Этот коэффициент два можно объяснить полностью аналогично g-фактору электрона, принимая во внимание релятивистские расчеты.

Гравитомагнитный аналог силы Лоренца в нерелятивистском пределе имеет вид $${\vec {F}}=m{\vec {E}}+m{\frac {\vec {v}}{c}}\times {\vec {B}},$$ где $m$ - масса пробной частицы, движущейся со скоростью ${\vec {v}}$. Это можно напрямую использовать для расчета классического движения тел в гравитомагнитном поле. Например, радиально падающее тело будет иметь скорость ${\vec {v}}=-{\hat {r}}\,dr/dt$; прямая замена дает член Кориолиса, указанный в предыдущем разделе.

Пример: маятник Фуко.

Чтобы получить представление о величине эффекта, вышеизложенное можно использовать для расчета скорости прецессии маятника Фуко , расположенного на поверхности Земли.

Для твердого шара одинаковой плотности, такого как Земля, радиусом $R$, момент инерции определяется выражением $2MR^{2}/5,$ так что абсолютное значение момента импульса $S$ является $\Vert S\Vert =2MR^{2}\omega /5,$ с $\omega$ угловая скорость вращающегося мяча.

Направление вращения Земли можно принять за ось z , тогда как ось маятника перпендикулярна поверхности Земли в радиальном направлении. Таким образом, мы можем принять ${\hat {z}}\cdot {\hat {r}}=\cos \theta$, где $\theta$ это широта . Аналогично, местоположение наблюдателя $r$ находится на поверхности Земли $R$. Это оставляет скорость прецессии как $$\Omega _{\text{LT}}={\frac {2}{5}}{\frac {GM\omega }{c^{2}R}}\cos \theta .$$

В качестве примера для справки используется широта города Неймеген в Нидерландах. Эта широта дает значение прецессии Лензе – Тирринга. $$\Omega _{\text{LT}}=2.2\cdot 10^{-4}{\text{ arcseconds}}/{\text{day}}.$$

При такой скорости маятнику Фуко пришлось бы колебаться более 16 000 лет, чтобы прецессировать на 1 градус. Несмотря на то, что она довольно мала, она все же на два порядка превышает прецессию Томаса для такого маятника.

Вышеупомянутое не включает прецессию де Ситтера ; его нужно будет добавить, чтобы получить полную релятивистскую прецессию на Земле.

Экспериментальная проверка

Основная статья: Перетаскивание кадров § Экспериментальные испытания

Эффект Лензе-Тирринга и эффект перетаскивания кадра в целом продолжают изучаться экспериментально. Существует два основных режима экспериментальных испытаний: прямое наблюдение через спутники и космические корабли, вращающиеся вокруг Земли, Марса или Юпитера, и косвенное наблюдение путем измерения астрофизических явлений, таких как аккреционные диски, окружающие черные дыры и нейтронные звезды , или астрофизические струи из них.

Набор научных инструментов космического корабля «Юнона» в первую очередь будет характеризовать и исследовать трехмерную структуру полярной магнитосферы Юпитера , полярные сияния и состав массы. Поскольку «Юнона» — это миссия на полярной орбите, можно будет измерить перетаскивание орбиты , известное также как прецессия Лензе-Тирринга, вызванное угловым моментом Юпитера.

Результаты астрофизических настроек представлены после следующего раздела.

Астрофизическая обстановка

Звезда, вращающаяся вокруг вращающейся сверхмассивной черной дыры, испытывает прецессию Лензе-Тирринга, в результате чего ее орбитальная линия узлов прецессирует со скоростью $${\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} t}}={\frac {2GS}{c^{2}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {2G^{2}M^{2}\chi }{c^{3}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}},$$ где

• a и e — большая полуось и эксцентриситет орбиты,
• M — масса черной дыры,
• χ — безразмерный параметр спина (0 < χ < 1).

Прецессирующие звезды также оказывают обратное воздействие на черную дыру, заставляя ее ось вращения прецессировать со скоростью $${\frac {\mathrm {d} \mathbf {S} }{\mathrm {d} t}}={\frac {2G}{c^{2}}}\sum _{j}{\frac {\mathbf {L} _{j}\times \mathbf {S} }{a_{j}^{3}\left(1-e_{j}^{2}\right)^{3/2}}},$$ где

• L _j — момент импульса -й звезды j ,
• a _j и e _j — его большая полуось и эксцентриситет.

Газовый аккреционный диск , наклоненный относительно вращающейся черной дыры, будет испытывать прецессию Лензе – Тирринга со скоростью, заданной приведенным выше уравнением, после установки e = 0 и отождествления a с радиусом диска. Поскольку скорость прецессии меняется в зависимости от расстояния от черной дыры, диск будет «заворачиваться», пока вязкость не вынудит газ переместиться в новую плоскость, совмещенную с осью вращения черной дыры (« эффект Бардина-Петтерсона »).

Астрофизические испытания

Ориентацию астрофизической струи можно использовать как свидетельство для определения ориентации аккреционного диска ; быстро меняющаяся ориентация струи предполагает переориентацию аккреционного диска, как описано выше. Именно такое изменение наблюдалось в 2019 году с рентгеновской двойной черной дырой в V404 Лебедя .

Пульсары излучают быстро повторяющиеся радиоимпульсы с чрезвычайно высокой регулярностью, которую можно измерить с точностью до микросекунды в течение многих лет и даже десятилетий. В исследовании 2020 года сообщается о наблюдении пульсара на узкой орбите с белым карликом с точностью до миллисекунды в течение двух десятилетий. Точное определение позволяет изучить изменение параметров орбиты; это подтверждает действие эффекта Лензе-Тирринга в этой астрофизической обстановке.

Возможно, удастся обнаружить эффект Лензе-Тирринга путем долгосрочного измерения орбиты звезды S2 вокруг сверхмассивной черной дыры в центре Млечного Пути с помощью инструмента GRAVITY Очень Большого Телескопа . Звезда вращается по орбите с периодом 16 лет, и должно быть возможно ограничить угловой момент черной дыры, наблюдая за звездой в течение двух-трех периодов (от 32 до 48 лет).

См. также

• Гравитационный зонд Б

Внешние ссылки

• (Немецкое) объяснение эффекта Тирринга-Ленсе . Содержит изображения для примера со спутника.