Радикс
| Часть серии о |
| Системы счисления |
|---|
| Список систем счисления |
В позиционной системе счисления основание мн.р ( .: . radices ) или основание — это количество уникальных цифр , включая цифру ноль, используемых для представления чисел Например, для десятичной системы (наиболее распространенной системы, используемой сегодня) основание равно десяти, поскольку в ней используются десять цифр от 0 до 9.
В любой стандартной позиционной системе счисления число обычно записывается как ( x ) y , где x — последовательность цифр, а y — его основание, хотя для основания десять обычно предполагается нижний индекс (и опускается вместе с парой круглых скобок ). , поскольку это наиболее распространенный способ выражения ценности . Например, (100) 10 эквивалентно 100 (в последнем подразумевается десятичная система) и представляет число сто, а (100) 2 (в двоичной системе с основанием 2) представляет число четыре. [1]
Этимология [ править ]
Radix — латинское слово, означающее «корень». Корень можно считать синонимом основания в арифметическом смысле.
В системах счисления [ править ]
Обычно в системе с основанием b ( b > 1 ) строка цифр d 1 ... d n обозначает число d 1 b п -1 + д 2 б п -2 + … + д н б 0 , где 0 ≤ d я < б . [1] В отличие от десятичной системы счисления, или системы счисления 10, которая имеет место единиц, десятков, сотен и т. д., система счисления b будет иметь место единиц, затем a b. 1 место s, а б 2 место и т. д. [2]
Например, рассмотрим систему с системой счисления 12. В этой системе строка цифр, такая как 59A (где буква «A» представляет значение десяти), будет представлять значение 5 × 12. 2 + 9 × 12 1 + 10 × 12 0 = 838 по основанию 10.
Обычно используемые системы счисления включают:
| База/основание | Имя | Описание |
|---|---|---|
| 2 | Двоичная система счисления | Используется внутри почти всех компьютеров . Две цифры — «0» и «1» обозначаются переключателями, отображающими ВЫКЛ и ВКЛ соответственно. Используется в большинстве электрических счетчиков . |
| 8 | Восьмеричная система | Иногда используется в вычислительной технике. Восемь цифр: «0»–«7» и представляют собой 3 бита (2 3 ). |
| 10 | Десятичная система | Используется людьми в подавляющем большинстве культур. Его десять цифр: «0»–«9». Используется в большинстве механических счетчиков . |
| 12 | Двенадцатеричная (дюжинная) система | Иногда его защищают из-за делимости на 2, 3, 4 и 6. Традиционно он использовался как часть величин, выраженных в десятках и валовых единицах . |
| 16 | Шестнадцатеричная система | Часто используется в вычислениях как более компактное представление двоичного числа (1 шестнадцатеричная цифра на 4 бита). Шестнадцать цифр: «0» – «9», за которыми следуют «A» – «F» или «a» – «f». |
| 20 | Пятеричная система | Традиционная система счисления в нескольких культурах, которая до сих пор используется некоторыми для счета. Исторически также известна как баллов система на английском языке, сейчас наиболее известная во фразе «четыре балла и семь лет назад» в Геттисбергском обращении . |
| 36 | База36 | Base36 — это схема кодирования двоичного текста в текст , которая представляет двоичные данные в ASCII строковом формате путем перевода их в представление по системе счисления -36. Выбор 36 удобен тем, что цифры могут быть представлены арабскими цифрами 0–9 и латинскими буквами A–Z ( основной латинский алфавит ISO ). Для представления каждой цифры base36 требуется менее 6 бит информации. |
| 60 | Шестидесятеричная система | Первоначально использовалось в измененном виде в древнем Шумере и перешло к вавилонянам . [3] Используется сегодня как основа современной круговой системы координат (градусы, минуты и секунды) и измерения времени (минуты и секунды) по аналогии с вращением Земли. |
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы часто используются в вычислениях из-за их простоты в качестве сокращения двоичной системы. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует последовательности из четырех двоичных цифр, поскольку шестнадцать — четвертая степень двойки; например, шестнадцатеричное 78 16 является двоичным 111 1000 2 . Точно так же каждая восьмеричная цифра соответствует уникальной последовательности из трех двоичных цифр, поскольку восемь — это куб двух.
Это представление уникально. Пусть b — целое положительное число, большее 1. Тогда каждое целое положительное число a можно однозначно выразить в виде
где m — целое неотрицательное число, а r — целые числа такие, что
- 0 < r m < b и 0 ≤ r i < b для i = 0, 1, ..., m - 1. [4]
Радисы обычно представляют собой натуральные числа . Однако возможны и другие позиционные системы, например, основание золотого сечения (основание которого — нецелое алгебраическое число ), [5] и отрицательное основание (основание которого отрицательное). [6] Отрицательное основание позволяет представлять отрицательные числа без использования знака минус. Например, пусть b = −10. Тогда строка цифр, например 19, обозначает (десятичное) число 1 × (−10). 1 + 9 × (−10) 0 = −1.
См. также [ править ]
- База (возведение в степень)
- Смешанная система счисления
- Полиномиальный
- Радикс-экономика
- счастливый корень
- Нестандартные позиционные системы счисления
Примечания [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Хэндс, М. Моррис; Кайм, Чарльз (2014). Основы логики и компьютерного дизайна (4-е изд.). Харлоу: Пирсон. стр. 100-1 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4 .
- ^ «Бинарный» . experimonkey.com . Проверено 14 мая 2023 г.
- ^ Бертман, Стивен (2005). Справочник по жизни в Древней Месопотамии (изд. В мягкой обложке). Оксфорд [ua]: Oxford Univ. Нажимать. п. 257. ИСБН 978-019-518364-1 .
- ^ Маккой (1968 , стр. 75)
- ^ Бергман, Джордж (1957). «Система счисления с иррациональной основой». Журнал «Математика» . 31 (2): 98–110. дои : 10.2307/3029218 . JSTOR 3029218 .
- ^ Уильям Дж. Гилберт (сентябрь 1979 г.). «Системы счисления с отрицательным основанием» (PDF) . Журнал «Математика» . 52 (4): 240–244. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976792 . Проверено 7 февраля 2015 г.
Ссылки [ править ]
- Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68015225
Внешние ссылки [ править ]
