Квадратный корень из 5

Квадратный корень из 5
Рациональность	иррациональный
Представительства
Десятичный	2.23606 79774 99789 69...
Алгебраическая форма
Непрерывная дробь

Квадратный корень из 5 — это положительное действительное число , которое при умножении само на себя дает простое число 5 . Точнее, его называют главным квадратным корнем из 5 , чтобы отличить его от отрицательного числа с тем же свойством. Это число появляется в дробном выражении золотого сечения . форме это можно обозначить В иронической как:

{\sqrt {5}}.\,

Это иррациональное алгебраическое число . ^[1] Первые шестьдесят значащих цифр его десятичного расширения :

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... (последовательность A002163 в OEIS ).

которое можно округлить до 2,236 с точностью до 99,99%. Приближение ⁠ 161/72 ( ⁠ ≈ 2,23611 ) для квадратного корня из пяти можно использовать. Несмотря на то, что знаменатель равен всего 72, оно отличается от правильного значения менее чем на ⁠ 1/10 000 × ⁠ (ок 4,3 . 10 ⁻⁵). По состоянию на январь 2022 года десятичное значение квадратного корня из 5 было рассчитано как минимум до 2 250 000 000 000 цифр. ^[2]

Рациональные приближения

Квадратный корень из 5 можно выразить как непрерывную дробь.

[2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}.

(последовательность A040002 в OEIS )

Последовательные частичные оценки цепной дроби, называемые ее подходящими дробями , приближаются ${\sqrt {5}}$ :

{\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},{\frac {51841}{23184}},\dots

Их числители — 2, 9, 38, 161, … (последовательность A001077 в OEIS ), а знаменатели — 1, 4, 17, 72, … (последовательность A001076 в OEIS ).

Каждый из них является наилучшим рациональным приближением ${\sqrt {5}}$ ; другими словами, это ближе к ${\sqrt {5}}$ чем любое рациональное число с меньшим знаменателем.

Конвергенты, выраженные как $⁠ x / y ⁠$ , удовлетворяют попеременно уравнениям Пелля ^[3]

x^{2}-5y^{2}=-1\quad {\text{and}}\quad x^{2}-5y^{2}=1

Когда ${\sqrt {5}}$ аппроксимируется вавилонским методом , начиная с $x 0 = 2$ и используя $x n +1 = ⁠ 1 / 2 ⁠ (x n + ⁠ 5 / x n ⁠)$ n $-я$ аппроксимация $x n$ равна $2 н$ -я подходящая дробь цепной дроби:

x_{0}=2.0,\quad x_{1}={\frac {9}{4}}=2.25,\quad x_{2}={\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots ,\quad x_{4}={\frac {5374978561}{2403763488}}=2.23606797749979\ldots

Вавилонский метод эквивалентен методу Ньютона для поиска корня , примененному к многочлену. $x^{2}-5$ . Обновление метода Ньютона, $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n})$ , равно $(x_{n}+5/x_{n})/2$ когда $f(x)=x^{2}-5$ . Таким образом, метод сходится квадратично .

Связь с золотым сечением и числами Фибоначчи

Золотое сечение $φ$ — это среднее арифметическое 1 и ${\sqrt {5}}$ . ^[4] Алгебраическая между связь ${\sqrt {5}}$ , золотое сечение и сопряженное к золотому сечению ( $Φ = - ⁠ 1 / φ ⁠ = 1 - φ$ ) выражается в следующих формулах:

{\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}

(См. раздел ниже, где представлена их геометрическая интерпретация как разложение ${\sqrt {5}}$ прямоугольник .)

${\sqrt {5}}$ затем, естественно, фигурирует в выражении в замкнутой форме для чисел Фибоначчи , формуле, которая обычно записывается в терминах золотого сечения:

F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.

Фактор ${\sqrt {5}}$ и $φ$ (или произведение ${\sqrt {5}}$ и $Φ$ ) и его обратная величина представляют собой интересную структуру цепных дробей и связаны с соотношениями между числами Фибоначчи и числами Люка : ^[5]

{\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.3819660112501051518\dots \\&=[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[5pt]{\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}&=0.72360679774997896964\ldots \\&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\ldots ].\end{aligned}}

Ряд подходящих к этим значениям представляет собой ряд чисел Фибоначчи и ряд чисел Люка в качестве числителей и знаменателей, и наоборот:

{\begin{aligned}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].\end{aligned}}

Действительно, предел частного $n^{th}$ число Лукаса $L_{n}$ и $n^{th}$ Число Фибоначчи $F_{n}$ прямо равен квадратному корню из $5$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.

Геометрия

Геометрически , ${\sqrt {5}}$ соответствует диагонали прямоугольника , стороны которого имеют длину 1 и 2 , как это видно из теоремы Пифагора . Такой прямоугольник можно получить, разделив квадрат пополам или поставив рядом два равных квадрата. Это можно использовать для разделения квадратной сетки на наклонную квадратную сетку с в пять раз большим количеством квадратов, образуя основу для поверхности подразделения . ^[6] Вместе с алгебраическим соотношением между ${\sqrt {5}}$ и $φ$ , это составляет основу для геометрического построения золотого прямоугольника из квадрата, а также для построения правильного пятиугольника по его стороне (поскольку отношение стороны к диагонали в правильном пятиугольнике равно $φ$ ).

Поскольку две смежные грани куба развернулись куба бы в прямоугольник 1:2, соотношение между длиной ребра и кратчайшим расстоянием от одной из его вершин до противоположной при пересечении поверхности куба равно ${\sqrt {5}}$ . Напротив, кратчайшее расстояние при прохождении внутренней части куба соответствует длине диагонали куба, которая равна квадратному корню из трехкратного ребра. ^[7]

Прямоугольник с пропорциями сторон 1: ${\sqrt {5}}$ называется прямоугольником с корнем пять и является частью серии корневых прямоугольников, подмножества динамических прямоугольников , которые основаны на ${\sqrt {1}}$ (= 1), ${\sqrt {2}}$ , ${\sqrt {3}}$ , ${\sqrt {4}}$ (= 2), ${\sqrt {5}}$ ... и последовательно построенный по диагонали предыдущего корневого прямоугольника, начиная с квадрата. ^[8] Прямоугольник с корнем 5 особенно примечателен тем, что его можно разделить на квадрат и два равных золотых прямоугольника (размеров $Φ$ × 1 ) или на два золотых прямоугольника разных размеров (размеров $Φ$ × 1 и 1 × $φ$ ). ^[9] Его также можно разложить как объединение двух равных золотых прямоугольников (размеров 1 × $φ$ ), пересечение которых образует квадрат. Все это можно рассматривать как геометрическую интерпретацию алгебраических соотношений между ${\sqrt {5}}$ , $φ$ и $Φ,$ упомянутые выше. Прямоугольник с корнем 5 может быть построен из прямоугольника 1:2 (прямоугольник с корнем 4) или непосредственно из квадрата аналогично золотому прямоугольнику, показанному на рисунке, но с удлинением дуги длины. ${\sqrt {5}}/2$ обеим сторонам.

Тригонометрия

Нравиться ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$ квадратный корень из 5 широко появляется в формулах для точных тригонометрических констант , включая синусы и косинусы каждого угла , чья мера в градусах делится на 3, но не на 15. ^[10] Простейшими из них являются

{\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}

Таким образом, вычисление его значения важно для создания тригонометрических таблиц . С ${\sqrt {5}}$ геометрически связан с полуквадратными прямоугольниками и пятиугольниками, он также часто появляется в формулах для геометрических свойств фигур, полученных из них, например, в формуле объема додекаэдра . ^[7]

Диофантовы приближения

Теорема Гурвица о диофантовых приближениях утверждает, что каждое иррациональное число $x$ можно аппроксимировать бесконечным числом рациональных чисел. $⁠ м / п ⁠$ в самых низких выражениях таким образом, что

\left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}

и это ${\sqrt {5}}$ является наилучшим возможным в том смысле, что для любой константы, большей, чем ${\sqrt {5}}$ , существуют некоторые иррациональные числа $x$ , для которых существует лишь конечное число таких приближений. ^[11]

С этим тесно связана теорема ^[12] что из любых трех последовательных подходящих $⁠ p i / q i ⁠$ , $⁠ п я +1 / q я +1 ⁠$ , $⁠ p i +2 / q i +2 ⁠$ , числа $α$ , выполняется хотя бы одно из трех неравенств:

\left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.

И ${\sqrt {5}}$ в знаменателе является наилучшей возможной границей, поскольку подходящие дроби золотого сечения делают разницу в левой части произвольно близкой к значению в правой части. В частности, невозможно получить более точную оценку, рассматривая последовательности из четырех или более последовательных подходящих конвергентов. ^[12]

Алгебра

Кольцо $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ содержит числа вида $a+b{\sqrt {-5}}$ , где $a$ и $b$ — целые числа и ${\sqrt {-5}}$ это мнимое число $i{\sqrt {5}}$ . Это кольцо является часто цитируемым примером области целостности , которая не является уникальной областью факторизации . ^[13] Число 6 имеет две неэквивалентные факторизации внутри этого кольца:

6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,

С другой стороны, действительное квадратичное целочисленное кольцо $\mathbb {Z} [{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}]$ , примыкающий к золотому сечению $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ показал, что , является евклидовой Дедекинд и, следовательно, уникальной областью факторизации.

Поле $\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}],$ как и любое другое квадратичное поле , является абелевым расширением рациональных чисел. Таким образом, теорема Кронекера -Вебера гарантирует, что квадратный корень из пяти можно записать как рациональную линейную комбинацию корней из единицы :

{\sqrt {5}}=e^{{\frac {2\pi }{5}}i}-e^{{\frac {4\pi }{5}}i}-e^{{\frac {6\pi }{5}}i}+e^{{\frac {8\pi }{5}}i}.\,

Личности Рамануджана

Квадратный корень из 5 появляется в различных тождествах, открытых Шринивасой Рамануджаном, включающих цепные дроби . ^[14]^[15]

Например, этот случай непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана :

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.

4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}}}}}}}\,.

См. также

Ссылки

^ Добен, Джозеф В. (июнь 1983) Американский ученый Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств. Том 248; Страница 122.
^ Да, Александр. «Рекорды, установленные y-cruncher» .
^ Конрад, Кейт. «Уравнение Пелла II» (PDF) . uconn.edu . Проверено 17 марта 2022 г.
^ Браун, Малкольм В. (30 июля 1985 г.) New York Times Загадочные кристаллы ввергают ученых в неопределенность. Раздел: С; Страница 1. (Примечание: это широко цитируемая статья).
^ Ричард К. Гай : «Сильный закон малых чисел». Американский математический ежемесячник , том. 95, 1988, стр. 675–712.
^ Ивриссимцис, Иоаннис П.; Доджсон, Нил А.; Сабин, Малькольм (2005), " ${\sqrt {5}}$ -подразделение», Доджсон, Нил А.; Флоутер, Майкл С.; Сабин, Малкольм А. (ред.), Достижения в области мультиразрешения для геометрического моделирования: документы семинара (MINGLE 2003), проходившего в Кембридже, 9–11 сентября. , 2003 , Математика и визуализация, Берлин: Springer, стр. 285–299, doi : 10.1007/3-540-26808-1_16 , ISBN. 3-540-21462-3 , МР 2112357
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Саттон, Дэвид (2002). Платоновые и архимедовы тела . Уокер и компания. п. 55. ИСБН 0802713866 .
^ Кимберли Элам (2001), Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции , Нью-Йорк: Princeton Architectural Press, ISBN 1-56898-249-6
^ Джей Хэмбидж (1967), Элементы динамической симметрии , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-21776-0
^ Джулиан Д.А. Уайзман, «Грех и потому в иррациональности»
^ ЛеВек, Уильям Джадсон (1956), Темы теории чисел , Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Ридинг, Массачусетс, MR 0080682
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хинчин, Александр Яковлевич (1964), Цепные дроби , University of Chicago Press, Чикаго и Лондон
^ Чепмен, Скотт Т.; Готти, Феликс; Готти, Марли (2019), «Как элементы действительно влияют на $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ?", в Бадави, Айман; Койкендалл, Джим (ред.), Достижения в коммутативной алгебре: Посвящается Дэвиду Ф. Андерсону , Тенденции в математике, Сингапур: Birkhäuser/Springer, стр. 171–195, arXiv : 1711.10842 , doi : 10.1007/978-981-13-7028-1_9 , ISBN 978-981-13-7027-4 , MR 3991169 , S2CID 119142526 , В большинстве текстов по абстрактной алгебре бакалавриата используется $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ как пример области целостности, которая не является уникальной областью факторизации
^ Раманатан, К.Г. (1984), «О непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана», Труды Индийской академии наук, Раздел A , 93 (2): 67–77, doi : 10.1007/BF02840651 , ISSN 0253-4142 , MR 0813071 , S2CID 121808904
^ Эрик В. Вайсштейн, Рамануджан Непрерывные дроби в MathWorld

[1] Добен, Джозеф В. (июнь 1983) Американский ученый Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств. Том 248; Страница 122.

[2] Да, Александр. «Рекорды, установленные y-cruncher» .

[conrad-3] Конрад, Кейт. «Уравнение Пелла II» (PDF) . uconn.edu . Проверено 17 марта 2022 г.

[4] Браун, Малкольм В. (30 июля 1985 г.) New York Times Загадочные кристаллы ввергают ученых в неопределенность. Раздел: С; Страница 1. (Примечание: это широко цитируемая статья).

[5] Ричард К. Гай : «Сильный закон малых чисел». Американский математический ежемесячник , том. 95, 1988, стр. 675–712.

[6] Ивриссимцис, Иоаннис П.; Доджсон, Нил А.; Сабин, Малькольм (2005), " ${\sqrt {5}}$ -подразделение», Доджсон, Нил А.; Флоутер, Майкл С.; Сабин, Малкольм А. (ред.), Достижения в области мультиразрешения для геометрического моделирования: документы семинара (MINGLE 2003), проходившего в Кембридже, 9–11 сентября. , 2003 , Математика и визуализация, Берлин: Springer, стр. 285–299, doi : 10.1007/3-540-26808-1_16 , ISBN. 3-540-21462-3 , МР 2112357

[:0-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Саттон, Дэвид (2002). Платоновые и архимедовы тела . Уокер и компания. п. 55. ИСБН 0802713866 .

[8] Кимберли Элам (2001), Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции , Нью-Йорк: Princeton Architectural Press, ISBN 1-56898-249-6

[9] Джей Хэмбидж (1967), Элементы динамической симметрии , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-21776-0

[10] Джулиан Д.А. Уайзман, «Грех и потому в иррациональности»

[11] ЛеВек, Уильям Джадсон (1956), Темы теории чисел , Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Ридинг, Массачусетс, MR 0080682

[khinchin-12] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хинчин, Александр Яковлевич (1964), Цепные дроби , University of Chicago Press, Чикаго и Лондон

[13] Чепмен, Скотт Т.; Готти, Феликс; Готти, Марли (2019), «Как элементы действительно влияют на $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ ?", в Бадави, Айман; Койкендалл, Джим (ред.), Достижения в коммутативной алгебре: Посвящается Дэвиду Ф. Андерсону , Тенденции в математике, Сингапур: Birkhäuser/Springer, стр. 171–195, arXiv : 1711.10842 , doi : 10.1007/978-981-13-7028-1_9 , ISBN 978-981-13-7027-4 , MR 3991169 , S2CID 119142526 , В большинстве текстов по абстрактной алгебре бакалавриата используется $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ как пример области целостности, которая не является уникальной областью факторизации

[14] Раманатан, К.Г. (1984), «О непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана», Труды Индийской академии наук, Раздел A , 93 (2): 67–77, doi : 10.1007/BF02840651 , ISSN 0253-4142 , MR 0813071 , S2CID 121808904

[15] Эрик В. Вайсштейн, Рамануджан Непрерывные дроби в MathWorld

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]