Ромбокубооктаэдр

«Расширенный октаэдр» перенаправляется сюда. О структуре тенсегрити см. Икосаэдр Джессена .

Ромбокубооктаэдр
Тип	Архимдин Однородный многогранник
Лица	8 равносторонних треугольников 18 квадратов
Края	48
Вершины	24
Конфигурация вершин	$24(3\cdot 4^{3})$
Символ Шлефли	$r{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}$
Группа симметрии	Октаэдрическая симметрия $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$ Пиритоэдрическая симметрия $\mathrm {T} _{\mathrm {h} }$
Двугранный угол ( градусы )	квадрат к квадрату: 135° квадрат-треугольник: 144,7°
Двойной многогранник	Дельтоидный икоситетраэдр
Вершинная фигура
Сеть

В геометрии ромбокубооктаэдр — архимедово тело с 26 гранями, состоящее из 8 равносторонних треугольников и 18 квадратов. Он назван Иоганном Кеплером в его «Harmonices Mundi» 1618 года , являясь сокращением от усеченного кубооктаэдрического ромба , причем кубооктаэдрический ромб был его именем для ромбического додекаэдра .

Ромбокубооктаэдр — это архимедово тело , а он имеет каталонское тело в качестве двойного дельтовидного икоситетраэдра . Вытянутый квадратный гиробикупола представляет собой многогранник, похожий на ромбокубооктаэдр, но не является архимедовым телом, поскольку не является вершинно-транзитивным . Скелет ромбокубооктаэдра можно представить в виде графа. Ромбокубооктаэдр встречается в различных культурах: в архитектуре, игрушках, искусстве и т. д.

Строительство

Ромбикубооктаэдр можно построить из куба , нарисовав меньший по размеру в середине каждой грани параллельно ребрам куба. После удаления ребер куба квадраты можно соединить, добавив дополнительные квадраты, расположенные между ними, а углы можно заполнить равносторонними треугольниками . Другой способ построить ромбокубооктаэдр — прикрепить два правильных квадратных купола к основаниям правильной восьмиугольной призмы .

Процесс расширения ромбокубооктаэдра.

Ромбикубооктаэдр также может быть известен как расширенный октаэдр или расширенный куб . Это связано с тем, что ромбокубооктаэдр также может быть построен путем отделения и отталкивания граней куба или правильного октаэдра от их центроида (синим или красным соответственно в анимации) и заполнения между ними квадратами и равносторонними треугольниками. Этот процесс строительства известен как расширение . Используя все вышеперечисленные методы, ромбокубооктаэдр имеет в качестве граней 8 равносторонних треугольников и 16 квадратов. Соответственно, ромбокубооктаэдр также можно построить путем разрезания всех ребер и вершин куба или правильного октаэдра — процесс, известный как выпрямление .

Декартовы координаты ромбокубооктаэдра с длиной ребра 2 являются перестановками $\left(\pm \left(1+{\sqrt {2}}\right),\pm 1,\pm 1\right)$.

Характеристики

Измерение и метрические свойства

Площадь поверхности ромбокубооктаэдра $A$ можно определить, сложив площади всех граней: 8 равносторонних треугольников и 18 квадратов. Объем ромбокубооктаэдра $V$ можно определить, разрезав его на два квадратных купола и одну восьмиугольную призму. Учитывая, что длина ребра $a$, его площадь поверхности и объем равны: $${\begin{aligned}A&=\left(18+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&\approx 21.464a^{2},\\V&={\frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&\approx 8.714a^{3}.\end{aligned}}$$

Оптимальная доля упаковки ромбокубооктаэдров определяется выражением $$\eta ={\frac {4}{3}}\left(4{\sqrt {2}}-5\right).$$Было замечено, что это оптимальное значение получено в решетке Браве де Граафом, ван Роем и Дейкстрой (2011) . Поскольку ромбокубооктаэдр содержится в ромбододекаэдре , которого вписанная сфера идентична вписанной сфере, значение оптимальной доли упаковки является следствием гипотезы Кеплера : этого можно достичь, поместив ромбокубооктаэдр в каждую ячейку ромбододекаэдрической соты. , и превзойти ее невозможно, так как в противном случае оптимальную плотность упаковки сфер можно было бы превзойти, поместив сферу в каждый ромбокубооктаэдр превосходящей ее гипотетической упаковки.

Двугранный угол ромбокубооктаэдра можно определить, сложив двугранный угол квадратного купола и восьмиугольной призмы:

• двугранный угол ромбокубооктаэдра между двумя соседними квадратами сверху и снизу равен углу квадратного купола 135 °. Двугранный угол восьмиугольной призмы между двумя соседними квадратами равен внутреннему углу правильного восьмиугольника , равному 135°. Двугранный угол между двумя соседними квадратами на ребре, где квадратный купол прикреплен к восьмиугольной призме, есть сумма двугранного угла квадратного купола, соединяющего квадрат с восьмиугольником, и двугранного угла восьмиугольной призмы, соединяющего квадрат с восьмиугольником 45 ° + 90° = 135°. Следовательно, двугранный угол ромбокубооктаэдра для каждых двух соседних квадратов равен 135°.
• двугранный угол ромбокубооктаэдра между квадратом и треугольником равен углу квадратного купола между этими 144,7 °. Двугранный угол между квадратом и треугольником на ребре, где квадратный купол прикреплен к восьмиугольной призме, представляет собой сумму двугранного угла квадратного купола, соединяющего треугольник с восьмиугольником, и двугранного угла восьмиугольной призмы, соединяющей квадрат и восьмиугольник. -восьмиугольник 54,7° + 90° = 144,7°. Следовательно, двугранный угол ромбокубооктаэдра для каждого квадрата к треугольнику равен 144,7 °.

Ромбокубооктаэдр обладает свойством Руперта , означающим, что существует многогранник такого же или большего размера, который может пройти через его отверстие.

Симметрия и ее классификационное семейство

3D модель ромбокубооктаэдра.

Ромбикубооктаэдр имеет ту же симметрию, что и куб и правильный октаэдр, октаэдрическую симметрию. $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$. Однако ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые обладают не октаэдрической симметрией, а скорее пиритоэдрической симметрией. $\mathrm {T} _{\mathrm {h} }$, поэтому они инвариантны относительно тех же вращений, что и тетраэдр, но при разных отражениях. Он центросимметричен , то есть его симметричность взаимозаменяема по появлению центра инверсии . Он также некирален ; то есть оно конгруэнтно своему зеркальному изображению.

Ромбикубооктаэдр — это архимедово тело , то есть это очень симметричный и полуправильный многогранник, две или более различных правильных многоугольных грани. в вершине которого встречаются Многоугольные грани, которые встречаются в каждой вершине, представляют собой один равносторонний треугольник и три квадрата, а фигура вершины обозначается как $3\cdot 4^{3}$. Его двойником является дельтовидный икоситетраэдр , каталонское тело , имеющее ту же симметрию, что и ромбокубооктаэдр.

Вытянутый квадратный гиробикупола — единственный многогранник, напоминающий ромбокубооктаэдр. Отличие в том, что вытянутый квадратный гиробикупол построен путем скручивания одного из его куполов. Когда-то его считали 14-м архимедовым телом, пока не было обнаружено, что оно не является вершинно-транзитивным , и вместо этого его отнесли к телу Джонсона .

График

График ромбокубооктаэдра

Скелет ромбокубооктаэдра можно описать в виде графа . Это многогранный граф , то есть он плоский и 3-связный . Другими словами, ребра графа при рисовании не пересекаются, и удаление любых двух его вершин оставляет связный подграф. Он имеет 24 вершины и 48 ребер. Это квартика , то есть каждая ее вершина соединена четырьмя вершинами. Этот граф классифицируется как архимедовский граф , поскольку он напоминает график архимедова тела.

Появления

Многие ромбокубооктаэдрические объекты, такие как Национальная библиотека в Минске на памятном изображении (вверху слева) и вариант кубика Рубика (вверху справа). А также ромбокубооктаэдр может появляться в искусстве, как, например, в «Портрете Луки Пачоли» (внизу слева) и иллюстрации Леонардо да Винчи 1509 года в «Divinaпропорции» (внизу справа).

Ромбокубооктаэдр появляется в архитектуре, примером здания является Национальная библиотека, расположенная в Минске . Дом Вильсона – еще один пример здания ромбокубооктаэдра, хотя его модуль изображался в виде усеченного куба, у которого все грани срезаны. Он был построен во время Второй мировой войны и операции «Прорыв» в 1960-х годах.

Ромбикубооктаэдр также можно встретить в игрушках. Например, линии, по которым можно поворачивать кубик Рубика , проецируются на сферу, подобную, топологически идентичную ребрам ромбокубооктаэдра. Были созданы варианты с использованием механизма кубика Рубика, которые очень напоминают ромбокубооктаэдр. Во время повального увлечения кубиком Рубика в 1980-х годах по крайней мере две проданные извилистые головоломки имели форму ромбокубооктаэдра (механизм был похож на механизм кубика Рубика). Другой пример можно найти в игральных костях из замка Корф , на каждой квадратной грани которых есть отметки пар букв и точек .

Ромбикубооктаэдр также может появляться в искусстве. Примером может служить Портрет Луки Пачоли 1495 года , традиционно приписываемый Якопо де Барбари , который включает в себя стеклянный ромбокубооктаэдр, наполовину наполненный водой, который, возможно, был написан Леонардо да Винчи . Первая печатная версия ромбокубооктаэдра была написана Леонардо и появилась в ( Пачоли «Божественной пропорции» 1509).

Ссылки

Цитируемые работы

• Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 , MR   0290245 .
• Чай, Ин; Юань, Липин; Замфиреску, Тюдор (2018), «Свойство Руперта архимедовых тел», The American Mathematical Monthly , 125 (6): 497–504, doi : 10.1080/00029890.2018.1449505 , S2CID   125508192 .
• Кокрам, Бернис (2020), В фокусе сакральная геометрия: ваш личный гид , Wellfleet Press .
• Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55432-9 .
• де Грааф, Дж.; ван Рой, Р.; Дейкстра, М. (2011), «Плотные регулярные упаковки неправильных невыпуклых частиц», Physical Review Letters , 107 (15): 155501, arXiv : 1107.0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D , doi : 10.1103/PhysRevLett.107 .155501 , PMID   22107298 , S2CID   14041658 .
• Диудея, М.В. (2018), Многооболочечные многогранные кластеры , Springer , doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 , ISBN  978-3-319-64123-2 .
• Габриэль, Дж. Ф. (1997), За пределами куба: архитектура пространственных рамок и многогранников , John Wiley & Sons .
• Ган, Бунтара Стенли (2020), Компьютерное моделирование структур Тенсегрити: искусство, природа, механические и биологические системы , Springer, doi : 10.1007/978-3-030-17836-9 , ISBN  978-3-030-17836-9 .
• Грюнбаум, Бранко (2009), «Непреходящая ошибка» (PDF) , Elements of Mathematics , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR   2520469 .
• Хартсхорн, Робин (2000), Геометрия: Евклид и не только , Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, ISBN  9780387986500 .
• Хоффманн, Балаш (2019), «Свойства Руперта многогранников и обобщенная константа Ньюланда» , Журнал геометрии и графики , 23 (1): 29–35
• Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR   0185507 , S2CID   122006114 , Zbl   0132.14603
• Кеплер, Йоханнес (1997), Гармония мира , Американское философское общество . Это переведено на английский Эйтоном Э.Дж., Дунканом Э.М., Field JV.
• Коджа, М.; Коджа, Н.О. (2013), «Группы Кокстера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-многогранники» , Математическая физика: материалы 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. , World Scientific .
• Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их применение , Springer, с. 114, номер домена : 10.1007/978-3-540-38361-1 , ISBN.  978-3-540-38361-1 .
• Линти, Г. (2013), «Катенированные соединения - Группа 13 [Al, Ga, In, Tl]», в Ридейке, Дж.; Поппельммейер, К. (ред.), Комплексная неорганическая химия II: от элементов к приложениям , Newnes .
• О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020), Кристаллические структуры: закономерности и симметрия , Dover Publications , ISBN  978-0-486-83654-6 .
• Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press .
• Шепард, GC (1954), «Конструкция многогранников Витоффа», Canadian Journal of Mathematics , 6 (128–134), doi : 10.4153/CJM-1954-015-5 .
• Виана, Вера; Ксавье, Жоау Педро; Айрес, Ана Паула; Кампос, Хелена (2019), «Интерактивное расширение ахиральных многогранников», в Коккьярелле, Луиджи (редактор), ICGG 2018 - Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике, посвященной 40-летию - Милан, Италия, 3-7 августа 2018 г. , Спрингер, номер телефона : 10.1007/978-3-319-95588-9 .
• Уильямс, Роберт (1979), Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну , Dover Publications, Inc.

См. также

• Усеченный ромбокубооктаэдр
• Моравская звезда

Дальнейшее чтение

• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN  0-521-55432-2 .
• Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (13 мая 1954 г.). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 246 (916): 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . S2CID   202575183 .
• Бетке, У.; Хенк, М. (2000), «Самые плотные решетчатые упаковки 3-многогранников», Вычислительная геометрия , 16 (3): 157–186, arXiv : math/9909172 , doi : 10.1016/S0925-7721(00)00007-9
• Торквато, С.; Цзяо, Ю. (2009), «Плотные упаковки платоновых и архимедовых тел», Nature , 460 (7257): 876–879, arXiv : 0908.4107 , Bibcode : 2009Natur.460..876T , doi : 10.1038/nature08239 , PMID   19675649 , S2CID   52819935
• Хейлз, Томас К. (2005), «Доказательство гипотезы Кеплера», Annals of Mathematics , 162 (3): 1065–1185, arXiv : math/9811078v2 , doi : 10.4007/annals.2005.162.1065

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Ромбокубооктаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Маленький ромбокубооктаэдрический граф» . Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3o4x — сирко» .
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Редактируемая для печати сетка ромбокубооктаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Звезда ромбокубооктаэдра, автор Шандор Кабай, демонстрационный проект Вольфрама .
• Ромбокубооктаэдр: бумажные полоски для плетения