КОРДИК

«Псевдо-подразделение» перенаправляется сюда. Для полиномиального псевдоделения см. Псевдоостаток .

CORDIC ( цифровой компьютер вращения координат ), Алгоритм Волдера , Поразрядный метод , Круговой CORDIC ( Джек Э. Волдер ), Линейный CORDIC , гиперболический CORDIC (Джон Стивен Вальтер), и генерализованный гиперболический CORDIC ( GH CORDIC ) (Yuanyong Luo et al.), это простой и эффективный алгоритм для вычисления тригонометрических функций , гиперболических функций , квадратных корней , умножения , деления , а также экспонент и логарифмов с произвольной базой, обычно сходящейся с одной цифрой (или битом) на итерацию. Таким образом, CORDIC также является примером поразрядных алгоритмов . CORDIC и тесно связанные с ним методы, известные как псевдоумножение и псевдоделение или объединение коэффициентов, обычно используются, когда аппаратный умножитель недоступен (например, в простых микроконтроллерах и программируемых пользователем вентильных матрицах или FPGA), поскольку единственные операции, которые они требуют, — это сложение . вычитания , битовый сдвиг и таблицы поиска . По существу, все они относятся к классу алгоритмов сдвига и сложения . В информатике CORDIC часто используется для реализации арифметики с плавающей запятой , когда на целевой платформе отсутствует аппаратное умножение по причинам стоимости или пространства.

История

Подобные математические методы были опубликованы Генри Бриггсом еще в 1624 году. и Роберт Флауэр в 1771 году, но CORDIC лучше оптимизирован для несложных процессоров с конечным состоянием.

КОРДИК был задуман в 1956 году. из Джек Э. Волдер отдела аэроэлектроники Convair . из-за необходимости заменить аналоговый резольвер в навигационном компьютере бомбардировщика B-58 более точным и быстрым цифровым решением, работающим в реальном времени Поэтому CORDIC иногда называют цифровым резольвером .

В своем исследовании Волдер был вдохновлен формулой из Справочника по химии и физике CRC 1946 года :

${\begin{aligned}K_{n}R\sin(\theta \pm \varphi )&=R\sin(\theta )\pm 2^{-n}R\cos(\theta ),\\K_{n}R\cos(\theta \pm \varphi )&=R\cos(\theta )\mp 2^{-n}R\sin(\theta ),\\\end{aligned}}$

где $\varphi$ таков, что $\tan(\varphi )=2^{-n}$, и $K_{n}:={\sqrt {1+2^{-2n}}}$.

Его исследования привели к созданию внутреннего технического отчета, предлагающего алгоритм CORDIC для решения функций синуса и косинуса , а также прототип компьютера, реализующего его. В докладе также обсуждалась возможность вычисления вращения гиперболических координат , логарифмов и экспоненциальных функций с помощью модифицированных алгоритмов CORDIC. В это же время было задумано использование CORDIC для умножения и деления . Основываясь на принципе CORDIC, Дэн Х. Даггетт, коллега Волдера из Convair, разработал алгоритмы преобразования между двоичными числами и двоично-десятичными числами (BCD).

В 1958 году Convair наконец приступила к созданию демонстрационной системы для решения радиолокационной фиксации задач под названием CORDIC I , завершенной в 1960 году без Волдера, который уже покинул компанию. Более универсальные CORDIC II модели A (стационарный) и B (бортовой) были построены и испытаны Даггеттом и Гарри Шуссом в 1962 году.

Алгоритм CORDIC Волдера был впервые публично описан в 1959 году. что привело к его включению в навигационные компьютеры такими компаниями, как Martin-Orlando , Computer Control , Litton , Kearfott , Lear-Siegler , Sperry , Raytheon и Collins Radio .

Волдер объединился с Малкольмом Макмилланом для создания Athena , с фиксированной точкой, настольного калькулятора использующего его двоичный алгоритм CORDIC. Дизайн был представлен Hewlett-Packard в июне 1965 года, но не принят. Тем не менее, Макмиллан познакомил Дэвида С. Кокрана (HP) с алгоритмом Волдера, а когда Кокрен позже встретил Волдера, он посоветовал ему использовать аналогичный подход. Джон Э. Меггитт (IBM ) предложил в 1961 году псевдоумножение и псевдоделение . Метод Меггитта также предполагал использование десятичной системы счисления. а не по основанию 2 , как до сих пор использовалось в CORDIC Волдера. Эти усилия привели к реализации логики ROMable в прототипе десятичной машины CORDIC внутри Hewlett-Packard в 1966 году. созданный и концептуально основанный на Томаса Осборна прототипе Green Machine , четырехфункциональном настольном калькуляторе с плавающей запятой, который он разработал на основе DTL . логики в декабре 1964 года. Результатом этого проекта стала публичная демонстрация первого настольного калькулятора Hewlett-Packard с научными функциями, HP 9100A , в марте 1968 года, а серийное производство началось позже в том же году.

Когда Wang Laboratories обнаружила, что в HP 9100A используется подход, аналогичный методу комбинирования факторов в их более ранней версии LOCI-1. (сентябрь 1964 г.) и LOCI-2 (январь 1965 г.) Logarithmic Computing Instrument , Настольные калькуляторы они безуспешно обвинили Hewlett-Packard в нарушении одного из патентов Ан Ванга в 1968 году.

Джон Стивен Вальтер из Hewlett-Packard обобщил алгоритм в алгоритм Unified CORDIC в 1971 году, позволив ему вычислять гиперболические функции , натуральные экспоненты , натуральные логарифмы , умножения , деления и квадратные корни . CORDIC Подпрограммы для тригонометрических и гиперболических функций могут использовать большую часть своего кода. Результатом этой разработки стал первый научный портативный калькулятор HP -35 в 1972 году. На основе гиперболического CORDIC Yuanyong Luo et al. в 2019 году далее предложил обобщенный гиперболический CORDIC (GH CORDIC) для прямого вычисления логарифмов и экспонент с произвольной фиксированной базой. Теоретически гиперболический CORDIC является частным случаем GH CORDIC.

Первоначально CORDIC был реализован только с использованием двоичной системы счисления , и, несмотря на то, что Меггитт предлагал использовать десятичную систему для своего подхода к псевдоумножению, десятичная система CORDIC оставалась практически неслыханной в течение еще нескольких лет, поэтому Герман Шмид и Энтони Богацки все еще предлагали это как новинка еще в 1973 году и только позже выяснилось, что Hewlett-Packard внедрила его уже в 1966 году.

Десятичный CORDIC стал широко использоваться в карманных калькуляторах . большинство из которых работают в двоично-десятичном формате (BCD), а не в двоичном формате. Это изменение формата ввода и вывода не повлияло на основные алгоритмы вычислений CORDIC. CORDIC особенно хорошо подходит для портативных калькуляторов, в которых низкая стоимость (и, следовательно, малое количество вентилей) гораздо важнее скорости.

CORDIC реализован в процессоре на базе ARM STM32G4 , Intel 8087 , 80287 , 80387 до 80486 серии сопроцессоров, а также в Motorola 68881 и 68882 для некоторых видов инструкций с плавающей запятой, главным образом как способ уменьшить количество вентилей (и сложность) подсистемы . FPU

Приложения

CORDIC использует простые операции сдвига-сложения для нескольких вычислительных задач, таких как вычисление тригонометрических, гиперболических и логарифмических функций, действительные и комплексные умножения, деление, вычисление квадратного корня, решение линейных систем, оценка собственных значений , разложение по сингулярным значениям , QR-факторизация и многие другие. Как следствие, CORDIC использовался для приложений в различных областях, таких как сигналов и обработка изображений , системы связи , робототехника и 3D-графика, помимо общих научных и технических вычислений.

Аппаратное обеспечение

Алгоритм использовался в навигационной системе «Аполлон» программы лунного вездехода для расчета пеленга и дальности или расстояния до лунного модуля . CORDIC использовался для реализации математического сопроцессора Intel 8087 в 1980 году, что позволило избежать необходимости реализации аппаратного умножения.

CORDIC обычно работает быстрее, чем другие подходы, когда аппаратный умножитель недоступен (например, микроконтроллер) или когда количество вентилей, необходимых для реализации поддерживаемых им функций, должно быть сведено к минимуму (например, в FPGA или ASIC ).Фактически, CORDIC является стандартным IP -адресом в приложениях разработки FPGA, таких как Vivado для Xilinx, тогда как реализация степенного ряда не обусловлена ​​спецификой такого IP, т.е. CORDIC может вычислять множество различных функций (общего назначения), в то время как аппаратный умножитель, настроенный для выполнения реализаций степенного ряда, может вычислять только ту функцию, для которой он был разработан.

С другой стороны, когда доступен аппаратный умножитель ( например , в микропроцессоре DSP ), методы поиска по таблице и степенные ряды обычно работают быстрее, чем CORDIC. В последние годы алгоритм CORDIC широко использовался в различных биомедицинских приложениях, особенно в реализациях FPGA.

В серии STM32G4 и некоторых микроконтроллерах серии STM32H7 реализован модуль CORDIC для ускорения вычислений в различных приложениях со смешанными сигналами, таких как графика для человеко-машинного интерфейса и ориентированное на поле управление двигателями. Хотя CORDIC не так быстр, как аппроксимация степенным рядом, он действительно быстрее, чем реализации на основе таблиц интерполяции, такие как те, которые предоставляются стандартными библиотеками ARM CMSIS и C. Хотя результаты могут быть немного менее точными, поскольку предоставленные модули CORDIC обеспечивают точность результата только 20 бит. Например, большая часть разницы в производительности по сравнению с реализацией ARM связана с накладными расходами алгоритма интерполяции, который обеспечивает полную точность с плавающей запятой (24 бита) и, вероятно, может достичь относительной ошибки для этой точности. Еще одним преимуществом является то, что модуль CORDIC является сопроцессором и может выполняться параллельно с другими задачами ЦП.

Проблема с использованием рядов Тейлора заключается в том, что, хотя они и обеспечивают небольшую абсолютную ошибку, они не демонстрируют хорошей относительной ошибки. Для контроля обоих видов ошибок можно использовать другие средства полиномиальной аппроксимации, такие как минимаксная оптимизация.

Программное обеспечение

Многие старые системы с процессорами, работающими только с целыми числами, в той или иной степени реализовали CORDIC как часть своих библиотек IEEE с плавающей запятой . Поскольку большинство современных ЦП общего назначения имеют регистры с плавающей запятой с обычными операциями, такими как сложение, вычитание, умножение, деление, синус, косинус, квадратный корень, журнал ₁₀ , натуральный логарифм, необходимость реализации CORDIC в них с помощью программного обеспечения практически отсутствует. -существующий. Только микроконтроллеры или специальные приложения безопасности и ограниченного по времени программного обеспечения должны рассматривать возможность использования CORDIC.

Режимы работы

Режим вращения

CORDIC можно использовать для расчета ряда различных функций. В этом объяснении показано, как использовать CORDIC в режиме вращения для расчета синуса и косинуса угла, предполагая, что желаемый угол задан в радианах и представлен в формате с фиксированной точкой. Определить синус или косинус угла. $\beta$, необходимо найти координату y или x точки на единичной окружности, соответствующей искомому углу. Используя CORDIC, можно было бы начать с вектора $v_{0}$:

$v_{0}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}.$

Иллюстрация работающего алгоритма CORDIC

В первой итерации этот вектор поворачивается на 45° против часовой стрелки, чтобы получить вектор $v_{1}$. Последовательные итерации поворачивают вектор в том или ином направлении с шагом уменьшения размера, пока не будет достигнут желаемый угол. Угол каждого шага $\gamma _{i}=\arctan {(2^{-i})}$ для $i=0,1,2,\dots$.

Более формально, каждая итерация вычисляет поворот, который выполняется путем умножения вектора $v_{i}$ с матрицей вращения $R_{i}$:

$v_{i+1}=R_{i}v_{i}.$

Матрица вращения определяется выражением

$R_{i}={\begin{bmatrix}\cos(\gamma _{i})&-\sin(\gamma _{i})\\\sin(\gamma _{i})&\cos(\gamma _{i})\end{bmatrix}}.$

Используя тригонометрическое тождество :

${\begin{aligned}\tan(\gamma _{i})&\equiv {\frac {\sin(\gamma _{i})}{\cos(\gamma _{i})}},\end{aligned}}$

косинусный коэффициент можно исключить, чтобы получить:

$R_{i}=\cos(\gamma _{i}){\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}.$

Выражение для повернутого вектора $v_{i+1}=R_{i}v_{i}$ тогда становится:

${\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}=\cos(\gamma _{i}){\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},$

где $x_{i}$ и $y_{i}$ являются компонентами $v_{i}$. Установка угла $\gamma _{i}$ для каждой итерации такой, что $\tan(\gamma _{i})=\pm 2^{-i}$ по-прежнему дает ряд, который сходится ко всем возможным выходным значениям. Таким образом, умножение на тангенс можно заменить делением на степень двойки, что эффективно выполняется в цифровом компьютерном оборудовании с использованием битового сдвига . Тогда выражение станет:

${\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}=\cos(\arctan(2^{-i})){\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},$

и $\sigma _{i}$ используется для определения направления вращения: если угол $\gamma _{i}$ положительно, то $\sigma _{i}$ равно +1, в противном случае — −1.

Для замены косинуса можно использовать следующее тригонометрическое тождество:

$\cos(\gamma _{i})\equiv {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}{\gamma _{i}}}}}$,

давая этот множитель для каждой итерации:

$K_{i}=\cos(\arctan(2^{-i}))={\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}}.$

The $K_{i}$ Затем факторы можно исключить из итеративного процесса и впоследствии применить все сразу с помощью масштабного коэффициента. $K(n)$:

$K(n)=\prod _{i=0}^{n-1}K_{i}=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},$

которая рассчитывается заранее и сохраняется в таблице или в виде одной константы, если количество итераций фиксировано. Эту поправку можно также внести заранее, масштабируя $v_{0}$ и, следовательно, сохраняя умножение. Дополнительно можно отметить, что

$K=\lim _{n\to \infty }K(n)\approx 0.6072529350088812561694$

чтобы обеспечить дальнейшее снижение сложности алгоритма. Некоторые приложения могут не выполнять корректировку $K$ в целом, что приводит к выигрышу в обработке $A$:

$A={\frac {1}{K}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}\approx 1.64676025812107.$

После достаточного количества итераций угол вектора будет близок к желаемому. $\beta$. Для большинства обычных целей 40 итераций ( n достаточно = 40), чтобы получить правильный результат с точностью до 10-го знака после запятой.

Остается только определить, должно ли вращение быть по или против часовой стрелки на каждой итерации (выбирая значение $\sigma$). Это делается путем отслеживания того, насколько угол был повернут на каждой итерации, и вычитания этого значения из желаемого угла; то для того, чтобы приблизиться к нужному углу $\beta$, если $\beta _{n+1}$ положительное значение, вращение происходит по часовой стрелке, в противном случае оно отрицательное, и вращение происходит против часовой стрелки:

$\beta _{0}=\beta$

$\beta _{i+1}=\beta _{i}-\sigma _{i}\gamma _{i},\quad \gamma _{i}=\arctan(2^{-i}).$

Значения $\gamma _{n}$ также должны быть предварительно вычислены и сохранены. Для малых углов его можно аппроксимировать выражением $\arctan(\gamma _{n})\approx \gamma _{n}$ чтобы уменьшить размер таблицы.

Как видно на рисунке выше, синус угла $\beta$ - координата y конечного вектора $v_{n},$ а координата x — это значение косинуса.

Режим векторизации

Алгоритм режима вращения, описанный выше, может вращать любой вектор (не только единичный вектор, выровненный вдоль оси x ) на угол от -90 ° до + 90 °. Решения о направлении вращения зависят от $\beta _{i}$ быть положительным или отрицательным.

Режим векторизации требует небольшой модификации алгоритма. Он начинается с вектора, координата x которого положительна, а координата y произвольна. Последовательные вращения имеют целью повернуть вектор к оси x (и, следовательно, уменьшить координату y до нуля). На каждом шаге значение y определяет направление вращения. Окончательное значение $\beta _{i}$ содержит полный угол поворота. Окончательное значение x будет величиной исходного вектора, масштабированного K . Итак, очевидным применением режима векторизации является преобразование прямоугольных координат в полярные.

Выполнение

В Java класс Math имеет scalb(double x,int scale) метод выполнения такого сдвига, C имеет функцию ldexp , и процессоры класса x86 имеют fscale операция с плавающей запятой.

Пример программного обеспечения (Python)

from math import atan2, sqrt, sin, cos, radiansITERS = 16theta_table = [atan2(1, 2**i) for i in range(ITERS)]def compute_K(n):    """    Compute K(n) for n = ITERS. This could also be    stored as an explicit constant if ITERS above is fixed.    """    k = 1.0    for i in range(n):        k *= 1 / sqrt(1 + 2 ** (-2 * i))    return kdef CORDIC(alpha, n):    K_n = compute_K(n)    theta = 0.0    x = 1.0    y = 0.0    P2i = 1  # This will be 2**(-i) in the loop below    for arc_tangent in theta_table:        sigma = +1 if theta < alpha else -1        theta += sigma * arc_tangent        x, y = x - sigma * y * P2i, sigma * P2i * x + y        P2i /= 2    return x * K_n, y * K_nif __name__ == "__main__":    # Print a table of computed sines and cosines, from -90° to +90°, in steps of 15°,    # comparing against the available math routines.    print("  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine ")    for x in range(-90, 91, 15):        cos_x, sin_x = CORDIC(radians(x), ITERS)        print(            f"{x:+05.1f}°  {sin_x:+.8f} ({sin_x-sin(radians(x)):+.8f}) {cos_x:+.8f} ({cos_x-cos(radians(x)):+.8f})"        )

Выход

$ python cordic.py  x       sin(x)     diff. sine     cos(x)    diff. cosine-90.0°  -1.00000000 (+0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)-75.0°  -0.96592181 (+0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)-60.0°  -0.86601812 (+0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)-45.0°  -0.70711776 (-0.00001098) +0.70709580 (-0.00001098)-30.0°  -0.50001262 (-0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)-15.0°  -0.25883404 (-0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)+00.0°  +0.00001759 (+0.00001759) +1.00000000 (-0.00000000)+15.0°  +0.25883404 (+0.00001499) +0.96592181 (-0.00000402)+30.0°  +0.50001262 (+0.00001262) +0.86601812 (-0.00000729)+45.0°  +0.70709580 (-0.00001098) +0.70711776 (+0.00001098)+60.0°  +0.86601812 (-0.00000729) +0.50001262 (+0.00001262)+75.0°  +0.96592181 (-0.00000402) +0.25883404 (+0.00001499)+90.0°  +1.00000000 (-0.00000000) -0.00001759 (-0.00001759)

Пример оборудования

Количество логических элементов для реализации CORDIC примерно сопоставимо с количеством, необходимым для умножителя, поскольку оба требуют комбинации сдвигов и сложений. Выбор реализации на основе множителя или CORDIC будет зависеть от контекста. Например, умножение двух комплексных чисел, представленных их действительными и мнимыми компонентами (прямоугольными координатами), требует 4 умножений, но может быть реализовано с помощью одного CORDIC, работающего с комплексными числами, представленными их полярными координатами, особенно если величина чисел не имеет значения (умножение комплексного вектора на вектор на единичной окружности фактически равнозначно вращению). CORDIC часто используются в схемах телекоммуникаций, таких как цифровые понижающие преобразователи .

Двойные итерации CORDIC

В двух публикациях Владимира Байкова было предложено использовать метод двойных итераций для реализации функций: арксинус, арккосинус, натуральный логарифм, показательная функция, а также для расчета гиперболических функций. Метод двойной итерации заключается в том, что в отличие от классического метода CORDIC, где значение шага итерации меняется каждый раз, т.е. на каждой итерации, в методе двойной итерации значение шага итерации повторяется дважды и изменяется только через одну итерацию. Отсюда и появилось обозначение показателя степени для двойных итераций: $i=0,0,1,1,2,2\dots$. Тогда как с обычными итерациями: $i=0,1,2\dots$. Метод двойной итерации гарантирует сходимость метода во всем допустимом диапазоне изменения аргументов.

Обобщение задач сходимости CORDIC для произвольной позиционной системы счисления с основанием $R$ показал что для функций синус, косинус, арктангенс достаточно выполнить $R-1$ итераций для каждого значения i (i = 0 или от 1 до n, где n — количество цифр), т.е. для каждой цифры результата. Для натурального логарифма, экспоненты, гиперболического синуса, косинуса и арктангенса: $R$ итерации должны выполняться для каждого значения $i$. Для функций арксинус и арккосинус два $R-1$ итерации следует выполнять для каждой цифры числа, т.е. для каждого значения $i$.

Для обратных гиперболических функций синуса и аркосинуса количество итераций будет равно $2R$ для каждого $i$, то есть для каждой цифры результата.

Связанные алгоритмы

CORDIC является частью класса алгоритмов «сдвига и сложения» , как и логарифмические и экспоненциальные алгоритмы, полученные из работы Генри Бриггса. Другой алгоритм сдвига и сложения, который можно использовать для вычисления многих элементарных функций, — это алгоритм BKM , который представляет собой обобщение логарифмического и экспоненциального алгоритмов на комплексную плоскость. Например, BKM можно использовать для вычисления синуса и косинуса действительного угла. $x$ (в радианах) путем вычисления экспоненты $0+ix$, что $\operatorname {cis} (x)=\cos(x)+i\sin(x)$. Алгоритм BKM немного сложнее, чем CORDIC, но имеет то преимущество, что ему не требуется коэффициент масштабирования ( K ).

См. также

• Методы вычисления квадратных корней
• ИЭЭЭ 754
• Единицы с плавающей запятой
• Цифровые схемы/CORDIC в Викибуках

Дальнейшее чтение

• Парини, Джозеф А. (5 сентября 1966 г.). «DIVIC дает ответ на сложные вопросы навигации». Электроника : 105–111. ISSN   0013-5070 . (Примечание. DIVIC означает «Цифровой компьютер с переменными приращениями» . Некоторые источники ошибочно называют это Дж . М. Парини .)
• Андерсон, Стэнли Ф.; Эрл, Джон Г.; Гольдшмидт, Роберт Эллиотт; Пауэрс, Дон М. (1 ноября 1965 г.). «IBM System/360 Model 91: Модуль выполнения операций с плавающей запятой» (PDF) . Журнал исследований и разработок IBM . 11 (1). Ривертон, Нью-Джерси, США (опубликовано в январе 1967 г.): 34–53. дои : 10.1147/rd.111.0034 . Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2016 г. Проверено 2 января 2016 г.
• Ликкардо, Майкл А. (сентябрь 1968 г.). Межсетевой процессор с упором на работу в режиме CORDIC (магистерская диссертация). Беркли, Калифорния, США: Калифорнийский университет, Беркли , факультет электротехники. OCLC   500565168 .
• Патент США 3576983A , Кокран, Дэвид С., «Система цифрового калькулятора для вычисления квадратных корней», опубликован 4 мая 1971 г., выдан 4 мая 1971 г., передан компании Hewlett-Packard Co.   ( [14] ).
• Чен, Тянь Чи (июль 1972 г.). «Автоматическое вычисление экспонент, логарифмов, отношений и квадратных корней» (PDF) . Журнал исследований и разработок IBM . 16 (4): 380–388. дои : 10.1147/rd.164.0380 . ISSN   0018-8646 . Архивировано из оригинала (PDF) 12 августа 2016 г. Проверено 2 января 2016 г.
• Эгберт, Уильям Э. (май 1977 г.). «Алгоритмы персонального калькулятора I: квадратные корни» (PDF) . Журнал Hewlett-Packard . 28 (9). Пало-Альто, Калифорния, США: Hewlett-Packard : 22–24. Архивировано из оригинала (PDF) 18 декабря 2015 г. Проверено 2 января 2016 г. ( [15] )
• Эгберт, Уильям Э. (июнь 1977 г.). «Алгоритмы персонального калькулятора II: Тригонометрические функции» (PDF) . Журнал Hewlett-Packard . 28 (10). Пало-Альто, Калифорния, США: Hewlett-Packard : 17–20. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 2 января 2016 г. ( [16] )
• Эгберт, Уильям Э. (ноябрь 1977 г.). «Алгоритмы персонального калькулятора III: обратные тригонометрические функции» (PDF) . Журнал Hewlett-Packard . 29 (3). Пало-Альто, Калифорния, США: Hewlett-Packard : 22–23. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 2 января 2016 г. ( [17] )
• Эгберт, Уильям Э. (апрель 1978 г.). «Алгоритмы персонального калькулятора IV: логарифмические функции» (PDF) . Журнал Hewlett-Packard . 29 (8). Пало-Альто, Калифорния, США: Hewlett-Packard : 29–32. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 2 января 2016 г. ( [18] )
• Зензиг, Дон (1975). «Алгоритмы калькулятора». Дайджест чтения IEEE Compcon . IEEE : 139–141. Каталог IEEE № 75 CH 0920-9C.
• Baykov, Vladimir D. (1972), Вопросы исследования вычисления элементарных функций по методу «цифра за цифрой» [ Задачи вычисления элементарных функций на основе метода «поразряд за цифрой» (CORDIC) ] (кандидатская диссертация) (на русском языке), Ленинградский государственный электротехнический университет
• Baykov, Vladimir D.; Smolov, Vladimir B. (1975). Apparaturnaja realizatsija elementarnikh funktsij v CVM Аппаратурная реализация элементарных функций в ЦВМ [ Аппаратная реализация элементарных функций в компьютерах ] (на русском языке). Ленинградский государственный университет. Архивировано из оригинала 02 марта 2019 г. Проверено 02 марта 2019 г.
• Байков Владимир Дмитриевич; Селютин С.А. (1982). Вычисление элементарных функций в ЭКВМ [ Elementary functions evaluation in microcalculators ] (in Russian). Moscow: Radio i svjaz (Радио и связь).
• Baykov, Vladimir D.; Smolov, Vladimir B. (1985). Специализированные процессоры: итерационные алгоритмы и структуры [ Special-purpose processors: iterative algorithms and structures ] (in Russian). Moscow: Radio i svjaz (Радио и связь).
• Коппенс, Томас, изд. (январь 1980 г.). «Константы CORDIC в ПЗУ TI 58/59». Информационный бюллетень по обмену программным обеспечением Texas Instruments . 2 (2). Капеллен, Бельгия: TISOFT.
• Коппенс, Томас, изд. (апрель – июнь 1980 г.). «Схема вычисления натурального логарифма /e ^х вычислительная схема / вычислительная схема 1/x». Информационный бюллетень по обмену программным обеспечением Texas Instruments . 2 (3). Капеллен, Бельгия: TISOFT. (о CORDIC в TI-58 / TI-59 )
• Команда графических продуктов TI (1995) [1993]. «Алгоритмы трансцендентных функций» . Даллас, Техас, США: Texas Instruments , потребительские товары. Архивировано из оригинала 17 марта 2016 г. Проверено 02 марта 2019 г.
• Йорке, Гюнтер; Лампа, Бернар; Венгель, Норберт (1989). Арифметические алгоритмы микровычислительной техники (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин, Германия: VEB Verlag Technik . стр. 219, 261, 271–296. ISBN  3341005153 . ЕАН   9783341005156 . МПН 5539165. Лицензия 201.370/4/89 . Проверено 1 декабря 2015 г.
• Цехмайстер, М. (2021). «Решение уравнения Кеплера с помощью двойных итераций CORDIC». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 500 (1). Геттинген, Германия: Институт астрофизики, Университет Георга-Августа: 109–117. arXiv : 2008.02894 . дои : 10.1093/mnras/staa2441 .
• Фреркинг, Марвин Э. (1994). Цифровая обработка сигналов в системах связи (1-е изд.).
• Кантабутра, Витит (1996). «Об аппаратных средствах для вычисления показательных и тригонометрических функций». Транзакции IEEE на компьютерах . 45 (3): 328–339. дои : 10.1109/12.485571 .
• Йоханссон, Кенни (2008). «6.5 Функции синуса и косинуса». Вычисления на основе сдвига и сложения малой мощности и низкой сложности (PDF) (Диссертация). Линчёпингские исследования в области науки и технологий (1-е изд.). Линчёпинг, Швеция: Факультет электротехники, Университет Линчёпинга . стр. 244–250. ISBN  978-91-7393-836-5 . ISSN   0345-7524 . № 1201. Архивировано (PDF) из оригинала 13 августа 2017 г. Проверено 23 августа 2021 г. (x+268 страниц)
• Банерджи, Аян (2001). «Реализация FPGA процессора БПФ на базе CORDIC для обработки биомедицинских сигналов». Микропроцессоры и микросистемы . 25 (3). Харагпур, Западная Бенгалия, Индия: 131–142. дои : 10.1016/S0141-9331(01)00106-5 .
• Кахан, Уильям Мортон (20 мая 2002 г.). «Алгоритмы псевдоделения для логарифмов и экспонент с плавающей запятой» (PDF) . Беркли, Калифорния, США: Калифорнийский университет . Архивировано из оригинала (PDF) 25 декабря 2015 г. Проверено 15 января 2016 г.
• Кокрам, Крис К. (осень 2008 г.). «Реализация алгоритма CORDIC в цифровом понижающем преобразователе» (PDF) .
• Лакшми, Боппана; Дхар, Аниндья Сундар (6 октября 2009 г.). «Архитектура CORDIC: обзор» . Проектирование СБИС . 2010 . Харагпур, Западная Бенгалия, Индия: Департамент электроники и электросвязи, Индийский технологический институт (опубликовано 10 октября 2010 г.): 1–19. дои : 10.1155/2010/794891 . 794891.
• Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2006]. «Продвинутые арифметические методы» . четырехблок . Архивировано из оригинала 3 июля 2018 г. Проверено 16 июля 2018 г.

Внешние ссылки

• Ван, Шаоюнь (июль 2011 г.), библиографический сайт CORDIC , заархивировано из оригинала 17 октября 2000 г. - через факультет электротехники и вычислительной техники Чандра, Инженерная школа Кокрелла, Техасский университет в Остине.
• Мягкий CORDIC IP (код verilog HDL)
• Библиографический сайт CORDIC
• BASIC Stamp, математическая реализация CORDIC
• Реализация CORDIC в verilog
• Векторизация CORDIC с произвольным целевым значением
• Реализация CORDIC на Python
• Простой код C для CORDIC с фиксированной точкой
• Учебное пособие и реализация MATLAB – использование CORDIC для оценки фазы комплексного числа
• Описания аппаратных CORDIC в Arx с тестовыми стендами на C++ и VHDL.
• Введение в алгоритм CORDIC
• Реализация алгоритма CORDIC в цифровом понижающем преобразователе
• Реализация алгоритма CORDIC: код C с фиксированной точкой для тригонометрических и гиперболических функций , код C для тестирования и проверки производительности.