Вавилонская математика

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Диагональ отображает приближение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10, что соответствует примерно шести десятичным цифрам.
1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1,41421296... В табличке также приведен пример, где одна сторона квадрата равна 30, а полученная диагональ равна 42 25 35 или 42,4263888...

Вавилонская математика (также известная как ассиро-вавилонская математика ) — это математика, разработанная или практикуемая жителями Месопотамии , о чем свидетельствуют источники, в основном сохранившиеся от периода Старого Вавилона (1830–1531 до н. э.) до Селевкидов последних трех или четырех веков до нашей эры. Что касается содержания, то между двумя группами текстов практически нет различий. Вавилонская математика оставалась неизменной по своему характеру и содержанию на протяжении более тысячелетия.

В отличие от нехватки источников по египетской математике , знания по вавилонской математике основаны на сотнях глиняных табличек, раскопанных с 1850-х годов. Таблички, написанные клинописью , писались, пока глина была влажной, и обжигались в печи или под воздействием солнечного тепла. Большинство обнаруженных глиняных табличек датируются периодом с 1800 по 1600 год до нашей эры и охватывают такие темы, как дроби , алгебра , квадратные и кубические уравнения и теорема Пифагора . Вавилонская табличка YBC 7289 дает приблизительное представление о ${\sqrt {2}}$ с точностью до трех значащих шестидесятеричных цифр (около шести значащих десятичных цифр).

Истоки вавилонской математики

Вавилонская математика представляет собой ряд числовых и более продвинутых математических практик на древнем Ближнем Востоке , написанных клинописью . Исторически исследование было сосредоточено на древневавилонском периоде в начале второго тысячелетия до нашей эры из-за обилия доступных данных. Были споры по поводу самого раннего появления вавилонской математики, при этом историки предполагают диапазон дат между 5-м и 3-м тысячелетиями до нашей эры. Вавилонская математика в основном записывалась на глиняных табличках клинописью на аккадском или шумерском языках.

«Вавилонская математика», пожалуй, бесполезный термин, поскольку самые ранние предположения о ее происхождении относятся к использованию учетных устройств, таких как буллы и жетоны , в 5-м тысячелетии до нашей эры.

Вавилонские цифры

Основная статья: вавилонские клинописные цифры

Вавилонская система математики представляла собой шестидесятеричную (по основанию 60) систему счисления . Отсюда мы получаем современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 градусов в круге. Вавилоняне смогли добиться больших успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 — это превосходное весьма составное число , имеющее делители 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (включая те, которые сами являются составными), что облегчает вычисления с дроби . Кроме того, в отличие от египтян и римлян, вавилоняне имели настоящую систему разрядов , где цифры, написанные в левом столбце, представляли большие значения (так же, как в нашей десятичной системе 734 = 7×100 + 3×10 + 4× 1).

Древневавилонская математика (2000–1600 до н. э.)

Табличка глиняная, математическая, геометро-алгебраическая, похожая на теорему Пифагора. Из Телль-ад-Даббаи, Ирак. 2003–1595 гг. до н.э. Музей Ирака

Табличка глиняная, математическая, геометро-алгебраическая, подобная евклидовой геометрии. Из Телль-Хармала, Ирак. 2003–1595 гг. до н.э. Музей Ирака

Арифметика

Вавилоняне использовали заранее рассчитанные таблицы для помощи в арифметике . Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году и датированные 2000 годом до нашей эры, содержат списки квадратов чисел до 59 и кубов чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами:

$ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}$

$ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$

упростить умножение.

У вавилонян не было алгоритма деления в столбики . Вместо этого они основывали свой метод на том факте, что:

${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$

вместе с таблицей обратных величин . Числа, единственными простыми делителями которых являются 2, 3 или 5 (известные как 5- гладкие или регулярные числа ), имеют конечные обратные величины в шестидесятеричной системе счисления, и были найдены таблицы с обширными списками этих обратных величин.

Обратные числа, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. д., не имеют конечных представлений в шестидесятеричной системе счисления. Чтобы вычислить 1/13 или разделить число на 13, вавилоняне использовали такое приближение:

${\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.$

Алгебра

См. Также: Квадратный корень из 2 § История.

Вавилонская , глиняная табличка YBC 7289 ( ок. 1800–1600 до н. э. ) дает приблизительное значение √ 2 в четырех шестидесятеричных цифрах: 1; 24, 51, 10 что с точностью до шести десятичных цифр, и является ближайшим возможным трехзначным шестидесятеричным представлением √ 2 :

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.$

Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики разработали также алгебраические методы решения уравнений . Опять же, они были основаны на заранее рассчитанных таблицах.

Для решения квадратного уравнения вавилоняне по существу использовали стандартную квадратную формулу . Они рассматривали квадратные уравнения вида:

$\ x^{2}+bx=c$

где b и c не обязательно были целыми числами, но c всегда было положительным. Они знали, что решение этой формы уравнения:

$x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}$

и они эффективно находили квадратные корни, используя деление и усреднение. Задачи этого типа включали в себя нахождение размеров прямоугольника по его площади и величине, на которую длина превышает ширину.

Таблицы значений n ³ + н ² использовались для решения некоторых кубических уравнений . Например, рассмотрим уравнение:

$\ ax^{3}+bx^{2}=c.$

Умножив уравнение на ² и разделив на b ³ дает:

$\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.$

Замена y = ax / b дает:

$y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}$

которую теперь можно было решить, найдя n ³ + н ² таблицу, чтобы найти значение, ближайшее к правой части. Вавилоняне сделали это без алгебраических обозначений, продемонстрировав поразительную глубину понимания. Однако у них не было метода решения общего кубического уравнения.

Рост

Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (посредством формы сигмовидной функции ) и время удвоения , последнее в контексте процентов по кредитам.

Глиняные таблички из ок. 2000 г. до н.э. включают упражнение «Для расчета процентной ставки 1/60 в месяц (без начисления сложных процентов) вычислите время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20% и, следовательно, время удвоения 100% роста/20% роста в год = 5 лет.

Плимптон 322

Основная статья: Плимптон 322

Табличка Plimpton 322 содержит список « троек Пифагора », т. е. целых чисел. $(a,b,c)$ такой, что $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.Троек слишком много и они слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой.

На эту тему было написано много, включая некоторые предположения (возможно, устаревшие) относительно того, могла ли табличка служить ранней тригонометрической таблицей. Необходимо проявлять осторожность, чтобы просмотреть табличку с точки зрения методов, знакомых или доступных писцам в то время.

[...] вопрос "как рассчитывался планшет?" не обязательно иметьтот же ответ, что и на вопрос "какие проблемы ставит планшет?" На первое можно ответитьнаиболее удовлетворительно с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а второйиз-за каких-то проблем с прямоугольным треугольником.

Геометрия

Вавилоняне знали общие правила измерения объёмов и площадей. Они измерили длину окружности как трижды диаметра, а площадь как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если бы π оценивалось как 3. Они знали, что это было приближение, и один древневавилонский математик табличка, раскопанная недалеко от Сузы в 1936 году (датированная между 19 и 17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение π как 25/8 = 3,125, что примерно на 0,5 процента ниже точного значения. Объем цилиндра принимался как произведение основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды ошибочно принимался как произведение высоты на половину суммы оснований. Правило Пифагора было известно и вавилонянам.

«Вавилонская миля» представляла собой меру расстояния, равную примерно 11,3 км (или около семи современных миль).Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в «милю времени», используемую для измерения пути Солнца и, следовательно, представляющую время.

Вавилонские астрономы вели подробные записи восхода и захода звезд , движения планет , солнечных и лунных затмений , и все это требовало знания угловых расстояний, измеряемых на небесной сфере .

Они также использовали форму анализа Фурье для вычисления эфемерид (таблицы астрономических положений), которая была открыта в 1950-х годах Отто Нойгебауэром . Для расчета движений небесных тел вавилоняне использовали элементарную арифметику и систему координат, основанную на эклиптике — части небесного свода, по которой проходят Солнце и планеты.

Таблички, хранящиеся в Британском музее, свидетельствуют о том, что вавилоняне даже зашли так далеко, что создали концепцию объектов в абстрактном математическом пространстве. Таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до нашей эры, что показывает, что вавилоняне понимали и использовали геометрию даже раньше, чем считалось ранее. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой путем рисования под ней трапеции - метод, который, как ранее считалось, возник в Европе 14 века. Этот метод оценки позволил им, например, определить расстояние, которое Юпитер прошел за определенный промежуток времени.

См. также

• Вавилония
• Вавилонская астрономия
• История математики
• Исламская математика для математики в исламском Ираке/Месопотамии

Ссылки

• Берриман, А.Е. (1956). Вавилонское квадратное уравнение .
• Бойер, CB (1989). Мерцбах, Ута К. (ред.). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN  0-471-09763-2 . (1991 ПБК изд. ISBN   0-471-54397-7 ).
• Хойруп, Йенс. «Пифагорейское «Правило» и «Теорема» - зеркало связи между вавилонской и греческой математикой». В Ренгере, Йоханнес (ред.). Вавилон: фокус истории Месопотамии, колыбель ранней науки, миф в наше время. 2-й международный коллоквиум Немецкого восточного общества 24-26. Март 1998 г. в Берлине (PDF) . Берлин: Немецкое общество Востока / Саарбрюккен: типография и издательство SDV Saarbrücker. стр. 393–407.
• Джозеф, Г.Г. (2000). Герб павлина . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00659-8 .
• Джойс, Дэвид Э. (1995). «Плимптон 322» .
• Нойгебауэр, Отто (1969). Точные науки в древности (2-е изд.). Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-22332-2 .
• Мурои, Кадзуо (2022). «Шестидесятеричные вычисления в Древнем Шумере». arXiv : 2207.12102 [ math.HO ].
• О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (декабрь 2000 г.). «Обзор вавилонской математики» . MacTutor История математики .
• Робсон, Элеонора (2001). «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322» . История математики . 28 (3): 167–206. дои : 10.1006/hmat.2001.2317 . МР   1849797 .
• Робсон, Э. (2002). «Слова и картинки: Новый свет на Плимптон 322». Американский математический ежемесячник . 109 (2). Вашингтон: 105–120. дои : 10.1080/00029890.2002.11919845 . JSTOR   2695324 . S2CID   33907668 .
• Робсон, Э. (2008). Математика в древнем Ираке: социальная история . Издательство Принстонского университета.
• Тумер, Дж.Дж. (1981). Гиппарх и вавилонская астрономия .