2 ₂₁ многогранник

ортогональные проекции в _{E 6} плоскости Кокстера
2 ₂₁	Исправлено 2 ₂₁
( 1 ₂₂)	Биректифицированный 2 ₂₁ ( Исправлено 1 ₂₂ )

В 6-мерной геометрии многогранник 2 ₂₁ представляет собой однородный 6-многогранник , построенный в рамках симметрии группы E ₆ . Он был открыт Торольдом Госсетом и опубликован в его статье 1900 года. Он назвал ее шестимерной полуправильной фигурой . ^[1] Его еще называют многогранником Шлефли .

Его символ Кокстера — 2 ₂₁ , описывающий его разветвляющуюся диаграмму Кокстера-Динкина с единственным кольцом на конце одной из двухузловых последовательностей. Он также учился ^[2] его связь с 27 линиями на кубической поверхности , которые естественным образом соответствуют вершинам 2 ₂₁ .

Выпрямленный 2 ₂₁ строится по точкам на средних краях 2 ₂₁ . Биректифицированное 2 ₂₁ построено точками в центрах треугольных граней 2 ₂₁ и совпадает с выпрямленным 1 ₂₂ .

Эти многогранники являются частью семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном измерении , состоящих из однородных 5-мерных граней и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Динкина : .

2_21 многогранник

2 ₂₁ многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Семья	к ₂₁ многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3 ^2,1}
Символ Коксетера	2 ₂₁
Диаграмма Кокстера-Динкина	или
5-гранный	всего 99: 27 2 ₁₁ 72 {3 ⁴}
4-ликий	648: 432 {3 ³} 216 {3 ³}
Клетки	1080 {3,3}
Лица	720 {3}
Края	216
Вершины	27
Вершинная фигура	1 ₂₁ ( 5-демикуб )
Полигон Петри	Додекагон
Группа Коксетера	Е ₆ , [3 ^2,2,1], заказ 51840
Характеристики	выпуклый

Число 2 ₂₁ имеет 27 вершин и 99 граней: 27 5-ортоплексов и 72 5-симплексов . Его вершинная фигура — 5-демикуб .

Для визуализации этот 6-мерный многогранник часто отображается в специальном наклоненном ортогональном направлении проекции, которое помещает его 27 вершин в 12-угольный правильный многоугольник (называемый многоугольником Петри ). Его 216 ребер нарисованы между 2 кольцами по 12 вершин и 3 вершинами, проецируемыми в центр. На этой проекции также можно выделить и нарисовать более высокие элементы (грани, ячейки и т.п.).

Граф Шлефли является 1-скелетом этого многогранника.

Альтернативные названия

Э. Л. Эльте назвал его V ₂₇ (из-за 27 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[3]
Icosihepta-heptacontidi-peton - 27-72 граненый полипетон (аббревиатура jak) (Джонатан Бауэрс) ^[4]

Координаты

27 вершин могут быть выражены в 8-мерном пространстве как реберная фигура многогранника 4 ₂₁ :

(-2, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 0), 
( 0,-2, 0, 0,-2, 0, 0, 0), 
( 0, 0,-2, 0,-2, 0, 0, 0), 
( 0, 0, 0,-2,-2, 0, 0, 0), 
( 0, 0, 0, 0,-2, 0, 0,-2), 
( 0, 0, 0, 0, 0,-2,-2, 0)

( 2, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 0), 
( 0, 2, 0, 0,-2, 0, 0, 0), 
( 0, 0, 2, 0,-2, 0, 0, 0), 
( 0, 0, 0, 2,-2, 0, 0, 0), 
( 0, 0, 0, 0,-2, 0, 0, 2)

(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),
(-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1), 
(-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1), 
(-1,-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1), 
(-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1, 1), 
(-1, 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1), 
(-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1), 
( 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1, 1), 
( 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1), 
( 1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1), 
( 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1), 
(-1, 1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),
( 1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),
( 1, 1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),
( 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),
( 1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1)

Строительство

Его конструкция основана на группе Е ₆ .

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина . .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 5-симплекс , .

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 5-ортоплекс в его чередующейся форме: ( 2 ₁₁ ), .

Каждая грань симплекса касается фасета 5-ортоплекса, а альтернативные фасеты ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Получается 5-демикуб (1 ₂₁ многогранник), . Реберная фигура — это вершинная фигура вершинной фигуры, выпрямленного 5-клеточного многогранника (0 ₂₁ многогранника), .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено из групповых заказов Коксетера . ^[5]

E_Е6	k-лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2	f ₃	ж ₄		ж ₅		к -фигура	примечания
Д ₅	( )	ж ₀	27	16	80	160	80	40	16	10	ч{4,3,3,3}	Е ₆ /Д ₅ = 51840/1920 = 27
А ₄ А ₁	{ }	ж ₁	2	216	10	30	20	10	5	5	г {3,3,3}	Е ₆ /А ₄ А ₁ = 51840/120/2 = 216
А ₂ А ₂ А ₁	{3}	f_f2	3	3	720	6	6	3	2	3	{3}х{ }	Е ₆ /А ₂ А ₂ А ₁ = 51840/6/6/2 = 720
А ₃ А ₁	{3,3}	f ₃	4	6	4	1080	2	1	1	2	{ }v( )	Е ₆ /А ₃ А ₁ = 51840/24/2 = 1080
A ₄	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	432	*	1	1	{ }	Е ₆ /А ₄ = 51840/120 = 432
А ₄ А ₁	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	*	216	0	2	{ }	Е ₆ /А ₄ А ₁ = 51840/120/2 = 216
A_А5	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	15	6	0	72	*	( )	Е ₆ /А ₅ = 51840/720 = 72
Д ₅	{3,3,3,4}	ж ₅	10	40	80	80	16	16	*	27	( )	Е ₆ /Д ₅ = 51840/1920 = 27

Изображения

Вершины окрашены в соответствии с их кратностью в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый. В скобках указано количество вершин по цветам.

плоскости Кокстера Орфографические проекции
Е6 [12]	Д5 [8]	Д4/А2 [6]	Б6 [12/2]
(1,3)	(1,3)	(3,9)	(1,3)
А5 [6]	A4 [5]	А3/Д3 [4]
(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

Геометрическое складывание

Число 2 ₂₁ связано с числом 24 ячейки геометрическим сворачиванием E6/F4 диаграмм Кокстера-Дынкина . Это можно увидеть в проекциях плоскости Кокстера . 24 вершины 24-клетки проецируются в те же два кольца, что и в 2 ₂₁ .

E_Е6	F_F4
2 ₂₁	24-ячеечный

Этот многогранник может замощить евклидово 6-мерное пространство, образуя соты 2 ₂₂ с помощью этой диаграммы Кокстера-Динкина: .

Связанные сложные многогранники

Правильный комплексный многоугольник ₃ {3} ₃ {3} ₃ , , в $\mathbb {C} ^{2}$ имеет вещественное представление в виде многогранника 2 ₂₁ , , в 4-мерном пространстве. Его называют гессенским многогранником в честь Эдмунда Гесса . У него 27 вершин, 72 3-ребра и 27 3{3}3 грани. Его комплексная группа отражений равна ₃ [3] ₃ [3] ₃ , порядок 648.

Связанные многогранники

2 ₂₁ является четвертым в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник является вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все правильные многогранные грани, содержащие все симплексы и ортоплексы .

k ₂₁ фигура в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
E_n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	2₂₁	3₂₁	4₂₁	5₂₁	6₂₁

Многогранник 2 ₂₁ является четвертым в размерном ряду 2 _k2 .

2 _{k 1} фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[[3^1,2,1]]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	2_−1,1	2₀₁	2₁₁	2₂₁	2₃₁	2₄₁	2₅₁	2₆₁

Многогранник 2 ₂₁ занимает второе место в размерном ряду 2 _2k .

2 _2k фигур n размеров
Космос	Конечный			евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8
Коксетер группа	А ₂ А ₂	A_А5	E_Е6	${\tilde {E}}_{6}$ = Е ₆⁺	E_Е6⁺⁺
Коксетер диаграмма
График				∞	∞
Имя	2 _2,-1	2 ₂₀	2 ₂₁	2 ₂₂	2 ₂₃

Выпрямленный многогранник 2_21

2 ₂₁Выпрямленный многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	т ₁ {3,3,3 ^2,1}
Символ Коксетера	т ₁ (2 ₂₁ )
Диаграмма Кокстера-Динкина	или
5-гранный	всего 126: 72 т ₁ {3 ⁴} 27 т ₁ {3 ³,4} 27 т ₁ {3,3 ^2,1}
4-ликий	1350
Клетки	4320
Лица	5040
Края	2160
Вершины	216
Вершинная фигура	выпрямленная 5-ячеечная призма
Группа Коксетера	Е ₆ , [3 ^2,2,1], заказ 51840
Характеристики	выпуклый

Выпрямленный 2 ₂₁ имеет 216 вершин и 126 граней: 72 выпрямленных 5-симплексов , 27 выпрямленных 5-ортоплексов и 27 5-демикубов . Его вершинная фигура представляет собой выпрямленную пятиячеечную призму.

Альтернативные названия

Ректифицированный икосихепта-гептаконтиди-петон как исправленный 27-72 граненый полипетон (аббревиатура роджак) (Джонатан Бауэрс) ^[6]

Строительство

Его конструкция основана на группе E ₆ , а информацию можно извлечь из кольцевой диаграммы Кокстера-Динкина, представляющей этот многогранник: .

Удаление кольца на короткой ветви оставляет выпрямленный 5-симплекс , .

Удаление кольца на конце другой ветви длиной 2 оставляет выпрямленный 5-ортоплекс в его чередующейся форме: t ₁ (2 ₁₁ ) , .

При удалении кольца на конце той же ветки длиной 2 остается полукуб длиной 5 : (1 ₂₁ ) , .

Фигура вершины определяется удалением окольцованного кольца и окольцовыванием соседнего кольца. Получается выпрямленная 5-ячеечная призма t ₁ {3,3,3}x{}, .

Изображения

Вершины окрашены в соответствии с их кратностью в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

плоскости Кокстера Орфографические проекции
Е6 [12]	Д5 [8]	Д4/А2 [6]

А5 [6]	A4 [5]	А3/Д3 [4]

Усеченный многогранник 2_21

2 ₂₁Усеченный многогранник
Тип	Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли	т{3,3,3 ^2,1}
Символ Коксетера	т(2 ₂₁ )
Диаграмма Кокстера-Динкина	или
5-гранный	72+27+27
4-ликий	432+216+432+270
Клетки	1080+2160+1080
Лица	720+4320
Края	216+2160
Вершины	432
Вершинная фигура	( ) v r{3,3,3}
Группа Коксетера	Е ₆ , [3 ^2,2,1], заказ 51840
Характеристики	выпуклый

Усеченное 2 ₂₁ имеет 432 вершины, 5040 ребер, 4320 граней, 1350 ячеек и 126 4-граней. Его вершинная фигура представляет собой выпрямленную пятиклеточную пирамиду.

Изображения

Вершины окрашены в зависимости от их кратности в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый.

плоскости Кокстера Орфографические проекции
Е6 [12]	Д5 [8]	Д4/А2 [6]

А5 [6]	A4 [5]	А3/Д3 [4]

См. также

Список многогранников E6

Примечания

^ Собака, 1900 г.
^ Коксетер, HSM (1940). «Многогранник 2 ₂₁ , двадцать семь вершин которого соответствуют прямым на общей кубической поверхности». амер. Дж. Математика . 62 (1): 457–486. дои : 10.2307/2371466 . JSTOR 2371466 .
^ Эльте, 1912 г.
^ Клитцинг, (x3o3o3o3o *c3o - лайк)
^ Коксетер, Правильные многогранники, 11.8 Фигуры Госсета в шести, семи и восьми измерениях, с. 202-203
^ Клитцинг, (o3x3o3o3o *c3o - роджак)

Ссылки

Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
Эльте, EL (1912), Полуправильные многогранники гиперпространств , Гронинген: Гронингенский университет.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 17) Коксетер , Эволюция диаграмм Кокстера-Динкина , [New Archives for Mathematics 9 (1991) 233-248] См. рисунок 1: (стр. 232) (Граф узлового ребра многогранника)
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . x3o3o3o3o *c3o - як, o3x3o3o3o *c3o - рояк

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Собака, 1900 г.

[2] Коксетер, HSM (1940). «Многогранник 2 ₂₁ , двадцать семь вершин которого соответствуют прямым на общей кубической поверхности». амер. Дж. Математика . 62 (1): 457–486. дои : 10.2307/2371466 . JSTOR 2371466 .

[3] Эльте, 1912 г.

[4] Клитцинг, (x3o3o3o3o *c3o - лайк)

[5] Коксетер, Правильные многогранники, 11.8 Фигуры Госсета в шести, семи и восьми измерениях, с. 202-203

[6] Клитцинг, (o3x3o3o3o *c3o - роджак)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]