Теория пучка Эйлера – Бернулли

Эту вибрирующую стеклянную балку можно смоделировать как консольную балку с ускорением, переменной линейной плотностью, переменным моментом сопротивления сечения, некоторой диссипацией, упругой концевой нагрузкой и, возможно, точечной массой на свободном конце.

Теория пучка Эйлера – Бернулли (также известная как теория инженерного пучка или классическая теория пучка ) представляет собой упрощение линейной теории упругости , которое обеспечивает средства расчета несущих и прогибающих характеристик балок . Он охватывает случай, соответствующий небольшим отклонениям балки , подвергающейся только боковым нагрузкам. Таким образом, игнорируя эффекты сдвиговой деформации и вращательной инерции, это частный случай теории пучка Тимошенко – Эренфеста . Впервые оно было провозглашено около 1750 г. но не применялся в больших масштабах до появления Эйфелевой башни и колеса обозрения в конце 19 века. После этих успешных демонстраций он быстро стал краеугольным камнем инженерной мысли и фактором Второй промышленной революции .

дополнительные математические модели Были разработаны , такие как теория пластин , но простота теории балок делает ее важным инструментом в науке, особенно в структурном и машиностроении .

История

Схема поперечного сечения изогнутой балки с указанием нейтральной оси.

Преобладает мнение, что Галилео Галилей предпринял первые попытки разработать теорию балок, но недавние исследования утверждают, что Леонардо да Винчи был первым, кто сделал важные наблюдения. Да Винчи не хватало закона Гука и исчисления для завершения теории, тогда как Галилея сдерживало неверное предположение, которое он сделал.

Пучок Бернулли назван в честь Якоба Бернулли , сделавшего важные открытия. Леонард Эйлер и Даниэль Бернулли были первыми, кто выдвинул полезную теорию примерно в 1750 году.

Статическое уравнение балки

балки Уравнение Эйлера-Бернулли описывает связь между прогибом и приложенной нагрузкой:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q\,$

Кривая $w(x)$ описывает отклонение балки в $z$ направление в какой-то позиции $x$ (напомним, что балка моделируется как одномерный объект). $q$ — распределенная нагрузка, другими словами, сила на единицу длины (аналогично давлению , которое представляет собой силу на площадь); это может быть функцией $x$, $w$или другие переменные. $E$ модуль упругости и $I$ – второй момент площади поперечного сечения балки. $I$ должна рассчитываться относительно оси, перпендикулярной приложенной нагрузке. В явном виде для балки, ось которой ориентирована вдоль $x$ с погрузкой вдоль $z$сечение балки находится в $yz$ плоскости, а соответствующий второй момент площади равен

$I=\iint z^{2}\;dy\;dz,$

где предполагается, что центр тяжести сечения находится в точке $y=z=0$.

Часто продукт $EI$ (известная как изгибная жесткость ) является константой, так что

$EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x).\,$

Это уравнение, описывающее прогиб однородной статической балки, широко используется в инженерной практике. Табличные выражения для прогиба $w$ общие конфигурации балок можно найти в инженерных справочниках. В более сложных ситуациях прогиб можно определить, решив уравнение Эйлера-Бернулли, используя такие методы, как « прямое интегрирование », « метод Маколея », « метод площади момента » , « метод сопряженной балки », « принцип виртуальной работы », « Метод Кастильяно », « Метод гибкости », « Метод отклонения склона », « Метод распределения момента » или « Метод прямой жесткости ».

Здесь определены соглашения о знаках, поскольку в литературе можно найти различные соглашения. В данной статье правая система координат с используется $x$ ось вправо, $z$ ось направлена ​​вверх, а $y$ ось, направленная внутрь фигуры. Знак изгибающего момента $M$ считается положительным, когда вектор крутящего момента, связанный с изгибающим моментом на правой стороне сечения, находится в положительном положении. $y$ направление, то есть положительное значение $M$ создает сжимающее напряжение на нижней поверхности. При таком выборе соглашения о знаке изгибающего момента, чтобы иметь $dM=Qdx$, необходимо, чтобы поперечная сила $Q$ действующий на правую часть сечения, будет положительным в $z$ направлении так, чтобы достичь статического равновесия моментов. Если интенсивность нагрузки $q$ воспринимается позитивно в позитиве $z$ направление, тогда $dQ=-qdx$ необходимо для равновесия сил.

Последовательные производные отклонения $w$ имеют важный физический смысл: $dw/dx$ - это наклон луча, который представляет собой угол поворота против часовой стрелки вокруг $y$-ось в пределе малых перемещений;

$M=-EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}$

– изгибающий момент в балке; и

$Q=-{\frac {d}{dx}}\left(EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}\right)$

- поперечная сила в балке.

Изгиб балки Эйлера–Бернулли. Каждое поперечное сечение балки находится под углом 90 градусов к нейтральной оси.

Напряжения в балке можно рассчитать по приведенным выше выражениям после определения прогиба, вызванного заданной нагрузкой.

Вывод уравнения изгиба

Из-за фундаментальной важности уравнения изгибающего момента в технике мы приведем краткий вывод. Переходим к полярным координатам. Длина нейтральной оси на рисунке равна $\rho d\theta .$ Длина волокна с радиальным расстоянием $z$ ниже нейтральной оси $(\rho +z)d\theta .$ Следовательно, деформация этого волокна равна

${\frac {\left(\rho +z-\rho \right)\ d\theta }{\rho \ d\theta }}={\frac {z}{\rho }}.$

Напряжение этого волокна $E{\dfrac {z}{\rho }}$ где $E$ – модуль упругости в соответствии с законом Гука . Вектор дифференциальной силы, $d\mathbf {F} ,$ возникающий в результате этого напряжения, определяется выражением

$d\mathbf {F} =E{\frac {z}{\rho }}dA\mathbf {e_{x}} .$

Это вектор дифференциальной силы, действующий на правую часть сечения, показанного на рисунке. Мы знаем, что это в $\mathbf {e_{x}}$ направлении, поскольку на рисунке хорошо видно, что волокна в нижней половине находятся в натяжении. $dA$ — дифференциальный элемент площади в месте расположения волокна. Вектор дифференциального изгибающего момента, $d\mathbf {M}$ связанный с $d\mathbf {F}$ дается

$d\mathbf {M} =-z\mathbf {e_{z}} \times d\mathbf {F} =-\mathbf {e_{y}} E{\frac {z^{2}}{\rho }}dA.$

Это выражение справедливо для волокон в нижней половине пучка. Выражение для волокон в верхней половине балки будет аналогичным, за исключением того, что вектор плеча момента будет положительным. $z$ направлении, а вектор силы будет в $-x$ направлении, поскольку верхние волокна находятся в сжатом состоянии. Но результирующий вектор изгибающего момента все равно будет находиться в $-y$ направление с $\mathbf {e_{z}} \times -\mathbf {e_{x}} =-\mathbf {e_{y}} .$ Поэтому проинтегрируем по всему сечению балки и получим $\mathbf {M}$ вектор изгибающего момента, действующего на правое сечение балки выражение

$\mathbf {M} =\int d\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} {\frac {E}{\rho }}\int {z^{2}}\ dA=-\mathbf {e_{y}} {\frac {EI}{\rho }},$

где $I$ это второй момент площади . Из исчисления мы знаем, что когда ${\dfrac {dw}{dx}}$ мал, как и для пучка Эйлера – Бернулли, мы можем сделать аппроксимацию ${\dfrac {1}{\rho }}\simeq {\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}$, где $\rho$ это радиус кривизны . Поэтому,

$\mathbf {M} =-\mathbf {e_{y}} EI{d^{2}w \over dx^{2}}.$

Это векторное уравнение можно разделить при определении единичного вектора изгиба ( $M$ ориентирован как $\mathbf {e_{y}}$), а в уравнении изгиба:

$M=-EI{d^{2}w \over dx^{2}}.$

Динамическое уравнение балки

Модель метода конечных элементов вибрации широкополочной балки ( двутавровой балки ).

Уравнение динамического пучка представляет собой уравнение Эйлера – Лагранжа для следующего действия

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{0}^{L}\left[{\frac {1}{2}}\mu \left({\frac {\partial w}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}EI\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)^{2}+q(x)w(x,t)\right]dxdt.$

Первый член представляет собой кинетическую энергию, где $\mu$ - масса на единицу длины, второй член представляет собой потенциальную энергию, обусловленную внутренними силами (если рассматривать ее с отрицательным знаком), а третий член представляет собой потенциальную энергию, обусловленную внешней нагрузкой. $q(x)$. Уравнение Эйлера–Лагранжа используется для определения функции, минимизирующей функционал $S$. Для динамической балки Эйлера – Бернулли уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

${\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q(x).$

showВывод уравнения Эйлера–Лагранжа для балок.

Since the Lagrangian is ${\mathcal {L}}:={\tfrac {1}{2}}\mu \left({\frac {\partial w}{\partial t}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}EI\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)^{2}+q(x)w(x,t)={\tfrac {\mu }{2}}{\dot {w}}^{2}-{\tfrac {EI}{2}}w_{xx}^{2}+qw\equiv {\mathcal {L}}(x,t,w,{\dot {w}},w_{xx})$ the corresponding Euler–Lagrange equation is ${\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {w}}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w_{xx}}}\right)=0$ Now, ${\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w}}=q~;~~{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {w}}}}=\mu {\dot {w}}~;~~{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial w_{xx}}}=-EIw_{xx}~.$ Plugging into the Euler–Lagrange equation gives $q-\mu {\ddot {w}}-(EIw_{xx})_{xx}=0$ or, ${\cfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q$ which is the governing equation for the dynamics of an Euler–Bernoulli beam.

Если пучок однороден, $E$ и $I$ независимы от $x$, а уравнение пучка проще:

$EI{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}=-\mu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}+q\,.$

Бесплатная вибрация

При отсутствии поперечной нагрузки $q$, мы имеем уравнение свободных колебаний . Это уравнение можно решить, используя разложение Фурье смещения в сумму гармонических колебаний вида

$w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]$

где $\omega$ это частота вибрации. Тогда для каждого значения частоты можно решить обыкновенное дифференциальное уравнение

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-\mu \omega ^{2}{\hat {w}}=0\,.$

Общее решение приведенного выше уравнения есть

${\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)\quad {\text{with}}\quad \beta :=\left({\frac {\mu \omega ^{2}}{EI}}\right)^{1/4}$

где $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ являются константами. Эти константы уникальны для данного набора граничных условий. Однако решение для смещения не является единственным и зависит от частоты. Эти решения обычно записываются как

${\hat {w}}_{n}=A_{1}\cosh(\beta _{n}x)+A_{2}\sinh(\beta _{n}x)+A_{3}\cos(\beta _{n}x)+A_{4}\sin(\beta _{n}x)\quad {\text{with}}\quad \beta _{n}:=\left({\frac {\mu \omega _{n}^{2}}{EI}}\right)^{1/4}\,.$

Количества $\omega _{n}$ называются собственными частотами луча. Каждое из решений смещения называется модой , а форма кривой смещения называется формой моды .

Пример: консольная балка

Формы колебаний первых четырех мод колеблющейся консольной балки.

Граничные условия для консольной балки длиной $L$ (фиксировано в $x=0$) являются

${\begin{aligned}&{\hat {w}}_{n}=0~,~~{\frac {d{\hat {w}}_{n}}{dx}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\\&{\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=L\,.\end{aligned}}$

Если мы применим эти условия, окажется, что нетривиальные решения существуют только в том случае, если $\cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)+1=0\,.$ Это нелинейное уравнение можно решить численно. Первые четыре корня $\beta _{1}L=0.596864\pi$, $\beta _{2}L=1.49418\pi$, $\beta _{3}L=2.50025\pi$, и $\beta _{4}L=3.49999\pi$.

Соответствующие собственные частоты вибрации равны

$\omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {3.5160}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots$

Граничные условия также можно использовать для определения формы мод из решения для смещения:

${\hat {w}}_{n}=A_{1}\left[(\cosh \beta _{n}x-\cos \beta _{n}x)+{\frac {\cos \beta _{n}L+\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L+\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x-\sinh \beta _{n}x)\right]$

Консольный пучок возбуждается вблизи резонансной частоты моды 2.

Неизвестная константа (на самом деле константы, поскольку она есть по одной для каждого $n$), $A_{1}$, которая в общем случае является комплексной, определяется начальными условиями при $t=0$ от скорости и перемещений луча. Обычно значение $A_{1}=1$ используется при построении форм режима. Решения проблемы незатухающего усилия имеют неограниченные смещения, когда частота возбуждения соответствует собственной частоте. $\omega _{n}$, т. е. луч может резонировать . Таким образом, собственные частоты луча соответствуют частотам, на которых может возникнуть резонанс .

Пример: свободная-свободная (неопорная) балка.

Первые четыре моды колеблющейся свободно-свободной балки Эйлера-Бернулли.

Свободно-свободная балка – это балка без каких-либо опор. Граничные условия для свободно-свободной балки длиной $L$ простирающийся от $x=0$ к $x=L$ даны:

${\frac {d^{2}{\hat {w}}_{n}}{dx^{2}}}=0~,~~{\frac {d^{3}{\hat {w}}_{n}}{dx^{3}}}=0\quad {\text{at}}~~x=0\,{\text{and}}\,x=L\,.$

Если мы применим эти условия, окажется, что нетривиальные решения существуют только в том случае, если

$\cosh(\beta _{n}L)\,\cos(\beta _{n}L)-1=0\,.$

Это нелинейное уравнение можно решить численно. Первые четыре корня $\beta _{1}L=1.50562\pi$, $\beta _{2}L=2.49975\pi$, $\beta _{3}L=3.50001\pi$, и $\beta _{4}L=4.50000\pi$.

Соответствующие собственные частоты вибрации:

$\omega _{1}=\beta _{1}^{2}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}={\frac {22.3733}{L^{2}}}{\sqrt {\frac {EI}{\mu }}}~,~~\dots$

Граничные условия также можно использовать для определения формы мод из решения для смещения:

${\hat {w}}_{n}=A_{1}{\Bigl [}(\cos \beta _{n}x+\cosh \beta _{n}x)-{\frac {\cos \beta _{n}L-\cosh \beta _{n}L}{\sin \beta _{n}L-\sinh \beta _{n}L}}(\sin \beta _{n}x+\sinh \beta _{n}x){\Bigr ]}$

Как и в случае с консольной балкой, неизвестные константы определяются начальными условиями при $t=0$ от скорости и перемещений луча. Кроме того, решения проблемы незатухающего усилия имеют неограниченные смещения, когда частота возбуждения соответствует собственной частоте. $\omega _{n}$.

Стресс

Помимо отклонения, уравнение балки описывает силы и моменты и, таким образом, может использоваться для описания напряжений . По этой причине уравнение балки Эйлера-Бернулли широко используется в технике , особенно гражданской и механической, для определения прочности (а также прогиба) балок при изгибе.

И изгибающий момент , и поперечная сила вызывают напряжения в балке. Напряжение, вызванное поперечной силой, максимально вдоль нейтральной оси балки (когда ширина балки t постоянна по поперечному сечению балки; в противном случае необходимо оценить интеграл, включающий первый момент и ширину балки). для конкретного поперечного сечения), а максимальное растягивающее напряжение приходится либо на верхнюю, либо на нижнюю поверхность. Таким образом, максимальное главное напряжение в балке может быть не на поверхности и не в центре, а в некоторой общей области. Однако напряжения поперечной силы незначительны по сравнению с напряжениями изгибающего момента во всех балках, кроме самых массивных, а также тот факт, что концентрации напряжений обычно возникают на поверхностях, а это означает, что максимальное напряжение в балке, вероятно, будет на поверхности.

Простой или симметричный изгиб

Элемент изогнутой балки: волокна образуют концентрические дуги, верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.

Для поперечных сечений балки, симметричных относительно плоскости, перпендикулярной нейтральной плоскости, можно показать, что растягивающее напряжение, испытываемое балкой, может быть выражено как:

$\sigma ={\frac {Mz}{I}}=-zE~{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}.\,$

Здесь, $z$ — расстояние от нейтральной оси до точки интереса; и $M$ это изгибающий момент. Обратите внимание, что это уравнение подразумевает, что чистый изгиб (положительного знака) вызовет нулевое напряжение на нейтральной оси, положительное (растягивающее) напряжение в «верхней» части балки и отрицательное (сжимающее) напряжение в нижней части балки; а также подразумевает, что максимальное напряжение будет на верхней поверхности, а минимальное — на нижней. Это изгибающее напряжение может накладываться на аксиально приложенные напряжения, что приведет к смещению нейтральной оси (нулевого напряжения).

Максимальные напряжения в поперечном сечении

Величины, используемые при определении момента сопротивления балки.

Максимальное растягивающее напряжение в поперечном сечении приходится на место $z=c_{1}$ и максимальное сжимающее напряжение находится в месте $z=-c_{2}$ где высота поперечного сечения $h=c_{1}+c_{2}$. Эти напряжения

$\sigma _{1}={\cfrac {Mc_{1}}{I}}={\cfrac {M}{S_{1}}}~;~~\sigma _{2}=-{\cfrac {Mc_{2}}{I}}=-{\cfrac {M}{S_{2}}}$

Количества $S_{1},S_{2}$ модули сечения и определяются как

$S_{1}={\cfrac {I}{c_{1}}}~;~~S_{2}={\cfrac {I}{c_{2}}}$

Модуль сечения объединяет всю важную геометрическую информацию о сечении балки в одну величину. В случае, когда балка дважды симметрична, $c_{1}=c_{2}$ и у нас есть один модуль сечения $S=I/c$.

Деформация в балке Эйлера – Бернулли.

Нам нужно выражение деформации через прогиб нейтральной поверхности, чтобы связать напряжения в балке Эйлера – Бернулли с прогибом. Для получения этого выражения мы используем предположение, что нормали к нейтральной поверхности остаются нормальными в процессе деформации и что прогибы малы. Эти предположения подразумевают, что балка изгибается в дугу окружности радиуса $\rho$ (см. рисунок 1) и что нейтральная поверхность не меняет длину в процессе деформации.

Позволять $\mathrm {d} x$ – длина элемента нейтральной поверхности в недеформированном состоянии. При малых прогибах элемент не меняет свою длину после изгиба, а деформируется в дугу окружности радиуса $\rho$. Если $\mathrm {d} \theta$ - угол, опирающийся на эту дугу, тогда $\mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta$.

Рассмотрим теперь другой сегмент элемента на расстоянии $z$ над нейтральной поверхностью. Начальная длина этого элемента равна $\mathrm {d} x$. Однако после изгиба длина элемента становится $\mathrm {d} x'=(\rho -z)~\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x-z~\mathrm {d} \theta$. Деформация в этом сегменте балки определяется выражением

$\varepsilon _{x}={\cfrac {\mathrm {d} x'-\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {z}{\rho }}=-\kappa ~z$

где $\kappa$ – кривизна балки. Это дает нам осевую деформацию балки как функцию расстояния от нейтральной поверхности. Однако нам еще предстоит найти связь между радиусом кривизны и прогибом балки. $w$.

Связь между кривизной и отклонением балки

Пусть P — точка на нейтральной поверхности луча на расстоянии $x$ от происхождения $(x,z)$ система координат. Наклон луча примерно равен углу, образуемому нейтральной поверхностью с $x$-ось для малых углов, встречающихся в теории пучков. Следовательно, при таком приближении

$\theta (x)={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}$

Следовательно, для бесконечно малого элемента $\mathrm {d} x$, отношение $\mathrm {d} x=\rho ~\mathrm {d} \theta$ можно записать как

${\cfrac {1}{\rho }}={\cfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=\kappa$

Следовательно, деформацию балки можно выразить как

$\varepsilon _{x}=-z\kappa$

Отношения напряжение-деформация

Для однородного изотропного линейно-упругого материала напряжение связано с деформацией соотношением $\sigma =E\varepsilon$, где $E$ – модуль Юнга . Следовательно, напряжение в балке Эйлера – Бернулли определяется выражением

$\sigma _{x}=-zE{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Заметим, что приведенное выше соотношение по сравнению с соотношением между осевым напряжением и изгибающим моментом приводит к

$M=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Поскольку поперечная сила определяется выражением $Q=\mathrm {d} M/\mathrm {d} x$, у нас также есть

$Q=-EI{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}$

Граничные соображения

Уравнение балки содержит производную четвертого порядка по $x$. Чтобы найти уникальное решение $w(x,t)$ нам нужны четыре граничных условия. Граничные условия обычно моделируют опоры , но они также могут моделировать точечные нагрузки, распределенные нагрузки и моменты. или Граничные условия опоры перемещения используются для фиксации значений смещения ( $w$) и вращения ( $\mathrm {d} w/\mathrm {d} x$) на границе. Такие граничные условия еще называют граничными условиями Дирихле . Граничные условия нагрузки и момента включают высшие производные $w$ и представляют поток импульса . Граничные условия потока также называются граничными условиями Неймана .

В качестве примера рассмотрим консольную балку, встроенную на одном конце и свободную на другом, как показано на рисунке рядом. На закладном конце балки не может быть никаких смещений или поворотов балки. Это означает, что на левом конце и отклонение, и наклон равны нулю. Поскольку к свободному концу балки не прикладывается внешний изгибающий момент, изгибающий момент в этом месте равен нулю. Кроме того, если к балке не приложена внешняя сила, поперечная сила на свободном конце также равна нулю.

Принимая $x$ координата левого конца как $0$ и правый конец как $L$ (длина балки), эти утверждения переводятся в следующий набор граничных условий (предположим, $EI$ является константой):

Консольная балка.

$w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\partial w}{\partial x}}{\bigg |}_{x=0}=0\qquad {\mbox{(fixed end)}}\,$

${\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad {\frac {\partial ^{3}w}{\partial x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=0\qquad {\mbox{(free end)}}\,$

Простая опора (штифт или ролик) эквивалентна точечной силе, действующей на балку, которая регулируется таким образом, чтобы фиксировать положение балки в этой точке. Фиксированная опора или зажим эквивалентна комбинации точечной силы и точечного крутящего момента, которая регулируется таким образом, чтобы фиксировать как положение, так и наклон балки в этой точке. Точечные силы и крутящие моменты, исходящие от опор или непосредственно приложенные, разделят балку на набор сегментов, между которыми уравнение балки будет давать непрерывное решение с учетом четырех граничных условий, по два на каждом конце сегмента. Полагая, что произведение EI является константой, и определяя $\lambda =F/EI$ где F - величина точечной силы, а $\tau =M/EI$ где M — величина точечного крутящего момента, граничные условия, подходящие для некоторых распространенных случаев, приведены в таблице ниже. Изменение конкретной производной w через границу при увеличении x обозначается как $\Delta$ за которым следует эта производная. Например, $\Delta w''=w''(x+)-w''(x-)$ где $w''(x+)$ это ценность $w''$ у нижней границы верхнего сегмента, при этом $w''(x-)$ это ценность $w''$ у верхней границы нижнего сегмента. Когда значения конкретной производной не только непрерывны на границе, но и фиксированы, граничное условие записывается, например: $\Delta w''=0^{*}$ которое фактически представляет собой два отдельных уравнения (например, $w''(x-)=w''(x+)$ = исправлено).

Граница	$w'''$	$w''$	$w'$	$w$
Зажим			$\Delta w'=0^{*}$	$\Delta w=0^{*}$
Простая поддержка		$\Delta w''=0$	$\Delta w'=0$	$\Delta w=0^{*}$
Точечная сила	$\Delta w'''=\lambda$	$\Delta w''=0$	$\Delta w'=0$	$\Delta w=0$
Точка крутящего момента	$\Delta w'''=0$	$\Delta w''=\tau$	$\Delta w'=0$	$\Delta w=0$
Свободный конец	$w'''=0$	$w''=0$
Зажим на конце			$w'$ зафиксированный	$w$ зафиксированный
Просто поддерживаемый конец		$w''=0$		$w$ зафиксированный
Точечная сила в конце	$w'''=\pm \lambda$	$w''=0$
Точка крутящего момента в конце	$w'''=0$	$w''=\pm \tau$

Заметим, что в первых случаях, когда точечные силы и моменты расположены между двумя сегментами, имеется четыре граничных условия: два для нижнего сегмента и два для верхнего. Когда к одному концу балки прикладывают силы и крутящие моменты, к этому концу применяются два граничных условия. Знак точечных сил и моментов на конце будет положительным для нижнего конца и отрицательным для верхнего конца.

Рекомендации по загрузке

Приложенные нагрузки могут быть представлены либо через граничные условия, либо через функцию $q(x,t)$ что представляет собой внешнюю распределенную нагрузку. Использование распределенной загрузки часто благоприятствует простоте. Однако граничные условия часто используются для моделирования нагрузок в зависимости от контекста; эта практика особенно распространена при анализе вибрации.

По своей природе распределенная нагрузка очень часто представляется кусочно, поскольку на практике нагрузка обычно не является непрерывной функцией. Точечные нагрузки можно моделировать с помощью дельта-функции Дирака . Например, рассмотрим статическую однородную консольную балку длиной $L$ с восходящей точечной нагрузкой $F$ применяется на свободном конце. Используя граничные условия, это можно смоделировать двумя способами. В первом подходе приложенная точечная нагрузка аппроксимируется поперечной силой, приложенной к свободному концу. В этом случае основное уравнение и граничные условия:

${\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=0\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\quad ;\quad -EI{\frac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}{\bigg |}_{x=L}=F\,\end{aligned}}$

В качестве альтернативы мы можем представить точечную нагрузку как распределение, используя функцию Дирака. В этом случае уравнение и граничные условия имеют вид

${\begin{aligned}&EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=F\delta (x-L)\\&w|_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=0}=0\quad ;\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}{\bigg |}_{x=L}=0\,\end{aligned}}$

Обратите внимание, что граничное условие поперечной силы (третья производная) удалено, иначе возникло бы противоречие. Это эквивалентные краевые задачи , и обе дают решение

$w={\frac {F}{6EI}}(3Lx^{2}-x^{3})\,~.$

Приложение нескольких точечных нагрузок в разных местах приведет к $w(x)$ являющаяся кусочной функцией. Использование функции Дирака значительно упрощает такие ситуации; в противном случае балку пришлось бы разделить на секции, каждая с четырьмя граничными условиями, решаемыми отдельно. Хорошо организованное семейство функций, называемое функциями сингулярности, часто используется как сокращение для функции Дирака, ее производной и ее первообразных .

Динамические явления также можно моделировать с помощью уравнения статики балки, выбрав подходящие формы распределения нагрузки. Например, свободную вибрацию балки можно учесть с помощью функции нагрузки:

$q(x,t)=\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,$

где $\mu$ - линейная плотность массы пучка, не обязательно постоянная. При такой зависящей от времени нагрузке уравнение балки будет уравнением в частных производных :

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(EI{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)=-\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}.$

Другой интересный пример описывает отклонение луча, вращающегося с постоянной угловой частотой $\omega$:

$q(x)=\mu \omega ^{2}w(x)\,$

Это центростремительное распределение сил . Обратите внимание, что в этом случае $q$ является функцией смещения (зависимой переменной), а уравнение балки будет автономным обыкновенным дифференциальным уравнением .

Примеры

Трехточечный изгиб

Испытание на трехточечный изгиб — классический эксперимент в механике. Он представляет собой случай, когда балка опирается на две роликовые опоры и подвергается сосредоточенной нагрузке, приложенной в середине балки. Сдвиг постоянен по абсолютной величине: он составляет половину центральной нагрузки, Р/2. Он меняет знак в середине балки. Изгибающий момент изменяется линейно от одного конца, где он равен 0, и от центра, где его абсолютное значение равно PL/4, где риск разрыва наиболее важен. Деформация балки описывается полиномом третьей степени по половине балки (вторая половина симметрична). Изгибающие моменты ( $M$), поперечные силы ( $Q$) и отклонения ( $w$) для балки, подвергающейся центральной точечной нагрузке и асимметричной точечной нагрузке, приведены в таблице ниже.

Распределение	Макс. ценить
Свободно опертая балка с центральной нагрузкой
$M(x)={\begin{cases}{\frac {Px}{2}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(L-x)}{2}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}$	$M_{L/2}={\tfrac {PL}{4}}$
$Q(x)={\begin{cases}{\frac {P}{2}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {-P}{2}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}$	$|Q_{0}|=|Q_{L}|={\tfrac {P}{2}}$
$w(x)={\begin{cases}-{\frac {Px(4x^{2}-3L^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq {\tfrac {L}{2}}\\{\frac {P(x-L)(L^{2}-8Lx+4x^{2})}{48EI}},&{\mbox{for }}{\tfrac {L}{2}}<x\leq L\end{cases}}$	$w_{L/2}={\tfrac {PL^{3}}{48EI}}$
Просто опертая балка с несимметричной нагрузкой
$M(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pbx}{L}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pbx}{L}}-P(x-a)={\tfrac {Pa(L-x)}{L}},&{\mbox{for }}a<x\leq L\end{cases}}$	$M_{B}={\tfrac {Pab}{L}}$
$Q(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pb}{L}},&{\mbox{for }}0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pb}{L}}-P,&{\mbox{for }}a<x\leq L\end{cases}}$	$Q_{A}={\tfrac {Pb}{L}}$ $Q_{C}={\tfrac {Pa}{L}}$
$w(x)={\begin{cases}{\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}},&0\leq x\leq a\\{\tfrac {Pbx(L^{2}-b^{2}-x^{2})}{6LEI}}+{\tfrac {P(x-a)^{3}}{6EI}},&a<x\leq L\end{cases}}$	$w_{\mathrm {max} }={\tfrac {{\sqrt {3}}Pb(L^{2}-b^{2})^{\frac {3}{2}}}{27LEI}}$ в $x={\sqrt {\tfrac {L^{2}-b^{2}}{3}}}$

Консольные балки

Другой важный класс проблем касается консольных балок. Изгибающие моменты ( $M$), поперечные силы ( $Q$) и отклонения ( $w$) для консольной балки, подвергающейся точечной нагрузке на свободном конце и равномерно распределенной нагрузке, приведены в таблице ниже.

Распределение	Макс. ценить
Консольная балка с торцевой нагрузкой
$M(x)=P(L-x)$	$M_{A}=PL$
$Q(x)=P$	$Q_{\mathrm {max} }=P$
$w(x)={\tfrac {Px^{2}(3L-x)}{6EI}}$	$w_{C}={\tfrac {PL^{3}}{3EI}}$
Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой
$M(x)=-{\tfrac {q(L^{2}-2Lx+x^{2})}{2}}$	$M_{A}={\tfrac {qL^{2}}{2}}$
$Q(x)=q(L-x),$	$Q_{A}=qL$
$w(x)={\tfrac {qx^{2}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}{24EI}}$	$w_{C}={\tfrac {qL^{4}}{8EI}}$

Решения для некоторых других часто встречающихся конфигураций легко доступны в учебниках по механике материалов и инженерных справочниках.

Статически неопределимые балки

и Изгибающие моменты поперечные силы в балках Эйлера – Бернулли часто можно определить непосредственно с помощью статического баланса сил и моментов . Однако при определенных граничных условиях количество реакций может превышать количество независимых уравнений равновесия. Такие балки называются статически неопределимыми .

Встроенные балки, показанные на рисунке ниже, являются статически неопределимыми. Для определения напряжений и прогибов таких балок наиболее прямым методом является решение уравнения балки Эйлера – Бернулли с соответствующими граничными условиями. Но прямое аналитическое решение уравнения пучка возможно лишь для простейших случаев. Поэтому для решения статически неопределимых задач балки часто используются дополнительные методы, такие как линейная суперпозиция.

Метод суперпозиции предполагает сложение решений ряда статически определенных задач, которые выбираются так, чтобы граничные условия суммы отдельных задач складывались с граничными условиями исходной задачи.

(а) Равномерно распределенная нагрузка q .	(б) Линейно распределенная нагрузка с максимальным q 0
$M_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{2}}{12}}~;~~w_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{4}}{384EI}}$	$M_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{2}}{300}}[3{\sqrt {30}}-10]~;~~w_{\mathrm {max} }={\cfrac {qL^{4}}{2500EI}}[75-7{\sqrt {105}}]$
(c) Сосредоточенная нагрузка P	(г) Момент М 0

Другая часто встречающаяся проблема статически неопределенной балки — это консольная балка , свободный конец которой опирается на ролик. Изгибающие моменты, поперечные силы и прогибы такой балки перечислены ниже:

Распределение	Макс. ценить
$M(x)=-{\tfrac {q}{8}}(L^{2}-5Lx+4x^{2})$	${\begin{aligned}M_{B}&=-{\tfrac {9qL^{2}}{128}}{\mbox{ at }}x={\tfrac {5L}{8}}\\M_{A}&={\tfrac {qL^{2}}{8}}\end{aligned}}$
$Q(x)=-{\tfrac {q}{8}}(8x-5L)$	$Q_{A}=-{\tfrac {5qL}{8}}$
$w(x)={\tfrac {qx^{2}}{48EI}}(3L^{2}-5Lx+2x^{2})$	$w_{\mathrm {max} }={\tfrac {(39+55{\sqrt {33}})}{65,536}}{\tfrac {qL^{4}}{EI}}{\mbox{ at }}x={\tfrac {15-{\sqrt {33}}}{16}}L$

Расширения

Кинематические предположения, на которых основана теория балок Эйлера – Бернулли, позволяют распространить ее на более продвинутый анализ. Простая суперпозиция позволяет обеспечить трехмерную поперечную нагрузку. Использование альтернативных определяющих уравнений может учесть вязкоупругую или пластическую деформацию балки. Теорию балок Эйлера-Бернулли также можно распространить на анализ изогнутых балок, потери устойчивости балок , составных балок и геометрически нелинейного отклонения балки.

Теория балки Эйлера – Бернулли не учитывает эффекты деформации поперечного сдвига . В результате он занижает отклонения и завышает собственные частоты. Для тонких балок (отношение длины балки к толщине порядка 20 и более) эти эффекты имеют второстепенное значение. Однако для толстых балок эти эффекты могут быть значительными. более продвинутые теории пучков, такие как теория пучков Тимошенко (разработанная ученым российского происхождения Стивеном Тимошенко Для объяснения этих эффектов были разработаны ).

Большие отклонения

Пучок Эйлера – Бернулли

Исходная теория Эйлера-Бернулли справедлива только для бесконечно малых деформаций и малых вращений. Теорию можно напрямую распространить на задачи, связанные с умеренно большими вращениями, при условии, что деформация остается небольшой, используя деформации фон Кармана .

Гипотеза Эйлера-Бернулли о том, что плоские сечения остаются плоскими и нормальными к оси балки, приводит к смещениям вида

$u_{1}=u_{0}(x)-z{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}~;~~u_{2}=0~;~~u_{3}=w_{0}(x)$

Используя определение лагранжевой деформации Грина из теории конечных деформаций , мы можем найти деформации фон Кармана для балки, которые действительны для больших вращений, но малых деформаций, отбросив все члены более высокого порядка (которые содержат более двух полей), за исключением ${\frac {\partial {w}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {w}}{\partial {x^{j}}}}.$ Полученные штаммы принимают вид:

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]\approx {\cfrac {\mathrm {d} {u_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{w_{0}}}{\mathrm {d} {x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{22}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{33}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} {w_{0}}}{\mathrm {d} {x}}}\right)^{2}\\[0.25em]\varepsilon _{23}&=0\\[0.25em]\varepsilon _{31}&=-{\frac {1}{2}}\left[\left({\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}-z{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)\right]\approx 0\\[0.25em]\varepsilon _{12}&=0.\end{aligned}}$

Из принципа виртуальной работы баланс сил и моментов в балках дает нам уравнения равновесия

${\begin{aligned}{\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}}{\mathrm {d} x}}+f(x)&=0\\{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}M_{xx}}{\mathrm {d} x^{2}}}+q(x)+{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(N_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)&=0\end{aligned}}$

где $f(x)$ осевая нагрузка, $q(x)$ поперечная нагрузка, а

$N_{xx}=\int _{A}\sigma _{xx}~\mathrm {d} A~;~~M_{xx}=\int _{A}z\sigma _{xx}~\mathrm {d} A$

Чтобы замкнуть систему уравнений, нам нужны определяющие уравнения , связывающие напряжения с деформациями (и, следовательно, напряжения со смещениями). Для больших вращений и малых деформаций эти соотношения имеют вид

${\begin{aligned}N_{xx}&=A_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-B_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\M_{xx}&=B_{xx}\left[{\cfrac {\mathrm {d} u_{0}}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{2}}\left({\cfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right]-D_{xx}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{0}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}$

где

$A_{xx}=\int _{A}E~\mathrm {d} A~;~~B_{xx}=\int _{A}zE~\mathrm {d} A~;~~D_{xx}=\int _{A}z^{2}E~\mathrm {d} A~.$

Количество $A_{xx}$ - жесткость при растяжении , $B_{xx}$ - совмещенная жесткость при растяжении и изгибе , а $D_{xx}$ это жесткость на изгиб .

Для ситуации, когда балка имеет однородное поперечное сечение и не имеет осевой нагрузки, основное уравнение для балки Эйлера – Бернулли с большим вращением имеет вид

$EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-{\frac {3}{2}}~EA~\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=q(x)$

См. также

• Прикладная механика
• Гибка
• Изгибающий момент
• коробление
• изгибная жесткость
• Обобщенная теория пучков
• Теория пластин
• Теория сэндвича
• Диаграмма сдвига и момента
• Функция сингулярности
• Штамм (материаловедение)
• Timoshenko beam theory
• Теорема трех моментов (теорема Клапейрона)
• Испытание на трехточечный изгиб

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Э. А. Витмер (1991–1992). «Элементарная теория балок Бернулли-Эйлера». Конспекты курса унифицированного инженерного дела Массачусетского технологического института . стр. 5–114–5–164.

Внешние ссылки

• Напряжения и прогиб балки, таблицы прогиба балки