Квазиторическое многообразие

В математике квазиторическое многообразие — топологический аналог неособого проективного торического многообразия алгебраической геометрии . Гладкий ​ $2n$-мерное многообразие называется квазиторическим, если оно допускает гладкое локально стандартное действие $n$-мерный тор с пространством орбит an $n$-мерный простой выпуклый многогранник .

Квазиторические многообразия были введены в 1991 году М. Дэвисом и Т. Янушкевичем. который назвал их «торическими многообразиями». Однако термин «квазиторическое многообразие» в конечном итоге был принят, чтобы избежать путаницы с классом компактных гладких торических многообразий , которые известны алгебраическим геометрам как торические многообразия .

Квазиторические многообразия изучаются в различных контекстах алгебраической топологии , таких как теория комплексных кобордизмов и другие теории ориентированных когомологий .

Определения

Обозначим $i$-й подкруг $n$-тор $T^{n}$ к $T_{i}$ так что $T_{1}\times \ldots \times T_{n}=T^{n}$. Тогда покоординатное умножение $T^{n}$ на $\mathbb {C} ^{n}$ называется стандартным представлением .

Учитывая открытые множества $X$ в $M^{2n}$ и $Y$ в $\mathbb {C} ^{n}$, которые замыкаются действием под $T^{n}$, а $T^{n}$-действие на $M^{2n}$ определяется как локально изоморфное стандартному представлению, если $h(tx)=\alpha (t)h(x)$, для всех $t$ в $T^{n}$, $x$ в $X$, где $h$ является гомеоморфизмом $X\rightarrow Y$, и $\alpha$ является автоморфизмом ​ $T^{n}$.

Дан простой выпуклый многогранник $P^{n}$ с $m$ грани , а $T^{n}$-многообразие $M^{2n}$ является квазиторическим многообразием над $P^{n}$ если,

1. тот $T^{n}$-действие локально изоморфно стандартному представлению,
2. есть проекция $\pi :M^{2n}\rightarrow P^{n}$ который отображает каждый $l$-мерная орбита до точки внутри $l$трехмерная грань ​ $P^{n}$, для $l=0,$ $...,$ $n$.

Из определения следует, что неподвижные точки $M^{2n}$ под $T^{n}$-действия сопоставляются с вершинами $P^{n}$ к $\pi$, а точки, где действие свободно, проецируются внутрь многогранника.

Дихарактеристическая функция

Квазиторическое многообразие можно описать с помощью дихарактеристической функции и связанной с ней дихарактеристической матрицы . В этом случае полезно предположить, что грани $F_{1},\dots ,F_{m}$ из $P^{n}$ упорядочены так, что пересечение $F_{1}\cap \dots \cap F_{n}$ это вершина $v$ из $P^{n}$, называемая начальной вершиной .

– Дихарактеристическая функция это гомоморфизм $\lambda :T^{m}\rightarrow T^{n}$, такой, что если $F_{i_{1}}\cap \dots \cap F_{i_{k}}$ это коразмерность - $k$ лицо $P^{n}$, затем $\lambda$ является мономорфизмом ограничения на подтор $T_{i_{1}}\times \dots \times T_{i_{k}}$ в $T^{m}$.

Ограничение λ на подтор $T_{1}\times \ldots \times T_{n}$ соответствующий начальной вершине $v$ является изоморфизмом, и поэтому $\lambda (T_{1}),\ldots ,\lambda (T_{n})$ можно взять за основу Ли алгебры $T^{n}$. Эпиморфизм алгебр Ли , ассоциированный с λ, можно описать как линейное преобразование $\mathbb {Z} ^{m}\rightarrow \mathbb {Z} ^{n}$, представленный $n\times m$ дихарактеристическая матрица $\Lambda$ данный

${\begin{bmatrix}1&0&\dots &0&\lambda _{1,n+1}&\dots &\lambda _{1,m}\\0&1&\dots &0&\lambda _{2,n+1}&\dots &\lambda _{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1&\lambda _{n,n+1}&\dots &\lambda _{n,m}\end{bmatrix}}.$

The $i$й столбец $\Lambda$ это примитивный вектор $\lambda _{i}=(\lambda _{1,i},\dots ,\lambda _{n,i})$ в $\mathbb {Z} ^{n}$, называемый фасетным вектором . Поскольку каждый фасетный вектор является примитивным, всякий раз, когда фасеты $F_{i_{1}}\cap \dots \cap F_{i_{n}}$ встречаются в вершине, соответствующие столбцы $\lambda _{i_{1}},\dots \lambda _{i_{n}}$ составить основу $\mathbb {Z} ^{n}$, с определителем, равным $\pm 1$. Подгруппа изотропии, связанная с каждой гранью $F_{i}$ описывается

$\{(e^{2\pi i\theta \lambda _{1,i}},\ldots ,e^{2\pi i\theta \lambda _{n,i}})\in T^{n}\},$

для некоторых $\theta$ в $\mathbb {R}$.

В своей оригинальной трактовке квазиторических многообразий Дэвис и Янушкевич ввел понятие характеристической функции , которая отображает каждую грань многогранника в вектор, определяющий подгруппу изотропии фасета, но это определено только с точностью до знака. В более поздних исследованиях квазиторических многообразий эта двусмысленность была устранена введением дихарактеристической функции и утверждением, что каждая окружность $\lambda (T_{i})$ ориентироваться, заставляя выбирать знак для каждого вектора $\lambda _{i}$. Понятие дихарактеристической функции впервые было введено В. Бухштабером и Н. Рэем. чтобы сделать возможным изучение квазиторических многообразий в теории комплексных кобордизмов. Это было дополнительно уточнено путем введения порядка граней многогранника для определения начальной вершины, что в конечном итоге приводит к приведенному выше аккуратному представлению дихарактеристической матрицы. $\Lambda$ как $(I_{n}\mid S)$, где $I_{n}$ - единичная матрица и $S$ это $n\times (m-n)$ подматрица.

Связь с комплексом момент-угол

Ядро $K(\lambda )$ дихарактеристической функции свободно действует на комплекс момент-угол $Z_{P^{n}}$и таким образом определяет принципала $K(\lambda )$-пучок $Z_{P^{n}}\rightarrow M^{2n}$ по полученному фактор-пространству $M^{2n}$. Это факторпространство можно рассматривать как

$T^{n}\times P^{n}/\sim ,$

где пары $(t_{1},p_{1})$, $(t_{2},p_{2})$ из $T^{n}\times P^{n}$ идентифицируются тогда и только тогда, когда $p_{1}=p_{2}$ и $t_{1}^{-1}t_{2}$ находится в образе $\lambda$ по ограничению субтора $T_{i_{1}}\times \dots \times T_{i_{k}}$ что соответствует уникальному лицу $F_{i_{1}}\cap \dots \cap F_{i_{k}}$ из $P^{n}$ содержащий точку $p_{1}$, для некоторых $1\leq k\leq n$.

Можно показать, что любое квазиторическое многообразие $M^{2n}$ над $P^{n}$ эквивариантно диффеоморфно . квазиторическому многообразию вида факторпространства выше

Примеры

• The $n$-мерное комплексное проективное пространство $\mathbb {C} P^{n}$ является квазиторическим многообразием над $n$- симплекс $\Delta ^{n}$. Если $\Delta ^{n}$ встроен в $\mathbb {R} ^{n+1}$ так, чтобы начало координат было начальной вершиной, можно выбрать дихарактеристическую функцию так, чтобы соответствующая дихарактеристическая матрица была равна

${\begin{bmatrix}1&0&\dots &0&-1\\0&1&\dots &0&-1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-1\end{bmatrix}}.$

Комплекс момент-угол $Z_{\Delta ^{n}}$ это $(2n+1)$-сфера $S^{2n+1}$, ядро $K(\lambda )$ является диагональной подгруппой $\{(t,\dots ,t)\}<T^{n+1}$, поэтому частное $Z_{\Delta ^{n}}$ под действием $K(\lambda )$ является $\mathbb {C} P^{n}$.

• Многообразия Ботта , образующие ступени в башне Ботта, являются квазиторическими многообразиями над $n$-кубики . $n$-куб $I^{n}$ встроен в $\mathbb {R} ^{2n}$ так что начало координат является начальной вершиной, а дихарактеристическая функция выбирается так, чтобы соответствующая дихарактеристическая матрица $(I_{n}\mid S)$ имеет $S$ данный

${\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0&0&\cdots &0&0\\-a(1,2)&1&\cdots &0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\-a(1,i)&-a(2,i)&\cdots &-a(i-1,i)&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\-a(1,n)&-a(2,n)&\cdots &-a(i-1,n)&-a(i,n)&\cdots &-a(n-1,n)&1\end{bmatrix}},$

для целых чисел $a(i,j)$.

Комплекс момент-угол $Z_{I^{n}}$ является продуктом $n$ копии 3-сферы, встроенные в $\mathbb {C} ^{2n}$, ядро $K(\lambda )$ дается

$\{(t_{1},t_{1}^{-a(1,2)}t_{2},\dots ,t_{1}^{-a(1,i)}\dots t_{i-1}^{-a(i-1,i)}t_{i},\dots ,t_{1}^{-a(1,n)}\dots t_{n-1}^{-a(n-1,n)}t_{n},t_{1}^{-1},\dots ,t_{n}^{-1}):t_{i}\in T,1\leq i\leq n\}<T^{2n}$,

так что частное $Z_{I^{n}}$ под действием $K(\lambda )$ это $n$-я ступень башни Ботта. Целочисленные значения $a(i,j)$ являются тензорными степенями линейных расслоений, продукт которых используется в итеративном построении башни Ботта из сферических расслоений.

Кольцо когомологий квазиторического многообразия

Канонические сложные линейные расслоения $\rho _{i}$ над $M^{2n}$ данный

$Z_{P^{n}}\times _{K(l)}\mathbb {C} _{i}\longrightarrow M^{2n}$,

может быть связано с каждым аспектом $F_{i}$ из $P^{n}$, для $1\leq i\leq m$, где $K(\lambda )$ действует на $\mathbb {C} _{i}$, за счет ограничения $K(\lambda )$ к $i$-й подкруг $T^{m}$ встроенный в $\mathbb {C}$. Эти расслоения известны как фациальные расслоения, связанные с квазиторическим многообразием. По определению $M^{2n}$, прообраз грани $\pi ^{-1}(F_{i})$ это $2(n-1)$-мерное квазиторическое фациальное подмногообразие $M_{i}$ над $F_{i}$, подгруппа изотропии которого является ограничением $\lambda$ на подкруге $T_{i}$ из $T^{m}$. Ограничение $\rho _{i}$ к $M_{i}$ дает нормальное двухплоскостное расслоение вложения $M_{i}$ в $M^{2n}$.

Позволять $x_{i}$ в $H^{2}(M^{2n};\mathbb {Z} )$ обозначим первый класс Черна $\rho _{i}$. целых когомологий Кольцо $H^{*}(M^{2n};\mathbb {Z} )$ генерируется $x_{i}$, для $1\leq i\leq m$, подчиняясь двум наборам отношений. Первые — это отношения, порожденные идеалом Стэнли–Рейснера . $P^{n}$; линейные отношения, определяемые дихарактеристической функцией, составляют второй набор:

$x_{i}=-\lambda _{i,n+1}x_{n+1}-\cdots -\lambda _{i,m}x_{m},{\mbox{ for }}1\leq i\leq n$.

Поэтому только $x_{n+1},\dots ,x_{m}$ необходимы для создания $H^{*}(M^{2n};\mathbb {Z} )$ мультипликативно.

Сравнение с торическими многообразиями

• Любое проективное торическое многообразие является квазиторическим многообразием, а в некоторых случаях непроективные торические многообразия также являются квазиторическими многообразиями.
• Не все квазиторические многообразия являются торическими многообразиями. Например, связная сумма $\mathbb {C} P^{2}\sharp \mathbb {C} P^{2}$ можно построить как квазиторическое многообразие, но оно не является торическим многообразием.

Ссылки

• Бухштабер, В.; Панов Т. (2002), Действия тора и их приложения в топологии и комбинаторике , Серия университетских лекций, том. 24 года, Американское математическое общество
• Бухштабер, В.; Панов Т.; Рэй, Н. (2007), «Пространства многогранников и кобордизмы квазиторических многообразий», Московский математический журнал , 7 (2): 219–242, arXiv : math/0609346 , doi : 10.17323/1609-4514-2007-7- 2-219-242 , S2CID   72554
• Бухштабер, В.; Рэй, Н. (2001), «Касательные структуры на торических многообразиях и связные суммы многогранников», International Mathematics Research Notions , 2001 (4): 193–219, doi : 10.1155/S1073792801000125 , S2CID   8030669
• Бухштабер, В.; Рэй, Н. (2008), «Приглашение к торической топологии: четвертая вершина замечательного тетраэдра», Материалы Международной конференции по торической топологии; Городской университет Осаки, 2006 г. , Современная математика, том. 460, Американское математическое общество, стр. 1–27.
• Сиван, Ю.; Рэй, Н. (2005), «Гомотопические разложения и K -теория башен Ботта», K-Theory , 34 : 1–33, arXiv : math/0408261 , doi : 10.1007/s10977-005-1551-x , S2CID   15934494
• Дэвис, М.; Янушкевич, Т. (1991), «Выпуклые многогранники, орбифолды Кокстера и действия тора», Duke Mathematical Journal , 62 (2): 417–451, doi : 10.1215/s0012-7094-91-06217-4 , S2CID   115132549
• Масуда, М.; Су, Д.Ю. (2008), «Проблемы классификации торических многообразий с помощью топологии», Материалы Международной конференции по торической топологии; Городской университет Осаки, 2006 г. , Современная математика, том. 460, Американское математическое общество, стр. 273–286.