Узловой полином

Многие полиномы узлов вычисляются с использованием отношений мотка , которые позволяют изменять различные пересечения узла, чтобы получить более простые узлы.

В математической области теории узлов — полином узла это инвариант узла в форме многочлена , коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного узла .

История

Первый полином узлов, полином Александера , был введен Джеймсом Уодделлом Александром II в 1923 году. Другие полиномы узлов были обнаружены только почти 60 лет спустя.

В 1960-х годах Джон Конвей придумал соотношение мотка для версии полинома Александера, обычно называемого полиномом Александера-Конвея . Значение этого соотношения не было осознано до начала 1980-х годов, когда Воан Джонс открыл полином Джонса . Это привело к открытию большего количества узловых полиномов, таких как так называемый полином ХОМФЛИ .

Вскоре после открытия Джонса Луи Кауфман заметил, что полином Джонса можно вычислить с помощью статистической суммы (модель суммы состояний), которая включает полином в скобках , инвариант оснащенных узлов . Это открыло возможности для исследований, связывающих теорию узлов и статистическую механику .

В конце 1980-х годов были сделаны два взаимосвязанных прорыва. Эдвард Виттен продемонстрировал, что полином Джонса и подобные инварианты типа Джонса имеют интерпретацию в теории Черна – Саймонса . Виктор Васильев и Михаил Гусаров положили начало теории конечного типа инвариантов узлов . Известно, что коэффициенты ранее названных полиномов имеют конечный тип (возможно, после подходящей «замены переменных»).

В последние годы было показано, что полином Александера связан с гомологиями Флоера . Градуированной эйлеровой характеристикой гомологий узла Флоера Питера Озвата и Золтана Сабо является полином Александера.

Примеры

Обозначение Александра – Бриггса	полином Александера $\Delta (t)$	Полином Конвея $\nabla (z)$	Полином Джонса $V(q)$	Полином ХОМФЛИ $H(a,z)$
$0_{1}$ ( Развязать узел )	$1$	$1$	$1$	$1$
$3_{1}$ ( Узел Трилистник )	$t-1+t^{-1}$	$z^{2}+1$	$q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$	$-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}$
$4_{1}$ ( Узел восьмерка )	$-t+3-t^{-1}$	$-z^{2}+1$	$q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}$	$a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1$
$5_{1}$ ( Узел лапчатки )	$t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}$	$z^{4}+3z^{2}+1$	$q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}$	$-a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}$
$3_{1}\#3_{1}$ ( Бабушкин узел )	$\left(t-1+t^{-1}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}$	$\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}$
$3_{1}\#3_{1}^{*}$ ( Квадратный узел )	$\left(t-1+t^{-1}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)$	$\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times$ $\left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)$

В обозначениях Александера-Бриггса узлы упорядочены по числу их пересечений.

Полиномы Александера и полиномы Конвея могут не распознать разницу между узлом левого трилистника и узлом правого трилистника.

• 
  Узел «Левый трилистник».
• 
  Правый узел-трилистник.

Таким образом, мы имеем ту же ситуацию, что и «бабушкин узел» и квадратный узел с момента добавления узлов. $\mathbb {R} ^{3}$ является произведением узлов в полиномах узлов .

См. также

Конкретные полиномы узлов

• полином Александера
• Скобочный полином
• Полином ХОМФЛИ
• Полином Джонса
• Полином Кауфмана

Связанные темы

• Полином графа , аналогичный класс полиномиальных инвариантов в теории графов.
• Полином Тутте , особый тип полинома графа, связанный с полиномом Джонса.
• Отношение Скейна для формального определения полинома Александера с разработанным примером.

Дальнейшее чтение

• Адамс, Колин. Книга Узелка . Американское математическое общество. ISBN  0-8050-7380-9 .
• Ликориш, WBR (1997). Введение в теорию узлов . Тексты для аспирантов по математике . Том. 175. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98254-Х .