Карта Каплана – Йорка

График 100 000 итераций карты Каплана-Йорка с α = 0,2. Начальное значение (x ₀ ,y ₀ ) было (128873/350377,0,667751).

Карта Каплана -Йорка представляет собой с дискретным временем динамическую систему . Это пример динамической системы, которая демонстрирует хаотическое поведение . Каплана-Йорка Карта берет точку ( x _n , y _n   ) на плоскости и отображает ее в новую точку, заданную выражением

$x_{n+1}=2x_{n}\ ({\textrm {mod}}~1)$

$y_{n+1}=\alpha y_{n}+\cos(4\pi x_{n})$

где mod — оператор по модулю с действительными аргументами. Отображение зависит только от одной константы α.

Метод расчета

Из-за ошибки округления последовательные применения оператора по модулю дадут нулевой результат после десяти или двадцати итераций, если они реализованы как операция с плавающей запятой на компьютере. Лучше реализовать следующий эквивалентный алгоритм:

$a_{n+1}=2a_{n}\ ({\textrm {mod}}~b)$

$x_{n+1}=a_{n}/b$

$y_{n+1}=\alpha y_{n}+\cos(4\pi x_{n})$

где $a_{n}$ и $b$ являются вычислительными целыми числами. Также лучше выбрать $b$ быть большим простым числом, чтобы получить множество различных значений $x_{n}$.

Другой способ избежать того, чтобы оператор по модулю давал ноль после короткого количества итераций:

$x_{n+1}=2x_{n}\ ({\textrm {mod}}~0.99995)$

$y_{n+1}=\alpha y_{n}+\cos(4\pi x_{n})$

который все равно в конечном итоге вернет ноль, хотя и после многих итераций.

Ссылки

• Дж. Л. Каплан и Дж. А. Йорк (1979). Х. О. Пейтген и Х. О. Вальтер (ред.). Функционально-дифференциальные уравнения и приближения неподвижных точек (Конспект лекций по математике 730) . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-09518-7 .
• П. Грассбергер и И. Прокачча (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Физика . 9Д (1–2): 189–208. Бибкод : 1983PhyD....9..189G . дои : 10.1016/0167-2789(83)90298-1 .