Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound

Граница Богомольный – Прасад – Соммерфилд (названа в честь Евгения Богомольного , М. К. Прасада и Чарльза Соммерфилда ) представляет собой серию неравенств для решений уравнений в частных производных в зависимости от гомотопического класса решения на бесконечности. Этот набор неравенств очень полезен для решения солитонных уравнений. Часто, настаивая на выполнении границы (так называемой «насыщенной»), можно придумать более простой набор уравнений в частных производных для решения уравнений Богомольного . Решения, насыщающие границу, называются « состояниями BPS » и играют важную роль в теории поля и теории струн .

Пример

Основная статья: теория Гинзбурга – Ландау

В теории неабелева Янга–Миллса–Хиггса энергия в данный момент времени t определяется выражением

$E=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}\pi ^{T}\pi +V(\varphi )+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {E}}\cdot {\vec {E}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]$

где $\pi$ — ковариантная производная поля Хиггса , а V — потенциал. Если предположить, что V неотрицательно и равно нулю только для вакуума Хиггса и что поле Хиггса находится в присоединенном представлении , то в силу тождества Янга–Миллса Бьянки

${\begin{aligned}E&\geq \int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\overrightarrow {D\varphi }}\right]+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]\\&\geq \int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}}{\vec {B}}\right)^{2}\pm {\frac {1}{g}}{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\vec {B}}\right]\\&\geq \pm {\frac {1}{g}}\int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\vec {B}}\right]\\&=\pm {\frac {1}{g}}\int _{S^{2}\ \mathrm {boundary} }\operatorname {Tr} \left[\varphi {\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}\right].\end{aligned}}$

Поэтому,

$E\geq \left\|\int _{S^{2}}\operatorname {Tr} \left[\varphi {\vec {B}}\cdot d{\vec {S}}\right]\right\|.$

Насыщение неравенства получается при выполнении уравнений Богомольного.

${\overrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}}{\vec {B}}=0,$

Другое условие насыщения состоит в том, что масса Хиггса и самодействие равны нулю, что имеет место в суперсимметричных теориях с N = 2.

Эта величина является абсолютной величиной магнитного потока .

Существует также небольшое обобщение, применимое к дионам. Для этого поле Хиггса должно быть комплексным, а не реальным сопряженным.

Суперсимметрия

В суперсимметрии граница BPS является насыщенной, когда половина (или четверть, или восьмая) генераторов SUSY не нарушены. Это происходит, когда масса равна центральному расширению , которое обычно является топологическим зарядом .

Фактически, большинство бозонных границ BPS на самом деле происходят из бозонного сектора суперсимметричной теории, и это объясняет их происхождение.