Теорема об отсутствии связи

В физике теорема об отсутствии связи или принцип отсутствия сигнализации — это запретная теорема из квантовой теории информации , которая утверждает, что во время измерения запутанного квантового состояния это невозможно для одного наблюдателя, производя измерение подсистемы. общего состояния, чтобы передать информацию другому наблюдателю. Теорема важна, потому что в квантовой механике квантовая запутанность — это эффект, с помощью которого определенные широко разделенные события могут быть коррелированы способами, которые, на первый взгляд, предполагают возможность связи со скоростью, превышающей скорость света . Теорема об отсутствии связи дает условия, при которых такая передача информации между двумя наблюдателями невозможна. Эти результаты могут быть применены для понимания так называемых парадоксов в квантовой механике, таких как парадокс ЭПР , или нарушений локального реализма, полученных при проверке теоремы Белла . В этих экспериментах теорема об отсутствии связи показывает, что отказ от локального реализма не приводит к тому, что можно было бы назвать «жутким общением на расстоянии» (по аналогии с тем, как Эйнштейн называл квантовую запутанность требующей «жутких действий на расстоянии»). в предположении полноты КМ).

Неофициальный обзор

Теорема об отсутствии связи утверждает, что в контексте квантовой механики невозможно передать классические биты информации посредством тщательно подготовленных смешанных или чистых состояний , независимо от того, запутаны они или нет. Теорема является лишь достаточным условием, которое утверждает, что если матрицы Крауса коммутируют, то не может быть никакой связи через квантово-запутанные состояния, и это применимо ко всей коммуникации. С точки зрения теории относительности и квантового поля также запрещена скорость, превышающая скорость света, или «мгновенная» связь. Являясь лишь достаточным условием, могут быть дополнительные случаи, когда общение не разрешено, а также могут быть случаи, когда все еще возможно общаться через квантовый канал, кодируя больше, чем классическую информацию.

Что касается коммуникации, квантовый канал всегда можно использовать для передачи классической информации посредством общих квантовых состояний. В 2008 году Мэтью Гастингс доказал контрпример, согласно которому минимальная выходная энтропия не является аддитивной для всех квантовых каналов. Следовательно, согласно результату об эквивалентности Питера Шора , Пропускная способность Холево не просто аддитивна, но и супераддитивна, как и энтропия, и, как следствие, могут существовать некоторые квантовые каналы, по которым можно передавать больше, чем классическая пропускная способность. Обычно общая коммуникация происходит одновременно по квантовым и неквантовым каналам, и в целом временной порядок и причинность не могут быть нарушены.

Основное предположение, входящее в теорему, состоит в том, что квантовомеханическая система находится в начальном состоянии с некоторыми запутанными состояниями и что это начальное состояние можно описать как смешанное или чистое состояние в гильбертовом пространстве H . По прошествии определенного времени система разделяется на две части, каждая из которых содержит несколько незапутанных состояний и половину квантово запутанных состояний, и эти две части становятся пространственно различными, A и B , и отправляются двум различным наблюдателям, Алисе и Бобу , которые могут свободно выполнять квантово-механические измерения на своей части общей системы (а именно, A и B). Вопрос заключается в следующем: существует ли какое-либо действие, которое Алиса может выполнить над А, и которое Боб мог бы обнаружить, наблюдая за В? Теорема отвечает «нет».

Важным допущением, лежащим в основе теоремы, является то, что ни Алисе, ни Бобу не разрешается каким-либо образом влиять на подготовку начального состояния. Если бы Алисе разрешили принять участие в подготовке начального состояния, ей было бы тривиально легко закодировать в него сообщение; таким образом, ни Алиса, ни Боб не участвуют в подготовке исходного состояния. Теорема не требует, чтобы начальное состояние было каким-то образом «случайным», «сбалансированным» или «однородным»: действительно, третья сторона, готовящая начальное состояние, могла бы легко закодировать в нем сообщения, полученные Алисой и Бобом. Проще говоря, теорема утверждает, что при некотором начальном состоянии, подготовленном каким-то образом, Алиса не может предпринять никакого действия, которое было бы обнаружено Бобом.

Доказательство продолжается путем определения того, как общее гильбертово пространство H можно разбить на две части, HA _B и H _. , описывая подпространства, доступные Алисе и Бобу Предполагается, что общее состояние системы описывается матрицей плотности σ. Это кажется разумным предположением, поскольку матрицы плотности достаточно для описания как чистых, так и смешанных состояний в квантовой механике. Другая важная часть теоремы состоит в том, что измерение выполняется путем применения обобщенного оператора проектирования P к состоянию σ. Это опять же разумно, поскольку проекционные операторы дают соответствующее математическое описание квантовых измерений . Говорят, что после измерения Алисы состояние всей системы сжалось до состояния P (σ).

Цель теоремы — доказать, что Боб никоим образом не может отличить состояние σ до измерения от состояния P (σ) после измерения. Это достигается математически путем сравнения следа σ и следа P (σ), при этом след берется по подпространству H _A . Поскольку трассировка ведется только над подпространством, ее технически называют частичной трассировкой . Ключом к этому шагу является предположение, что (частичная) трассировка адекватно суммирует систему с точки зрения Боба. То есть все, к чему Боб имеет доступ или к чему мог когда-либо иметь доступ, измеряет или обнаруживает, полностью описывается частичным следом над H _A системы σ. Опять же, это разумное предположение, поскольку оно является частью стандартной квантовой механики. Тот факт, что этот след никогда не меняется, когда Алиса выполняет свои измерения, является выводом доказательства теоремы об отсутствии связи.

Формулировка

Доказательство теоремы обычно иллюстрируется на примере тестов Белла , в которых два наблюдателя Алиса и Боб выполняют локальные наблюдения за общей двудольной системой и используют статистический аппарат квантовой механики, а именно состояния плотности и квантовые операции .

Алиса и Боб выполняют измерения в системе S, основное гильбертово пространство которой равно $$H=H_{A}\otimes H_{B}.$$

Также предполагается, что все конечномерно, чтобы избежать проблем сходимости. Состояние сложной системы задается оператором плотности на H . Любой оператор плотности σ на H представляет собой сумму вида: $$\sigma =\sum _{i}T_{i}\otimes S_{i}$$ где Ti _{соответственно} и Si _— операторы на H _A и H _B . Для дальнейшего не требуется предполагать, что Si _{являются} Ti и операторами _{проецирования} состояния: т.е. они не обязательно должны быть неотрицательными или иметь след единицы. То есть σ может иметь несколько более широкое определение, чем определение матрицы плотности; теорема все еще остается в силе. Заметим, что теорема тривиально справедлива для сепарабельных состояний . Если общее состояние σ отделимо, то ясно, что любая локальная операция Алисы оставит систему Боба нетронутой. Таким образом, суть теоремы в том, что никакая коммуникация не может быть достигнута через общее запутанное состояние.

Алиса выполняет локальное измерение в своей подсистеме. В общем, это описывается квантовой операцией над состоянием системы следующего вида $$P(\sigma )=\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\ \sigma \ (V_{k}\otimes I_{H_{B}}),$$ где V _k называются матрицами Крауса, удовлетворяющими $$\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}=I_{H_{A}}.$$

Термин $$I_{H_{B}}$$ из выражения $$(V_{k}\otimes I_{H_{B}})$$ означает, что измерительная аппаратура Алисы не взаимодействует с подсистемой Боба.

Предположим, что комбинированная система подготовлена ​​в состоянии σ, и предположим, в целях аргументации, нерелятивистскую ситуацию, что сразу (без временной задержки) после того, как Алиса выполнит свое измерение, относительное состояние системы Боба определяется частичным следом общее состояние системы Алисы. В символах относительное состояние системы Боба после операции Алисы равно $$\operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))$$ где $\operatorname {tr} _{H_{A}}$ — это частичное отображение трассировки относительно системы Алисы.

Это состояние можно напрямую вычислить: $${\begin{aligned}\operatorname {tr} _{H_{A}}(P(\sigma ))&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}(V_{k}\otimes I_{H_{B}})^{*}\sigma (V_{k}\otimes I_{H_{B}})\right)\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}\left(\sum _{k}\sum _{i}V_{k}^{*}T_{i}V_{k}\otimes S_{i}\right)\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (V_{k}^{*}T_{i}V_{k})S_{i}\\&=\sum _{i}\sum _{k}\operatorname {tr} (T_{i}V_{k}V_{k}^{*})S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(T_{i}\sum _{k}V_{k}V_{k}^{*}\right)S_{i}\\&=\sum _{i}\operatorname {tr} (T_{i})S_{i}\\&=\operatorname {tr} _{H_{A}}(\sigma ).\end{aligned}}$$

На основании этого утверждается, что статистически Боб не может отличить то, что сделала Алиса, от случайного измерения (или сделала ли она что-нибудь вообще).

Некоторые комментарии

• Если оператор плотности $P(\sigma )$ разрешено развиваться под влиянием нелокальных взаимодействий между A и B, то, вообще говоря, расчет в доказательстве больше не выполняется, если не предполагаются подходящие коммутационные соотношения.
• Таким образом, теорема об отсутствии связи утверждает, что сама по себе общая запутанность не может использоваться для передачи какой-либо информации. Сравните это с теоремой об отсутствии телепортации , которая утверждает, что классический информационный канал не может передавать квантовую информацию. (Под «передачей» мы подразумеваем передачу с полной точностью.) Однако схемы квантовой телепортации используют оба ресурса для достижения того, что невозможно ни для одного из них по отдельности.
• Теорема об отсутствии связи подразумевает теорему о запрете клонирования , которая утверждает, что квантовые состояния не могут быть (идеально) скопированы. То есть клонирование является достаточным условием для передачи классической информации. Чтобы убедиться в этом, предположим, что квантовые состояния можно клонировать. Предположим, что части максимально запутанного состояния Белла распределены между Алисой и Бобом. Алиса могла бы послать биты Бобу следующим образом: если Алиса желает передать «0», она измеряет вращение своего электрона в направлении z , сжимая состояние Боба либо до $|z+\rangle _{B}$ или $|z-\rangle _{B}$. Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом . Боб создает множество копий состояния своего электрона и измеряет вращение каждой копии в направлении z . Боб будет знать, что Алиса передала «0», если все его измерения дадут одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты $|z+\rangle _{B}$ или $|z-\rangle _{B}$ с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу передавать друг другу классические биты (возможно, через пространственное разделение, нарушая причинность ).
• Версия теоремы об отсутствии связи, обсуждаемая в этой статье, предполагает, что квантовая система, разделяемая Алисой и Бобом, является составной системой, т.е. что лежащее в ее основе гильбертово пространство представляет собой тензорное произведение, первый фактор которого описывает часть системы, с которой Алиса может взаимодействовать. с и чей второй фактор описывает часть системы, с которой может взаимодействовать Боб. В квантовой теории поля это предположение можно заменить предположением, что Алиса и Боб разделены пространственноподобно . Эта альтернативная версия теоремы об отсутствии связи показывает, что связь со скоростью, превышающей скорость света, не может быть достигнута с использованием процессов, подчиняющихся правилам квантовой теории поля.
• Доказательство теоремы об отсутствии связи предполагает, что все измеримые свойства системы Боба могут быть вычислены из ее приведенной матрицы плотности, что верно с учетом правила Борна для расчета вероятности проведения различных измерений. Но эту эквивалентность с правилом Борна можно, по сути, вывести и в противоположном направлении, поскольку можно показать, что правило Борна следует из предположения, что пространственноподобные отдельные события не могут нарушать причинность, влияя друг на друга.

См. также

• Теорема о запрете трансляции
• Теорема о запрете клонирования
• Теорема о запрете удаления
• Теорема о несокрытии
• Теорема об отсутствии телепортации

Ссылки

• Флориг, Мартин; Саммерс, Стивен Дж. (1997). «О статистической независимости алгебр наблюдаемых». Журнал математической физики . 38 (3). Издательство АИП: 1318–1328. Бибкод : 1997JMP....38.1318F . дои : 10.1063/1.531812 . ISSN   0022-2488 .