Полевая электронная эмиссия

Полевая электронная эмиссия , также известная как полевая эмиссия ( FE ) и полевая эмиссия электронов , представляет собой эмиссию электронов , индуцированную электростатическим полем . Наиболее распространенным контекстом является автоэлектронная эмиссия с твердой поверхности в вакуум . Однако автоэмиссия может происходить с твердых или жидких поверхностей, в вакуум, жидкость (например, воздух ) или любой непроводящий или слабопроводящий диэлектрик . Индуцированное полем продвижение электронов из валентной зоны в зону проводимости ( полупроводников эффект Зинера ) также можно рассматривать как форму автоэмиссии. Терминология является исторической, поскольку родственные явления поверхностного фотоэффекта, термоэлектронной эмиссии (или эффекта Ричардсона-Душмана ) и «холодной электронной эмиссии», т. е. эмиссии электронов в сильных статических (или квазистатических) электрических полях, были открыты и изучены независимо от 1880-1930-е годы. Когда полевая эмиссия используется без определителей, это обычно означает «холодную эмиссию».

Автоэмиссия в чистых металлах возникает в сильных электрических полях : градиенты обычно превышают 1 гигавольт на метр и сильно зависят от работы выхода . Хотя источники электронов, основанные на автоэмиссии, имеют ряд применений, автоэмиссия чаще всего является нежелательным первичным источником явлений вакуумного пробоя и электрического разряда , которые инженеры стараются предотвратить. Примеры применения поверхностной полевой эмиссии включают создание ярких источников электронов для электронных микроскопов высокого разрешения или разряд индуцированных зарядов с космических кораблей . Устройства, устраняющие наведенные заряды, называются нейтрализаторами заряда .

Полевая эмиссия была объяснена квантовым туннелированием электронов в конце 1920-х годов. Это был один из триумфов зарождающейся квантовой механики . Теория автоэмиссии из объемных металлов была предложена Ральфом Х. Фаулером и Лотаром Вольфгангом Нордхаймом . семейство приближенных уравнений — уравнений Фаулера–Нордгейма В их честь названо . Строго говоря, уравнения Фаулера-Нордгейма применимы только к автоэмиссии из объемных металлов и (с соответствующей модификацией) к другим объемным кристаллическим твердым телам , но они часто используются – в грубом приближении – для описания автоэмиссии из других материалов.

Терминология и соглашения

Полевая электронная эмиссия , полевая электронная эмиссия , полевая эмиссия и полевая эмиссия электронов — общие названия этого экспериментального явления и его теории. Здесь используется имя.

Туннелирование Фаулера-Нордхейма — это волново-механическое туннелирование электронов через закругленный треугольный барьер, созданный на поверхности электронного проводника путем приложения очень сильного электрического поля. Отдельные электроны могут покидать туннель Фаулера-Нордхейма из многих материалов при самых разных обстоятельствах.

Электронная эмиссия в холодном поле (CFE) — это название, данное определенному статистическому режиму эмиссии, в котором электроны в эмиттере изначально находятся во внутреннем термодинамическом равновесии и в котором большинство испускаемых электронов убегают посредством туннелирования Фаулера-Нордгейма из электронных состояний, близких к эмиттера уровень Ферми . (Напротив, в режиме эмиссии Шоттки большинство электронов улетают через верхнюю часть барьера с пониженным полем, из состояний значительно выше уровня Ферми.) Многие твердые и жидкие материалы могут испускать электроны в режиме CFE, если электрическое поле применяется соответствующий размер.

Уравнения типа Фаулера-Нордгейма представляют собой семейство приближенных уравнений, полученных для описания CFE на основе внутренних электронных состояний в объемных металлах. Разные члены семьи представляют разную степень приближения к реальности. Приближенные уравнения необходимы потому, что для физически реалистичных моделей туннельного барьера математически принципиально невозможно точно решить уравнение Шредингера каким-либо простым способом. Нет никаких теоретических оснований полагать, что уравнения типа Фаулера-Нордгейма достоверно описывают автоэмиссию из материалов, отличных от объемных кристаллических твердых тел.

Для металлов режим CFE простирается до температуры, значительно превышающей комнатную. Существуют и другие режимы эмиссии электронов (такие как « тепловая эмиссия электронов » и « эмиссия Шоттки »), которые требуют значительного внешнего нагрева эмиттера. Существуют также режимы эмиссии, в которых внутренние электроны не находятся в термодинамическом равновесии и ток эмиссии частично или полностью определяется подачей электронов в эмитирующую область. Подобный неравновесный процесс эмиссии можно назвать полевой (электронной) эмиссией, если большая часть электронов уходит туннельным путем, но, строго говоря, это не ДЭФ и неточно описывается уравнением типа Фаулера-Нордгейма.

Необходимо соблюдать осторожность, поскольку в некоторых контекстах (например, в технике космических кораблей) термин «автоэлектронная эмиссия» применяется к полевой эмиссии ионов (автомобильная ионная эмиссия), а не электронов, а также потому, что в некоторых теоретических контекстах «автоэлектронная эмиссия» используется как общее название, охватывающее как автоэлектронную, так и автоионную эмиссию.

Исторически явление автоэлектронной эмиссии было известно под разными названиями, в том числе «эффект эоны», «автоэлектронная эмиссия», «холодная эмиссия», «эмиссия холодного катода», «автоэмиссия», «автоэлектронная эмиссия». и «автоэлектронная эмиссия».

Уравнения в этой статье написаны с использованием Международной системы величин (ISQ). Это современная (после 1970-х годов) международная система, основанная на рационализированной системе уравнений метр-килограмм-секунда (rmks), которая используется для определения единиц СИ. В более старой литературе по автоэмиссии (и в статьях, которые непосредственно копируют уравнения из старой литературы) некоторые уравнения часто пишутся с использованием более старой системы уравнений, в которой не используется величина ε ₀ . В этой статье все такие уравнения были преобразованы в современную международную форму. Для ясности это следует делать всегда.

Поскольку работа выхода обычно задается в электронвольтах (эВ), а поля часто удобно измерять в вольтах на нанометр (В/нм), значения большинства универсальных констант здесь приводятся в единицах, включающих эВ, В и нм. Это становится все более обычной практикой в ​​исследованиях полевых выбросов. Однако все уравнения здесь являются уравнениями, совместимыми с ISQ, и остаются согласованными по размерам, как того требует современная международная система. Для обозначения их статуса числовые значения универсальных констант приводятся к семи значащим цифрам. Значения получены с использованием значений фундаментальных констант 2006 года.

Ранняя история автоэлектронной эмиссии

Полевая электронная эмиссия имеет долгую, сложную и запутанную историю. В этом разделе рассматривается ранняя история, вплоть до вывода исходного уравнения типа Фаулера – Нордхейма в 1928 году.

Оглядываясь назад, кажется вероятным, что электрические разряды, о которых сообщил Дж. Х. Винклер, в 1744 г. были начаты ДОВЭ от его проволочного электрода. Однако значимые расследования пришлось отложить до тех пор, пока Томсон Дж. Дж . идентификация электрона в 1897 году и до тех пор, пока он не был понят – по тепловой эмиссии. и фотоэмиссия работа – что электроны могут испускаться изнутри металлов (а не из молекул газа, адсорбированных на поверхности ), и что – в отсутствие приложенных полей – электроны, вылетающие из металлов, должны преодолевать барьер работы выхода.

По крайней мере еще в 1913 году предполагалось, что полевая эмиссия представляет собой отдельный физический эффект. Однако только после того, как методы вакуумной очистки и очистки образцов значительно улучшились, это стало общепринятым. Лилиенфельд (который в первую очередь интересовался источниками электронов для медицинского рентгеновского применения), опубликованный в 1922 году. первое четкое описание на английском языке экспериментальной феноменологии эффекта, который он назвал «автоэлектронной эмиссией». Он работал над этой темой в Лейпциге примерно с 1910 года. Кляйнт описывает эту и другие ранние работы.

После 1922 года интерес к экспериментам возрос, особенно в группах под руководством Милликена в Калифорнийском технологическом институте (Калифорнийский технологический институт) в Пасадене, Калифорния . и Госслингом из General Electric Company в Лондоне. Попытки понять автоэлектронную эмиссию включали в себя построение экспериментальных данных тока-напряжения ( i – V ) различными способами, чтобы найти прямую зависимость. Ток увеличивался с напряжением быстрее, чем линейно, но графики типа log( i ) в зависимости от V не были прямыми. Уолтер Х. Шоттки в 1923 году предположил, что этот эффект может быть обусловлен термоиндуцированной эмиссией через барьер с уменьшенным полем. Если это так, то графики зависимости log( i ) от √ V должны быть прямыми, но это не так. Объяснение Шоттки также несовместимо с экспериментальным наблюдением лишь очень слабой температурной зависимости в CFE. – момент, который изначально упустили из виду.

Прорыв произошел, когда К.С. Лауритсен (и Дж. Роберт Оппенгеймер независимо ) обнаружил, что графики зависимости log( i ) от 1/ V дают хорошие прямые линии. Этот результат опубликован Милликеном и Лауритсеном. в начале 1928 года был известен Фаулеру и Нордхейму .

Оппенгеймер предсказал что индуцированное полем туннелирование электронов из атомов (эффект, который теперь называется ионизацией поля) будет иметь эту зависимость i ( V ), нашел эту зависимость в опубликованных экспериментальных результатах по автоэлектронной эмиссии Милликена и Эйринга, и предположил, что CFE возникает из-за индуцированного полем туннелирования электронов с атомоподобных орбиталей в поверхностных атомах металла. Альтернативная теория Фаулера – Нордхейма объяснил как открытие Милликена-Лауритсена, так и очень слабую зависимость тока от температуры. Теория Фаулера-Нордхейма предсказала, что оба последствия будут следствием, если CFE возникнет из-за индуцированного полем туннелирования из состояний типа свободных электронов в том, что мы сейчас называем металлической зоной проводимости , с заполнением электронных состояний в соответствии со статистикой Ферми-Дирака .

У Оппенгеймера были серьезные неверные математические детали его теории. CFE, была также небольшая численная ошибка В окончательном уравнении, заданном теорией Фаулера-Нордгейма для плотности тока : она была исправлена ​​в статье 1929 года ( Stern, Gossling & Fowler 1929 ).

Строго говоря, если барьерное поле в теории Фаулера-Нордхейма 1928 г. точно пропорционально приложенному напряжению и если площадь эмиссии не зависит от напряжения, то теория Фаулера-Нордхейма 1928 г. предсказывает, что графики вида (log( i / V ² ) vs. 1/ V ) должны быть точными прямыми. Однако современные экспериментальные методы были недостаточно хороши, чтобы отличить теоретический результат Фаулера-Нордхейма от экспериментального результата Милликена-Лауритсена.

Таким образом, к 1928 году было достигнуто базовое физическое понимание происхождения ЭФЭ из массивных металлов и получено исходное уравнение типа Фаулера-Нордгейма.

В литературе часто представлены работы Фаулера-Нордхейма как доказательство существования туннелирования электронов , предсказанного волновой механикой. Хотя это верно, обоснованность волновой механики была в значительной степени признана к 1928 году. Более важная роль статьи Фаулера-Нордхейма заключалась в том, что она представляла собой убедительный экспериментальный аргумент о том, что статистика Ферми-Дирака применяется к поведению электронов в металлах. по предложению Зоммерфельда в 1927 году. Успех теории Фаулера-Нордгейма во многом подтвердил правильность идей Зоммерфельда и во многом помог создать современную теорию электронных зон . В частности, оригинальное уравнение типа Фаулера-Нордгейма было одним из первых, включивших статистико-механические следствия существования спина электрона в теорию экспериментального эффекта конденсированного состояния. Статья Фаулера-Нордхейма также заложила физическую основу для единого подхода к полевой и термической электронной эмиссии . До 1928 года предполагалось, что в металлах существуют два типа электронов, «термионы» и «электроны проводимости», и что токи термоэмиссионных электронов возникают из-за эмиссии термоионов, но токи, эмитируемые автоэлектронами, возникают из-за эмиссия электронов проводимости. В работе Фаулера-Нордхейма 1928 года предполагалось, что термоионы не обязательно должны существовать как отдельный класс внутренних электронов: электроны могут происходить из одной зоны , занятой в соответствии со статистикой Ферми-Дирака, но будут испускаться статистически разными способами в разных условиях. температура и приложенное поле.

Идеи Оппенгеймера , Фаулера и Нордгейма также послужили важным стимулом для развития Георгием Гамовым . и Рональд В. Герни и Эдвард Кондон , позже, в 1928 г., теории радиоактивного распада ядер (путем туннелирования альфа-частиц ).

Практическое применение: прошлое и настоящее

Полевая электронная микроскопия и связанные с ней основы

Как уже указывалось, ранние экспериментальные работы по автоэлектронной эмиссии (1910–1920 гг.) было обусловлено желанием Лилиенфельда разработать миниатюрные рентгеновские трубки для медицинского применения. Однако для успеха этой технологии было еще слишком рано.

После теоретической работы Фаулера-Нордхейма в 1928 году большим достижением стала разработка в 1937 году Эрвином В. Мюллером сферической геометрии полевого электронного микроскопа (FEM). (также называемый «автоэмиссионным микроскопом»). В этом приборе эмиттером электронов является остроконечная проволока с радиусом вершины r . Он размещается в вакуумной камере напротив детектора изображения (первоначально люминофорного экрана) на расстоянии R от него. На экране микроскопа отображается проекционное изображение распределения плотности тока J по вершине эмиттера с увеличением примерно ( R / r ), обычно 10. ⁵ до 10 ⁶ . В исследованиях FEM радиус вершины обычно составляет от 100 нм до 1 мкм. Кончик заостренного провода, когда его называют физическим объектом, называют «эмиттером поля», «наконечником» или (в последнее время) «эмиттером Мюллера».

Когда поверхность эмиттера чистая, это изображение методом МКЭ характеризует: (а) материал, из которого изготовлен эмиттер: (б) ориентацию материала относительно оси иглы/проволоки; и (c) в некоторой степени форму торца эмиттера. На изображении FEM темные области соответствуют областям, где локальная работа выхода φ относительно высока и/или локальное барьерное поле F относительно низкое, поэтому J относительно низкое; светлые области соответствуют областям, где φ относительно низкий и/или F относительно высокий, поэтому J относительно высокий. Это соответствует показателю степени уравнений типа Фаулера – Нордгейма [см. (30) ниже].

Адсорбция слоев атомов газа (например, кислорода) на поверхности эмиттера или его части может создавать поверхностные электрические диполи , которые изменяют локальную работу выхода этой части поверхности. Это влияет на изображение FEM; кроме того, изменение работы выхода можно измерить с помощью графика Фаулера – Нордхейма (см. ниже). Таким образом, МКЭ стал одним из первых инструментов наблюдения в науке о поверхности . Например, в 1960-х годах результаты FEM внесли значительный вклад в дискуссии о гетерогенном катализе . FEM также использовался для изучения диффузии поверхностных атомов . Однако в настоящее время метод МКЭ почти полностью вытеснен новыми методами изучения поверхности.

Следствием разработки FEM и последующих экспериментов стало то, что стало возможным определить (на основе проверки изображения FEM), когда эмиттер был «чистым» и, следовательно, демонстрировал свою рабочую функцию с чистой поверхностью, как установлено другими методами. Это было важно в экспериментах, призванных проверить справедливость стандартного уравнения типа Фаулера – Нордхейма. В этих экспериментах было получено значение коэффициента преобразования напряжения в барьерное поле β из графика Фаулера-Нордгейма (см. ниже), предполагая значение φ для чистой поверхности для вольфрама, и сравнили его со значениями, полученными на основе электронного микроскопа наблюдений . форма эмиттера и электростатическое моделирование. Достигнуто согласие с точностью около 10%. Только совсем недавно Можно ли было провести сравнение наоборот, поднеся хорошо подготовленный зонд настолько близко к хорошо подготовленной поверхности, что можно было бы предположить геометрию, близкую к параллельной пластине, и коэффициент преобразования можно было бы принять как 1/ W , где W — измеренное расстояние между зондом и эмиттером. Анализ полученного графика Фаулера-Нордхейма дает значение работы выхода, близкое к независимо известной работе выхода эмиттера.

Полевая электронная спектроскопия (анализ энергии электронов)

Впервые об измерениях распределения энергии автоэмиссионных электронов было сообщено в 1939 году. В 1959 году это было теоретически реализовано Янгом. и подтверждено экспериментально Янгом и Мюллером что величина, измеренная в сферической геометрии, представляет собой распределение полной энергии испущенного электрона (его «распределение полной энергии»). Это связано с тем, что в сферической геометрии электроны движутся таким образом, что угловой момент относительно точки эмиттера почти сохраняется. Следовательно, любая кинетическая энергия , которая при излучении направлена ​​в направлении, параллельном поверхности эмиттера, преобразуется в энергию, связанную с радиальным направлением движения. Итак, в анализаторе энергии измеряется полная энергия излучения.

С развитием чувствительных анализаторов энергии электронов в 1960-х годах стало возможным измерять мелкие детали распределения полной энергии. Они отражают мелкие детали физики поверхности , и техника полевой электронной спектроскопии какое-то время процветала, прежде чем ее вытеснили более новые методы науки о поверхности.

Полевые эмиттеры электронов как источники электронных пушек

Источник электронов с эмиттером Шоттки электронного микроскопа

Чтобы добиться высокого разрешения в электронных микроскопах и других электронно-лучевых приборах (например, используемых для электронно-лучевой литографии ), полезно начать с небольшого, оптически яркого и стабильного источника электронов. Источники, основанные на геометрии излучателя Мюллера, хорошо соответствуют первым двум критериям. Первое наблюдение отдельного атома электронным микроскопом (ЭМ) было сделано Крю, Уоллом и Лэнгмором в 1970 году. с использованием сканирующего электронного микроскопа, оснащенного ранней автоэмиссионной пушкой.

Начиная с 1950-х годов, значительные усилия были направлены на разработку источников автоэлектронной эмиссии для использования в электронных пушках . [например, DD53] Были разработаны методы генерации осевых пучков либо путем создания эмиттера, индуцированного полем, либо путем селективного осаждения адсорбата с низкой работой выхода ( обычно оксида циркония – ZrO) в плоскую вершину эмиттер с ориентацией (100) вольфрамовый .

Источники, работающие при комнатной температуре, имеют тот недостаток, что они быстро покрываются молекулами адсорбата , поступающими со стенок вакуумной системы, и эмиттер приходится время от времени очищать, «прошивая» до высокой температуры. В настоящее время все чаще используются источники на основе излучателей Мюллера, которые работают при повышенных температурах либо в режиме излучения Шоттки , либо в так называемом промежуточном режиме температурного поля. Многие современные электронные микроскопы высокого разрешения и электронно-лучевые приборы используют ту или иную форму источника электронов на основе эмиттера Мюллера. В настоящее время предпринимаются попытки разработать углеродные нанотрубки (УНТ) в качестве источников автоэлектронной эмиссии.

Использование источников автоэмиссии в электронно-оптических приборах привело к разработке соответствующих теорий оптики заряженных частиц. и развитие соответствующего моделирования. Для излучателей Мюллера были опробованы различные модели формы; Лучшей, по-видимому, является модель «Сфера на ортогональном конусе» (SOC), предложенная Дайком и Троланом. Долан и Барнс в 1953 году. Важные симуляции, включающие отслеживание траектории с использованием модели излучателя SOC, были проведены Визенером и Эверхартом. В настоящее время возможность моделирования автоэлектронной эмиссии эмиттеров Мюллера часто включается в коммерческие программы электронной оптики, используемые для проектирования электронно-лучевых приборов. Создание эффективных современных автоэмиссионных электронных пушек требует узкоспециализированных знаний.

Атомно-острые излучатели

В настоящее время можно изготавливать очень острые эмиттеры, в том числе эмиттеры, оканчивающиеся одним атомом. В этом случае эмиссия электронов происходит из области, примерно в два раза превышающей кристаллографический размер одного атома. Это было продемонстрировано путем сравнения методом FEM и полевого ионного микроскопа (FIM). изображений эмиттера, полученных Одноатомные эмиттеры Мюллера также имеют отношение к сканирующей зондовой микроскопии и сканирующей ионной микроскопии гелия (He SIM). Методы их приготовления исследуются уже много лет. Связанным с этим важным недавним достижением стала разработка (для использования в He SIM) автоматизированного метода восстановления трехатомной («тримерной») вершины в исходное состояние, если тример распадается.

Источники автоэмиссии большой площади: вакуумная наноэлектроника

Аспекты материалов

Источники полевых выбросов большой площади вызывают интерес с 1970-х годов. В этих устройствах на подложке (первоначально кремниевой) создается высокая плотность отдельных участков автоэмиссии. Это направление исследований стало известно сначала как «вакуумная микроэлектроника», теперь как «вакуумная наноэлектроника».

Один из двух первоначальных типов устройств, « Массив Шпиндта ». использовали кремниевых интегральных схем (ИС) методы изготовления для изготовления регулярных массивов, в которых молибденовые конусы помещались в небольшие цилиндрические пустоты в оксидной пленке, причем пустоты закрывались противоэлектродом с центральным круглым отверстием. Эта общая геометрия также использовалась для углеродных нанотрубок, выращенных в пустоте.

Другим оригинальным типом устройства был «излучатель Лэтэма». Это были MIMIV (металл-изолятор-металл-изолятор-вакуум) – или, в более общем смысле, CDCDV (проводник-диэлектрик-проводник-диэлектрик-вакуум) – устройства, которые содержали проводящие частицы в диэлектрической пленке. Устройство излучает поле, потому что его микроструктура/наноструктура обладает свойствами усиления поля. Этот материал имел потенциальное производственное преимущество, заключающееся в том, что его можно было наносить в виде «чернил», поэтому технологии изготовления ИС не требовались. Однако на практике изготовление одинаково надежных устройств оказалось затруднительным.

Исследования продвигались в поисках других материалов, которые можно было бы наносить/выращивать в виде тонких пленок с подходящими свойствами усиления поля. В конструкции с параллельными пластинами «макроскопическое» поле между _FM пластинами определяется выражением = _FM V / W , где W — расстояние между пластинами, а V — приложенное напряжение. Если на одной пластине создан острый объект, то локальное поле F на его вершине больше, чем FM _, с FM _{соотношением} и может быть связано

$F=\gamma F_{\mathrm {M} }.$

Параметр γ называется «коэффициентом усиления поля» и в основном определяется формой объекта. Поскольку автоэмиссионные характеристики определяются локальным полем F , то чем выше значение γ объекта, тем меньше значение FM _, при котором возникает значительная эмиссия. Следовательно, для данного значения W тем ниже приложенное напряжение V , при котором происходит значительная эмиссия.

В течение примерно десяти лет, начиная с середины 1990-х годов, существовал большой интерес к автоэлектронной эмиссии из плазменно-осажденных пленок аморфного и «алмазоподобного» углерода . Однако впоследствии интерес уменьшился, отчасти из-за появления излучателей УНТ , а отчасти из-за того, что появились доказательства того, что места выбросов могут быть связаны с частицами углерода, созданными неизвестным образом в процессе осаждения : это предполагало, что контроль качества промышленного Процесс масштабного производства может оказаться проблематичным.

Внедрение полевых эмиттеров УНТ, как в форме «мата», так и в форме «выращенного массива», это был значительный шаг вперед. Были проведены обширные исследования как их физических характеристик, так и возможных технологических применений. Что касается автоэлектронной эмиссии, преимущество УНТ заключается в том, что благодаря своей форме и высокому соотношению сторон они являются «естественными объектами, усиливающими поле».

В последние годы также наблюдается массовый рост интереса к разработке других форм тонкопленочных эмиттеров, основанных как на других формах углерода (таких как «углеродные наностенки», так и на основе других форм углерода). ") и на различных формах широкозонных полупроводников. Особой целью является разработка «высоко- γ » наноструктур с достаточно высокой плотностью отдельных эмиссионных центров. Тонкие пленки нанотрубок в виде паутины нанотрубок также используются для создания автоэмиссионных электродов. Показано, что за счет точной настройки параметров изготовления этих полотен можно достичь оптимальной плотности отдельных мест эмиссии. Показано, что двухслойные электроды, изготовленные путем осаждения двух слоев этих полотен, ориентированных перпендикулярно друг другу, способны снизить электрическое поле включения (электрическое поле, необходимое для достижения тока эмиссии 10 мкА/см). ² ) до 0,3 В/мкм и обеспечивают стабильные характеристики автоэлектронной эмиссии.

Общие проблемы всех автоэмиссионных устройств, особенно тех, которые работают в «условиях промышленного вакуума», заключаются в том, что эффективность излучения может ухудшиться из-за адсорбции атомов газа, поступающих из других частей системы, и форма эмиттера в принципе может быть изменена. вредно из-за множества нежелательных вспомогательных процессов, таких как бомбардировка ионами, возникающими в результате воздействия испускаемых электронов на атомы газовой фазы и/или на поверхность противоэлектродов. Таким образом, важным промышленным требованием является «надежность в условиях плохого вакуума»; это необходимо учитывать при исследовании новых материалов эмиттера.

На момент написания наиболее многообещающими формами источников автоэмиссионной эмиссии большой площади (конечно, с точки зрения достигаемой средней плотности тока эмиссии) кажутся матрицы Спиндта и различные формы источников на основе УНТ.

Приложения

Разработка источников полевого излучения большой площади изначально была обусловлена ​​желанием создать новые, более эффективные формы электронного отображения информации . Они известны как « автоэмиссионные дисплеи » или «наноэмиссионные дисплеи». Хотя было продемонстрировано несколько прототипов, Разработке таких дисплеев в надежные коммерческие продукты препятствует множество проблем промышленного производства, не связанных напрямую с характеристиками источника [En08].

Другие предлагаемые применения источников полевых выбросов большой площади включают генерацию микроволнового излучения , нейтрализацию космических аппаратов, генерацию рентгеновского излучения и (для матричных источников) множественную электронно-лучевую литографию . В последнее время предпринимаются также попытки разработать эмиттеры большой площади на гибких подложках, что соответствует более широким тенденциям к « пластмассовой электронике ».

Разработка таких приложений — миссия вакуумной наноэлектроники. Однако полевые эмиттеры лучше всего работают в условиях хорошего сверхвысокого вакуума. Их наиболее успешное применение на сегодняшний день (FEM, FES и EM-пушки) произошло именно в этих условиях. Печальный факт остается фактом: полевые эмиттеры и условия промышленного вакуума не очень хорошо сочетаются друг с другом, и связанные с этим проблемы надежного обеспечения хорошей «вакуумной устойчивости» источников автоэмиссии, используемых в таких условиях, все еще ждут лучших решений (вероятно, более умных материалов), чем мы сейчас иметь.

Явления вакуумного пробоя и электрического разряда

Как уже указывалось, сейчас считается, что самыми ранними проявлениями автоэлектронной эмиссии были вызванные ею электрические разряды. После работы Фаулера-Нордхайма стало понятно, что CFE был одной из возможных основных причин пробоя вакуума и явлений электрического разряда. (Детальные механизмы и пути могут быть очень сложными, и не существует единой универсальной причины) Хотя известно, что пробой вакуума вызван эмиссией электронов из катода, первоначально предполагалось, что этот механизм заключается в CFE из-за небольших проводящих игольчатых поверхностных выступов. Процедуры использовались (и используются) для округления и сглаживания поверхностей электродов, которые могут генерировать нежелательные токи автоэлектронной эмиссии. Однако работа Лэтэма и других показали, что эмиссия может быть связана и с наличием полупроводниковых включений на гладких поверхностях. Физика того, как генерируется излучение, до сих пор не до конца понятна, но существуют подозрения, что могут иметь место так называемые «эффекты тройного перехода». Дополнительную информацию можно найти в книге Лэтэма. и в онлайн-библиографии.

Внутренний перенос электронов в электронных устройствах

В некоторых электронных устройствах перенос электронов из одного материала в другой или (в случае наклонных зон) из одной зоны в другую (« туннелирование Зенера ») происходит посредством индуцированного полем процесса туннелирования, который можно рассматривать как форму туннеля Фаулера-Нордхейма. Например, в книге Родерика обсуждается теория, относящаяся к контактам металл-полупроводник .

Туннель Фаулера – Нордхейма

Введение

Следующая часть статьи посвящена основам теории холодной автоэлектронной эмиссии из объемных металлов. Это лучше всего рассматривать в четыре основных этапа, включая теорию, связанную с: (1) выводом формулы для « вероятности ухода » путем рассмотрения туннелирования электронов через закругленный треугольный барьер; (2) интегрирование по внутренним состояниям электронов для получения «распределения полной энергии»; (3) второе интегрирование для получения плотности тока эмиссии как функции локального барьерного поля и локальной работы выхода; (4) преобразование этого в формулу для тока как функции приложенного напряжения. Отдельно рассмотрены модифицированные уравнения, необходимые для излучателей большой площади, а также вопросы анализа экспериментальных данных.

Туннелирование Фаулера-Нордгейма — это волново-механическое туннелирование электрона через точный или закругленный треугольный барьер. Выделяются две основные ситуации: (1) когда электрон изначально находится в локализованном состоянии ; (2) когда электрон изначально не сильно локализован и лучше всего представлен бегущей волной . Эмиссия из объемной металлической зоны проводимости представляет собой ситуацию второго типа, и обсуждение здесь относится именно к этому случаю. Предполагается также, что барьер является одномерным (т.е. не имеет латеральной структуры) и не имеет мелкомасштабной структуры, вызывающей эффекты « рассеяния » или «резонанса». Чтобы сделать это объяснение туннелирования Фаулера-Нордхейма относительно простым, необходимы эти предположения; но атомная структура материи фактически игнорируется.

Движущая энергия

Для электрона одномерное уравнение Шрёдингера можно записать в виде

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=\left[U(x)-E_{\mathrm {n} }\right]\Psi (x)=M(x)\Psi (x),$ ( 1 )

где Ψ( x электрона ) — волновая функция , выраженная как функция расстояния x, измеренного от электрической поверхности эмиттера, ħ — приведенная постоянная Планка , m — масса электрона, U ( x ) — потенциальная энергия электрона , En _— полная энергия электрона , связанная с движением в направлении x , и M ( x ) = [ U ( x ) − E _n ] называется движущей энергией электрона. M ( x ) можно интерпретировать как отрицательную кинетическую энергию электрона, связанную с движением гипотетического классического точечного электрона в направлении x , и положительную в барьере.

Форма туннельного барьера определяется тем, как M ( x ) меняется в зависимости от положения в области, где M ( x ) > 0. Две модели имеют особый статус в теории автоэлектронной эмиссии: точный треугольный (ET) барьер и барьер Шоттки – Нордгейма. (СН) барьер . Они определяются уравнениями (2) и (3) соответственно:

$M^{\mathrm {ET} }(x)=h-eFx$ ( 2 )

$M^{\rm {SN}}(x)=h-eFx-e^{2}/(16\pi \varepsilon _{0}x),$ ( 3 )

Здесь h — высота барьера в нулевом поле (или нередуцированная высота ) барьера, e — элементарный положительный заряд , F — поле барьера, а ε ₀ — электрическая постоянная . По соглашению F считается положительным, хотя классическое электростатическое поле было бы отрицательным. Уравнение SN использует классическую потенциальную энергию изображения для представления физического эффекта «корреляции и обмена».

Вероятность побега

Для электрона, приближающегося к данному барьеру изнутри, вероятность выхода (или « коэффициент прохождения » или «коэффициент проникновения») является функцией h и F и обозначается D ( h , F ). Основная цель теории туннелирования — вычислить D ( h , F ). Для физически реалистичных моделей барьеров, таких как барьер Шоттки – Нордгейма, уравнение Шредингера не может быть точно решено каким-либо простым способом. Можно использовать следующий так называемый «полуклассический» подход. Параметр G ( h , F ) может быть определен интегралом JWKB (Джеффриса-Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна) :

$G(h,F)=g\int M^{1/2}{\mbox{d}}x,$ ( 4 )

где интеграл берется поперек барьера (т.е. по области, где M > 0), а параметр g представляет собой универсальную константу, определяемую выражением

$g\,=2{\sqrt {2m}}/\hbar \approx 10.24624\;{\rm {eV}}^{-1/2}\;{\rm {nm}}^{-1}.$ ( 5 )

Forbes переформулировал результат, доказанный Фреманом и Фреманом, чтобы показать, что формально – в одномерной трактовке – точное решение для D может быть записано

$\,D={\frac {P\mathrm {e} ^{-G}}{1+P\mathrm {e} ^{-G}}},$ ( 6 )

где туннельный предфактор P в принципе может быть вычислен путем сложного итеративного интегрирования по пути в комплексном пространстве . В режиме CFE мы имеем (по определению) G ≫ 1. Кроме того, для простых моделей P ≈ 1. Итак, уравнение. (6) сводится к так называемой простой формуле JWKB :

$D\approx P\mathrm {e} ^{-G}\approx \mathrm {e} ^{-G}.$ ( 7 )

Для точного треугольного барьера, полагая уравнение. (2) в уравнение (4) дает G ^И = чч ^3/2 / F , где

$b={\frac {2g}{3e}}={\frac {4{\sqrt {2m}}}{3e\hbar }}\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1}.$ ( 8 )

Этот параметр b представляет собой универсальную константу, которую иногда называют второй константой Фаулера – Нордгейма . Для барьеров другой формы запишем

$G(h,F)=\nu (h,F)G^{\mathrm {ET} }=\nu (h,F)bh^{3/2}/F,$ ( 9 )

где ν ( h , F ) — поправочный коэффициент, который обычно определяется путем численного интегрирования с использованием уравнения. (4).

Поправочный коэффициент для барьера Шоттки – Нордгейма

Барьер Шоттки – Нордгейма для полевой эмиссии Фаулера – Нордгейма (и усиленной термоэлектронной эмиссии )

Барьер Шоттки – Нордгейма, который представляет собой модель барьера, используемую при выводе стандартного уравнения типа Фаулера – Нордгейма, это особый случай. В этом случае известно, что поправочный коэффициент ${\it {\nu }}$ является функцией одной переменной f _h , определяемой формулой f _h = F / F _h , где F _h — поле, необходимое для уменьшения высоты барьера Шоттки – Нордгейма от h до 0. Это поле определяется выражением

$\,F_{h}=(4\pi \epsilon _{0}/e^{3})h^{2}=(0.6944617\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1})(h/{\rm {eV}})^{2}.$ ( 10 )

Параметр f _h принимает значения от 0 до 1 и может быть назван масштабированным полем барьера для барьера Шоттки – Нордгейма с высотой h нулевого поля .

Для барьера Шоттки – Нордгейма ν ( h , F ) задается конкретным значением ν ( f _h ) функции ν ( ℓ′ ). Последняя функция сама по себе является функцией математической физики и была названа основной барьерной функцией Шоттки – Нордгейма . Явное разложение в ряд для ν ( ℓ′ ) получено в статье Дж. Дина 2008 года. следующее хорошее простое приближение для ν ( f _{h ):} Было найдено

$v(f_{h})\approx 1-f_{h}+{\tfrac {1}{6}}f_{h}\ln f_{h}.$ ( 11 )

Ширина затухания

Ширина затухания (по энергии) d _h измеряет, насколько быстро вероятность выхода D высоты барьера h уменьшается с увеличением ; d _h определяется:

${\frac {1}{d_{h}}}=-{\frac {\mathrm {d} (\ln D)}{\mathrm {d} h}}.$ ( 12 )

Когда h увеличивается на d _h , вероятность побега D уменьшается в раз, близкий к e ( ≈ 2,718282). Для элементарной модели, основанной на точном треугольном барьере, где мы полагаем ν = 1 и P ≈ 1, получаем

$d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {2F}{3b{\sqrt {h}}}}={\frac {eF}{g{\sqrt {h}}}}.$

Ширина затухания d _h, полученная из более общего выражения (12), отличается от этого «поправочным коэффициентом ширины затухания» λ _d , поэтому:

$d_{h}=\lambda _{d}d_{h}^{\mathrm {(el)} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {h}}}}.$ ( 13 )

Обычно поправочный коэффициент можно аппроксимировать единицей.

ширина затухания d _F для барьера с h, равным локальной работе выхода φ Особый интерес представляет . Численно это определяется следующим образом:

$d_{\mathrm {F} }={\frac {\lambda _{d}eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx {\frac {eF}{g{\sqrt {\phi }}}}\approx 0.09759678\;\mathrm {eV} \,\cdot {\sqrt {\frac {1\ \mathrm {eV} }{\phi }}}\cdot {\frac {F}{1\ \mathrm {V} \ \mathrm {nm} ^{-1}}}.$ ( 14 )

Для металлов значение d _F обычно составляет порядка 0,2 эВ, но меняется в зависимости от барьерного F. поля

Комментарии

Историческая справка необходима. Идея о том, что барьер Шоттки-Нордгейма нуждается в поправочном коэффициенте, как в уравнении. (9), был введен Нордхаймом в 1928 г. но его математический анализ фактора был неверным. Новую (правильную) функцию предложили Бёрджесс, Кремер и Хьюстон. в 1953 году, а его математика была развита Мерфи и Гудом в 1956 году. Эта скорректированная функция, иногда известная как «специальная эллиптическая функция автоэлектронной эмиссии», выражалась как функция математической переменной y, известной как «параметр Нордгейма». Лишь недавно (2006–2008 гг.) стало понятно, что с математической точки зрения гораздо лучше использовать переменную ℓ′ ( = y ² ) . И только недавно удалось завершить определение ν ( ℓ′ ), разработав и доказав справедливость точного разложения в ряд для этой функции (отталкиваясь от известных частных решений гипергеометрического дифференциального уравнения Гаусса ). Кроме того, приближение (11) было найдено лишь недавно. Приближение (11) превосходит и, по-видимому, в конечном итоге вытеснит все старые приближения эквивалентной сложности. Эти недавние события и их последствия, вероятно, со временем окажут существенное влияние на исследования полевых выбросов.

Следующее резюме объединяет эти результаты. Для туннелирования значительно ниже верха нормального барьера разумной высоты вероятность побега D ( h , F ) формально определяется как:

$D(h,F)\approx P\exp \left[-{\frac {\nu (h,F)bh^{3/2}}{F}}\right],$ ( 15 )

где ν ( h , F ) — поправочный коэффициент, который обычно должен быть найден путем численного интегрирования. Для частного случая барьера Шоттки-Нордгейма существует аналитический результат, и ν ( h , F ) определяется как ν ( f _h ), как обсуждалось выше; аппроксимация (11) для ν ( f _h ) более чем достаточна для всех технологических целей. Предфактор P также в принципе является функцией h и (возможно) F , но для обсуждаемых здесь простых физических моделей обычно достаточно сделать приближение P = 1. Точный треугольный барьер является частным случаем, когда барьер Шредингера уравнение можно решить точно, как это сделали Фаулер и Нордгейм; для этого физически нереалистичного случая ν ( f _h аналитическое приближение для P. ) = 1, и существует

Описанный здесь подход изначально был разработан для описания туннелирования Фаулера-Нордгейма от гладких, классически плоских, плоских излучающих поверхностей. Этого достаточно для гладких классических изогнутых поверхностей с радиусами примерно до 10–20 нм. Его можно адаптировать к поверхностям с более острым радиусом, но тогда такие величины, как ν и D, становятся важными функциями параметра (параметров), используемых для описания кривизны поверхности. Когда эмиттер настолько острый, что нельзя пренебрегать деталями на атомном уровне, и/или туннельный барьер толще размеров вершины эмиттера, тогда желателен более сложный подход.

Как отмечалось вначале, влияние атомной структуры материалов не учитывается в относительно простых трактовках автоэлектронной эмиссии, обсуждаемых здесь. Правильный учет атомной структуры — очень трудная проблема, и прогресс в этом вопросе был достигнут лишь ограниченный. Однако кажется вероятным, что основное влияние на теорию туннелирования Фаулера – Нордгейма (фактически) будет заключаться в изменении значений P и ν в уравнении. (15), на суммы, которые в настоящее время нелегко оценить.

Все эти замечания в принципе применимы к туннелированию Фаулера Нордгейма из любого проводника, где (до туннелирования) электроны можно рассматривать как состояния бегущей волны . Подход можно адаптировать для применения (приблизительно) к ситуациям, когда электроны изначально находятся в локализованных состояниях на излучающей поверхности или очень близко к ней, но это выходит за рамки данной статьи.

Распределение полной энергии

Распределение испускаемых электронов по энергии важно как для научных экспериментов, в которых распределение энергии испускаемых электронов используется для исследования аспектов физики поверхности эмиттера. и для источников полевой эмиссии, используемых в электронно-лучевых приборах, таких как электронные микроскопы . В последнем случае «ширина» (по энергии) распределения влияет на то, насколько точно можно сфокусировать луч.

Теоретическое объяснение здесь следует подходу Forbes. Если ε обозначает полную энергию электрона относительно уровня Ферми эмиттера, а K _p обозначает кинетическую энергию электрона электрона, параллельного поверхности эмиттера, то нормальная энергия ε _n (иногда называемая его «прямой энергией») определяется выражением

$\;\epsilon _{\mathrm {n} }=\epsilon -K_{\mathrm {p} }.$ ( 16 )

Выделяют два типа теоретического распределения энергии: распределение нормальной энергии энергия ε _n (NED), которое показывает, как распределяется сразу после излучения (т. е. сразу за пределами туннельного барьера); и распределение полной энергии полная энергия ε , которое показывает, как распределяется . Когда уровень Ферми эмиттера используется в качестве опорного нулевого уровня, как ε, так и ε _n могут быть как положительными, так и отрицательными.

Эксперименты по энергетическому анализу автоэмиттеров проводятся с 1930-х годов. Однако только в конце 1950-х годов это было реализовано (Янг и Мюллер [,YM58]), что в этих экспериментах всегда измерялось распределение полной энергии, которое сейчас обычно обозначается j ( ε ). Это также верно (или почти верно), когда излучение исходит от небольшого выступа, усиливающего поле, на плоской поверхности.

Чтобы увидеть, как полное распределение энергии может быть рассчитано в рамках модели Зоммерфельда типа свободных электронов , посмотрите на диаграмму пространства-энергии PT (PT="parallel-total").

Диаграмма энергетического пространства PT, показывающая область в энергетическом пространстве PT, где существуют электронные состояния бегущей волны.

Это показывает «параллельную кинетическую энергию» K _p на горизонтальной оси и полную энергию ε на вертикальной оси. Электрон внутри массивного металла обычно имеет значения K _p и ε , лежащие в пределах слегка заштрихованной области. Можно показать, что каждый элемент d ε d K _p этого энергетического пространства вносит вклад $z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }$ плотности электронного тока, падающего на внутреннюю границу эмиттера. Здесь z _S — универсальная константа (называемая здесь Зоммерфельда плотностью предложения ):

$z_{\mathrm {S} }=4\mathrm {\pi } em/h_{\mathrm {P} }^{3}=1.618311\times 10^{14}\,{\rm {{A}\,m^{-2}\,eV^{-2},}}$ ( 17 )

и $f_{\mathrm {FD} }$ – функция распределения Ферми – Дирака :

$\,f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )=1/[1+\exp(\epsilon /k_{\mathrm {B} }T)],$ ( 18 )

где T — термодинамическая температура , а k _B — постоянная Больцмана .

Этот элемент плотности падающего тока видит барьер высотой h, определяемый формулой:

$\,h=\phi -\epsilon +K_{\mathrm {p} }$ ( 19а )

Соответствующая вероятность побега равна D ( h , F ): ее можно представить (приблизительно) в виде

$D(h,F)\approx D_{\mathrm {F} }\;\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\exp(-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} }),$ ( 19б )

где D _F — вероятность выхода из барьера неуменьшенной высоты, равная локальной работе выхода φ . Следовательно, элемент d ε d K _p вносит вклад $z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D\mathrm {d} {\it {\epsilon }}\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }$ Таким образом , общий вклад падающих электронов с энергиями в элементарном диапазоне d ε составляет

$j(\epsilon )\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }\left[\int D\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon =z_{\mathrm {S} }f_{\mathrm {FD} }D_{\mathrm {F} }\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\left[\int _{0}^{\infty }\exp(-K_{\mathrm {p} }/d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} K_{\mathrm {p} }\right]\mathrm {d} \epsilon ,$ ( 20 )

где интеграл в принципе берется вдоль полосы, показанной на диаграмме, но на практике может быть расширен до ∞, когда ширина затухания d _F намного меньше энергии Ферми K _F (что всегда имеет место для металла) . Результат интегрирования можно записать:

$\,j(\epsilon )=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })=j_{\mathrm {F} }f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} }),$ ( 21 )

где $d_{\mathrm {F} }$ и $D_{\mathrm {F} }$ являются значениями, соответствующими барьеру неуменьшенной высоты h, равной локальной работе выхода φ , и $j_{\mathrm {F} }[\,=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }]$ определяется этим уравнением.

Для данного эмиттера и приложенного к нему данного поля $j_{\mathrm {F} }$ не зависит от F , поэтому уравнение (21) показывает, что форма распределения (по мере увеличения ε от отрицательного значения значительно ниже уровня Ферми) представляет собой возрастающую экспоненту, умноженную на функцию распределения FD. Это порождает знакомую форму распределения, впервые предсказанную Янгом. При низких температурах, $f_{\mathrm {FD} }(\epsilon )$ резко меняется от 1 до 0 вблизи уровня Ферми, а полувысота распределения определяется выражением:

$\mathrm {FWHM} \,=d_{\mathrm {F} }\ln(2)\approx 0.693\,d_{\mathrm {F} }.$ ( 22 )

Тот факт, что экспериментальные распределения полной энергии CFE имеют эту базовую форму, является хорошим экспериментальным подтверждением того, что электроны в металлах подчиняются статистике Ферми – Дирака .

Электронная эмиссия в холодном поле

Уравнения типа Фаулера–Нордгейма.

Введение

Уравнения типа Фаулера-Нордхейма в форме J - F представляют собой (приблизительные) теоретические уравнения, полученные для описания локальной плотности тока J, излучаемого из внутренних электронных состояний в зоне проводимости объемного металла. Плотность тока эмиссии (ECD) J для некоторой небольшой однородной области излучающей поверхности обычно выражается как функция J ( φ , F ) локальной работы выхода φ и локального барьерного поля F, которые характеризуют небольшую область. Для резко изогнутых поверхностей J может также зависеть от параметра(ов), используемого для описания кривизны поверхности.

В силу физических предположений, сделанных при первоначальном выводе, термин «уравнение типа Фаулера – Нордгейма» долгое время использовался только для уравнений, описывающих ЭЦП при нулевой температуре. Однако лучше позволить этому названию включать слегка измененные уравнения (обсуждаемые ниже), которые справедливы для конечных температур в режиме излучения CFE.

Форма с нулевой температурой

Плотность тока лучше всего измерять в А/м. ² . Полную плотность тока, излучаемого из небольшой однородной области, можно получить путем интегрирования распределения полной энергии j ( ε ) по отношению к полной энергии электронов ε . При нулевой температуре функция распределения Ферми–Дирака fFD ₌ 1 при ε <0 и fFD ₌ 0 при ε >0. Таким образом, ECD при 0 K, J ₀ , определяется из уравнения. (18) по

$J_{0}=z_{\mathrm {S} }d_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} }\int _{-\infty }^{0}\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })\;\mathrm {d} \epsilon \;=\;z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}D_{\mathrm {F} }\;=\;Z_{\mathrm {F} }D_{\mathrm {F} },$ ( 23 )

где $Z_{\mathrm {F} }\;[=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}]$ является эффективным запасом для состояния F и определяется этим уравнением. Строго говоря, нижний предел интеграла должен быть равен − K _F , где K _F — энергия Ферми ; но если d _F намного меньше K _F (что всегда имеет место для металла), то никакой значительный вклад в интеграл не вносят энергии ниже K _F , и его формально можно расширить до –∞.

Результату (23) можно дать простую и полезную физическую интерпретацию, обратившись к рис. 1. Состояние электрона в точке «F» на диаграмме («состояние F») является «движущимся вперед состоянием на уровне Ферми» (т.е. , он описывает электрон на уровне Ферми, движущийся перпендикулярно поверхности эмиттера и к ней). При 0 К электрон в этом состоянии видит барьер неуменьшенной высоты φ и имеет вероятность выхода D _F выше, чем для любого другого занятого электронного состояния. Поэтому удобно записать J ₀ как Z _F D _F , где «эффективный запас» Z _F — это плотность тока, который должен был бы переноситься состоянием F внутри металла, если бы все излучение вышло из состояния F.

На практике плотность тока в основном возникает из группы состояний, близких по энергии к состоянию F, большая часть которых лежит в сильно заштрихованной области на энергетической диаграмме. Поскольку для модели свободных электронов вклад в плотность тока прямо пропорционален площади в энергетическом пространстве (с плотностью питания Зоммерфельда z _S как константой пропорциональности), полезно рассматривать ECD как взятую из электронные состояния в области размером d _F ² (измеряется в эВ ² ) на энергетическо-пространственной диаграмме. То есть полезно думать о ECD как о состояниях в сильно заштрихованной области на рис. 1. (Это приближение постепенно ухудшается с ростом температуры.)

Z _F также можно записать в виде:

$Z_{\mathrm {F} }=z_{\mathrm {S} }{d_{\mathrm {F} }}^{2}={\lambda _{d}}^{2}(z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2})\phi ^{-1}F^{2}={\lambda _{d}}^{2}a\phi ^{-1}F^{2},$ ( 24 )

где универсальная константа a , иногда называемая первой константой Фаулера-Нордхейма , определяется выражением

$a=z_{\mathrm {S} }e^{2}g^{-2}=e^{3}/8\pi h_{\mathrm {P} }\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2}.$ ( 25 )

Это ясно показывает, что предэкспоненциальный множитель a φ ⁻¹ Ф ² , который появляется в уравнениях типа Фаулера – Нордхейма, относится к эффективной подаче электронов на поверхность эмиттера в модели свободных электронов.

Ненулевые температуры

Чтобы получить результат, справедливый для ненулевой температуры, отметим из уравнения. (23) что z _S d _F D _F знак равно J ₀ / d _F . Итак, когда уравнение. (21) интегрируется при ненулевой температуре, тогда – после этой замены и подстановки явной формы функции распределения Ферми–Дирака – РЭК J можно записать в виде:

$J=J_{0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\exp(\epsilon /d_{\mathrm {F} })}{1+\exp[(\epsilon /d_{\mathrm {F} })(d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T)]}}\mathrm {d} (\epsilon /d_{\mathrm {F} })=\lambda _{T}J_{0},$ ( 26 )

где λ _T — температурный поправочный коэффициент, определяемый интегралом. Интеграл можно преобразовать, записав $w=d_{\mathrm {F} }/k_{\mathrm {B} }T$ и $x=\epsilon /d_{\mathrm {F} }$, а потом $u=\exp(x)$, в стандартный результат:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\mathrm {e} }^{x}}{1+{\mathrm {e} }^{wx}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{1+u^{w}}}={\frac {\pi }{w\sin(\pi /w)}}.$ ( 27 )

Это справедливо для w > 1 (т. е. d _F / k _B T > 1). Следовательно – для таких температур, что k _B T < d _F :

$\lambda _{T}={\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} }}{\sin(\pi k_{\mathrm {B} }T/d_{\mathrm {F} })}}\approx 1+{\frac {1}{6}}\left({\frac {\pi k_{\mathrm {B} }T}{d_{\mathrm {F} }}}\right)^{2},$ ( 28 )

где разложение справедливо только в том случае, если (π k _B T / d _F ) ≪ 1. Примером значения (для φ = 4,5 эВ, F = 5 В/нм, T = 300 К) является λ _T = 1,024. Обычно считалось, что в режиме CFE λ _T всегда мала по сравнению с другими неопределенностями и что обычно нет необходимости явно включать ее в формулы для плотности тока при комнатной температуре.

Режимы эмиссии металлов на практике определяются диапазонами барьерного поля F и температуры T , для которых данное семейство уравнений эмиссии математически адекватно. Когда барьерное поле F достаточно велико для того, чтобы режим ЭФЭ работал при эмиссии металлов при 0 К, то условие k _B T < d _F обеспечивает формальную верхнюю границу (по температуре) режима эмиссии ЭФЭ. Однако утверждалось, что (из-за аппроксимаций, сделанных в других местах вывода) условие k _B T <0,7 d _F является лучшим рабочим пределом: это соответствует значению λ _T около 1,09 и (для примера случая ) верхний температурный предел режима CFE составляет около 1770 К. Этот предел является функцией барьерного поля.

Обратите внимание, что результат (28) здесь применим для барьера любой формы (хотя d _F будет разным для разных барьеров).

Физически полное уравнение типа Фаулера–Нордгейма.

Результат (23) также приводит к некоторому пониманию того, что происходит, когда учитываются эффекты на атомном уровне и зонная структура больше не похожа на структуру свободных электронов. Из-за присутствия атомных ионных остовов поверхностный барьер, а также волновые функции электронов на поверхности будут разными. Это повлияет на значения поправочного коэффициента $\nu$, префактор P и (в ограниченной степени) поправочный коэффициент λ _d . Эти изменения, в свою очередь, повлияют на значения параметра D _F и (в ограниченной степени) параметра d _F . Для реального металла плотность предложения будет меняться в зависимости от положения в энергетическом пространстве, а значение в точке «F» может отличаться от плотности предложения Зоммерфельда. Учесть этот эффект можно, введя поправочный коэффициент электронной зонной структуры λ _B. в уравнение (23). Модинос обсуждал, как можно рассчитать этот коэффициент: по его оценкам, он, скорее всего, будет находиться в диапазоне от 0,1 до 1; оно может находиться за пределами этих пределов, но маловероятно, что оно выйдет за пределы диапазона 0,01< λ _B <10.

Определив общий поправочный коэффициент предложения λ _Z, равный λ _T λ _B λ _d ² , и комбинируя приведенные выше уравнения, мы приходим к так называемому физически полному уравнению типа Фаулера – Нордхейма:

$J\;=\lambda _{Z}a\phi ^{-1}F^{2}P_{\mathrm {F} }\exp[-\nu _{\mathrm {F} }b\phi ^{3/2}/F],$ ( 29 )

где ${\nu }_{\mathrm {F} }$ [= ${\nu }_{\mathrm {F} }$( φ , F )] — поправочный коэффициент экспоненты для барьера неуменьшенной высоты φ . Это наиболее общее уравнение типа Фаулера–Нордгейма. Другие уравнения семейства получаются путем замены трех поправочных коэффициентов конкретными выражениями. ${\nu }_{\mathrm {F} }$, PF _Z и λ _. он содержит обсуждениях автоэмиссии в учебниках для студентов, получается, если положить λ _Z → 1, PF _{Так называемое элементарное уравнение типа Фаулера-Нордгейма, которое появляется в} → 1, ${\nu }_{\mathrm {F} }$→1; это не дает хороших количественных предсказаний, поскольку делает барьер сильнее, чем в физической реальности. Так называемое стандартное уравнение типа Фаулера-Нордгейма, первоначально разработанное Мерфи и Гудом, и широко используемый в прошлой литературе, получается путем помещения λ _Z → t _F ⁻² , P _F →1, ${\nu }_{\mathrm {F} }$→ v _F , где v _F — это v ( f ), где f — значение f _h, полученное путем помещения h = φ , а t _F — связанный параметр (значение близкое к единице).

В рамках более полной теории, описанной здесь, фактор t _F ⁻² является составной частью поправочного коэффициента λ _d ² [видеть, и заметим, что λ _d ² здесь обозначается λ _D ]. Продолжать раздельную идентификацию t _{F не имеет существенного значения.} ⁻² . Вероятно, на современном уровне знаний наилучшее приближение для моделирования ЭТЭ из металлов на основе простых уравнений типа Фаулера-Нордгейма получается, если положить Z _→ 1, PF _λ → 1, ${\nu }_{\mathrm {F} }$ → v ( ж ). Это воссоздает уравнение типа Фаулера-Нордхейма, использованное Дайком и Доланом в 1956 году, и его можно назвать «упрощенным стандартным уравнением типа Фаулера-Нордхейма».

Рекомендуемая форма для простых расчетов типа Фаулера – Нордгейма

В явном виде это рекомендуемое упрощенное стандартное уравнение типа Фаулера – Нордхейма и связанные с ним формулы таковы:

$J=\;a{\phi ^{-1}}F^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],$ ( 30а )

$a\approx \;1.541434\times 10^{-6}\;\mathrm {A\;eV} \;{\mathrm {V} }^{-2};\;\;\;\;\;b\approx 6.830890\;{\mathrm {eV} }^{-3/2}\;\mathrm {V} \;{\mathrm {nm} }^{-1},$ ( 30б )

$v(f)\approx 1-f+(1/6)f\ln f$ ( 30с )

$f=\;F/F_{\phi }=(e^{3}/4\pi \epsilon _{0})(F/{\phi }^{2})=(1.439964\;{\mathrm {eV} }^{2}\;{\mathrm {V} }^{-1}\;\mathrm {nm} )(F/{\phi }^{2}).$ ( 30д )

где F _φ здесь — поле, необходимое для сведения к нулю барьера Шоттки-Нордгейма неуменьшенной высоты, равной локальной работе выхода φ , а f — масштабированное барьерное поле для барьера Шоттки-Нордгейма неуменьшенной высоты φ . [Эту величину f можно было бы записать более точно как f _φ ^СН , но это уравнение типа Фаулера–Нордгейма выглядит менее загроможденным, если принять соглашение, согласно которому простое f означает величину, обозначаемую f _φ ^СН в, экв. (2.16).] Для примера ( φ = 4,5 эВ, F = 5 В/нм), f ≈ 0,36 и v ( f ) ≈ 0,58; Практические диапазоны этих параметров обсуждаются далее.

Обратите внимание, что переменная f (масштабированное барьерное поле) — это не то же самое, что переменная y (параметр Нордхейма), широко использовавшаяся в предыдущей литературе по автоэлектронной эмиссии, и что « v ( f )» НЕ имеет того же математического значения и значений, что и величина « v ( y )», которая появляется в литературе по автоэлектронной эмиссии. В контексте описанной здесь пересмотренной теории формулы для v ( y ) и таблицы значений v ( y ) следует игнорировать или рассматривать как значения v ( f ^1/2 ). более точные значения v ( f ), то Если требуются предоставляет формулы, которые дают значения v ( f ) с абсолютной математической точностью лучше 8×10. ⁻¹⁰ . Однако приведенная выше аппроксимационная формула (30c), которая дает значения с точностью до абсолютной математической точности лучше 0,0025, должна давать значения, достаточно точные для всех технологических целей.

Комментарии

Необходима историческая справка о методах вывода уравнений типа Фаулера–Нордгейма. Существует несколько возможных подходов к выводу этих уравнений с использованием теории свободных электронов . Используемый здесь подход был представлен Forbes в 2004 году и может быть описан как «интегрирование через распределение полной энергии с использованием параллельной кинетической энергии K _p в качестве первой переменной интегрирования». По сути, это свободный электронный эквивалент процедуры Модино. (в более продвинутой квантово-механической трактовке) «интегрирования по поверхностной зоне Бриллюэна». Напротив, трактовка CFE свободными электронами, предложенная Янгом в 1959 г., Гадзук и Пламмер в 1973 году. и Модинос в 1984 году, также интегрируйте через распределение полной энергии, но используйте нормальную энергию ε _n (или связанную с ней величину) в качестве первой переменной интегрирования.

Существует также более старый подход, основанный на основополагающей статье Нордхейма 1928 года: который формулирует проблему по-другому, а затем использует сначала K _p , а затем ε _n (или связанную с ним величину) в качестве переменных интегрирования: это известно как «интегрирование через распределение нормальной энергии». Этот подход продолжает использоваться некоторыми авторами. Хотя он имеет некоторые преимущества, особенно при обсуждении резонансных явлений, он требует интегрирования функции распределения Ферми-Дирака на первом этапе интегрирования: для несвободных электроноподобных электронных зонных структур это может привести к очень сложным и ошибочным расчетам. склонен к математике (как в работах Стрэттона по полупроводникам ). Кроме того, интегрирование через распределение нормальной энергии не приводит к экспериментально измеренным распределениям энергии электронов.

В целом используемый здесь подход кажется более простым для понимания и ведет к упрощению математики.

Он также в принципе ближе к более сложным подходам, используемым при работе с реальными объемными кристаллическими твердыми телами, где первым шагом является либо интегрирование вкладов в ECD по поверхностям с постоянной энергией в пространстве волновых векторов ( k -пространство ), или интегрировать вклады по соответствующей поверхностной зоне Бриллюэна. Подход Форбса эквивалентен либо интегрированию по сферической поверхности в k -пространстве с использованием переменной K _p для определения кольцеобразного элемента интегрирования, который имеет цилиндрическую симметрию относительно оси в направлении, нормальном к излучающей поверхности, либо интегрированию по (расширенная) поверхностная зона Бриллюэна с использованием круглых кольцевых элементов.

Теоретические уравнения CFE

В предыдущем разделе объясняется, как вывести уравнения типа Фаулера – Нордгейма. Строго говоря, эти уравнения применимы только к УЭФ из массивных металлов. Идеи следующих разделов применимы к ДОВСЕ в более общем плане, но ур. (30) будет использовано для их иллюстрации.

Для CFE основные теоретические подходы обеспечивают связь между плотностью локального эмиссионного тока J и локальным барьерным полем F в локальном положении на эмитирующей поверхности. В экспериментах измеряется ток эмиссии i с некоторой определенной части эмиссионной поверхности в зависимости от напряжения V, приложенного к некоторому противоэлектроду. Чтобы связать эти переменные с J и F , используются вспомогательные уравнения.

Коэффициент преобразования напряжения в барьерное поле β определяется следующим образом:

$F=\;\beta V,$ ( 31 )

Значение F меняется от положения к положению на поверхности эмиттера, и значение β меняется соответственно.

Для металлического эмиттера значение β для данного положения будет постоянным (независимо от напряжения) при следующих условиях: (1) устройство представляет собой «диодную» установку, где единственными присутствующими электродами являются эмиттер и набор «окружение», все части которого находятся под одинаковым напряжением; (2) отсутствует значительный автоэмиссионный вакуумный пространственный заряд (FEVSC) (это будет верно, за исключением очень высоких плотностей эмиссионного тока, около 10 ⁹ Являюсь ² или выше ); (3) не существует значимых «полей патчей», в результате неравномерности локальной работы выхода (обычно это считается правдой, но в некоторых обстоятельствах это может быть не так). Для неметаллов физические эффекты, называемые «проникновением поля» и « изгибом зоны » [M084], могут сделать β функцией приложенного напряжения, хотя, что удивительно, исследований этого эффекта мало.

Плотность тока эмиссии J варьируется от положения к положению на поверхности эмиттера. Полный ток эмиссии i из определенной части эмиттера получается путем интегрирования J по этой части. Чтобы получить простое уравнение для i ( V ), используется следующая процедура. В пределах этой части поверхности эмиттера выбирается опорная точка «r» (часто точка, в которой плотность тока наибольшая), а плотность тока в этой опорной точке обозначается J _r . Параметр Ar _: , называемый условной областью излучения (относительно точки «r»), затем определяется следующим образом

$i=A_{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }=\int J\mathrm {d} A,$ ( 32 )

где интеграл берется по интересующей части эмиттера.

Этот параметр Ar _{был введен в теорию CFE Стерном, Госслингом и Фаулером в 1929 году (} которые назвали его «средневзвешенной площадью»). Для практических эмиттеров плотность тока эмиссии, используемая в уравнениях типа Фаулера – Нордхейма, всегда представляет собой плотность тока в некоторой контрольной точке (хотя это обычно не указывается). Давно установившееся соглашение обозначает эту опорную плотность тока простым символом J , а соответствующее локальное поле и коэффициент преобразования простыми символами F и β без индекса «r», использованного выше; в дальнейшем используется это соглашение.

Условная площадь излучения A _r часто будет функцией опорного локального поля (и, следовательно, напряжения), и в некоторых обстоятельствах может быть значительной функцией температуры.

Поскольку Ar _{имеет математическое определение, оно не обязательно соответствует области ,} из которой наблюдается излучение одноточечного эмиттера в полевом электронном (эмиссионном) микроскопе . В случае излучателя большой площади, который содержит множество отдельных источников излучения, A _r почти всегда будет очень-очень большим. чем «макроскопическая» геометрическая площадь ( AM _{намного меньше ,} ) излучателя, наблюдаемая визуально (см. ниже).

Включив эти вспомогательные уравнения в уравнение. (30а) дает

$i=\;A_{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],$ ( 33 )

Это упрощенное стандартное уравнение типа Фаулера – Нордхейма в i - V -форме. Соответствующее «физически полное» уравнение получается умножением на λ _Z P _F .

Модифицированные уравнения для излучателей большой площади

Уравнения предыдущего раздела применимы ко всем автоэмиттерам, работающим в режиме CFE. Однако дальнейшие разработки будут полезны для источников выбросов большой площади, которые содержат множество отдельных мест выбросов.

Для таких излучателей условная площадь выбросов почти всегда будет очень-очень чем кажущаяся «макроскопическая» геометрическая площадь ( AM _{намного меньше ,} ) физического излучателя, наблюдаемая визуально. Безразмерный параметр α _r , эффективность площади излучения , может быть определен как

$A_{\mathrm {r} }=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }.$ ( 34 )

Кроме того, может быть определена «макроскопическая» (или «средняя») плотность тока эмиссии J _M (усредненная по геометрической площади A _M эмиттера) и связана с опорной плотностью тока J _r использованной выше по формуле

$J_{\mathrm {M} }=\;i/A_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }(i/A_{\mathrm {r} })=\alpha _{\mathrm {r} }J_{\mathrm {r} }.$ ( 35 )

Это приводит к следующим «версиям большой площади» упрощенного стандартного уравнения типа Фаулера – Нордхейма:

$J_{\mathrm {M} }=\alpha _{\mathrm {r} }a{\phi ^{-1}}F^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/F],$ ( 36 )

$i=\;\alpha _{\mathrm {r} }A_{\mathrm {M} }a{\phi ^{-1}}{\beta }^{2}V^{2}\exp[-v(f)\;b\phi ^{3/2}/\beta V],$ ( 37 )

Оба эти уравнения содержат эффективность площади излучения α _r . Для любого эмиттера этот параметр имеет значение, которое обычно малоизвестно. В целом α _r сильно различается как между разными материалами эмиттера, так и между разными образцами одного и того же материала, приготовленными и обработанными разными способами. Значения в диапазоне 10 ⁻¹⁰ до 10 ⁻⁶ кажутся вероятными, и могут быть возможны значения за пределами этого диапазона.

Наличие α _r в уравн. (36) объясняет разницу между макроскопическими плотностями тока, часто упоминаемыми в литературе (обычно 10 А/м ² для многих форм излучателей большой площади, кроме массивов Шпиндта ) и локальные плотности тока в местах фактического выброса, которые могут сильно различаться, но, как полагают, обычно составляют порядка 10 ⁹ Являюсь ² или, возможно, немного меньше.

В значительной части технологической литературы по эмиттерам большой площади не удается провести четкое различие между локальной и макроскопической плотностью тока или между условной областью излучения / _и или параметр _{Ar и макроскопической областью AM} α r не учитывается в _{цитируемых} уравнениях. Необходима осторожность во избежание ошибок интерпретации.

Иногда также удобно разделить коэффициент преобразования β _r на «макроскопическую часть», которая связана с общей геометрией эмиттера и его окружения, и «локальную часть», которая связана со способностью очень локальной структуры излучателя и его окружения. поверхность эмиттера для усиления электрического поля. Обычно это делается путем определения «макроскопического поля» FM _, то есть поля, которое присутствовало бы в месте излучения в отсутствие локальной структуры, вызывающей усиление. Это поле F _M связано с приложенным напряжением посредством «коэффициента преобразования напряжения в макроскопическое поле» β _M, определяемого как:

$F_{\mathrm {M} }=\;\beta _{\mathrm {M} }V.$ ( 38 )

В обычном случае системы, состоящей из двух параллельных пластин, разделенных расстоянием W , с созданными на одной из них излучающими наноструктурами, β _M = 1/ W .

Затем определяется «коэффициент усиления поля» γ и связывается со значениями β _r и β _M соотношением

$\gamma =\;F_{\mathrm {r} }/F_{\mathrm {M} }=\beta _{\mathrm {r} }/\beta _{\mathrm {M} }.$ ( 39 )

С уравнением (31), это порождает следующие формулы:

$F=\;\gamma F_{\mathrm {M} }=\beta V;$ ( 40 )

$\beta =\;\beta _{\mathrm {M} }\gamma ;$ ( 41 )

где в соответствии с обычным соглашением суффикс «r» теперь удален из параметров, относящихся к контрольной точке. Существуют формулы для оценки γ с использованием классической электростатики для различных форм излучателей, в частности «полусферы на столбе».

Из уравнения (40) следует, что можно записать версии уравнений типа Фаулера–Нордгейма, в которых либо F , либо βV везде заменяются на $\gamma F_{\mathrm {M} }$. Это часто делается в технологических приложениях, где основной интерес заключается в улучшении полевых свойств наноструктуры локального эмиттера. Однако в некоторых прошлых работах неспособность провести четкое различие между барьерным полем F макроскопическим полем FM _и приводила к путанице или ошибкам.

В более общем смысле, цели технологического развития полевых эмиттеров большой площади заключаются в повышении однородности излучения за счет увеличения значения площади эффективности излучения α _r и в уменьшении напряжения «начала», при котором происходит значительное излучение, за счет увеличения значение β . уравнение (41) показывает, что это можно сделать двумя способами: либо пытаясь создать наноструктуры с «высоким γ », либо изменяя общую геометрию системы так, чтобы β _M увеличивалось. Существуют различные компромиссы и ограничения.

На практике, хотя использованное выше определение макроскопического поля является наиболее распространенным, в литературе используются и другие (определяемые по-разному) типы макроскопического поля и коэффициента усиления поля, особенно в связи с использованием зондов для исследования i - V характеристик. отдельных излучателей.

В технологическом контексте данные автоэмиссии часто изображаются с использованием (конкретного определения) или _в 1/ FM _FM качестве координаты x . Однако для научного анализа обычно лучше не манипулировать экспериментальными данными заранее, а построить график необработанных измеренных i - V напрямую данных. Значения технологических параметров, таких как (различные формы) γ , затем могут быть получены из подобранных параметров графика данных i - V (см. ниже), используя соответствующие определения.

Модифицированные уравнения для нанометрически острых излучателей

Большинство теоретических выводов в теории автоэлектронной эмиссии сделано в предположении, что барьер принимает форму Шоттки – Нордгейма (уравнение). (3). Однако эта форма барьера не справедлива для излучателей с радиусами кривизны $R$ сравнима с длиной туннельного барьера. Последнее зависит от работы выхода и поля, но в случаях, представляющих практический интерес, приближение барьера СН можно считать справедливым для эмиттеров с радиусами $R>20{\text{nm}}$, как объяснено в следующем параграфе.

Основное предположение приближения барьера SN состоит в том, что член электростатического потенциала принимает линейную форму $\Phi =Fx$ в районе туннелирования. Доказано, что последнее справедливо только в том случае, если $x\ll R$. Следовательно, если область туннелирования имеет длину $L$, $x<L$ для всех $x$ это определяет процесс туннелирования; таким образом, если $L\ll R$ экв. (1) выполнено и справедливо барьерное приближение SN. Если вероятность туннелирования достаточно высока для создания измеримой автоэмиссии, L не превышает 1–2 нм. Следовательно, барьер SN справедлив для эмиттеров с радиусами порядка нескольких десятков нм.

Однако современные эмиттеры гораздо острее, с радиусом порядка нескольких нм. Следовательно, стандартное уравнение ФН или любая его версия, предполагающая наличие барьера СН, приводит к значительным ошибкам для таких острых излучателей. Это было показано теоретически и подтверждено экспериментально.

Вышеупомянутая проблема была решена Кирицакисом и Ксантакисом. который обобщил барьер SN, включив в него электростатические эффекты кривизны эмиттера. Общая форма барьера для излучателя радиуса средней кривизны $R$ (обратное среднему значению двух главных кривизн) можно асимптотически разложить как

$M^{KX}(x)=h-eFx\left[1-{\frac {x}{R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]-{\frac {e^{2}}{16\pi \epsilon _{0}x}}\left[1-{\frac {x}{2R}}+O\left({\frac {x}{R}}\right)^{2}\right]$. ( 43 )

После пренебрежения всем $O(x/R)^{2}$ и используя приближение JWKB (4) для этого барьера, показатель Гамова принимает форму, которая обобщает уравнение. (5)

$G(h,F,R)={\frac {bh^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {h}{eFR}}\right)$ ( 44 )

где $f$ определяется формулой (30d), $v(f)$ определяется формулой (30c) и $\omega (f)$ — это новая функция, которую можно аппроксимировать аналогично (30c) (в ссылке есть опечатки, исправил здесь):

$\omega (f)\approx {\frac {4}{5}}-{\frac {7}{40}}f+{\frac {1}{200}}\log(f).$ ( 45 )

Учитывая выражение для показателя Гамова как функции высоты бесполевого барьера $h$, плотность эмитируемого тока для холодной автоэлектронной эмиссии может быть получена из уравнения. (23). Это дает

$J=a{\frac {F^{2}}{\phi }}\left({\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}+{\frac {\phi }{eFR}}\psi (f)\right)^{-2}\exp \left[-{\frac {b\phi ^{3/2}}{F}}\left(v(f)+\omega (f){\frac {\phi }{eFR}}\right)\right]$ ( 46 )

где функции $\lambda _{d}(f)$ и $\psi (f)$ определяются как

${\frac {1}{\lambda _{d}(f)}}\equiv v(f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial v}{\partial f}}\approx 1+{\frac {f}{9}}-{\frac {f\log(f)}{22}}$ ( 47а )

и

$\psi (f)\equiv {\frac {5}{3}}\omega (f)-{\frac {4}{3}}f{\frac {\partial \omega }{\partial f}}\approx {\frac {4}{3}}-{\frac {f}{15}}-{\frac {f\log(f)}{1200}}$ ( 47б )

В уравнении (46) для полноты картины: $\lambda _{d}$ не приближается единицей, как в (29) и (30а), хотя для большинства практических случаев это очень хорошее приближение. Помимо этого, уравнения (43), (44) и (46) совпадают с соответствующими уравнениями стандартной теории Фаулера–Нордгейма (3), (9) и (30а) в пределе $R\to \infty$; это ожидаемо, поскольку первые уравнения обобщают последние.

Наконец, заметим, что приведенный выше анализ является асимптотическим в пределе $L\ll R$, аналогично стандартной теории Фаулера – Нордхейма с использованием барьера SN. Однако добавление квадратичных членов делает его существенно более точным для эмиттеров с радиусами кривизны в диапазоне ~5–20 нм. Для более острых эмиттеров не существует общего приближения плотности тока. Чтобы получить плотность тока, необходимо рассчитать электростатический потенциал и численно оценить интеграл JWKB . Для этой цели было разработано программное обеспечение для научных вычислений (см., например, GETELEC ).

Эмпирическое CFE i – V уравнение

На современном этапе развития теории ДОВЭ важно различать теоретические уравнения ДОВЭ и эмпирическое уравнение ДОВЭ. Первые основаны на физике конденсированного состояния (хотя и в контексте, где их детальное развитие затруднено). Эмпирическое уравнение CFE, с другой стороны, просто пытается представить фактическую экспериментальную форму зависимости тока i от V. напряжения

В 1920-х годах эмпирические уравнения использовались для определения степени V , которая фигурировала в показателе степени полулогарифмического уравнения, которое, как предполагалось, описывало экспериментальные результаты CFE. В 1928 году теория и эксперимент были объединены и показали, что (за исключением, возможно, очень острых излучателей) эта мощность равна V ⁻¹ . Недавно было предложено провести эксперименты CFE, чтобы попытаться найти степень ( κ ) V в предэкспоненте следующего эмпирического уравнения CFE:

$i=\;CV^{\kappa }\exp[-B/V],$ ( 48 )

где B , C и κ рассматриваются как константы.

Из уравнения. (42) легко показать, что

$-\mathrm {d} \ln i/\mathrm {d} (1/V)=\;\kappa V+B,$ ( 49 )

В 1920-х годах экспериментальные методы не могли различить результаты κ = 0 (по предположению Милликена и Лауртисена). и κ = 2 (предсказанное исходным уравнением типа Фаулера – Нордхейма). Однако теперь должно быть возможно производить достаточно точные измерения dlni/d(1/V) (при необходимости с использованием синхронного усилителя /методов фазочувствительного обнаружения и оборудования с компьютерным управлением) и определять κ по наклону соответствующего графика данных.

После открытия аппроксимации (30b) стало совершенно ясно, что даже для CFE из объемных металлов значение κ =2 не ожидается. Это можно показать следующим образом. Используя уравнение. (30c) выше, безразмерный параметр η может быть определен как

$\eta =b\phi ^{3/2}/F_{\phi }=\;(be^{3}/4\pi \epsilon _{0}){\phi }^{-1/2}\approx 9.836239\;\;(\mathrm {eV} /\phi )^{1/2}.$ ( 50 )

Для φ = 4,50 эВ этот параметр имеет значение η = 4,64. Поскольку f = F / F _φ и v ( f ) определяется уравнением (30b), показатель степени в упрощенном стандартном уравнении типа Фаулера – Нордхейма (30) можно записать в альтернативной форме, а затем разложить следующим образом:

$\exp[-v(f)\;b{\phi }^{3/2}/F]\;=\;\exp[-v(f)\;\eta /f]\;\approx \;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-\eta /f]\;=\;{\mathrm {e} }^{\eta }f^{-\eta /6}\exp[-b{\phi }^{3/2}/F].$ ( 51 )

При условии, что коэффициент преобразования β не зависит от напряжения, параметр f имеет альтернативное определение f = V / V _φ , где V _φ — напряжение, необходимое в конкретной экспериментальной системе для уменьшения высоты барьера Шоттки–Нордгейма от φ до нуля. Таким образом, ясно, что множитель v ( f ) в показателе степени теоретического уравнения (30) приводит к появлению дополнительной V -зависимости в предэкспоненте эмпирического уравнения. Таким образом (для эффектов, обусловленных барьером Шоттки–Нордгейма, и для эмиттера с φ =4,5 эВ) получаем предсказание:

$\kappa \approx 2-\eta /6=2-0.77=1.23.$ ( 52 )

Поскольку в уравнении типа Фаулера – Нордхейма также может быть зависимость от напряжения других факторов, в частности, в условной области излучения A _r и в локальной работе выхода не обязательно ожидать, что κ для ЭФЭ из металла с локальной работой выхода 4,5 эВ должно иметь значение κ = 1,23, но, конечно, нет оснований ожидать, что она будет иметь исходное значение Фаулера – Нордхейма κ = 2.

Первую экспериментальную проверку этого предложения провел Кирк, который использовал несколько более сложную форму анализа данных, чтобы найти значение 1,36 для своего параметра κ . Его параметр κ , но не совсем такой же очень похож на используемый здесь параметр κ , но, тем не менее, его результаты, похоже, подтверждают потенциальную полезность этой формы анализа.

Использование эмпирического уравнения CFE (42) и измерение κ могут оказаться особенно полезными для неметаллов. Строго говоря, уравнения типа Фаулера–Нордгейма применимы только к эмиссии из зоны проводимости объемных кристаллических твердых тел. Однако эмпирические уравнения вида (42) должны применяться ко всем материалам (хотя, возможно, для очень острых излучателей может потребоваться модификация). Кажется весьма вероятным, что один из способов, которым уравнения CFE для новых материалов могут отличаться от уравнений типа Фаулера – Нордхейма, заключается в том, что эти уравнения CFE могут иметь разную степень F (или V ) в своих предэкспонентах. Измерения κ могли бы дать некоторое экспериментальное подтверждение этому.

Графики Фаулера – Нордхейма и графики Милликена – Лауритсена

Исходное теоретическое уравнение, полученное Фаулером и Нордхеймом. за последние 80 лет повлиял на способ построения и анализа экспериментальных данных CFE. В очень широко используемом графике Фаулера-Нордхейма, представленном Stern et al. в 1929 году, величина ln{ i / V ² } отображается в зависимости от 1/ V . Первоначально предполагалось, что (как и предсказывалось исходным уравнением или элементарным уравнением типа Фаулера – Нордхейма) это создаст точную прямую линию наклона S _FN . S _FN будет связан с параметрами, которые появляются в показателе степени уравнения типа Фаулера – Нордхейма формы i - V следующим образом:

$S_{\mathrm {FN} }=\;-b{\phi }^{3/2}/\beta .$ ( 47 )

Следовательно, знание φ позволило бы β определить , или наоборот.

[В принципе, в геометрии системы, где присутствует локальная усиливающая поле наноструктура, и может быть определен макроскопический коэффициент преобразования β _M , знание β значение эффективного коэффициента усиления поля эмиттера γ позволяет затем определить по формуле γ знак равно β / β _М . В обычном случае пленочного эмиттера, генерируемого на одной пластине двухпластинчатой ​​конструкции с разделением пластин W (так что β _M = 1/ W ), тогда

$\gamma =\;\beta W.$ ( 48 )

В настоящее время это одно из наиболее вероятных применений графиков Фаулера – Нордхейма.]

Впоследствии стало ясно, что изложенное выше первоначальное рассуждение строго верно только для физически нереальной ситуации плоского эмиттера и точного треугольного барьера. «поправочный коэффициент наклона» σ _FN Для реальных излучателей и реальных барьеров необходимо ввести , что дает пересмотренную формулу

$S_{\mathrm {FN} }=\;-\sigma _{\mathrm {FN} }b{\phi }^{3/2}/\beta .$ ( 49 )

На значение σ _FN , в принципе, будет влиять любой параметр физически полного уравнения типа Фаулера – Нордхейма для i ( V ), который зависит от напряжения.

В настоящее время единственным параметром, который считается важным, является поправочный коэффициент. $\nu _{\mathrm {F} }$ Это связано с формой барьера, и единственным барьером, для которого существует устоявшаяся подробная теория, является барьер Шоттки – Нордгейма. В этом случае σ _FN задается математической функцией, называемой s . Эта функция s была впервые правильно сведена в таблицу (как функция параметра Нордгейма y ) Бёрджесом, Кремером и Хьюстоном в 1953 году; и современная трактовка, которая дает s как функцию масштабированного поля барьера f для барьера Шоттки – Нордгейма. Однако уже давно ясно, что для практической работы эмиттера значение s лежит в пределах от 0,9 до 1.

На практике из-за дополнительной сложности, связанной с детальным учетом поправочного коэффициента наклона, многие авторы (фактически) помещают σ _FN = 1 в уравнение. (49), тем самым создавая систематическую ошибку в их оценках значений β и/или γ , которая обычно составляет около 5%.

Однако эмпирическое уравнение (42) – которое в принципе является более общим, чем уравнения типа Фаулера – Нордхейма – приносит с собой возможные новые способы анализа данных автоэлектронной эмиссии i - V . В общем, можно предположить, что параметр B в эмпирическом уравнении связан с нередуцированной высотой H некоторого характерного барьера, видимого туннелирующими электронами посредством

$B=\;bH^{3/2}/\beta .$ ( 50 )

(В большинстве случаев, но не обязательно во всех, H будет равна локальной работе выхода; конечно, это верно для металлов.) Вопрос в том, как определить значение B экспериментальным путем. Есть два очевидных пути. (1) Предположим, что уравнение. (43) можно использовать для определения достаточно точного экспериментального значения κ по наклону графика вида [−dln{ i }/d(1/ V ) от V ]. В этом случае второй график ln( i )/ V ^Мистер vs. 1/ V , должна быть точной прямой линией наклона − B . Этот подход должен быть наиболее точным способом B. определения

(2) В качестве альтернативы, если значение κ точно не известно и не может быть точно измерено, но может быть оценено или угадано, тогда значение B можно получить из графика вида [ln{ i } vs. 1 / В ]. Эту форму графика использовали Милликен и Лауритсен в 1928 году. Перестановка уравнения. (43) дает

$B=\;-\mathrm {d} \ln(i)/\mathrm {d} (1/V)-\kappa (1/V).$ ( 51 )

Таким образом, B можно определить с хорошей степенью приближения, определяя средний наклон графика Милликена-Лауритсена в некотором диапазоне значений 1/ V и применяя поправку, используя значение 1/ V в точке середина диапазона и предполагаемое значение κ .

Основные преимущества использования графика Милликена-Лауритсена и этой формы процедуры коррекции по сравнению с графиком Фаулера-Нордхейма и поправочным коэффициентом наклона заключаются в следующем. (1) Процедура построения графика немного проще. (2) Поправка включает в себя физический параметр ( V ), который является измеряемой величиной, а не физический параметр ( f ), который необходимо вычислить [чтобы затем вычислить значение s ( f ) или, в более общем смысле, σ _FN. ( ж )]. (3) Как сам параметр κ , так и процедура коррекции более прозрачны (и более понятны), чем эквиваленты графика Фаулера–Нордгейма. (4) Эта процедура учитывает все физические эффекты, влияющие на величину κ , тогда как процедура коррекции графика Фаулера–Нордгейма (в том виде, в котором она осуществляется последние 50 лет) учитывает только те эффекты, связана с формой барьера, предполагая, кроме того, что эта форма является формой барьера Шоттки-Нордгейма. (5) Существует более четкое разделение теоретических и технологических проблем: теоретики будут заинтересованы в установлении того, какая информация содержит измеренные значения κ рассказать о теории ДОВСЕ; но экспериментаторы могут просто использовать измеренные значения κ , чтобы сделать более точные оценки (при необходимости) коэффициентов усиления поля.

Эту процедуру коррекции графиков Милликена-Лауритсена станет легче применять, когда будет выполнено достаточное количество измерений κ и появится лучшее представление о том, каковы на самом деле типичные значения. В настоящее время представляется вероятным, что для большинства материалов κ будет лежать в диапазоне -1< κ <3.

Дополнительная теоретическая информация

Разработать приближенную теорию ДЭП на основе металлов, описанных выше, сравнительно легко по следующим причинам. (1) Теория свободных электронов Зоммерфельда с ее конкретными предположениями о распределении внутренних электронных состояний по энергии в первом приближении адекватно применима ко многим металлам. (2) В большинстве случаев металлы не имеют поверхностных состояний и (во многих случаях) волновые функции металлов не имеют значительных « поверхностных резонансов ». (3) Металлы имеют высокую плотность состояний на уровне Ферми, поэтому заряд, который генерирует/экранирует внешние электрические поля, лежит в основном снаружи верхнего атомного слоя, и никакого значимого «проникновения поля» не происходит. (4) Металлы обладают высокой электропроводностью : внутри металлических эмиттеров не происходит существенных перепадов напряжения: это означает, что нет факторов, препятствующих подаче электронов на эмитирующую поверхность, и что электроны в этой области могут находиться как в эффективном локальном термодинамическом равновесии и находится в эффективном термодинамическом равновесии с электронами в металлической опорной конструкции, на которой установлен эмиттер. (5) Эффекты атомного уровня не учитываются.

Разработка «простых» теорий автоэлектронной эмиссии и, в частности, разработка уравнений типа Фаулера – Нордгейма, опирается на истинность всех пяти вышеупомянутых факторов. Для материалов, отличных от металлов (и для металлических эмиттеров атомарной остроты), один или несколько из вышеперечисленных факторов будут неверны. Например, кристаллические полупроводники не имеют зонной структуры, подобной свободным электронам, имеют поверхностные состояния, подвержены проникновению поля и изгибу зон и могут демонстрировать как внутренние падения напряжения, так и статистическую развязку распределения электронов в поверхностных состояниях от распределение электронов в приповерхностной области объемной зонной структуры (это разделение известно как «эффект Модиноса»).

На практике теория реального туннельного процесса Фаулера-Нордгейма во многом одинакова для всех материалов (хотя детали формы барьера могут различаться, и модифицированную теорию необходимо разрабатывать для начальных состояний, которые локализованы, а не подобны бегущей волне). ). Однако, несмотря на такие различия, можно ожидать (для ситуаций термодинамического равновесия), что все уравнения CFE будут иметь показатели степени, которые ведут себя в целом схожим образом. Вот почему часто работает применение уравнений типа Фаулера – Нордгейма к материалам, выходящим за рамки приведенных здесь выводов. Если интерес представляют только параметры (такие как коэффициент усиления поля), которые относятся к наклону графиков Фаулера-Нордхейма или Милликена-Лауритсена и к показателю степени уравнения CFE, то теория типа Фаулера-Нордхейма часто дает разумные оценки. Однако попытки получить значимые значения плотности тока обычно или всегда терпят неудачу.

Обратите внимание, что прямая линия на графиках Фаулера–Нордгейма или Милликена–Лауритсена не указывает на то, что эмиссия соответствующего материала подчиняется уравнению типа Фаулера–Нордгейма: она указывает лишь на то, что механизмом эмиссии отдельных электронов, вероятно, является туннелирование Фаулера–Нордгейма.

Различные материалы могут иметь радикально разные распределения энергии своих внутренних электронных состояний, поэтому процесс интегрирования вкладов плотности тока по внутренним электронным состояниям может привести к существенно различным выражениям для предэкспонент плотности тока для разных классов материалов. . В частности, мощность барьерного поля, появляющаяся в предэкспоненте, может отличаться от исходного значения Фаулера – Нордхейма «2». Исследование эффектов такого рода является активной темой исследований. » на атомном уровне Эффекты «резонанса» и « рассеяния , если они возникнут, также изменят теорию.

Если материалы подвержены проникновению поля и изгибу полос, необходимым предварительным условием является наличие хороших теорий таких эффектов (для каждого класса материалов), прежде чем можно будет разработать подробные теории ЭЭП. Там, где возникают эффекты падения напряжения, теория тока эмиссии может в большей или меньшей степени стать теорией, включающей эффекты внутреннего переноса, и может стать очень сложной.

См. также

• Автоэмиссионный микроскоп
• Автоэмиссионные зонды
• Массив полевых эмиттеров
• Автоэмиссионный дисплей
• Эффект Франца-Келдыша

Дальнейшее чтение

Общая информация

• В. Чжу, изд. (2001). Вакуумная микроэлектроника . Уайли, Нью-Йорк.
• Дж. Н. Фёрси (2005). Автоэмиссия в вакуумной микроэлектронике . Клювер Академик, Нью-Йорк. ISBN  0-306-47450-6 .

Проникновение поля и изгиб зон (полупроводники)

• Зейватц, Рут; Грин, Мино (1958). «Расчет пространственного заряда полупроводников». Журнал прикладной физики . 29 (7): 1034. Бибкод : 1958JAP....29.1034S . дои : 10.1063/1.1723358 .
• Мани А., Гольдштейн Ю., Гровер Н. Б. Поверхности полупроводников. (Северная Голландия, Амстердам, 1965).
• В. Мёнш, Полупроводниковые поверхности и интерфейсы (Springer, Берлин, 1995).
• Пэн, Цзе; Ли, Чжибин; Он, Чуньшань; Чен, Гуйхуа; Ван, Вэйлян; Дэн, Шаочжи; Сюй, Ниншэн; Чжэн, Сяо; Чен, Гуаньхуа; Эджкомб, Крис Дж.; Форбс, Ричард Г. (2008). «Роль вершинных диполей и проникновения поля в физике заряженных автоэмиссионных одностенных углеродных нанотрубок». Журнал прикладной физики . 104 (1). Издательство АИП: 014310–014310–12. arXiv : cond-mat/0612600 . Бибкод : 2008JAP...104a4310P . дои : 10.1063/1.2946449 . ISSN   0021-8979 . S2CID   53453404 .

Полевой вакуумный пространственный заряд

• Барбур, JP; Долан, WW; Тролан, Дж. К.; Мартин, Э.Э.; Дайк, WP (1953). «Эффекты пространственного заряда в полевой эмиссии». Физический обзор . 92 (1): 45–51. Бибкод : 1953PhRv...92...45B . дои : 10.1103/PhysRev.92.45 .

Автоэмиссия при высоких температурах и фотоавтоэлектронная эмиссия.

• Дженсен, Кевин (2007). Электронно-эмиссионная физика . Достижения в области визуализации и электронной физики. Том. 149. Сан-Диего: Академик Пресс. ISBN  978-0-12-374207-0 . OCLC   647688316 .

Полевая взрывная электронная эмиссия

• G.A. Mesyats, Explosive Electron Emission (URO Press, Ekaterinburg, 1998),