Универсальная алгебра

Универсальная алгебра (иногда называемая общей алгеброй ) — это область математики , которая изучает сами алгебраические структуры , а не примеры («модели») алгебраических структур.Например, вместо того, чтобы брать отдельные группы в качестве объекта изучения является класс групп , в универсальной алгебре объектом изучения .

Основная идея

Основная статья: Алгебраическая структура

В универсальной алгебре алгебра (или алгебраическая структура ) — это множество A вместе с набором операций A. над

Арити

Основная статья: Арити

n - арная , операция над A — это функция которая принимает n элементов A элемент A. и возвращает один Таким образом, 0-арная операция (или нулевая операция ) может быть представлена ​​просто как элемент A или константа , часто обозначаемая буквой типа a . 1-арная операция (или унарная операция ) — это просто функция от A до A , часто обозначаемая символом, помещенным перед аргументом, например ~ x . Двумерная операция (или бинарная операция ) часто обозначается символом, помещенным между ее аргументами (также называемым инфиксной записью ), например x ∗ y . Операции более высокой или неопределенной арности обычно обозначаются функциональными символами с аргументами, помещенными в круглые скобки и разделенными запятыми, например f ( x , y , z ) или f ( x ₁ ,..., x _n ). Таким образом, один из способов говорить об алгебре — это называть ее алгеброй определенного типа. $\Omega$, где $\Omega$ — упорядоченная последовательность натуральных чисел, представляющая арность операций алгебры. Однако некоторые исследователи допускают и бесконечные операции, например $\textstyle \bigwedge _{\alpha \in J}x_{\alpha }$ где J — бесконечное множество индексов , которое является операцией алгебраической теории полных решеток .

Уравнения

После того, как операции определены, природа алгебры дополнительно определяется аксиомами , которые в универсальной алгебре часто принимают форму тождеств или эквациональных законов. Примером может служить ассоциативная аксиома для бинарной операции, которая задается уравнением x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z . что аксиома справедлива для всех элементов x , y и z множества A. Предполагается ,

Разновидности

Основная статья: Разнообразие (универсальная алгебра)

Совокупность алгебраических структур, определяемых тождествами, называется многообразием или эквациональным классом .

Ограничение изучения разновидностями исключает:

• количественная оценка , включая универсальную количественную оценку (∀), за исключением перед уравнением, и экзистенциальную количественную оценку (∃)
• логические связки, кроме союза (∧)
• отношения, отличные от равенства, в частности неравенства , как a ≠ b , так и отношения порядка

Изучение эквациональных классов можно рассматривать как специальную ветвь теории моделей , обычно имеющую дело со структурами, имеющими только операции (т. е. тип может иметь символы для функций, но не для отношений, отличных от равенства), и в котором используется язык, используемый для обсуждения эти структуры используют только уравнения.

Не все алгебраические структуры в более широком смысле попадают в эту область. Например, упорядоченные группы включают в себя отношение упорядочения, поэтому не попадают в эту область.

Класс полей не является эквациональным классом, поскольку не существует типа (или «сигнатуры»), в котором все законы поля можно было бы записать в виде уравнений (обратные элементы определены для всех ненулевых элементов в поле, поэтому инверсия не может быть выполнена). добавлено к типу).

Одним из преимуществ этого ограничения является то, что структуры, изучаемые в универсальной алгебре, могут быть определены в любой категории , имеющей конечные произведения . Например, топологическая группа — это просто группа из категории топологических пространств .

Примеры

Большинство обычных алгебраических систем математики являются примерами многообразий, но не всегда очевидным образом, поскольку обычные определения часто включают количественные оценки или неравенства.

Группы

В качестве примера рассмотрим определение группы . Обычно группа определяется в виде одной бинарной операции* с учетом аксиом:

• Ассоциативность (как в предыдущем разделе ): x *( y * z ) = ( x * y )* z ; формально: ∀ x , y , z . Икс * ( у * z ) = ( Икс * у ) * z .
• Элемент идентичности : существует элемент e такой, что для каждого элемента x имеется e ∗ x = x = x ∗ e ; формально: ∃ е ∀ x . е * Икс знак равно Икс знак равно Икс * е .
• Обратный элемент : идентификационный элемент, как легко заметить, уникален и обычно обозначается e . Тогда для каждого x существует элемент i такой, что x ∗ i = e = i ∗ x ; формально: ∀ x ∃ i . Икс * я знак равно е знак равно я * Икс .

(Некоторые авторы также используют аксиому « замыкания », согласно которой x ∗ y принадлежит A всякий раз, когда x и y принадлежат A, но здесь это уже подразумевается, называя ∗ бинарной операцией.)

Это определение группы не сразу соответствует точке зрения универсальной алгебры, поскольку аксиомы единичного элемента и инверсии не формулируются исключительно в терминах эквациональных законов, которые выполняются универсально «для всех...» элементов, но также включают в себя экзистенциальный квантор «существует…». Аксиомы группы можно сформулировать как универсально квантифицированные уравнения, указав, в дополнение к бинарной операции *, нулевую операцию e и унарную операцию ~, где ~ x обычно записывается как x ⁻¹ . Аксиомы становятся:

• Ассоциативность: Икс * ( у * z ) знак равно ( Икс * у ) * z .
• Элемент идентичности: e * x = x = x * e ; формально: ∀ x . е * Икс знак равно Икс знак равно Икс * е .
• Обратный элемент: Икс * (~ Икс ) знак равно е знак равно (~ Икс ) * Икс ; формально: ∀ x . Икс * ~ Икс знак равно е знак равно ~ Икс * Икс .

Подводя итог, обычное определение имеет следующее:

• одна бинарная операция ( сигнатура (2))
• 1 эквационный закон (ассоциативность)
• 2 количественных закона (тождественный и обратный)

в то время как определение универсальной алгебры имеет:

• 3 операции: одна двоичная, одна унарная и одна нулевая ( подпись (2, 1, 0) )
• 3 эквациональных закона (ассоциативность, тождественность и инверсия)
• никаких количественных законов (кроме крайних универсальных кванторов, которые разрешены в разновидностях)

Ключевым моментом является то, что дополнительные операции не добавляют информацию, а однозначно следуют из обычного определения группы. Хотя обычное определение не определяет однозначно единичный элемент e , простое упражнение показывает, что он уникален, как и обратный каждому элементу.

Точка зрения универсальной алгебры хорошо адаптирована к теории категорий. Например, при определении группового объекта в теории категорий, где рассматриваемый объект может не быть множеством, необходимо использовать эквациональные законы (которые имеют смысл в общих категориях), а не количественные законы (которые относятся к отдельным элементам). Далее инверсия и тождество указываются как морфизмы в категории. Например, в топологической группе обратное должно не только существовать поэлементно, но и должно давать непрерывное отображение (морфизм). Некоторые авторы также требуют, чтобы тождественная карта была замкнутым включением ( корасслоением ).

Другие примеры

Большинство алгебраических структур являются примерами универсальных алгебр.

• Кольца , полугруппы , квазигруппы , группоиды , магмы , петли и другие.
• Векторные пространства над фиксированным полем и модули над фиксированным кольцом являются универсальными алгебрами. Они имеют двоичное сложение и семейство операторов унарного скалярного умножения, по одному для каждого элемента поля или кольца.

Примеры реляционных алгебр включают полурешетки , решетки и булевы алгебры .

Основные конструкции

Мы предполагаем, что тип, $\Omega$, было исправлено. Тогда в универсальной алгебре есть три основные конструкции: гомоморфный образ, подалгебра и произведение.

Гомоморфизм функция между двумя алгебрами A и B — это h : A → B из множества A в множество B такая, что для каждой операции f _A над A и соответствующей операции f _B из B (скажем, арности n ) h ( ж _А ( Икс ₁ , ..., Икс _п )) знак равно ж _B ( час ( Икс ₁ ), ..., час ( Икс _п )). (Иногда индексы у f удаляются, если из контекста ясно, из какой алгебры взята функция.) Например, если e константа (нулевая операция), то h ( e _A ) = e _B. — Если ~ — унарная операция, то h (~ x ) = ~ h ( x ). Если ∗ — бинарная операция, то h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ). И так далее. Некоторые вещи, которые можно сделать с гомоморфизмами, а также определения некоторых специальных видов гомоморфизмов, перечислены в разделе « Гомоморфизмы» . В частности, мы можем взять гомоморфный образ алгебры h ( A ).

Подалгебра A — это подмножество A замкнутое относительно всех операций A. , Произведение некоторого набора алгебраических структур — это декартово произведение множеств с операциями, определенными по координатам.

Некоторые основные теоремы

• Теоремы изоморфизма , которые охватывают теоремы изоморфизма групп , колец , модулей и т. д.
• Теорема Биркгофа HSP , которая утверждает, что класс алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных прямых произведений.

Мотивации и приложения

Помимо объединяющего подхода, универсальная алгебра также дает глубокие теоремы и важные примеры и контрпримеры. Он обеспечивает полезную основу для тех, кто собирается начать изучение новых классов алгебр.Это может позволить использовать методы, изобретенные для некоторых конкретных классов алгебр, в других классах алгебр, переписывая методы в терминах универсальной алгебры (если это возможно), а затем интерпретируя их применительно к другим классам. Он также предоставил концептуальные разъяснения; как говорит Дж.Д.Х. Смит: «То, что выглядит беспорядочным и сложным в конкретной системе, может оказаться простым и очевидным в правильной общей системе».

В частности, универсальная алгебра может применяться к изучению моноидов , колец и решеток . До появления универсальной алгебры многие теоремы (особенно теоремы об изоморфизме ) были доказаны отдельно во всех этих классах, но с помощью универсальной алгебры их можно доказать раз и навсегда для любого типа алгебраической системы.

Статья Хиггинса 1956 года, упомянутая ниже, получила хорошее развитие благодаря ее основам для ряда конкретных алгебраических систем, в то время как его статья 1963 года примечательна обсуждением алгебр с операциями, которые определены лишь частично, типичными примерами этого являются категории и группоиды. . Это приводит к предмету многомерной алгебры , которую можно определить как изучение алгебраических теорий с частичными операциями, области которых определены в геометрических условиях. Яркими примерами этого являются различные формы категорий более высокой размерности и группоидов.

удовлетворения

Основная статья: Проблема удовлетворения ограничений

Универсальная алгебра обеспечивает естественный язык для решения проблемы удовлетворения ограничений (CSP) . CSP относится к важному классу вычислительных задач, где, учитывая реляционную алгебру A и экзистенциальное предложение $\varphi$ над этой алгеброй, вопрос состоит в том, чтобы выяснить, $\varphi$ удовлетворено в A. может быть Алгебра A часто фиксирована, так что CSP _A относится к проблеме, примером которой является только экзистенциальное предложение. $\varphi$.

Доказано, что любую вычислительную задачу можно сформулировать как CSP _для некоторой алгебры A. A

Например, задачу n- раскраски можно сформулировать как CSP алгебры ({0, 1, ..., n −1}, ≠) , т.е. алгебры с n элементами и единственным соотношением - неравенством.

Гипотеза дихотомии (доказанная в апреле 2017 года) утверждает, что если A — конечная алгебра, то CSP _A либо P , либо NP-полная .

Обобщения

Дополнительная информация: теория категорий , теория операд , частичная алгебра и теория моделей.

Универсальная алгебра также изучалась с использованием методов теории категорий . В этом подходе вместо написания списка операций и уравнений, которым подчиняются эти операции, можно описать алгебраическую структуру, используя категории особого вида, известные как теории Лоувера или, в более общем смысле, алгебраические теории . Альтернативно, можно описать алгебраические структуры, используя монады . Эти два подхода тесно связаны, каждый из которых имеет свои преимущества. В частности, каждая теория Лоувера дает монаду в категории множеств, тогда как любая «финитная» монада в категории множеств возникает из теории Ловера. Однако монада описывает алгебраические структуры внутри одной конкретной категории (например, категории множеств), тогда как алгебраические теории описывают структуру внутри любого большого класса категорий (а именно тех, которые имеют конечные произведения ).

Более поздним развитием теории категорий является теория операд : операда представляет собой набор операций, похожий на универсальную алгебру, но ограниченный тем, что уравнения допускаются только между выражениями с переменными, без повторения или пропуска переменных. Таким образом, кольца можно описать как так называемые «алгебры» некоторой операды, но не группы, поскольку закон gg ⁻¹ = 1 дублирует переменную g слева и опускает ее справа. На первый взгляд это ограничение может показаться неприятным, но выгода состоит в том, что операды имеют определенные преимущества: например, можно гибридизировать понятия кольца и векторного пространства, чтобы получить понятие ассоциативной алгебры , но невозможно сформировать аналогичный гибрид понятия группового и векторного пространства.

Другое развитие — частичная алгебра , где операторы могут быть частичными функциями . Некоторые частичные функции также могут быть рассмотрены с помощью обобщения теорий Ловера, известных как «по существу алгебраические теории».

Еще одним обобщением универсальной алгебры является теория моделей , которую иногда называют «универсальная алгебра + логика».

История

В Альфреда Норта Уайтхеда книге «Трактат об универсальной алгебре», опубликованной в 1898 году, термин «универсальная алгебра» имел по существу то же значение, что и сегодня. Уайтхед считает, что Уильям Роуэн Гамильтон и Огастес Де Морган были создателями этого предмета, а Джеймс Джозеф Сильвестр придумал сам термин.

В то время такие структуры, как алгебры Ли и гиперболические кватернионы, привлекли внимание к необходимости расширения алгебраических структур за пределы ассоциативно-мультипликативного класса. В обзоре Александр Макфарлейн писал: «Основная идея работы - не объединение нескольких методов и не обобщение обычной алгебры с целью их включения, а, скорее, сравнительное исследование их нескольких структур». В то время Джорджа Буля алгебра логики представляла собой сильный контрапункт обычной числовой алгебре, поэтому термин «универсальный» служил успокоением напряженной чувствительности.

Ранние работы Уайтхеда стремились объединить кватернионы (благодаря Гамильтону), и Грассмана Ausdehnungslehre алгебру логики Буля. Уайтхед писал в своей книге:

«Такие алгебры имеют внутреннюю ценность для отдельного детального изучения; они также достойны сравнительного изучения ради того, чтобы пролить свет на общую теорию символических рассуждений и на алгебраический символизм в частности. Сравнительное исследование необходимо предполагает некоторые предыдущие отдельное изучение, сравнение невозможно без знания».

Однако Уайтхед не имел результатов общего характера. Работа по этому вопросу была минимальной до начала 1930-х годов, когда Гаррет Биркгоф и Эйстейн Ор начали публиковать публикации по универсальным алгебрам. Развитие метаматематики и теории категорий в 1940-х и 1950-х годах способствовало развитию этой области, особенно работы Абрахама Робинсона , Альфреда Тарского , Анджея Мостовского и их учеников.

В период между 1935 и 1950 годами большинство статей было написано в духе, предложенном работами Биркгофа, и касалось свободных алгебр , решеток конгруэнций и подалгебр, а также теорем о гомоморфизме. Хотя развитие математической логики сделало возможными приложения к алгебре, они появлялись медленно; Результаты, опубликованные Анатолием Мальцевым в 1940-х годах, из-за войны остались незамеченными. Лекция Тарского на Международном конгрессе математиков 1950 года в Кембридже открыла новый период, в котором теоретико-модельные аспекты разрабатывались, главным образом, самим Тарским, а также Ч.С. Чангом, Леоном Хенкином , Бьярни Йонссоном , Роджером Линдоном и другими.

В конце 1950-х годов Эдвард Марчевски подчеркнул важность свободных алгебр, что привело к публикации более 50 статей по алгебраической теории свободных алгебр самим Марчевским вместе с Яном Мицельским , Владиславом Наркевичем, Витольдом Ниткой, Я. Плонкой, С. Сверчковским, К. Урбаником , и другие.

Начиная с диссертации Уильяма Ловера в 1963 году, методы теории категорий стали важными в универсальной алгебре.

См. также

• Графовая алгебра
• Термин алгебра
• Клонировать
• Универсальная алгебраическая геометрия
• Простая алгебра (универсальная алгебра)

Ссылки

• Бергман, Джордж М. (1998), Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям , Беркли, Калифорния: Генри Хелсон, с. 398, ISBN  0-9655211-4-1 .
• Биркгоф, Гаррет (1946), «Универсальная алгебра», Труды Первого канадского математического конгресса , Торонто: University of Toronto Press: 310–326
• Беррис, Стэнли Н. и Х. П. Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры Springer-Verlag. ISBN   3-540-90578-2 Бесплатное онлайн-издание .
• Кон, Пол Мориц (1981), Универсальная алгебра , Дордрехт, Нидерланды: D. Reidel Publishing, ISBN  90-277-1213-1 (Впервые опубликовано в 1965 году издательством Harper & Row)
• Фриз, Ральф и Ральф Маккензи, 1987. Теория коммутаторов для конгруэнтных модульных многообразий , 1-е изд. Серия лекций Лондонского математического общества, 125. Cambridge Univ. Нажимать. ISBN   0-521-34832-3 . Бесплатное онлайн-второе издание .
• Гретцер, Джордж (1968), Универсальная алгебра , D. Van Nostand Company, Inc.
• Хиггинс, П.Дж. (1956), «Группы с несколькими операторами» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 3 (6): 366–416
• Хиггинс, П.Дж. (1963), «Алгебры со схемой операторов», Mathematical News , 27 : 115–132.
• Хобби, Дэвид и Ральф Маккензи, 1988. Структура конечных алгебр, Американское математическое общество. ISBN   0-8218-3400-2 . Бесплатное онлайн-издание.
• Джипсен, Питер и Генри Роуз, 1992. Разновидности решеток , конспекты лекций по математике, 1533. Springer Verlag. ISBN   0-387-56314-8 . Бесплатное онлайн-издание .
• Пигоцци, Дон. Общая теория алгебр . Бесплатное онлайн-издание.
• Смит, JDH (1976), Мальцевские сорта , Springer-Verlag
• Уайтхед, Альфред Норт (1898), Трактат по универсальной алгебре , Кембридж ( в основном представляет исторический интерес ) .

Внешние ссылки

• Algebra Universalis — журнал, посвященный универсальной алгебре.