Sobolev inequality

В математике существует в математическом анализе класс неравенств Соболева , связывающих нормы, в том числе и в пространствах Соболева . Они используются для доказательства теоремы вложения Соболева , дающей включения между некоторыми пространствами Соболева , и теоремы Реллиха-Кондрахова, показывающей, что при немного более сильных условиях некоторые пространства Соболева компактно вложены в другие. Они названы в честь Сергея Львовича Соболева .

Sobolev embedding theorem

Пусть $W к,п (Р н)$ обозначают пространство Соболева, состоящее из всех вещественных функций на $R н$ чьи слабые производные до порядка $k$ являются функциями из $L п$ . Здесь $k$ — целое неотрицательное число и $1 \leq p < \infty$ . Первая часть теоремы вложения Соболева гласит, что если $k > ℓ$ , $p < n$ и $1 \leq p < q < \infty,$ это два действительных числа такие, что

{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},

затем

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})

и вложение непрерывно. В частном случае $k = 1$ и $ℓ = 0$ вложение Соболева дает

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})

где $р *$ является Соболеву сопряженным по $p$ , заданным формулой

{\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.

Этот частный случай вложения Соболева является прямым следствием неравенства Гальярдо–Ниренберга–Соболева . Результат следует интерпретировать как утверждение, что если функция $f$ в $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ имеет одну производную $L^{p}$ , затем $f$ само по себе улучшило локальное поведение, а это означает, что оно принадлежит пространству $L^{p^{*}}$ где $p^{*}>p$ . (Обратите внимание, что $1/p^{*}<1/p$ , так что $p^{*}>p$ .) Таким образом, любые локальные особенности в $f$ должна быть более мягкой, чем для типичной функции в $L^{p}$ .

Вторая часть теоремы вложения Соболева применима к вложениям в пространства Гёльдера $C р, а (Р н)$ . Если $n < pk$ и

{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ or, equivalently, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}

с $α \in (0, 1),$ то имеет место вложение

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).

Эта часть вложения Соболева является прямым следствием неравенства Морри . Интуитивно это включение выражает тот факт, что существование достаточного числа слабых производных влечет за собой некоторую непрерывность классических производных. Если $\alpha =1$ затем $W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})$ для каждого $\gamma \in (0,1)$ .

В частности, до тех пор, пока $pk>n$ , критерий вложения будет выполняться при $r=0$ и некоторое положительное значение $\alpha$ . То есть для функции $f$ на $\mathbb {R} ^{n}$ , если $f$ имеет $k$ деривативы в $L^{p}$ и $pk>n$ , затем $f$ будет непрерывным (и фактически непрерывным по Гёльдеру с некоторым положительным показателем $\alpha$ ).

Обобщения

Теорема вложения Соболева справедлива для пространств Соболева $W к,п (M)$ на других подходящих областях $M$ . В частности ( Обен 1982 , глава 2; Обен 1976 ), обе части вложения Соболева справедливы, когда

$M$ — ограниченное открытое множество в $R н$ с липшицевой границей (или граница которой удовлетворяет условию конуса ; Адамс 1975 , теорема 5.4)
$M$ — компактное риманово многообразие.
$M$ — компактное риманово многообразие с краем , граница которого является липшицевой (это означает, что граница может быть локально представлена как график липшицевой непрерывной функции).
$M$ — полное риманово многообразие с радиусом инъективности $δ > 0$ и ограниченной секционной кривизной .

Если $M$ — ограниченное открытое множество в $R н$ со сплошной границей, то $W 1,2 (M)$ компактно вложено в $L 2 (M)$ ( Нечас 2012 , раздел 1.1.5, теорема 1.4).

Kondrachov embedding theorem

На компактном многообразии $M$ с $C 1$ границе теорема вложения Кондрахова утверждает, что если $k > ℓ$ и ${\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}$ тогда вложение Соболева

W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)

вполне непрерывен (компакт). ^[1] Обратите внимание, что условие такое же, как и в первой части теоремы вложения Соболева, с заменой равенства неравенством, что требует более регулярного пространства $W к,п (М)$ .

Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality

Предположим, что $u$ — непрерывно дифференцируемая вещественная функция на $R н$ с компактной поддержкой . Тогда при $1 ⩽ p < n$ существует константа $C,$ зависящая только от $n$ и $p,$ такая, что

\|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.

с $1/p^{*}=1/p-1/n$ . Дело $1<p<n$ is due to Sobolev ^[2] и дело $p=1$ независимо от Гальярдо и Ниренберга. ^[3]^[4] Из неравенства Гальярдо–Ниренберга–Соболева непосредственно следует вложение Соболева

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).

Вложения в другие порядки на $R н$ затем получаются путем подходящей итерации.

Hardy–Littlewood–Sobolev lemma

Первоначальное доказательство Соболева теоремы вложения Соболева основывалось на следующем, иногда известном как теорема Харди – Литтлвуда – Соболева о дробном интегрировании . Эквивалентное утверждение известно как лемма Соболева в ( Обен 1982 , глава 2). Доказательство находится в ( Stein 1970 , Глава V, §1.3).

Пусть $0 < α < n$ и $1 < p < q < \infty$ . Пусть $I α = (-Δ) - α /2$ — потенциал Рисса на $R н$ . Тогда для $q,$ определенного формулой

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}

существует константа $C,$ зависящая только от $p$ такая, что

\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.

Если $p = 1$ , то есть две возможные оценки замены. Первая — это более классическая оценка слабого типа:

m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},

где $1/ q знак равно 1 - α / п$ . В качестве альтернативы можно иметь оценку $\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},$ где $Rf$ — векторное преобразование Рисса , см. ( Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2017 ). Ограниченность преобразований Рисса означает, что последнее неравенство дает единый способ записи семейства неравенств для потенциала Рисса.

Лемма Харди–Литтлвуда–Соболева подразумевает вложение Соболева, по существу, из связи между преобразованиями Рисса и потенциалами Рисса.

Неравенство Морри

Предположим, $что n < p \leq \infty$ . Тогда существует константа $C$ , зависящая только от $p$ и $n$ , такая, что

\|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}

для всех $u \in C 1 (Р н) \cap L п (Р н)$ , где

\gamma =1-{\frac {n}{p}}.

Таким образом, если $u \in W 1, с (Р н)$ , то $u$ на самом деле является гельдеровским по показателю $γ$ после возможного переопределения на множестве меры 0.

Аналогичный результат верен и в ограниченной области $U$ с липшицевой границей. В этом случае,

\|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}

константа $C$ теперь зависит от $n, p$ и $U.$ где Этот вариант неравенства следует из предыдущего путем применения сохраняющего норму расширения $W 1, с (U) -$ это $W 1, с (Р н)$ . Неравенство названо в честь Чарльза Б. Морри-младшего.

General Sobolev inequalities

Пусть $U$ — ограниченное открытое подмножество в $R н$ , с $буквой С 1$ граница. ( $U$ также может быть неограниченным, но в этом случае его граница, если она существует, должна вести себя достаточно хорошо.)

Предположим, что $u \in W к,п (У)$ . Тогда рассмотрим два случая:

$k < n / p$ или $k = n$ , $p = 1$

В этом случае мы заключаем, что $u \in L д (U)$ , где

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.

Имеем дополнительно оценку

\|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}

,

константа $C$ зависит только $k, p, n$ и $U.$ от

$к > н / п$

Здесь мы заключаем, что $u$ принадлежит пространству Гёльдера , точнее:

u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),

где

\gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}

Имеем дополнительно оценку

\|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},

константа $C$ зависит только $k, p, n, γ$ и $U.$ от В частности, условие $k>n/p$ гарантирует, что $u$ непрерывен (и фактически непрерывен по Гёльдеру с некоторым положительным показателем).

Случай $p = n, k =1$

Если $u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})$ , то $u$ является функцией ограниченного среднего колебания и

\|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},

для некоторой константы $C,$ зависящей только от $n$ . ^[5]^: §I.2 Эта оценка является следствием неравенства Пуанкаре .

Неравенство Нэша

Неравенство Нэша, введенное Джоном Нэшем ( 1958 ), утверждает, что существует константа $C > 0$ такая, что для всех $u \in L 1 (Р н) \cap W 1,2 (Р н)$ ,

\|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.

Неравенство следует из основных свойств преобразования Фурье . Действительно, интегрируя по дополнению к шару радиуса $ρ$ ,

\int _{|x|\geq \rho }\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \int _{|x|\geq \rho }{\frac {|x|^{2}}{\rho ^{2}}}\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|Du|^{2}\,dx

( 1 )

потому что $1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}$ . С другой стороны, у человека есть

|{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}

что при интегрировании по шару радиуса $ρ$ дает

\int _{|x|\leq \rho }|{\hat {u}}(x)|^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\|u\|_{L^{1}}^{2}

( 2 )

где $ω n$ — объем $n$ -шара . Выбор $ρ$ для минимизации суммы ( 1 ) и ( 2 ) и применение теоремы Парсеваля:

\|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}

дает неравенство.

В частном случае $n = 1$ неравенство Нэша можно распространить на $L п$ случае, и в этом случае это обобщение неравенства Гальярдо-Ниренберга-Соболева ( Брезис 2011 , Комментарии к главе 8). В самом деле, если $I$ — ограниченный интервал, то для всех $1 ⩽ r < \infty$ и всех $1 ⩽ q ⩽ p < \infty$ справедливо следующее неравенство

\|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},

где:

a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.

Logarithmic Sobolev inequality

Простейшая из описанных выше теорем вложения Соболева утверждает, что если функция $f$ в $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ имеет одну производную $L^{p}$ , затем $f$ сам находится в $L^{p^{*}}$ , где

1/p^{*}=1/p-1/n.

Мы можем видеть это как $n$ стремится к бесконечности, $p^{*}$ подходы $p$ . Таким образом, если размерность $n$ пространства, на котором $f$ определяется большим, улучшение локального поведения $f$ от наличия производной в $L^{p}$ маленький( $p^{*}$ лишь немного больше, чем $p$ ). В частности, для функций в бесконечномерном пространстве нельзя ожидать прямого аналога классических теорем вложения Соболева.

Однако существует тип неравенства Соболева, установленный Леонардом Гроссом ( Gross 1975 ) и известный как логарифмическое неравенство Соболева , которое имеет константы, независимые от размерности, и поэтому продолжает выполняться в бесконечномерной ситуации. Логарифмическое неравенство Соболева, грубо говоря, говорит, что если функция находится в $L^{p}$ относительно гауссовой меры и имеет одну производную, которая также находится в $L^{p}$ , затем $f$ находится в " $L^{p}$ -log», что означает, что интеграл от $|f|^{p}\log |f|$ конечно. Неравенство, выражающее этот факт, имеет константы, не включающие размерность пространства, и, таким образом, неравенство справедливо в случае гауссовой меры в бесконечномерном пространстве. Теперь известно, что логарифмические неравенства Соболева справедливы для многих различных типов мер, а не только для гауссовских мер.

Хотя может показаться, что $L^{p}$ -log состояние — это очень небольшое улучшение по сравнению с состоянием в $L^{p}$ , этого улучшения достаточно, чтобы получить важный результат, а именно гиперсжимаемость для соответствующего оператора формы Дирихле . Этот результат означает, что если функция находится в диапазоне экспоненты оператора формы Дирихле, а это означает, что функция имеет в некотором смысле бесконечное число производных в $L^{p}$ — тогда функция принадлежит $L^{p^{*}}$ для некоторых $p^{*}>p$ ( Теорема 6 Гросса, 1975 г. ).

Ссылки

^ Тейлор, Майкл Э. (1997). Уравнения в частных производных I - Основная теория (2-е изд.). п. 286. ИСБН 0-387-94653-5 .
^ Соболев, Сергей Львович (1938). «Об одной теореме функционального анализа». Доклады (Доклады) Академии наук СССР, Новая серия . 20 :5–9.
^ Гальярдо, Эмилио (1958). «Свойства некоторых классов функций многих переменных». Математические исследования . 7 : 102–137.
^ Ниренберг, Луи (1959). «Об эллиптических уравнениях в частных производных». Анналы Высшей нормальной школы Пизы. Научный класс. Серия III . 13 : 115–162.
^ Брезис, Х.; Ниренберг, Л. (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO; часть I: Компактные многообразия без границ». Селекта Математика . 1 (2): 197–263. дои : 10.1007/BF01671566 . S2CID 195270732 .

Адамс, Роберт А. (1975), Пространства Соболева , Чистая и прикладная математика, том. 65, Академическое издательство, ISBN 978-0-12-044150-1 , МР 0450957 .
Обен, Тьерри (1976), «Пространства Соболева на римановых многообразиях», Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 100 (2): 149–173, MR 0488125
Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ многообразий. Уравнения Монжа-Ампера , Основы математических наук, вып. 252, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/978-1-4612-5734-9 , ISBN. 978-0-387-90704-8 , МР 0681859 .
Брезис, Хаим (1983), Функциональный анализ: теория и приложения , Париж: Массон , ISBN 0-8218-0772-2
Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных , Springer Science & Business Media , ISBN 978-0-387-70913-0
Эванс, Лоуренс (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0772-2
Гросс, Леонард (1975), «Логарифмические неравенства Соболева», American Journal of Mathematics , 97 (4): 1061–1083, doi : 10.2307/2373688 , JSTOR 2373688
Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева , аспирантура по математике, Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4768-8 МИСТЕР 2527916 , Збл 1180.46001 , обзор МАА
Мазья, Владимир Георгиевич (1985), Пространства Соболева , Ряды Спрингера в советской математике, Springer-Verlag , Перевод с русского Т.О. Шапошниковой.
Нэш, Дж. (1958), «Непрерывность решений параболических и эллиптических уравнений», Американский журнал математики , 80 (4): 931–954, Бибкод : 1958AmJM...80..931N , doi : 10.2307/2372841 , hdl : 10338.dmlcz/101876 , JSTOR 2372841 .
Нечас, Дж. (2012), Прямые методы в теории эллиптических уравнений , Монографии Спрингера по математике .
Никольский, С.М. (2001) [1994], «Теоремы вложения» , Энциклопедия математики , EMS Press
Шикорра, Армин; Спектор, Дэниел; Ван Шафтинген, Жан (2017), «Ан $L^{1}$ -оценка типа для потенциалов Рисса», Revista Matemática Iberoamericana , 33 (1): 291–304, arXiv : 1411.2318 , doi : 10.4171/rmi/937 , S2CID 55497245
Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8

[Taylor-1] Тейлор, Майкл Э. (1997). Уравнения в частных производных I - Основная теория (2-е изд.). п. 286. ИСБН 0-387-94653-5 .

[2] Соболев, Сергей Львович (1938). «Об одной теореме функционального анализа». Доклады (Доклады) Академии наук СССР, Новая серия . 20 :5–9.

[3] Гальярдо, Эмилио (1958). «Свойства некоторых классов функций многих переменных». Математические исследования . 7 : 102–137.

[4] Ниренберг, Луи (1959). «Об эллиптических уравнениях в частных производных». Анналы Высшей нормальной школы Пизы. Научный класс. Серия III . 13 : 115–162.

[5] Брезис, Х.; Ниренберг, Л. (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO; часть I: Компактные многообразия без границ». Селекта Математика . 1 (2): 197–263. дои : 10.1007/BF01671566 . S2CID 195270732 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]