Деферент и эпицикл

«Деферент» перенаправляется сюда. О признании легитимности власти начальника или начальников см. Уважение .

«Эпицикл» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об аналогичной математической кривой, см. Эпициклоиду .

Эпициклы планет на орбитах вокруг Земли (Земля в центре). Линия пути представляет собой совокупное движение орбиты планеты (относительной) вокруг Земли и внутри самой орбиты (эпицикла).

В Гиппарха , Птолемея и Коперника системах астрономии ) эпицикл « (от древнегреческого ἐπίκυκλος ( epíkuklos ) по кругу», что означает «круг, движущийся по другому кругу» была геометрической моделью, используемой для объяснения изменений скорости и направления видимого движения Луны , Солнца и планет . В частности, это объясняло кажущееся ретроградное движение пяти известных в то время планет. Во-вторых, это также объяснило изменения видимых расстояний планет от Земли.

Впервые его предложил Аполлоний Пергский в конце III века до нашей эры. Он был разработан Аполлонием Пергским и Гиппархом Родосским, которые широко использовали его во 2 веке до нашей эры, а затем формализовал и широко использовал Птолемей в его астрономическом трактате 2 века нашей эры « Альмагест» .

Эпициклическое движение используется в Антикитерском механизме . ^{[запрошена ссылка]} древнегреческое астрономическое устройство для компенсации эллиптической орбиты Луны, движущееся быстрее в перигее и медленнее в апогее, чем на круговых орбитах, использующее четыре шестерни, две из которых включены эксцентрично, что весьма близко соответствует второму закону Кеплера .

Эпициклы работали очень хорошо и отличались высокой точностью, поскольку, как позже показал анализ Фурье , любую гладкую кривую можно аппроксимировать с произвольной точностью при достаточном количестве эпициклов. Однако они потеряли популярность после открытия того, что движения планет в основном эллиптические в гелиоцентрической системе отсчета , что привело к открытию того, что гравитация, подчиняющаяся простому закону обратных квадратов, может лучше объяснить все движения планет.

Введение

Основные элементы астрономии Птолемея, показывающие планету на эпицикле (меньший пунктирный круг), деференте (большой пунктирный круг), эксцентрике (×) и экванте ( •).

И в системе Гиппарха, и в системе Птолемея , что планеты предполагается движутся по малому кругу, называемому эпициклом , который, в свою очередь, движется по большему кругу, называемому деферентом (сам Птолемей описал эту точку, но не дал ей названия). ). Оба круга вращаются на восток и примерно параллельны плоскости видимой орбиты Солнца под этими системами ( эклиптика ). Несмотря на то, что система считается геоцентрической , ни один из кругов не был сосредоточен на Земле, а движение каждой планеты было сосредоточено в конкретной планетной точке, немного удаленной от Земли, называемой эксцентрической . Орбиты , но не являются в точности эпитрохоидами , планет в этой системе подобны эпитрохоидам поскольку угол эпицикла не является линейной функцией угла деферента.

В системе Гиппарха эпицикл вращался и вращался вдоль семенника с равномерным движением. Однако Птолемей обнаружил, что не может согласовать это с доступными ему данными вавилонских наблюдений; в частности, различались форма и размер видимых ретроградов. Угловая скорость, с которой двигался эпицикл, не была постоянной, если только он не измерял ее из другой точки, которая теперь называется эквантой ( Птолемей не дал ей названия). Именно угловая скорость, с которой деферент перемещался вокруг точки на полпути между эквантом и Землей (эксцентриком), была постоянной; центр эпицикла выходил на равные углы за одинаковое время только если смотреть со стороны экванта. Именно использование эквантов для отделения равномерного движения от центра круговых деферентов отличало систему Птолемея. Для внешних планет угол между центром эпицикла и планетой был таким же, как угол между Землей и Солнцем.

Птолемей не предсказал относительные размеры планетарных деферентов в Альмагесте . Все его расчеты были сделаны относительно нормализованного деферента, рассматривая каждый случай отдельно. Это не значит, что он считал, что все планеты равноудалены, но у него не было основы для измерения расстояний, за исключением Луны. Обычно он отдавал планеты от Земли в зависимости от периодов их орбит. Позже он рассчитал их расстояния в « Планетарных гипотезах» и суммировал их в первом столбце этой таблицы:

Оценки Птолемея размеров орбит

Тело	Средний размер (в радиусах Земли)	Современная ценность ( большая полуось , в радиусах Земли)	Соотношение (современный/Птолемей)	Соотношение (современный/Птолемей, нормализовано к Солнцу = 1)
Луна	00,0 48 .0	000,0 60.3	0 1.26	0.065
Меркурий	00, 115 .0	00 9,090 .0	79.0 0	4.1 00
Венера	00, 622.5	0 16,980 .0	27.3 0	1.4 00
Солнце	0 1,210 .0	0 23,480 .0	19.4 0	1 .000
Марс	0 5,040 .0	0 35,780 .0	0 7.10	0.37 0
Юпитер	11,504 .0	122,200 .0	10.6 0	0.55 0
Сатурн	17,026 .0	225,000 .0	13.2 0	0.68 0
Звездная оболочка	20,000 .0	—	—	—

Если бы его значения различных радиусов относительно расстояния Земля-Солнце были более точными, все размеры эпициклов приблизились бы к расстоянию Земля-Солнце. Хотя все планеты рассматриваются отдельно, все они были связаны одним своеобразным образом: линии, проведенные от тела через эпицентрический центр всех планет, были параллельны, как и линия, проведенная от Солнца к Земле, по которой Меркурий и Венера была расположена. Это означает, что все тела вращаются в своих эпициклах синхронно с Солнцем Птолемея (т. е. все они имеют период ровно в один год).

Вавилонские наблюдения показали, что планеты высшего класса обычно двигались по ночному небу медленнее, чем звезды. Каждую ночь планета немного отставала от звезд, совершая так называемое поступательное движение . Вблизи противостояния планета, казалось бы, разворачивалась и двигалась по ночному небу быстрее, чем звезды, некоторое время в ретроградном движении, прежде чем снова развернуться и возобновить прямое движение. Эпициклическая теория отчасти пыталась объяснить такое поведение.

всегда Низшие планеты наблюдались вблизи Солнца, появляясь лишь незадолго до восхода солнца или вскоре после его захода. Их видимое ретроградное движение происходит во время перехода от вечерней звезды к утренней, когда они проходят между Землей и Солнцем.

История

Когда древние астрономы смотрели на небо, они видели, как Солнце, Луна и звезды регулярно движутся над головой. Вавилоняне проводили небесные наблюдения, в основном Солнца и Луны, как средство повторной калибровки и сохранения хронометража для религиозных церемоний. В других ранних цивилизациях, таких как греки, были такие мыслители, как Фалес Милетский , который первым задокументировал и предсказал солнечное затмение (585 г. до н.э.), или Гераклид Понтийский . Они также видели «странников» или «планетов» (наши планеты ). Регулярность движений блуждающих тел предполагала, что их положение может быть предсказуемым.

Сложность, описываемая геоцентрической моделью

Самый очевидный подход к проблеме предсказания движения небесных тел заключался в простом сопоставлении их положений со звездным полем, а затем в сопоставлении математических функций с изменяющимися положениями. Появление более совершенных инструментов небесных измерений, таких как введение гномона , Анаксимандра позволило грекам лучше понять ход времени, например количество дней в году и продолжительность времен года, которые необходимы для астрономических измерений.

Древние работали с геоцентрической точки зрения по той простой причине, что Земля была там, где они стояли и наблюдали за небом, и именно небо кажется движущимся, в то время как земля кажется неподвижной и устойчивой под ногами. Некоторые греческие астрономы (например, Аристарх Самосский ) предполагали, что планеты (включая Землю) вращаются вокруг Солнца, но оптика (и конкретная математика — Исаака Ньютона ) , закон тяготения например необходима для получения данных, которые убедительно подтверждали бы это предположение. гелиоцентрическая модель не существовала во времена Птолемея и не появилась более чем через полторы тысячи лет после него. Более того, аристотелевская физика не была разработана с учетом такого рода расчетов, а философия Аристотеля относительно неба полностью противоречила концепции гелиоцентризма. Только когда Галилео Галилей наблюдал спутники Юпитера 7 января 1610 года и фазы Венеры в сентябре 1610 года, гелиоцентрическая модель начала получать широкую поддержку среди астрономов, которые также пришли к пониманию того, что планеты представляют собой отдельные миры. вращается вокруг Солнца (то есть Земля тоже является планетой). Иоганн Кеплер сформулировал свои три закона движения планет , которые описывают орбиты планет Солнечной системы с поразительной степенью точности, используя систему, в которой используются эллиптические, а не круговые орбиты. Три закона Кеплера до сих пор преподаются на уроках физики и астрономии в университетах, и формулировка этих законов не изменилась с тех пор, как Кеплер впервые сформулировал их четыреста лет назад.

Кажущееся движение небесных тел во времени носит циклический характер. Аполлоний Пергский (3 век до н.э.) понял, что это циклическое изменение может быть представлено визуально небольшими круговыми орбитами, или эпициклами , вращающимися по более крупным круговым орбитам, или деферентам . Гиппарх (2 век до н.э.) рассчитал необходимые орбиты. Деференты и эпициклы в древних моделях представляли собой не орбиты в современном понимании, а скорее сложный набор круговых траекторий, центры которых разделены определенным расстоянием, чтобы аппроксимировать наблюдаемое движение небесных тел.

Клавдий Птолемей уточнил концепцию деферента и эпицикла и представил эквант как механизм, объясняющий изменения скорости движения планет. методология Разработанная им эмпирическая оказалась чрезвычайно точной для своего времени и все еще использовалась во времена Коперника и Кеплера. Гелиоцентрическая модель не обязательно является более точной системой отслеживания и прогнозирования движений небесных тел, чем геоцентрическая, если рассматривать строго круговые орбиты. Гелиоцентрическая система потребует более сложных систем, чтобы компенсировать сдвиг точки отсчета. Лишь после предложения Кеплером эллиптических орбит такая система стала более точной, чем простая эпициклическая геоцентрическая модель.

Основная простота вселенной Коперника из Томаса Диггса книги

Оуэн Джинджерич описывает соединение планет, произошедшее в 1504 году и, по-видимому, наблюдавшееся Коперником. В примечаниях к своему экземпляру «Альфонсиновых таблиц » Коперник отметил, что «Марс превосходит цифры более чем на два градуса. Сатурн превосходит цифры на полтора градуса». Используя современные компьютерные программы, Джинджерич обнаружил, что в момент соединения Сатурн действительно отставал от таблиц на полтора градуса, а Марс опережал прогнозы почти на два градуса. Более того, он обнаружил, что предсказания Птолемея относительно Юпитера при этом оказались вполне точными. Таким образом, Коперник и его современники использовали методы Птолемея и находили их заслуживающими доверия спустя более тысячи лет после публикации оригинальной работы Птолемея.

Когда Коперник преобразовал наземные наблюдения в гелиоцентрические координаты, он столкнулся с совершенно новой проблемой. Положения с центром Солнца демонстрируют циклическое движение во времени, но без ретроградных петель в случае внешних планет. В принципе, гелиоцентрическое движение было проще, но с новыми тонкостями из-за еще не открытой эллиптической формы орбит. Другая сложность была вызвана проблемой, которую Коперник так и не решил: правильный учет движения Земли в преобразовании координат. В соответствии с прежней практикой Коперник использовал в своей теории модель деферента/эпицикла, но его эпициклы были небольшими и назывались «эпициклетами».

В системе Птолемея модели каждой планеты были разными, как и первоначальные модели Коперника. Однако, занимаясь математикой, Коперник обнаружил, что его модели можно объединить в единую систему. Более того, если бы они были масштабированы так, чтобы орбита Земли была одинаковой для всех из них, порядок планет, который мы знаем сегодня, легко вытекал из математических расчетов. Меркурий вращался ближе всего к Солнцу, а остальные планеты расположились на своих местах по порядку снаружи, расположившись по расстоянию в зависимости от периодов их обращения.

Хотя модели Коперника значительно уменьшили размеры эпициклов, были ли они проще, чем модели Птолемея, остается спорным. Коперник устранил несколько оклеветанный эквант Птолемея, но ценой дополнительных эпициклов. В различных книгах XVI века, основанных на Птолемее и Копернике, используется примерно одинаковое количество эпициклов. Идея о том, что Коперник использовал в своей системе только 34 круга, исходит из его собственного утверждения в предварительном неопубликованном наброске под названием «Комментариол» . К тому времени, когда он опубликовал De Revolutionibus orbium coelestium , он добавил больше кругов. Подсчитать общее количество сложно, но, по оценкам, он создал столь же сложную систему, а то и более сложную. Кестлер в своей истории человеческого видения Вселенной приравнивает число эпициклов, использованных Коперником, к 48. Популярное общее количество около 80 кругов для системы Птолемея, по-видимому, появилось в 1898 году. Возможно, оно было вдохновлено нептолемеевской системой Джироламо Фракасторо , который использовал либо 77, либо 79 сфер в своей системе, вдохновленной Евдоксом Книдским . Коперник в своих трудах преувеличивал количество эпициклов, используемых в системе Птолемея; хотя первоначальное количество кругов достигало 80, ко времени Коперника система Птолемея была обновлена ​​​​Пербахом до аналогичного числа - 40; следовательно, Коперник фактически заменил проблему ретроградности дальнейшими эпициклами.

Теория Коперника была, по крайней мере, столь же точной, как теория Птолемея, но так и не достигла такого авторитета и признания, как теория Птолемея. Что было необходимо, так это теория эллиптической орбиты Кеплера, опубликованная только в 1609 и 1619 годах. Работа Коперника дала объяснение таким явлениям, как ретроградное движение, но на самом деле не доказала, что планеты действительно вращаются вокруг Солнца.

Деферент ( O ) смещен от Земли ( T ). P центр эпицикла Солнца S. —

Теории Птолемея и Коперника доказали долговечность и адаптируемость устройства деферент/эпицикл для представления движения планет. Модели деферента/эпицикла работали так же хорошо из-за необычайной орбитальной стабильности Солнечной системы. Любая теория могла бы быть использована сегодня, если бы Готфрид Вильгельм Лейбниц и Исаак Ньютон не изобрели исчисление .

Согласно Маймониду , в ныне утерянной астрономической системе Ибн Баджи XII века в андалузской Испании не было эпициклов. Герсонид из Франции XIV века также исключил эпициклы, утверждая, что они не соответствуют его наблюдениям. Несмотря на эти альтернативные модели, эпициклы не были устранены до 17 века, когда модель эллиптических орбит Иоганна Кеплера постепенно заменила модель Коперника, основанную на идеальных кругах.

Ньютоновская или классическая механика полностью устранила необходимость в методах деферента/эпицикла и создала более точные теории. Рассматривая Солнце и планеты как точечные массы и используя закон всемирного тяготения Ньютона , были выведены уравнения движения, которые можно было решать различными способами для вычисления прогнозов орбитальных скоростей и положений планет. если их аппроксимировать как простые задачи двух тел Например, , их можно решить аналитически, в то время как более реалистичная задача n тел требует численных методов для решения .

Способность ньютоновской механики решать проблемы орбитальной механики иллюстрируется открытием Нептуна . Анализ наблюдаемых возмущений на орбите Урана позволил оценить положение предполагаемой планеты в пределах градуса от того места, где она была обнаружена. Этого невозможно было бы достичь с помощью методов deferent/epicycle. Тем не менее, Ньютон в 1702 году опубликовал «Теорию движения Луны» , в которой использовался эпицикл и которая использовалась в Китае до девятнадцатого века. Ньютона, Последующие таблицы, основанные на теории могли иметь точность, близкую к угловым минутам.

Количество эпициклов

Согласно одной из школ в истории астрономии, незначительные недостатки исходной системы Птолемея были обнаружены в результате наблюдений, накопленных с течением времени. Ошибочно считалось, что в модели было добавлено больше уровней эпициклов (кругов внутри кругов), чтобы более точно соответствовать наблюдаемым движениям планет. Считается, что умножение эпициклов привело к почти неработоспособной системе к 16 веку, и что Коперник создал свою гелиоцентрическую систему, чтобы упростить птолемеевскую астрономию своего времени, тем самым преуспев в резком сокращении количества кругов.

При более качественных наблюдениях для представления вновь наблюдаемых явлений использовались дополнительные эпициклы и эксцентрики, пока в позднем Средневековье Вселенная не превратилась в «Сферу / С нацарапанными Центриком и Эксцентриком / Цикл и Эпицикл, Сфера в Сфере».

- Дороти Стимсон , Постепенное принятие коперниканской теории Вселенной , 1917 г.

В качестве меры сложности количество кругов у Птолемея составляет 80, а у Коперника - всего 34. Наибольшее число появилось в Британской энциклопедии по астрономии в 1960-х годах при обсуждении интереса короля Кастилии Альфонсо X к астрономии в 13 веке. (Альфонсо приписывают создание « Альфонсиновых таблиц ».)

К этому времени каждая планета имела от 40 до 60 эпициклов, своеобразно изображавших ее сложное движение среди звезд. Пораженный сложностью проекта, Альфонсо приписывают замечание, что, если бы он присутствовал при Сотворении мира, он мог бы дать отличный совет.

- Британская энциклопедия , 1968 г.

Как выяснилось, основная трудность этой теории эпициклов на эпициклах заключается в том, что историки, изучающие книги по птолемеевской астрономии средневековья и эпохи Возрождения, не обнаружили абсолютно никаких следов использования нескольких эпициклов для каждой планеты. Например, Альфонсиновые таблицы, очевидно, были рассчитаны с использованием оригинальных, не приукрашенных методов Птолемея.

Другая проблема в том, что сами модели не поощряли мастерить. В модели деферента и эпицикла части целого взаимосвязаны. Изменение параметра для улучшения соответствия в одном месте приведет к нарушению соответствия в другом месте. Модель Птолемея, вероятно, оптимальна в этом отношении. В целом это дало хорошие результаты, но кое-где промахнулось. Опытные астрономы признали бы эти недостатки и учли бы их.

Математический формализм

По словам историка науки Норвуда Рассела Хэнсона :

Не существует ни двусторонне-симметричной, ни эксцентрически-периодической кривой, используемой ни в одной области астрофизики или наблюдательной астрономии, которую нельзя было бы плавно изобразить как результирующее движение точки, вращающейся внутри созвездия эпициклов, конечного числа, вращающихся вокруг фиксированного отводящего центра. .

- Норвуд Рассел Хэнсон , «Математическая сила эпициклической астрономии», 1960 г.

Любой путь — периодический или нет, замкнутый или открытый — можно представить бесконечным числом эпициклов. Это связано с тем, что эпициклы можно представить в виде сложного ряда Фурье ; следовательно, при большом количестве эпициклов на комплексной плоскости можно представить очень сложные пути .

Пусть комплексное число

$z_{0}=a_{0}e^{ik_{0}t}\,,$

где a ₀ и k ₀ — константы, i = √ −1 — мнимая единица , а t — время, соответствуют деференту с центром в начале комплексной плоскости и вращающемуся с радиусом a ₀ и угловой скоростью.

$k_{0}={\frac {2\pi }{T}}\,,$

где Т – период .

Если z ₁ — путь эпицикла, то деферентный плюс эпицикл представляется как сумма

$z_{2}=z_{0}+z_{1}=a_{0}e^{ik_{0}t}+a_{1}e^{ik_{1}t}\,.$

Это почти периодическая функция , и она является функцией когда отношение констант kj _{периодической} рационально . только тогда , Обобщение на N эпициклов дает почти периодическую функцию

$z_{N}=\sum _{j=0}^{N}a_{j}e^{ik_{j}t}\,,$

который является периодическим, когда каждая пара k _j рационально связана. Нахождение коэффициентов aj _{целью воспроизведения орбиты с деферентом} для представления зависящего от времени пути в комплексной плоскости z = f ( t ) является и эпициклами, и это способ « спасения явления » (σώζειν τα φαινόμενα).

Эту параллель отметил Джованни Скиапарелли . Что касается Коперниканской революции дебатов о « спасении явлений » вместо предложения объяснений, можно понять, почему Фома Аквинский в 13 веке писал:

Разум можно использовать двумя способами для установления какой-либо точки зрения: во-первых, с целью предоставить достаточное доказательство некоторого принципа [...]. Разум применяется и по-другому, не как достаточное доказательство принципа, а как подтверждение уже установленного принципа, показывая соответствие его результатов, как в астрономии теория эксцентриков и эпициклов считается установленной, потому что тем самым ощутимые проявления небесных движений можно объяснить; однако не так, как если бы этого доказательства было достаточно, поскольку их могла бы объяснить какая-то другая теория.

— Фома Аквинский , Summa Theologica

Эпициклы и католическая церковь

Будучи системой, которая по большей части использовалась для обоснования геоцентрической модели, за исключением космоса Коперника, модель деферента и эпицикла получила предпочтение перед гелиоцентрическими идеями, предложенными Кеплером и Галилеем. Более поздние последователи эпициклической модели, такие как Тихо Браге , который учитывал Священные Писания Церкви при создании своей модели, были восприняты еще более благосклонно. Модель Тихона представляла собой гибридную модель, сочетающую геоцентрические и гелиоцентрические характеристики с неподвижной Землей, окружающей ее Солнцем и Луной, и планетами, вращающимися вокруг Солнца. Для Браге идея вращающейся и движущейся Земли была невозможна, и Священное Писание всегда должно иметь первостепенное значение и уважаться. Когда Галилей попытался бросить вызов системе Тихо Браге, церковь была недовольна тем, что их взгляды были оспорены. Публикация Галилея не помогла его делу в суде .

Плохая наука

«Добавление эпициклов» стало использоваться как уничижительный комментарий в современной научной дискуссии. Этот термин можно использовать, например, для описания попыток скорректировать теорию, чтобы ее предсказания соответствовали фактам. Существует общепринятое мнение, что дополнительные эпициклы были изобретены, чтобы смягчить растущие ошибки, которые отмечала система Птолемея по мере того, как измерения становились более точными, особенно для Марса. Согласно этому представлению, некоторые считают эпициклы образцовым примером плохой науки.

Коперник добавил к своим планетам дополнительный эпицикл, но сделал это только для того, чтобы исключить экванту Птолемея, которую он считал философским отходом от аристотелевского совершенства небес. С математической точки зрения второй эпицикл и эквант дают почти одинаковые результаты, и многие астрономы Коперника до Кеплера продолжали использовать эквант, поскольку математические расчеты были проще. Эпициклы Коперника также были намного меньше, чем у Птолемея, и требовались, потому что планеты в его модели двигались по идеальным кругам. Иоганн Кеплер позже показал, что планеты движутся по эллипсам, что также устранило необходимость в эпициклах Коперника.

См. также

• Аналемма
• Эпициклоида
• Бритва Оккама
• Переобучение
• Научный метод

Внешние ссылки

• Система Птолемея - в проекте Галилео Университета Райса
• Эксцентрики, деференты, эпициклы и экванты на MathPages

Анимированные иллюстрации

• Симулятор системы Птолемея , интерактивный, Колледж Футхилл.
• Орбиты с эпициклами на интерактивных демонстрациях Wolfram.
• ANIMATE: Epicycles , интерактивный пример кодирования на JavaScript, Академия Хана.
• Птолемей и Гомер (Симпсон) Реконструкция причудливой орбиты планеты с помощью системы эпициклов и деферентов Птолемея.