Масса в общей относительности

Концепция массы в общей относительности (GR) более тонкая для определения, чем концепция массы в особой относительности . Фактически, общая теория относительности не предлагает ни одного определения термина, но предлагает несколько различных определений, которые применимы при разных обстоятельствах. При некоторых обстоятельствах масса системы в общей относительности может даже не быть определена.

Причиной этой тонкости является то, что энергия и импульс в гравитационном поле не могут быть однозначно локализованы. (См. Главу 20 .) Таким образом, строгие определения массы в общей теории относительности не являются локальными, как в классической механике или особой относительности, но ссылаются на асимптотический характер пространства -времени. Хорошо определенное представление о массе существует для асимптотически плоских пространств и асимптотически анти-де-де-няжника . Однако эти определения должны использоваться с осторожностью в других настройках.

Определение массы в общей относительности: концепции и препятствия

В особой относительности остальная масса частицы может быть однозначно определена с точки зрения его энергии и импульса, как описано в статье о массе в особой относительности . Однако обобщение понятия энергии и импульса для общей относительности является тонким. Основная причина этого заключается в том, что само гравитационное поле способствует энергии и импульсу. Тем не менее, «энергия гравитационного поля» не является частью тензора энергии -момента; Вместо этого то, что может быть идентифицировано как вклад гравитационного поля в полную энергию, является частью тензора Эйнштейна на другой стороне уравнения Эйнштейна (и, как таковое, следствие нелинейности этих уравнений). Хотя в определенных ситуациях можно переписать уравнения, так что часть «гравитационной энергии» теперь стоит вместе с другими терминами источника в форме псевдотензора стресса -энергии -энергия , это разделение не соответствует всем наблюдателям, и там есть не является общим определением для его получения.

Как же тогда можно определить концепцию как общую массу системы - которая легко определяется в классической механике? Как выясняется, по крайней мере для пространств, которые асимптотически плоские (грубо говоря, которые представляют некоторую изолированную тяжести, в остальном пустое и без гравитации бесконечное пространство), раскол ADM 3+1 приводит к решению: как в обычном гамильтонине. Формализм , направление времени, используемое в этом разделении, имеет связанную энергию, которая может быть интегрирована, чтобы получить глобальную величину, известную как масса ADM (или, эквивалентно, ADM Energy). В качестве альтернативы, есть возможность определить массу для постоянного времени, которое , другими словами, имеет векторное поле убийства , которое, как и генерирующее поле для времени, канонически сопряжено с энергией); Результатом является так называемая масса Комара Несмотря на то, что он определяется совершенно по -другому, он может показать, что он эквивалентен массе ADM для стационарных пространств. Интегральное определение Комара также может быть обобщено на нестационарные поля, для которых существует, по крайней мере, асимптотическая симметрия трансляции времени ; Навязывая определенное условие датчика, можно определить энергию связи в нулевой бесконечности. В некотором смысле, ADM Energy измеряет всю энергию, содержащуюся в пространстве -времени, в то время как энергия Bondi исключает те части, которые перенесены гравитационными волнами до бесконечности. Большие усилия были потрачены на доказательство теоремы позитивности для только что определенных масс, не в последнюю очередь потому, что позитивность или, по крайней мере, существование более низкого предела, имеет более низкий вопрос о границе ниже: если бы не было нижнего предела. Энергия, тогда ни одна изолированная система была бы абсолютно стабильной; Всегда будет возможность распада в состоянии еще более низкой общей энергии. Несколько видов доказательств того, что как масса ADM, так и масса Бонди действительно положительны; В частности, это означает, что пространство Минковского (для которого оба равны нулю) действительно стабильное. В то время как фокус здесь был на энергии, существуют аналоговые определения для глобального импульса; Учитывая поле угловых векторов и следование технике Комара, можно также определить глобальный угловой импульс.

Квазилокальные величины

Недостаток всех упомянутых до сих пор определяется, что они определены только в (нулевой или пространственной) бесконечности; С 1970-х годов физики и математики работают над более амбициозным стремлением определения подходящих квазилокальных величин, таких как масса изолированной системы, определяемой с использованием только величин, определенных в конечной области пространства, содержащей эту систему. Однако, хотя существует множество предлагаемых определений, таких как энергия Хокинга , энергия героха или Пенроуза квазилокальная энергия-момент энергии , основанный на методах твворита , поле все еще находится в потоке. В конце концов, надежда состоит в том, чтобы использовать подходящую определенную квазилокальную массу, чтобы обеспечить более точную формулировку гипотезы обруча , докажите так называемое неравенство Пенроуза для черных отверстий (связанные с массой черной дыры в область горизонта) и найдите квази -Локальная версия законов механики черной дыры.

Типы массы в общей теории относительности

Комарская масса в стационарных пространствах

Основная статья: Комарская месса

Нетехническое определение стационарного пространства-времени -это пространство, где ни один из метрических коэффициентов $g_{\mu \nu }\,$ функции времени. Метрика Шварцшильда черной дыры и метрика KERR вращающейся черной дыры являются распространенными примерами стационарных пространств.

По определению, стационарное пространственно -временное время демонстрирует симметрию перевода времени . Технически это называется вектором, похожим на по времени . Поскольку система имеет симметрию перевода времени, теорема Нэтер гарантирует, что она имеет консервативную энергию. Поскольку стационарная система также имеет четко определенную рамку отдыха, в которой его импульс можно считать нулевым, определение энергии системы также определяет ее массу. В целом относительность, эта масса называется комарской массой системы. Масса Комара может быть определена только для стационарных систем.

Месса Комара также может быть определена интегралом потока. Это похоже на то, как закон Гаусса определяет заряд, заключенный на поверхность, поскольку обычная электрическая сила, умноженная на область. Интеграл потока, используемый для определения массы Комара, немного отличается от того, что используется для определения электрического поля, однако - нормальная сила - это не фактическая сила, а «сила в бесконечности». Смотрите главную статью для более подробной информации.

Из двух определений описание массы Комар с точки зрения симметрии перевода времени дает самую глубокую информацию.

Адм и бонди массы в асимптотически плоском пространстве-времен

Если система, содержащая гравитационные источники, окружена бесконечной вакуумной областью, геометрия пространственного времени будет иметь тенденцию приближаться к геометрии Minkowski специальной относительности в бесконечности. Такие пространственные времена известны как «асимптотически плоские» пространственные времена.

Для систем, в которых пространственное время является асимптотически плоским , можно определить энергию ADM и Bondi, импульс и масса. С точки зрения теоремы Неттер, ADM Energy, Energy, Smorpleum и Mass определяются асимптотическими симметриями в пространственной бесконечности , а энергия, импульс и масса связи определяются асимптотическими симметриями при нулевой бесконечности . Обратите внимание, что масса рассчитывается как длина четырехлетнего момента , который можно рассматривать как энергию и импульс системы «при бесконечности».

Энергия ADM определяется через следующий интеграл потока в бесконечности. Если пространство времени асимптотически плоское, это означает, что около «бесконечности» метрика имеет тенденцию к плоскому пространству. Асимптотические отклонения метрики вдали от плоского пространства могут быть параметризованы

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$

где $\eta _{\mu \nu }$ это метрика плоского пространства. Энергия ADM затем дается интеграл на поверхности, $S$ в бесконечности

$P^{0}={1 \over 16\pi G}\int \left(\partial ^{k}h_{jk}-\partial ^{j}h_{kk}\right)d^{2}S_{j},$

где $S_{j}$ Является ли внешнее нормальное $S$Полем Предполагается, что Конвенция о суммировании Эйнштейна предполагается для повторных индексов, но сумма над K и J проходит только по пространственным направлениям. Использование обычных производных вместо ковариантных производных в приведенной выше формуле оправдано из -за предположения, что асимптотическая геометрия плоская.

Некоторая интуиция для формулы выше может быть получена следующим образом. Представьте, что мы принимаем поверхность, S, чтобы быть сферической поверхностью, чтобы нормальные точки радиально наружу. На больших расстояниях от источника энергии, r, тензор $h_{ij}$ Ожидается, что он упадет как $r^{-1}$ и производная по отношению к R превращает это в $r^{-2}$ Площадь сферы на большом радиусе также растет точно так же, как $r^{2}$ и поэтому можно получить конечное значение для энергии.

Также возможно получить выражения для импульса в асимптотически плоском пространстве -времени. Чтобы получить такое выражение, определяет

$H^{\mu \alpha \nu \beta }=-{\bar {h}}^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }-\eta ^{\mu \nu }{\bar {h}}^{\alpha \beta }+{\bar {h}}^{\alpha \nu }\eta ^{\mu \beta }+{\bar {h}}^{\mu \beta }\eta ^{\alpha \nu }$

где

${\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{1 \over 2}\eta _{\mu \nu }h_{\alpha }^{\alpha }$

Затем импульс получается с помощью интеграла потока в асимптотически плоской области

$P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}$

Обратите внимание, что выражение для $P^{0}$ Полученная из приведенной выше формулы совпадает с выражением для энергии ADM, указанной выше, как можно легко проверить с использованием явного выражения для H.

Ньютоновский предел для почти плоского пространства-времени

В ньютоновском пределе, для квазистатических систем в почти плоских пространственных временах можно приблизить общую энергию системы, объединив негравитационные компоненты энергии системы и затем вычесть ньютоновскую гравитационную энергию связывания.

Перевод вышеупомянутого утверждения на язык общей теории относительности, мы говорим, что система в почти плоском пространстве-времени имеет полную негравитационную энергию E и импульс P, данную:

$E=\int _{v}T_{00}dV\qquad P^{i}=\int _{V}T_{0i}dV$

Когда компоненты вектора импульса системы равны нулю, т.е. ^я = 0, приблизительная масса системы - справедливая (e+e _{-связывание} )/c ² , E- _{связывание} является отрицательным числом, представляющим ньютоновскую гравитационную энергию самообедку.

Следовательно, когда кто-то предполагает, что система является квазистатичкой, можно предположить, что в форме «гравитационных волн» нет значительной энергии. Когда кто-то предполагает, что система находится в «почти флат-времени», можно предположить, что метрические коэффициенты по существу являются minkowskian в рамках приемлемой экспериментальной ошибки.

Можно видеть, как формулы для общей энергии и импульса естественным образом возникают в этом пределе следующим образом. В линеаризованном пределе уравнения общей относительности могут быть записаны в форме

$\partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha \nu \beta }=16\pi GT^{\mu \nu }$

В этом пределе общий энергетический момент системы просто определяется путем интеграции стрессового тензора на ломтик.

$P^{\mu }=\int T^{\mu 0}d^{3}x$

Но, используя уравнения движения, можно также написать это как

$P^{\mu }={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{\beta }H^{\mu \alpha 0\beta }d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x$

где сумма над J работает только по пространственным направлениям, а второе равенство использует тот факт, что $H^{\mu \alpha \nu \beta }$ является антисимметричным в $\nu$ и $\beta$Полем Наконец, один использует закон Гаусса для преобразования интеграла дивергенции по пространственному среза в интеграл над гауссовой сферой

${1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }\partial _{j}H^{\mu \alpha 0j}d^{3}x={1 \over 16\pi G}\int \partial _{\alpha }H^{\mu \alpha 0j}d^{2}S_{j}$

что совпадает именно с формулой для общего импульса, приведенного выше.

История

В 1918 году Дэвид Хилберт написал о сложности назначения энергии «поле» и «отказ теоремы энергии» в переписке с Кляйном . В этом письме Гильберт предположил, что эта неудача является характерной особенностью общей теории, и что вместо «правильной теоремы энергии» у кого -то были «неправомерные теоремы энергии».

Эта предположение вскоре оказалось правильным одним из близких партнеров Хилберта, Эмми Нотер . Теорема Noether применяется к любой системе, которая может быть описана принципом действия . Теорема Noether Associates сохранила энергии с симметриями транслирования времени. Когда симметрия перевода времени является конечным параметром непрерывной группы , такой как группа Пуанкаре , теорема Нотер определяет скалярную консервативную энергию для рассматриваемой системы. Однако, когда симметрия является бесконечной непрерывной группой, существование консервативной энергии не гарантируется. Аналогичным образом, теорема Nether's Theomy Associates сохранила импульс с космическими переводами, когда группа симметрии переводов является конечной мерной. Поскольку общая теория относительности является инвариантной теорией диффеоморфизма , она имеет бесконечную непрерывную группу симметрий, а не конечно-параметровую группу симметрий и, следовательно, имеет неправильную групповую структуру, чтобы гарантировать консервативную энергию. Теорема Nether оказала влияние на вдохновляющее и объединение различных представлений о массе, энергетической энергии и системном импульсе в общей теории относительности.

В качестве примера применения теоремы Ноэтер является примером стационарных пространственно-временных и связанных с ними Комарской массы (Komar 1959). В то время как в общем пространстве не хватает симметрии с конечным параметром перевода времени, стационарные пространственные время имеют такую ​​симметрию, известную как вектор убийства . Теорема Нэтер доказывает, что в таких стационарных пространственных временах должна быть связанная консервативная энергия. Эта консервативная энергия определяет консервативную массу, массу Комара.

Была введена MASS ADM (Arnowitt et al., 1960) из формулировки начальной стоимости общей относительности. Позже он был переформулирован с точки зрения группы асимптотических симметрий в пространственной бесконечности, группе SPI, со стороны различных авторов. (Help, 1980). Эта переформулировка сделала многое, чтобы прояснить теорию, включая объяснение того, почему ADM Immentum и ADM Energy трансформируются как 4-вектор (Held, 1980). Обратите внимание, что группа SPI на самом деле бесконечно измеренна. Существование консервативных величин заключается в том, что группа SPI «супер-трансляций» имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» переводов, которые, по теореме Ноэтер, генерируют консервативный 4 параметра энергии-моменту. Норма этого 4-параметра энергии-моментам-масса ADM.

Масса Бонди была введена (Bondi, 1962) в статье, в которой изучалась потеря массы физических систем посредством гравитационного излучения. Масса Бонди также связана с группой асимптотических симметрий, группы BMS в нулевой бесконечности. Как и группа SPI в пространственной бесконечности, группа BMS в Null Infinity является бесконечной размерной, а также предпочтительна 4 параметра подгруппы «чистых» переводов.

Другим подходом к проблеме энергии в общей теории относительности является использование псевдотенссоров , таких как Ландау -Лифшиц Псевдотенсор . (Landau and Lifshitz, 1962). Псевдотенссоры не являются инвариантными измерениями-из-за этого они дают только постоянные, независимые от датчика ответы на общую энергию, когда соблюдаются дополнительные ограничения (такие как асимптотическая плоскостность). Зависимость от псевдотензенсов также предотвращает любое независимое от датчика определение локальной плотности энергии, поскольку каждый выбор из калибра приводит к различной локальной плотности энергии.

Смотрите также

• Масса в особой относительности
• Общая относительность
• Сохранение энергии
• Снова массы
• Хокинг Энергия
• Адм Месса
• Положительная масса теорема

Ссылки

• Аштекар, Абхай; Магнон-Аштекар, Энн (1979). «О консервативных количествах в общей относительности». Журнал математической физики . 20 (5). AIP Publishing: 793–800. Bibcode : 1979jmp .... 20..793a . doi : 10.1063/1,524151 . ISSN   0022-2488 .
• Комар, Артур (1959). «Ковариантные законы о сохранении в общей относительности». Физический Преподобный ​ 113 (3): 934–936. Bibcode : 1959 phrv..113..934k . doi : 10.1103/physrev.113.934 .
• Arnowitt, R.; Deser, S.; Миснер, CW (1960-03-15). «Канонические переменные для общей относительности» (PDF) . Физический обзор . 117 (6). Американское физическое общество (APS): 1595–1602. Bibcode : 1960phrv..117.1595a . doi : 10.1103/physrev.117.1595 . ISSN   0031-899X . S2CID   120715041 .
• Арновитт, Ричард; Пустырь, Стэнли; Миснер, Чарльз В. (1962). «Динамика общей относительности». В Виттен, Л. (ред.). Гравитация: введение в текущие исследования . Уайли. С. 227–265.
• Бонди, H.; Ван дер Берг, MGJ; Метцнер, Awk (1962-08-21). «Гравитационные волны в общей теории относительности, vii. Волны из Axi-симметричной изолированной системы». Труды Королевского общества Лондона. Серия А. Математические и физические науки . 269 ​​(1336). Королевское общество: 21–52. Bibcode : 1962rspsa.269 ... 21b . doi : 10.1098/rspa.1962.0161 . ISSN   2053-9169 . S2CID   120125096 .
• Help (1980). Общая относительность и гравитация, через сто лет после рождения Эйнштейна, том 2 . Plenum Press. ISBN  978-0-306-40266-1 .
• Szabados, László B. (2004). «Квазилокальный энергетический момент и угловой импульс в GR» . Living Rev. Relativ . 7 (1): 4. Bibcode : 2004lr ..... 7 .... 4s . Doi : 10.12942/lrr-2004-4 . PMC   5255888 . PMID   28179865 .
• Таунсенд, PK (1997). "Черные дыры (записи лекций)". arxiv : gr-qc/9707012 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая относительность . Чикаго: Университет Чикагской Прессы. ISBN  0-226-87033-2 .
• Накумура, Тадас К. (2005). «Ковариантная термодинамика объекта с конечным объемом». Физические буквы а . 352 (3): 175–177. ARXIV : физика/0505004 . Bibcode : 2006phla..352..175n . doi : 10.1016/j.physleta.2005.11.070 . S2CID   14211373 .
• Карлип С. (1999). «Кинетическая энергия и принцип эквивалентности». Американский журнал физики . 66 (5): 409–413. Arxiv : GR-QC/9909014 . Bibcode : 1998AMJPH..66..409C . Citeseerx   10.1.1.340.3195 . doi : 10.1119/1,18885 . S2CID   119052544 .
• "Если вы идете слишком быстро, вы станете черной дырой?" Обновлено Don Koks 2008. Оригинал Philip Gibbs 1996. Оригинальный часто задаваемые вопросы Usenet Physics
• Олсон, DW; Guarino, RC (1985). «Измерение активной гравитационной массы движущегося объекта». Американский журнал физики . 53 (7): 661. Bibcode : 1985AMJPH..53..661O . doi : 10.1119/1.14280 .

Внешние ссылки

• "Энергия сохраняется в общей относительности?