Кристаллическая система

В кристаллографии кристаллическая система — это совокупность точечных групп (группа геометрических симметрий хотя бы с одной неподвижной точкой). — Решетчатая система это совокупность решеток Браве . Пространственные группы подразделяются на кристаллические системы в соответствии с их точечными группами и на решеточные системы в соответствии с их решетками Браве. Кристаллические системы, имеющие пространственные группы, отнесенные к общей системе решетки, объединяются в семейство кристаллов .

Семь кристаллических систем — триклинная , моноклинная , ромбическая , тетрагональная , тригональная, гексагональная и кубическая . Неформально два кристалла находятся в одной кристаллической системе, если они имеют схожую симметрию (хотя есть много исключений).

Классификации

Кристаллы можно классифицировать тремя способами: решетчатые системы, кристаллические системы и семейства кристаллов. Различные классификации часто путают: в частности, тригональную кристаллическую систему часто путают с ромбоэдрической решетчатой системой , а термин «кристаллическая система» иногда используется для обозначения «системы решетки» или «семейства кристаллов».

Решетчатая система

Решетчатая система — это группа решеток с одинаковым набором точечных групп решетки . 14 решеток Браве сгруппированы в семь систем решеток: триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, ромбоэдрическую, гексагональную и кубическую.

Кристаллическая система

Кристаллическая система — это совокупность точечных групп, в которой сами точечные группы и соответствующие им пространственные группы отнесены к решеточной системе. Из 32 кристаллографических точечных групп , существующих в трех измерениях, большинство отнесено только к одной системе решетки, и в этом случае кристалл и системы решетки имеют одно и то же название. Однако пять точечных групп относятся к двум системам решетки, ромбоэдрической и гексагональной, поскольку обе обладают тройной вращательной симметрией. Эти точечные группы отнесены к тригональной кристаллической системе.

Кристальная семья

Семейство кристаллов определяется решетками и точечными группами. Он образуется путем объединения кристаллических систем, имеющих пространственные группы, отнесенные к общей системе решетки. В трех измерениях гексагональная и тригональная кристаллические системы объединены в одно семейство гексагональных кристаллов.

Гексагональный ханксита кристалл *c .* с тройной симметрией по оси

Сравнение

Пять кристаллических систем по существу аналогичны пяти решетчатым системам. Шестиугольные и тригональные кристаллические системы отличаются от гексагональных и ромбоэдрических решетчатых систем. Они объединены в семейство гексагональных кристаллов.

Связь между трехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице:

Кристальная семья	Кристаллическая система	Требуемые симметрии точечной группы	Группы точек	Космические группы	Решетки Браве	Решетчатая система
Триклиника	Триклиника	Никто	2	2	1	Триклиника
Моноклиника	Моноклиника	1 двойная ось вращения или 1 зеркальная плоскость	3	13	2	Моноклиника
орторомбический	орторомбический	3 двойные оси вращения или 1 двойная ось вращения и 2 зеркальные плоскости	3	59	4	орторомбический
четырехугольный	четырехугольный	1 четырехкратная ось вращения	7	68	2	четырехугольный
Шестиугольный	Треугольный	1 тройная ось вращения	5	7	1	Ромбоэдрический
	Треугольный	1 тройная ось вращения	5	18	1	Шестиугольный
	Шестиугольный	1 шестикратная ось вращения	7	27	1	Шестиугольный
Кубический	Кубический	4 тройные оси вращения	5	36	3	Кубический
6	7	Общий	32	230	14	7

Примечание: «треугольной» решетчатой системы не существует. Во избежание путаницы в терминологии термин «тригональная решетка» не используется.

Классы кристаллов

7 кристаллических систем состоят из 32 кристаллических классов (соответствующих 32 кристаллографическим точечным группам), как показано в следующей таблице:

Кристальная семья	Кристаллическая система	Группа точек /Класс кристаллов	Шенфлис	Герман-Моген	Орбифолд	Коксетер	Симметрия точек	Заказ	Абстрактная группа
триклиника		педаль	С ₁	1	11	[ ] ⁺	энантиоморфный полярный	1	тривиальный $\mathbb {Z} _{1}$
триклиника		пинакоидальный	С _я (S ₂ )	1	1x	[2,1 ⁺]	центросимметричный	2	циклический $\mathbb {Z} _{2}$
моноклинический		клиновидный	С ₂	2	22	[2,2] ⁺	энантиоморфный полярный	2	циклический $\mathbb {Z} _{2}$
		домашний	С _с (С _1h )	м	*11	[ ]	полярный	2	циклический $\mathbb {Z} _{2}$
		призматический	С _{2 часа}	2/м	2*	[2,2 ⁺]	центросимметричный	4	Кляйн четыре $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
орторомбический		ромбически-дисфеноидальный	D ₂ (V)	222	222	[2,2] ⁺	энантиоморфный	4	Кляйн четыре $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		ромбически- пирамидальный	С _{2 в}	мм2	*22	[2]	полярный	4	Кляйн четыре $\mathbb {V} =\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$
		ромбически- дипирамидальный	Д _2ч (В _ч )	М-м-м	*222	[2,2]	центросимметричный	8	$\mathbb {V} \times \mathbb {Z} _{2}$
четырехугольный		тетрагонально-пирамидальный	С ₄	4	44	[4] ⁺	энантиоморфный полярный	4	циклический $\mathbb {Z} _{4}$
		тетрагонально-дисфеноидальный	С ₄	4	2x	[2 ⁺,2]	нецентросимметричный	4	циклический $\mathbb {Z} _{4}$
		тетрагонально-дипирамидальный	С _{4 часа}	4/м	4*	[2,4 ⁺]	центросимметричный	8	$\mathbb {Z} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		тетрагонально-трапецоэдрический	Д ₄	422	422	[2,4] ⁺	энантиоморфный	8	двугранный $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитетрагонально-пирамидальный	С _4В	4 мм	*44	[4]	полярный	8	двугранный $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		тетрагонально-скаленоэдрический	Д _2д (В _д )	4 2м или 4 м2	2*2	[2 ⁺,4]	нецентросимметричный	8	двугранный $\mathbb {D} _{8}=\mathbb {Z} _{4}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитетрагонально-дипирамидальный	Д _{4 часа}	4/ммм	*422	[2,4]	центросимметричный	16	$\mathbb {D} _{8}\times \mathbb {Z} _{2}$
шестиугольный	тригональный	тригонально-пирамидальный	С ₃	3	33	[3] ⁺	энантиоморфный полярный	3	циклический $\mathbb {Z} _{3}$
		ромбоэдрический	С _3и (С ₆ )	3	3x	[2 ⁺,3 ⁺]	центросимметричный	6	циклический $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		тригонально-трапецоэдрический	Д ₃	32 или 321 или 312	322	[3,2] ⁺	энантиоморфный	6	двугранный $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитригонально-пирамидальный	С _3В	3м или 3м1 или 31м	*33	[3]	полярный	6	двугранный $\mathbb {D} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитригонально-скаленоэдрический	Д _3д	3 м или 3 м1 или 3 1 м	2*3	[2 ⁺,6]	центросимметричный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
	шестиугольный	шестиугольно-пирамидальный	C_С6	6	66	[6] ⁺	энантиоморфный полярный	6	циклический $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		тригонально-дипирамидальный	С _{3 часа}	6	3*	[2,3 ⁺]	нецентросимметричный	6	циклический $\mathbb {Z} _{6}=\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}$
		шестиугольно-дипирамидальный	С _{6 часов}	6/м	6*	[2,6 ⁺]	центросимметричный	12	$\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
		шестиугольно-трапецоэдрический	Д ₆	622	622	[2,6] ⁺	энантиоморфный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дигексагонально-пирамидальный	С _6в	6 мм	*66	[6]	полярный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дитригонально-дипирамидальный	Д _{3 часа}	6 м2 или 6 2м	*322	[2,3]	нецентросимметричный	12	двугранный $\mathbb {D} _{12}=\mathbb {Z} _{6}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$
		дигексагонально-дипирамидальный	Д _6ч	6/ммм	*622	[2,6]	центросимметричный	24	$\mathbb {D} _{12}\times \mathbb {Z} _{2}$
кубический		тетартоидный	Т	23	332	[3,3] ⁺	энантиоморфный	12	чередование $\mathbb {A} _{4}$
		диплоидный	Т _ч	m 3	3*2	[3 ⁺,4]	центросимметричный	24	$\mathbb {A} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$
		гироидальный	ТО	432	432	[4,3] ⁺	энантиоморфный	24	симметричный $\mathbb {S} _{4}$
		шестигранный	Т _д	4 3м	*332	[3,3]	нецентросимметричный	24	симметричный $\mathbb {S} _{4}$
		шестиоктаэдрический	Ой	м 3 м	*432	[4,3]	центросимметричный	48	$\mathbb {S} _{4}\times \mathbb {Z} _{2}$

Точечную симметрию конструкции можно дополнительно описать следующим образом. Рассмотрим точки, составляющие структуру, и отразим их все через одну точку так, чтобы ( x , y , z ) превратилось в (− x , − y , − z ). Это «перевернутая структура». Если исходная структура и инвертированная структура идентичны, то структура центросимметрична . В противном случае он нецентросимметричен . Тем не менее, даже в нецентросимметричном случае перевернутую структуру в некоторых случаях можно повернуть, чтобы выровнять ее с исходной структурой. Это нецентросимметричная ахиральная структура. Если инвертированную структуру нельзя повернуть, чтобы совместить с исходной структурой, то структура является хиральной или энантиоморфной , а ее группа симметрии энантиоморфной . ^[1]

Направление (то есть линия без стрелки) называется полярным , если его двунаправленные направления геометрически или физически различны. Полярное направление симметрии кристалла называется полярной осью . ^[2] Группы, содержащие полярную ось, называются полярными . Полярный кристалл обладает уникальной полярной осью (точнее, все полярные оси параллельны). Некоторые геометрические или физические свойства различны на двух концах этой оси: например, может возникнуть диэлектрическая поляризация, как в пироэлектрических кристаллах . Полярная ось может возникнуть только в нецентросимметричных структурах. Не может быть зеркальной плоскости или двойной оси, перпендикулярной полярной оси, потому что они сделали бы два направления оси эквивалентными.

Кристаллические структуры хиральных биологических молекул (например, белковых структур) могут встречаться только в 65 энантиоморфных пространственных группах (биологические молекулы обычно хиральны ).

Решетки Браве

Существует семь различных типов решетчатых систем, и каждый тип решетчатой системы имеет четыре различных типа центрирования (примитивное, центрированное по основанию, центрированное по телу, центрированное по граням). Однако не все комбинации уникальны; некоторые комбинации эквивалентны, тогда как другие комбинации невозможны по причинам симметрии. Это уменьшает количество уникальных решеток до 14 решеток Браве.

Распределение 14 решеток Браве на 7 решетчатых систем представлено в следующей таблице.

Кристальная семья	Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	14 решеток Браве
Кристальная семья	Решетчатая система	Группа точек ( обозначение Шенфлиса )	Примитивный (P)	По центру основания (S)	Телоцентрированное (I)	По центру лица (F)
Триклиника (а)		C_Там	АП
Моноклиника (м)		С _{2 часа}	член парламента	РС
Орторомбический (о)		Д _{2 часа}	на	ты	привет	из
Четырехугольный (т)		Д _{4 часа}	ТП		из
Шестиугольный (h)	Ромбоэдрический	Д _3д	HR
Шестиугольный (h)	Шестиугольный	Д _6ч	л.с.
Кубический (с)		Ой	КП		Там	CF

В геометрии и кристаллографии решетка Браве — это категория групп трансляционной симметрии (также известных как решетки ) в трех направлениях.

Такие группы симметрии состоят из сдвигов векторов вида

р знак равно п ₁ а ₁ + п ₂ а ₂ + п ₃ а ₃ ,

где n ₁ , n ₂ и n ₃ — целые числа , а a ₁ , a ₂ и a ₃ — три некомпланарных вектора, называемые примитивными векторами .

Эти решетки классифицируются по пространственной группе самой решетки, рассматриваемой как набор точек; существует 14 решеток Браве в трех измерениях; каждый принадлежит только одной решетчатой системе. Они ^{[ нужны разъяснения ]} представляют максимальную симметрию, которую может иметь структура с данной трансляционной симметрией.

Все кристаллические материалы (кроме квазикристаллов ) по определению должны соответствовать одному из этих механизмов.

Для удобства решетка Браве изображается в виде элементарной ячейки, которая в 1, 2, 3 или 4 раза больше примитивной ячейки . В зависимости от симметрии кристалла или другой структуры фундаментальная область снова становится меньше, вплоть до 48 раз.

Решетки Браве изучал Мориц Людвиг Франкенгейм в 1842 году, который обнаружил, что существует 15 решеток Браве. Это было исправлено до 14 А. Браве в 1848 году.

В других измерениях

Двумерное пространство

Двумерное пространство имеет одинаковое количество кристаллических систем, семейств кристаллов и систем решеток. В 2D-пространстве существует четыре кристаллические системы: наклонная , прямоугольная , квадратная и шестиугольная .

Четырехмерное пространство

‌Четырехмерная элементарная ячейка определяется четырьмя длинами ребер ( a , b , c , d ) и шестью межосевыми углами ( α , β , γ , δ , ε , ζ ). Следующие условия для параметров решетки определяют 23 кристаллических семейства

Семейства кристаллов в 4D-пространстве
Нет.	Семья	Длина кромки	Межосевые углы
1	Гексаклиника	а ≠ б ≠ в ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	Триклиника	а ≠ б ≠ в ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	Диклиника	а ≠ б ≠ в ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	Моноклиника	а ≠ б ≠ в ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	Ортогональный	а ≠ б ≠ в ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	Тетрагональная моноклиника	а ≠ б = с ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	Шестиугольная моноклинная	а ≠ б = с ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	Дитетрагональная диклиника	а = d ≠ б = с	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	Дитригональная (дигексагональная) диклиника	а = d ≠ б = с	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° потому что δ = потому что β - потому что γ
10	Тетрагональный ортогональный	а ≠ б = с ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	Шестиугольный ортогональный	а ≠ б = с ≠ d	α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12	Дитетрагональная моноклиника	а = d ≠ б = с	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	Дитригональная (дигексагональная) моноклинная	а = d ≠ б = с	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90° потому что γ = - ⁠ 1 / 2 ⁠ потому что б
14	Дитетрагональный ортогональный	а = d ≠ б = с	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	Шестиугольный тетрагональный	а = d ≠ б = с	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	Дигексагональный ортогональный	а = d ≠ б = с	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	Кубический ортогональный	а = б = с ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	Восьмиугольный	а = б = в = г	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − а
19	Десятиугольный	а = б = в = г	α = γ = ζ ≠ β = δ = ε потому что β = - ⁠ 1 / 2 ⁠ - потому что α
20	двенадцатиугольный	а = б = в = г	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	Диизогексагональный ортогональный	а = б = в = г	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	Икосагональный (икосаэдрический)	а = б = в = г	α = β = γ = δ = ε = ζ потому что α = - ⁠ 1 / 4 ⁠
23	Гиперкубический	а = б = в = г	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

Имена здесь даны по Уиттакеру. ^[3] Они почти такие же, как у Brown et al. , ^[4] за исключением названий кристаллических семейств 9, 13 и 22. Названия этих трех семейств по Брауну и др. даны в скобках.

Связь между четырехмерными кристаллическими семействами, кристаллическими системами и системами решеток показана в следующей таблице. ^[3]^[4] Энантиоморфные системы отмечены звездочкой. В скобках указано количество энантиоморфных пар. Здесь термин «энантиоморфный» имеет иное значение, чем в таблице трехмерных классов кристаллов. Последнее означает, что энантиоморфные точечные группы описывают киральные (энантиоморфные) структуры. В текущей таблице «энантиоморфный» означает, что группа сама по себе (рассматриваемая как геометрический объект) энантиоморфна, как и энантиоморфные пары трехмерных пространственных групп P3 ₁ и P3 ₂ , P4 ₁ 22 и P4 ₃ 22. Начиная с четырех- В многомерном пространстве точечные группы также могут быть энантиоморфными в этом смысле.

Кристаллические системы в 4D пространстве.
Количество хрустальная семья	Кристальная семья	Кристаллическая система	Количество кристаллическая система	Группы точек	Космические группы	Решетки Браве	Решетчатая система
я	Гексаклиника		1	2	2	1	Гексаклиника П
II	Триклиника		2	3	13	2	Триклиника П, С
III	Диклиника		3	2	12	3	Диклиника П, С, Д
IV	Моноклиника		4	4	207	6	Моноклинная П, С, С, И, Д, Ф
V	Ортогональный	Неосевой ортогональный	5	2	2	1	Ортогональный КУ
		Неосевой ортогональный	5	2	112	8	Ортогональные P, S, I, Z, D, F, G, U
		Осевой ортогональный	6	3	887	8	Ортогональные P, S, I, Z, D, F, G, U
МЫ	Тетрагональная моноклиника		7	7	88	2	Тетрагональная моноклиника P, I
VII	Шестиугольная моноклинная	Тригональная моноклиника	8	5	9	1	Шестиугольная моноклинная R
		Тригональная моноклиника	8	5	15	1	Шестиугольная моноклинная P
		Шестиугольная моноклинная	9	7	25	1	Шестиугольная моноклинная P
VIII	Дитетрагональная диклиника*		10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Дитетрагональная диклиника P*
IX	Дитригональная диклиника*		11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Дитригональная диклиника P*
Х	Тетрагональный ортогональный	Обратный тетрагональный ортогональный	12	5	7	1	Тетрагональный ортогональный КГ
		Обратный тетрагональный ортогональный	12	5	351	5	Тетрагональные ортогональные P, S, I, Z, G
		Правильный тетрагонально ортогональный	13	10	1312	5	Тетрагональные ортогональные P, S, I, Z, G
XI	Шестиугольный ортогональный	Тригонально-ортогональный	14	10	81	2	Шестиугольный ортогональный R, RS
		Тригонально-ортогональный	14	10	150	2	Шестиугольный ортогональный P, S
		Шестиугольный ортогональный	15	12	240	2	Шестиугольный ортогональный P, S
XII	Дитетрагональная моноклиника*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Дитетрагональная моноклинная P, S, D*
XIII	Дитригональная моноклиника*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Дитригональная моноклинная P, RR
XIV	Дитетрагональный ортогональный	Крипто-дитетрагональный ортогональный	18	5	10	1	Дитетрагональный ортогональный D
		Крипто-дитетрагональный ортогональный	18	5	165 (+2)	2	Дитетрагональный ортогональный P, Z
		Дитетрагональный ортогональный	19	6	127	2	Дитетрагональный ортогональный P, Z
XV	Шестиугольный тетрагональный		20	22	108	1	Шестиугольный тетрагональный P
XVI	Дигексагональный ортогональный	Крипто-дитригональный ортогональный*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Дигексагональный ортогональный G*
		Крипто-дитригональный ортогональный*	21	4 (+4)	5 (+5)	1	Дигексагональный ортогональный P
		Дигексагональный ортогональный	23	11	20
		Дитригональный ортогональный	22	11	41
		Дитригональный ортогональный	22	11	16	1	Дигексагональный ортогональный RR
XVII	Кубический ортогональный	Простая кубическая ортогональная	24	5	9	1	Кубический ортогональный КУ
		Простая кубическая ортогональная	24	5	96	5	Кубические ортогональные P, I, Z, F, U
		Комплексная кубическая ортогональная	25	11	366	5	Кубические ортогональные P, I, Z, F, U
XVIII	Восьмиугольный*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Восьмиугольный П*
XIX	Десятиугольный		27	4	5	1	Десятиугольная П
ХХ	Додекагональная*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Додекагональный P*
XXI	Диизогексагональный ортогональный	Простой диизогексагональный ортогональный	29	9 (+2)	19 (+5)	1	Диизогексагональный ортогональный RR
		Простой диизогексагональный ортогональный	29	9 (+2)	19 (+3)	1	Диизогексагональный ортогональный P
		Комплексный диизогексагональный ортогональный	30	13 (+8)	15 (+9)	1	Диизогексагональный ортогональный P
XXII	икосагональный		31	7	20	2	Икосагональный П, СН
XXIII	Гиперкубический	Восьмиугольный гиперкубический	32	21 (+8)	73 (+15)	1	Гиперкубический П
		Восьмиугольный гиперкубический	32	21 (+8)	107 (+28)	1	Гиперкубический Z
		Двенадцатиугольный гиперкуб	33	16 (+12)	25 (+20)	1	Гиперкубический Z
Общий	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

См. также

Кристаллический кластер - группа кристаллов, образовавшихся в открытом пространстве, форма которых определяется их внутренней кристаллической структурой.
Кристаллическая структура - упорядоченное расположение атомов, ионов или молекул в кристаллическом материале.
Список космических групп
Группа полярных точек – симметрия в геометрии и кристаллографии.

Ссылки

^ Флэк, Ховард Д. (2003). «Хиральные и ахиральные кристаллические структуры». Helvetica Chimica Acta . 86 (4): 905–921. CiteSeerX 10.1.1.537.266 . дои : 10.1002/hlca.200390109 .
^ Хан 2002 , с. 804.
^ Перейти обратно: ^а ^б Уиттакер, EJW (1985). Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов . Оксфорд : Кларендон Пресс . ISBN 978-0-19-854432-6 . OCLC 638900498 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Браун, Х.; Бюлов, Р.; Нойбюзер, Дж.; Вондрачек, Х.; Зассенхаус, Х. (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства . Нью-Йорк : Уайли . ISBN 978-0-471-03095-9 . OCLC 939898594 .

Цитируемые работы

Хан, Тео, изд. (2002). Международные таблицы по кристаллографии, Том A: Симметрия пространственной группы . Международные таблицы по кристаллографии. Том. А (5-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1107/97809553602060000100 . ISBN 978-0-7923-6590-7 .

Внешние ссылки

[1] Флэк, Ховард Д. (2003). «Хиральные и ахиральные кристаллические структуры». Helvetica Chimica Acta . 86 (4): 905–921. CiteSeerX 10.1.1.537.266 . дои : 10.1002/hlca.200390109 .

[FOOTNOTEHahn2002804-2] Хан 2002 , с. 804.

[Whittaker-3] Перейти обратно: ^а ^б Уиттакер, EJW (1985). Атлас гиперстереограмм четырехмерных кристаллических классов . Оксфорд : Кларендон Пресс . ISBN 978-0-19-854432-6 . OCLC 638900498 .

[Brown-4] Перейти обратно: ^а ^б Браун, Х.; Бюлов, Р.; Нойбюзер, Дж.; Вондрачек, Х.; Зассенхаус, Х. (1978). Кристаллографические группы четырехмерного пространства . Нью-Йорк : Уайли . ISBN 978-0-471-03095-9 . OCLC 939898594 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Кристаллические системы
Bravais lattice Crystallographic point group
Seven 3D systems	triclinic (anorthic) monoclinic orthorhombic tetragonal trigonal & hexagonal cubic (isometric)
Four 2D systems	oblique rectangular square hexagonal