Размерность Минковского – Булиганда

Во фрактальной геометрии размерность Минковского -Булиганда , также известная как размерность Минковского или размерность подсчета ящиков , представляет собой способ определения фрактальной размерности множества . $S$ в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ или, в более общем смысле, в метрическом пространстве $(X,d)$ . Он назван в честь польского математика Германа Минковского и французского математика Жоржа Булиганда .

Чтобы вычислить эту размерность фрактала $S$ , представьте, что этот фрактал лежит на равномерно расположенной сетке, и посчитайте, сколько ящиков потребуется, чтобы покрыть это множество. Размерность подсчета ячеек рассчитывается путем наблюдения за тем, как меняется это число по мере того, как мы делаем сетку более мелкой, применяя алгоритм подсчета ячеек .

Предположим, что $N(\varepsilon )$ количество коробок с длиной стороны $\varepsilon$ необходимые для покрытия комплекта. Тогда размерность подсчета коробок определяется как

\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.

Грубо говоря, это означает, что размерность есть показатель степени $d$ такой, что $N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}$ , чего и следовало ожидать в тривиальном случае, когда $S$ — гладкое пространство ( многообразие ) целочисленной размерности $d$ .

Если вышеуказанный предел не существует, все равно можно использовать верхний предел и нижний предел , которые соответственно определяют размер верхнего и нижнего ящика . Измерение верхнего ящика иногда называют энтропийным измерением , измерением Колмогорова , емкостью Колмогорова , предельной емкостью или верхним измерением Минковского , а измерение нижнего ящика также называют нижним измерением Минковского .

Размеры верхнего и нижнего ящика тесно связаны с более популярным размером Хаусдорфа . Только в очень особых случаях важно различать эти три (см. ниже ). Еще одной мерой фрактальной размерности является корреляционная размерность .

Альтернативные определения

Размеры коробки можно определить с помощью шариков либо по номеру покрытия , либо по номеру упаковки. Покрывающий номер $N_{\text{covering}}(\varepsilon )$ — минимальное количество открытых шаров радиуса $\varepsilon$ необходимые для покрытия фрактала, или, другими словами, такие, чтобы их объединение содержало фрактал. Мы также можем рассмотреть внутреннее покрывающее число $N'_{\text{covering}}(\varepsilon )$ , который определяется так же, но с дополнительным требованием, чтобы центры открытых шаров лежали в множестве S . Номер упаковки $N_{\text{packing}}(\varepsilon )$ — максимальное количество непересекающихся открытых шаров радиуса $\varepsilon$ можно расположить так, чтобы их центры находились во фрактале. Пока $N$ , $N_{\text{covering}}$ , $N'_{\text{covering}}$ и $N_{\text{packing}}$ не совсем идентичны, они тесно связаны друг с другом и приводят к идентичным определениям размеров верхнего и нижнего ящика. Это легко показать, если доказаны следующие неравенства:

N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{packing}}(\varepsilon /4).

Они, в свою очередь, следуют либо по определению, либо с небольшими усилиями из неравенства треугольника .

Преимущество использования шаров, а не квадратов, состоит в том, что это определение распространяется на любое метрическое пространство . Другими словами, определение коробки является внешним — предполагается, что фрактальное пространство S содержится в евклидовом пространстве , и определяет коробки в соответствии с внешней геометрией содержащего пространства. Однако размерность S должна быть внутренней , независимой от среды, в которую S помещен , и определение шара может быть сформулировано внутренне. Внутренний шар определяется как все точки S на определенном расстоянии от выбранного центра, и такие шары подсчитываются, чтобы получить размерность. (Точнее, N _{определение покрытия} является внешним, а два других — внутренними.)

Преимущество использования ящиков состоит в том, что во многих случаях N ( ε ) можно легко вычислить явно и что для ящиков числа покрытия и упаковки (определенные эквивалентным образом) равны.

Логарифмы и в некоторой степени чисел упаковки и покрытия иногда называют числами энтропии аналогичны понятиям термодинамической энтропии и теоретико-информационной энтропии , поскольку они измеряют количество «беспорядка» в метрическом пространстве или фрактале в масштабе ε. а также измерить, сколько бит или цифр понадобится, чтобы указать точку пространства с точностью ε .

Другое эквивалентное (внешнее) определение измерения количества ящиков дается формулой

\dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},

где для каждого r > 0 множество $S_{r}$ определяется как r -окрестность S , т.е. множество всех точек в $R^{n}$ которые находятся на расстоянии меньше r от S (или, что то же самое, $S_{r}$ есть объединение всех открытых шаров радиуса r с центром в точке из S ).

Характеристики

Обе размерности коробки конечно аддитивны, т. е. если { A ₁ ..., An _, } — конечный набор множеств, то

\dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots ,\dim A_{n}\}.

Однако они не счетно- аддитивны, т. е. это равенство не выполняется для бесконечной последовательности множеств. Например, размерность коробки отдельной точки равна 0, но размерность коробки набора рациональных чисел в интервале [0, 1] имеет размерность 1. мера Хаусдорфа Для сравнения, является счетно-аддитивной.

Интересным свойством измерения верхнего блока, не общим ни с измерением нижнего блока, ни с измерением Хаусдорфа, является связь с добавлением множеств. Если A и B — два множества в евклидовом пространстве, то A + B образуется путем взятия всех пар точек a , b , где a принадлежит A , а b — из B, и сложения a + b . У одного есть

\dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).

Отношения с измерением Хаусдорфа

Измерение подсчета ящиков — одно из многих определений измерения, которые можно применить к фракталам. Для многих фракталов с хорошим поведением все эти измерения равны; в частности, эти измерения совпадают всякий раз, когда фрактал удовлетворяет условию открытого множества (OSC). ^[1] Например, размерность Хаусдорфа , размерность нижнего ящика и размерность верхнего ящика множества Кантора равны log(2)/log(3). Однако определения не эквивалентны.

Размеры ящика и размерность Хаусдорфа связаны неравенством

\dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.

В общем случае оба неравенства могут быть строгими . Размер верхнего ящика может быть больше, чем размер нижнего ящика, если фрактал ведет себя по-разному в разных масштабах. Например, рассмотрим набор чисел в интервале [0, 1], удовлетворяющий условию

для любого n все цифры между 2 ^22н-я цифра и (2 ^{2н 1 +} − 1)-я цифра равна нулю.

Цифры в «нечетных промежутках», т.е. между цифрами 2 ^{2н 1 +} и 2 ^{2н 2 +} − 1 не ограничены и могут принимать любое значение. Этот фрактал имеет размерность верхнего ящика 2/3 и размерность нижнего ящика 1/3, факт, который можно легко проверить, вычислив N ( ε ) для $\varepsilon =10^{-2^{n}}$ и отметив, что их значения ведут себя по-разному для n четных и нечетных .

Другой пример: набор рациональных чисел $\mathbb {Q}$ , счетное множество с $\dim _{\text{Haus}}=0$ , имеет $\dim _{\text{box}}=1$ потому что его закрытие, $\mathbb {R}$ , имеет размерность 1. В самом деле,

\dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.

Эти примеры показывают, что добавление счетного множества может изменить размерность коробки, демонстрируя своего рода нестабильность этой размерности.

См. также

Ссылки

^ Вагон, Стэн (2010). Mathematica в действии: решение проблем посредством визуализации и вычислений . Спрингер-Верлаг . п. 214. ИСБН 0-387-75477-6 .

Фальконер, Кеннет (1990). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . Чичестер: Джон Уайли. стр. 38–47 . ISBN 0-471-92287-0 . Збл 0689.28003 .
Вайсштейн, Эрик В. «Измерение Минковского-Булиганда» . Математический мир .

Внешние ссылки

FrakOut!: OSS-приложение для расчета фрактальной размерности фигуры с использованием метода подсчета ящиков (не размещает ящики автоматически).
FracLac: онлайн-руководство пользователя и программное обеспечение ImageJ и плагин для подсчета коробок FracLac; бесплатное и удобное программное обеспечение с открытым исходным кодом для анализа цифровых изображений в биологии

[Wagon214-1] Вагон, Стэн (2010). Mathematica в действии: решение проблем посредством визуализации и вычислений . Спрингер-Верлаг . п. 214. ИСБН 0-387-75477-6 .

[1]

v т и Фракталы
Характеристики	Фрактальные измерения Ассуад Подсчет коробок Хигучи Корреляция Хаусдорф Упаковка Топологический Рекурсия Самоподобие
Итерированная функция система	Папоротник Барнсли Канторовский набор Снежинка Коха Моя губка Ковер Серпинского Треугольник Серпинского Аполлоническая прокладка Слово Фибоначчи Кривая заполнения пространства Кривая Бланманже Кривая Де Рама Минковский Кривая дракона Кривая Гильберта кривая Коха Кривая Леви C Кривая Мура Кривые Пеано Кривая Серпинского Кривая Z-порядка Нить Т-квадрат н-хлопья Фрактальные шутки шестихлопьевидный Кривая Госпера Дерево Пифагора Функция Вейерштрасса
Странный аттрактор	Мультифрактальная система
L-система	Фрактальный навес Кривая заполнения пространства H-дерево
Время побега фракталы	Фрактал горящего корабля Джулия сет Заполненный Ньютон фрактал Кролик Дуади Ляпунов фрактал Набор Мандельброта точка Мисюревича Набор Мультиброт Ньютон фрактал Треуголка Мандельбокс Мандельбулба
рендеринга Методы	Буддадброт Орбитальная ловушка Пиковерный стебель
Случайные фракталы	Броуновское движение Броуновское дерево Броуновский двигатель Фрактальный пейзаж полет Леви Теория перколяции Самоизбегающая прогулка
Люди	Майкл Барнсли Георг Кантор Билл Госпер Феликс Хаусдорф Десмонд Пол Генри Гастон Джулия Хельге фон Кох Пол Леви Aleksandr Lyapunov Бенуа Мандельброт Хамид Надери Йегане Льюис Фрай Ричардсон Вацлав Серпиньский
Другой	« Какова длина побережья Британии? » Парадокс береговой линии Фрактальное искусство Список фракталов по размерности Хаусдорфа Фрактальная геометрия природы (книга 1982 г.) Красота фракталов (книга 1986 г.) Хаос: создание новой науки (книга 1987 г.) Калейдоскоп Теория хаоса