Лоран серии

Эта статья о дважды бесконечных степенных рядах. Чтобы узнать о степенных рядах с конечным числом отрицательных показателей, см. Формальный ряд Лорана .

Ряд Лорана определяется относительно конкретной точки. $c$ и путь интегрирования γ. Путь интеграции должен лежать в кольце, обозначенном здесь красным цветом, внутри которого $f(z)$ голоморфен аналитичен ( . )

В математике ряд Лорана комплексной функции $f(z)$ представляет собой представление этой функции в виде степенного ряда , включающего члены отрицательной степени. Его можно использовать для выражения сложных функций в тех случаях, когда в ряд Тейлора невозможно применить разложение . Серия Лорана была названа в честь Пьера Альфонса Лорана и впервые опубликована в 1843 году. Карл Вейерштрасс , возможно, впервые обнаружил ее в статье, написанной в 1841 году, но она была опубликована только после его смерти.

Определение

Ряд Лорана для сложной функции $f(z)$ о точке $c$ дается

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},$$

где $a_{n}$ и $c$ являются константами, причем $a_{n}$ определяется контурным интегралом , который обобщает интегральную формулу Коши :

$$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-c)^{n+1}}}\,dz.$$

Путь интеграции $\gamma$ вращается против часовой стрелки вокруг кривой Жордана, охватывающей $c$ и лежит в кольце $A$ в котором $f(z)$ голоморфен ( аналитичен ). Расширение для $f(z)$ тогда будет действителен в любом месте внутри кольцевого пространства. Кольцевое пространство показано красным на рисунке справа вместе с примером подходящего пути интеграции, обозначенным как $\gamma$. Если мы возьмем $\gamma$ быть кругом $|z-c|=\varrho$, где $r<\varrho <R$, это всего лишь суммак вычислению комплексных коэффициентов Фурье ограничения $f$ к $\gamma$. Тот факт, что эти интегралы не изменяются при деформации контура $\gamma$ является непосредственным следствием теоремы Грина .

Можно также получить ряд Лорана для комплексной функции $f(z)$ в $z=\infty$. Однако это то же самое, что и тогда, когда $R\rightarrow \infty$ (см. пример ниже).

На практике приведенная выше интегральная формула может не предлагать наиболее практичный метод вычисления коэффициентов. $a_{n}$ для данной функции $f(z)$; вместо этого ряд Лорана часто объединяют, комбинируя известные разложения Тейлора. Поскольку разложение Лорана функции уникально всякий раз, когдасуществует любое выражение этой формы, равное данной функции $f(z)$ в каком-то кольце на самом деле должно быть лорановское расширение $f(z)$.

Лорана

и ^{−1/ х 2} и приближения Лорана: ключевые слова см. в тексте. По мере возрастания отрицательной степени ряда Лорана он приближается к правильной функции.

и ^{−1/ х 2} и его лорановские аппроксимации с отрицательным повышением степени. Окрестность нулевой особенности никогда не может быть аппроксимирована.

Ряды Лорана с комплексными коэффициентами — важный инструмент комплексного анализа , особенно для исследования поведения функций вблизи особенностей .

Рассмотрим, например, функцию $f(x)=e^{-1/x^{2}}$ с $f(0)=0$. Как действительная функция, она всюду бесконечно дифференцируема; как сложная функция, однако она не дифференцируема при $x=0$. Заменив $x$ с $-1/x^{2}$ в степенном ряду показательной функции получим ее ряд Лорана, который сходится и равен $f(x)$ для всех комплексных чисел $x$ кроме сингулярности $x=0$. На графике напротив показано $e^{-1/x^{2}}$ в черном цвете и его лорановские приближения

$$\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}$$

для $N$ = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 и 50 . Как $N\to \infty$, приближение становится точным для всех (комплексных) чисел $x$ кроме сингулярности $x=0$.

В более общем смысле, ряды Лорана можно использовать для выражения голоморфных функций, определенных на кольце , так же, как степенные ряды используются для выражения голоморфных функций, определенных на диске .

Предполагать

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$$

— заданный ряд Лорана с комплексными коэффициентами $a_{n}$ и комплексный центр $c$. Тогда существует единственный внутренний радиус $r$ и внешний радиус $R$ такой, что:

• Ряд Лорана сходится в открытом кольце. $A=\{z:r<|z-c|<R\}$. Говоря, что ряд Лорана сходится, мы имеем в виду, что сходятся как степенные ряды положительной степени, так и степенные ряды отрицательной степени. При этом эта сходимость будет равномерной на компактах . Наконец, сходящийся ряд определяет голоморфную функцию $f(z)$ на открытом кольце.
• За пределами кольца ряд Лорана расходится. То есть в каждой внешности точке $A$, степенной ряд положительной степени или степенной ряд отрицательной степени расходится.
• О границе кольца нельзя сделать общего утверждения, кроме как сказать, что существует по крайней мере одна точка на внутренней границе и одна точка на внешней границе такие, что $f(z)$ не может быть голоморфно продолжено в эти точки.

Возможно, что $r$ может быть нулем или $R$ может быть бесконечным; с другой стороны, это не обязательно правда, что $r$ меньше, чем $R$.Эти радиусы можно вычислить следующим образом:

$${\begin{aligned}r&=\limsup _{n\to \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}},\\{1 \over R}&=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}.\end{aligned}}$$

Мы берем $R$ быть бесконечным, когда этот последний lim sup равен нулю.

И наоборот, если мы начнем с кольца вида $A=\{z:r<|z-c|<R\}$ и голоморфная функция $f(z)$ определено на $A$, то всегда существует единственный ряд Лорана с центром $c$ которая сходится (по крайней мере) на $A$ и представляет функцию $f(z)$.

В качестве примера рассмотрим следующую рациональную функцию вместе с ее разложением в частные дроби :

$$f(z)={\frac {1}{(z-1)(z-2i)}}={\frac {1+2i}{5}}\left({\frac {1}{z-1}}-{\frac {1}{z-2i}}\right).$$

Эта функция имеет особенности при $z=1$ и $z=2i$, где знаменатель выражения равен нулю, поэтому выражение не определено.Серия Тейлор о $z=0$ (что дает степенной ряд) будет сходиться только в круге радиуса 1, поскольку он «попадает» в особенность в точке 1.

Однако существует три возможных лорановских разложения около 0, в зависимости от радиуса $z$:

• Одна серия определена на внутреннем диске, где | г | < 1 ; это то же самое, что ряд Тейлора,
  $$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{n+1}}}-1\right)z^{n}.$$
  Это следует из дробной формы функции вместе с формулой суммы геометрической прогрессии ,
  $${\frac {1}{z-a}}=-{\frac {1}{a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\tfrac {z}{a}}\right)^{n}$$
  для $|z|<|a|$.
• Вторая серия определяется в среднем кольце, где $1<z<2$ находится между двумя сингулярностями:
  $$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{n+1}}}z^{n}\right).$$
  Здесь мы используем альтернативную форму суммирования геометрических рядов:
  $${\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {a}{z}}\right)^{n}$$
  для $|z|>|a|$.
• Третья серия определяется на бесконечном внешнем кольце, где $2<z<\infty$, (что также является разложением Лорана при $z=\infty$)
  $$f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-(2i)^{n-1}\right)z^{-n}.$$
  Этот ряд может быть получен с использованием геометрического ряда, как и раньше, или путем выполнения полиномиального деления 1 на $(x-1)(x-2i)$, не останавливаясь на остатке, а продолжая $x^{-n}$ условия; действительно, «внешний» ряд Лорана рациональной функции аналогичен десятичной форме дроби. (Разложение «внутреннего» ряда Тейлора можно получить аналогичным образом, просто изменив порядок членов в алгоритме деления на противоположный.)

Дело $r=0$; т. е. голоморфная функция $f(z)$ который может быть неопределенным в одной точке $c$, особенно важно. Коэффициент $a_{-1}$ разложения Лорана такой функции вычетом называется $f(z)$ в сингулярности $c$; он играет важную роль в теореме о вычетах . В качестве примера рассмотрим

$$f(z)={e^{z} \over z}+e^{{1}/{z}}.$$

Эта функция голоморфна всюду, кроме точки $z=0$.

Чтобы определить разложение Лорана относительно $c=0$, мы используем наши знания о ряде Тейлора показательной функции :

$$f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots .$$

Находим, что остаток равен 2.

Один из примеров расширения информации $z=\infty$:

$$f(z)={\sqrt {1+z^{2}}}-z=z\left({\sqrt {1+{\frac {1}{z^{2}}}}}-1\right)=z\left({\frac {1}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8z^{4}}}+{\frac {1}{16z^{6}}}-\cdots \right)={\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{8z^{3}}}+{\frac {1}{16z^{5}}}-\cdots .$$

Уникальность

Предположим, что функция $f(z)$ голоморфный на кольце $r<|z-c|<R$ имеет две серии Лорана:

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n}.$$

Умножьте обе части на $(z-c)^{-k-1}$, где k — произвольное целое число, и проинтегрировать по пути γ внутри кольца:

$$\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz=\oint _{\gamma }\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}(z-c)^{n-k-1}\,dz.$$

Ряд сходится равномерно на $r+\varepsilon \leq |z-c|\leq R-\varepsilon$, где ε — положительное число, достаточно малое для того, чтобы γ содержалось в суженном замкнутом кольце, поэтому интегрирование и суммирование можно поменять местами. Подмена личности

$$\oint _{\gamma }\,(z-c)^{n-k-1}\,dz=2\pi i\delta _{nk}$$

в суммирование дает

$$a_{k}=b_{k}.$$

Следовательно, ряд Лорана уникален.

Полиномы Лорана

Основная статья: полином Лорана

Полином Лорана — это ряд Лорана, в котором лишь конечное число коэффициентов отличны от нуля. Полиномы Лорана отличаются от обычных многочленов тем, что могут иметь члены отрицательной степени.

Основная часть

Главной частью ряда Лорана является ряд слагаемых отрицательной степени, т. е.

$$\sum _{k=-\infty }^{-1}a_{k}(z-c)^{k}.$$

Если главная часть $f$ является конечной суммой, то $f$ имеет шест в $c$ порядка, равного (отрицательному) степени старшего члена; с другой стороны, если $f$ имеет существенную особенность в $c$, главная часть представляет собой бесконечную сумму (то есть имеет бесконечно много ненулевых членов).

Если внутренний радиус сходимости ряда Лорана для $f$ равно 0, тогда $f$ имеет существенную особенность в $c$ тогда и только тогда, когда главная часть является бесконечной суммой и в противном случае имеет полюс.

Если внутренний радиус сходимости положителен, $f$ может иметь бесконечно много отрицательных членов, но при этом быть регулярным $c$, как в примере выше, и в этом случае он представлен другим рядом Лорана в диске о $c$.

Ряды Лорана с конечным числом отрицательных членов хорошо себя ведут — это степенной ряд, разделенный на $z^{k}$, и их можно анализировать аналогичным образом, тогда как ряды Лорана с бесконечным числом отрицательных членов имеют сложное поведение на внутреннем круге сходимости.

Умножение и сумма

Ряды Лорана, вообще говоря, не умножаются.С алгебраической точки зрения выражение для членов произведения может включать бесконечные суммы, которые не обязательно должны сходиться (нельзя выполнять свертку целочисленных последовательностей).Геометрически два ряда Лорана могут иметь непересекающиеся кольца сходимости.

Два ряда Лорана с конечным числом отрицательных членов можно умножить: алгебраически все суммы конечны; геометрически они имеют полюса в $c$, а внутренний радиус схождения 0, поэтому они оба сходятся в перекрывающемся кольце.

Таким образом, при определении формальных рядов Лорана требуются ряды Лорана только с конечным числом отрицательных членов.

Точно так же сумма двух сходящихся рядов Лорана не обязательно должна сходиться, хотя она всегда определена формально, но сумма двух ограниченных снизу рядов Лорана (или любого ряда Лорана на проколотом диске) имеет непустое кольцо сходимости.

Также для поля $F$, по сумме и умножению, определенным выше, формальный ряд Лорана образует поле $F((x))$ которое также является полем дробей кольца $F[[x]]$ формального степенного ряда .

См. также

• Серия Пюизо
• Теорема Миттаг-Леффлера
• Формальный ряд Лорана - ряд Лорана, рассматриваемый формально , с коэффициентами из произвольного коммутативного кольца , без учета сходимости и только с конечным числом отрицательных членов, так что умножение всегда определено.
• Z-преобразование - особый случай, когда ряд Лорана принимается около нуля, широко используется в анализе временных рядов.
• Ряд Фурье – замена $z=e^{\pi iw}$ преобразует ряд Лорана в ряд Фурье и наоборот. Это используется в q в ряд разложении j -инварианта .
• Аппроксимант Паде - еще один метод, используемый, когда ряд Тейлора нежизнеспособен.

Внешние ссылки

• «Лорановский ряд» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Ряды Лорана» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик В. «Серия Лорана» . Математический мир .
• Лоран Сери и Мандельброт в постановке Роберта Мунафо