Диаграмма Дынкина

В математической области теории Ли диаграмма Дынкина , названная в честь Евгения Дынкина , представляет собой тип графа с некоторыми рёбрами, удвоенными или утроенными (нарисованными в виде двойной или тройной линии). Диаграммы Дынкина возникают при классификации полупростых алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями , при классификации групп Вейля и других групп конечных отражений и в других контекстах. Различные свойства диаграммы Дынкина (например, содержит ли она кратные ребра или ее симметрии) соответствуют важным особенностям ассоциированной алгебры Ли.

Конечные диаграммы Дынкина

Аффинные (расширенные) диаграммы Дынкина

Термин «диаграмма Дынкина» может быть неоднозначным. В некоторых случаях диаграммы Дынкина предполагаются направленными , и в этом случае они соответствуют системам корней и полупростым алгебрам Ли, а в других случаях они предполагаются неориентированными , и в этом случае они соответствуют группам Вейля. В этой статье под «диаграммой Дынкина» подразумевается направленная диаграмма Дынкина, а неориентированные диаграммы Дынкина будут называться явно так.

Классификация полупростых алгебр Ли

Дополнительная информация: Полупростая алгебра Ли § Классификация.

Фундаментальный интерес к диаграммам Дынкина состоит в том, что они классифицируют полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями . Такие алгебры Ли классифицируются по их корневой системе , которая может быть представлена ​​диаграммой Дынкина. Затем диаграммы Дынкина классифицируются в соответствии с ограничениями, которым они должны удовлетворять, как описано ниже.

Удаление направления на ребрах графа соответствует замене корневой системы конечной группой отражений , которую она порождает, так называемой группой Вейля , и, таким образом, неориентированные диаграммы Дынкина классифицируют группы Вейля.

Они имеют следующее соответствие для алгебр Ли, ассоциированных с классическими группами над комплексными числами:

• $A_{n}$: ${\mathfrak {sl}}_{n+1}$, специальная линейная алгебра Ли .
• $B_{n}$: ${\mathfrak {so}}_{2n+1}$, нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли .
• $C_{n}$: ${\mathfrak {sp}}_{2n}$, симплектическая алгебра Ли .
• $D_{n}$: ${\mathfrak {so}}_{2n}$, четномерная специальная ортогональная алгебра Ли ( $n>1$).

Для исключительных групп названия алгебры Ли и связанной с ней диаграммы Дынкина совпадают.

Связанные классификации

Диаграммы Дынкина можно интерпретировать как классификацию множества различных связанных объектов, а обозначение «A _n , B _n , ...» используется для обозначения всех таких интерпретаций, в зависимости от контекста; эта двусмысленность может сбить с толку.

Основная классификация заключается в том, что простая алгебра Ли имеет корневую систему, с которой связана (ориентированная) диаграмма Дынкина; все три из них могут называться _{как B n} , например, .

Неориентированная связанную диаграмма Дынкина является формой диаграммы Коксетера и соответствует группе Вейля, которая представляет собой конечную группу отражений, с корневой системой. Таким образом, B _n может относиться к неориентированной диаграмме (особый вид диаграммы Кокстера), группе Вейля (группа конкретного отражения) или абстрактной группе Кокстера.

Хотя группа Вейля абстрактно изоморфна группе Кокстера, конкретный изоморфизм зависит от упорядоченного выбора простых корней. Аналогично, хотя обозначения диаграммы Дынкина стандартизированы, обозначения диаграммы Коксетера и групп различаются и иногда согласуются с обозначениями диаграммы Дынкина, а иногда нет.

Наконец, иногда связанные объекты обозначаются одним и тем же обозначением, хотя это не всегда можно делать регулярно. Примеры включают в себя:

• Корневая решетка, корневой системой, как и в E8 _{порожденная} решетке . Это определено естественным образом, но не взаимно однозначно – например, A ₂ и G ₂ порождают гексагональную решетку .
• Соответствующий многогранник - например, Госсета 4 ₂₁ многогранник может называться «многогранником E ₈ », поскольку его вершины происходят из корневой системы E ₈ и он имеет группу Кокстера E ₈ в качестве группы симметрии.
• Соответствующая квадратичная форма или многообразие - например, E ₈ многообразие имеет форму пересечения, заданную решеткой E ₈ .

Эти последние обозначения в основном используются для объектов, связанных с исключительными диаграммами — объекты, связанные с обычными диаграммами (A, B, C, D), вместо этого имеют традиционные имена.

Индекс ( n ) равен количеству узлов в диаграмме, количеству простых корней в базисе, размерности корневой решетки и размаха корневой системы, количеству образующих группы Кокстера и рангу алгебры Ли. Однако n не равно размерности определяющего модуля ( фундаментального представления ) алгебры Ли – индекс на диаграмме Дынкина не следует путать с индексом на алгебре Ли. Например, $B_{4}$ соответствует ${\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},$ которая естественным образом действует в 9-мерном пространстве, но имеет ранг 4 как алгебра Ли.

Диаграммы Дынкина с простой ажурной структурой , без кратных ребер (A, D, E), классифицируют многие другие математические объекты; см. обсуждение в классификации ADE .

Пример: А ₂

The $A_{2}$ корневая система

Например, символ $A_{2}$ может относиться к:

• Диаграмма Дынкина с двумя связными узлами, , которую также можно интерпретировать как диаграмму Кокстера .
• с Корневая система двумя простыми корнями. $2\pi /3$ (120 градусов) угол.
• Алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}$ ранга 2 .
• Группа Вейля симметрий корней (отражения в гиперплоскости, ортогональной корням), изоморфная симметрической группе $S_{3}$ (приказа 6).
• Абстрактная группа Кокстера , представленная генераторами и отношениями, $\left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .$

Строительство из корневых систем

Рассмотрим корневую систему , предполагаемую приведенной и цельной (или «кристаллографической»). Во многих приложениях эта корневая система возникает из полупростой алгебры Ли . Позволять $\Delta$ быть набором положительных простых корней . Затем мы строим диаграмму из $\Delta$ следующее. Постройте граф с одной вершиной для каждого элемента $\Delta$. Затем вставьте ребра между каждой парой вершин согласно следующему рецепту. Если корни, соответствующие двум вершинам, ортогональны, между вершинами нет ребра. Если угол между двумя корнями равен 120 градусов, мы помещаем одно ребро между вершинами. Если угол 135 градусов, ставим два ребра, а если угол 150 градусов, ставим три ребра. (Эти четыре случая исчерпывают все возможные углы между парами положительных простых корней. ) Наконец, если между данной парой вершин есть ребра, мы украшаем их стрелкой, указывающей от вершины, соответствующей более длинному корню, к вершине, соответствующей более короткому. (Стрелка опускается, если корни имеют одинаковую длину.) Представление о стрелке как о знаке «больше» проясняет, в какую сторону должна идти стрелка. Диаграммы Дынкина позволяют классифицировать корневые системы. Углы и отношения длин между корнями связаны между собой . Таким образом, ребра для неортогональных корней альтернативно могут быть описаны как одно ребро для отношения длин, равное 1, и два ребра для отношения длин, равного 1. ${\sqrt {2}}$, и три ребра для отношения длин ${\sqrt {3}}$. (Если корни ортогональны, ребер нет, независимо от соотношения длин.)

В $A_{2}$ корневая система показана справа, корни обозначены $\alpha$ и $\beta$ сформировать базу. Поскольку эти два корня находятся под углом 120 градусов (с отношением длин 1), диаграмма Дынкина состоит из двух вершин, соединенных одним ребром: .

Ограничения

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять определенным ограничениям; По сути, это те диаграммы, которым удовлетворяют конечные диаграммы Кокстера – Дынкина вместе с дополнительным кристаллографическим ограничением.

Связь с диаграммами Кокстера

Диаграммы Дынкина тесно связаны с диаграммами Кокстера конечных групп Кокстера , и эту терминологию часто смешивают.

Диаграммы Дынкина отличаются от диаграмм Кокстера конечных групп в двух важных отношениях:

Частично направлен

Диаграммы Дынкина частично направлены - любое кратное ребро (в терминах Кокстера, помеченное цифрой «4» или выше) имеет направление (стрелка, указывающая от одного узла к другому); таким образом, диаграммы Дынкина содержат больше данных, чем базовая диаграмма Коксетера (неориентированный граф).

На уровне корневых систем направление соответствует направлению к более короткому вектору; ребра, помеченные цифрой «3», не имеют направления, поскольку соответствующие векторы должны иметь одинаковую длину. (Внимание: некоторые авторы меняют это соглашение: стрелка указывает в сторону более длинного вектора.)

Кристаллографическое ограничение

Диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, а именно: единственными допустимыми метками ребер являются 2, 3, 4 и 6, ограничение, не разделяемое диаграммами Кокстера, поэтому не каждая диаграмма Кокстера конечной группы происходит из диаграммы Дынкина.

На уровне корневых систем это соответствует кристаллографической ограничительной теореме , поскольку корни образуют решетку.

Еще одно отличие, которое носит лишь стилистический характер, заключается в том, что диаграммы Дынкина обычно рисуются с двойными или тройными ребрами между узлами (для p = 4, 6), а не с ребром, помеченным буквой « p ».

Термин «диаграмма Дынкина» иногда относится к ориентированному графу, иногда к неориентированному графу. Для точности в этой статье «диаграмма Дынкина» будет означать направленный, а лежащий в основе неориентированный граф будет называться «неориентированной диаграммой Дынкина». Тогда диаграммы Дынкина и диаграммы Кокстера могут быть связаны следующим образом:

	кристаллографический	точечная группа
направленный	Диаграммы Дынкина
ненаправленный	неориентированные диаграммы Дынкина	Диаграммы Кокстера конечных групп

Под этим подразумевается, что диаграммы Кокстера конечных групп соответствуют точечным группам, порожденным отражениями, тогда как диаграммы Дынкина должны удовлетворять дополнительному ограничению, соответствующему кристаллографической ограничительной теореме , и что диаграммы Кокстера ненаправлены, а диаграммы Дынкина (частично) направлены.

Соответствующими математическими объектами, классифицированными диаграммами, являются:

	кристаллографический	точечная группа
направленный	корневая система
ненаправленный	Группы Вейля	конечные группы Кокстера

Пробел в правом верхнем углу, соответствующий ориентированным графам, лежащим в основе неориентированного графа, любой диаграмме Кокстера (конечной группы), может быть определен формально, но мало обсуждается и, похоже, не допускает простой интерпретации в терминах математических объектов. интереса.

Внизу — естественные карты — от диаграмм Дынкина до неориентированных диаграмм Дынкина; соответственно от систем корней к ассоциированным группам Вейля – и справа – от неориентированных диаграмм Дынкина к диаграммам Кокстера; соответственно от групп Вейля к конечным группам Кокстера.

Отображение вниз является включенным (по определению), но не взаимно однозначным, поскольку диаграммы B _n и C _n отображаются в одну и ту же неориентированную диаграмму, при этом результирующая диаграмма Кокстера и группа Вейля иногда обозначаются BC _n .

Правое отображение — это просто включение (неориентированные диаграммы Дынкина — это частные случаи диаграмм Кокстера, а группы Вейля — это частные случаи конечных групп Кокстера), и оно не является включением, поскольку не каждая диаграмма Кокстера является неориентированной диаграммой Дынкина (пропущенные диаграммы — это H ₃ , H ₄ и I ₂ ( p ) для p = 5 p ≥ 7), и соответственно не всякая конечная группа Кокстера является группой Вейля.

Изоморфизмы

Исключительные изоморфизмы связных диаграмм Дынкина.

Диаграммы Дынкина условно нумеруются, чтобы список не был избыточным: $n\geq 1$ для $A_{n},$ $n\geq 2$ для $B_{n},$ $n\geq 3$ для $C_{n},$ $n\geq 4$ для $D_{n},$ и $E_{n}$ начиная с $n=6.$ Однако семейства могут быть определены для нижнего n, что дает исключительные изоморфизмы диаграмм и соответствующие исключительные изоморфизмы алгебр Ли и связанных с ними групп Ли.

Тривиально, можно создать семьи в $n=0$ или $n=1,$ все они тогда изоморфны, поскольку существует единственная пустая диаграмма и уникальная одноузловая диаграмма. Другие изоморфизмы связных диаграмм Дынкина:

• $A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}$
• $B_{2}\cong C_{2}$
• $D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}$
• $D_{3}\cong A_{3}$
• $E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}$
• $E_{4}\cong A_{4}$
• $E_{5}\cong D_{5}$

Эти изоморфизмы соответствуют изоморфизму простых и полупростых алгебр Ли, которые также соответствуют некоторым изоморфизмам их групповых форм. добавляют контекст En _семье Они также .

Автоморфизм

Наиболее симметричной диаграммой Дынкина является D4 _, что приводит к тройственности .

Помимо изоморфизма между различными диаграммами, некоторые диаграммы также имеют самоизоморфизмы или « автоморфизмы ». Автоморфизмы диаграмм соответствуют внешним автоморфизмам алгебры Ли, а это означает, что группа внешних автоморфизмов Out = Aut/Inn равна группе автоморфизмов диаграмм.

Диаграммами, имеющими нетривиальные автоморфизмы, являются _An ( $n>1$), Д _н ( $n>1$) и Е ₆ . Во всех этих случаях, кроме D ₄ , существует единственный нетривиальный автоморфизм (Out = C ₂ , циклическая группа порядка 2), а для D ₄ группа автоморфизмов представляет собой симметрическую группу из трех букв ( S ₃ , порядок 6) – это явление известно как « тройственность ». Бывает, что все эти автоморфизмы диаграмм могут быть реализованы как евклидовы симметрии того, как диаграммы традиционно рисуются на плоскости, но это всего лишь артефакт того, как они рисуются, а не внутренняя структура.

Н. _​ ​

Для _An автоморфизм диаграммы переворачивает диаграмму, которая является линией. Узлы диаграммы индексируют фундаментальные веса , которые (для A _{n −1} ) равны $\bigwedge ^{i}C^{n}$ для $i=1,\dots ,n$, а автоморфизм диаграммы соответствует двойственности $\bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.$ Реализовано как алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}_{n+1},$ внешний автоморфизм может быть выражен как отрицательное транспонирование, $T\mapsto -T^{\mathrm {T} }$, именно так действует двойное представление.

Д _н .

Для D _n автоморфизм диаграммы переключает два узла в конце Y и соответствует переключению двух киральных спиновых представлений . Реализовано как алгебра Ли ${\mathfrak {so}}_{2n},$ внешний автоморфизм может быть выражен как сопряжение матрицей из O(2 n ) с определителем −1. Когда n = 3, имеем $\mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},$ поэтому их автоморфизмы совпадают, а $\mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}$ несвязен, а автоморфизм соответствует переключению двух узлов.

Для D ₄ фундаментальное представление изоморфно двум спиновым представлениям, а результирующая симметричная группа из трех букв ( S ₃ или, альтернативно, группа диэдра порядка 6, Dih ₃ ) соответствует как автоморфизмам алгебры Ли, так и автоморфизмам алгебры Ли. диаграмма.

Е6 .

Группа автоморфизмов E6 _{соответствует} обращению диаграммы и может быть выражена с помощью йордановых алгебр .

Несвязные диаграммы, соответствующие полупростым алгебрам Ли, могут иметь автоморфизмы от замены компонентов диаграммы.

В характеристике 2 стрелкой на F ₄ можно пренебречь, что приводит к дополнительному автоморфизму диаграммы и соответствующим группам Сузуки–Ри .

В положительной характеристике имеются дополнительные «диаграммные автоморфизмы» — грубо говоря, в характеристике p иногда допускается игнорировать стрелку на связях кратности p в диаграмме Дынкина при взятии диаграммных автоморфизмов. Таким образом, в характеристике 2 существует автоморфизм порядка 2 $\mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}$ и F ₄ , а в характеристике 3 имеется автоморфизм порядка 2 группы G ₂ . Но применимо не во всех обстоятельствах: например, такие автоморфизмы не обязательно должны возникать как автоморфизмы соответствующей алгебраической группы, а скорее на уровне точек, оцененных в конечном поле.

Построение групп Ли с помощью автоморфизмов диаграмм

Автоморфизмы диаграмм, в свою очередь, дают дополнительные группы Ли и группы лиева типа , которые имеют центральное значение в классификации конечных простых групп.

Групповая конструкция групп Ли Шевалле в терминах их диаграммы Дынкина не дает некоторых классических групп, а именно унитарных групп и нерасщепимых ортогональных групп . Группы Стейнберга образуют унитарные группы ² An _{, а} остальные ортогональные группы строятся как ² D _n , где в обоих случаях это относится к объединению автоморфизма диаграммы с автоморфизмом поля. Это также дает дополнительные экзотические группы Ли. ² Е ₆ и ³ D ₄ , последнее определено только над полями с автоморфизмом порядка 3.

Дополнительные автоморфизмы диаграммы в положительной характеристике дают группы Сузуки–Ри , ² Б2 , ² F ₄ и ² Г ₂ .

Складной

Конечные свертки группы Кокстера.

Свертывания аффинных групп Кокстера с тремя соглашениями об именах: во-первых, исходный расширенный набор; второй используется в контексте графов колчана ; и последнее Виктора Каца для скрученных аффинных алгебр Ли .

Диаграмма Дынкина (с простой связкой) (конечная или аффинная ), которая имеет симметрию (удовлетворяющую одному условию, приведенному ниже), может быть факторизована по симметрии, давая новую, обычно многослойную диаграмму, с процессом, называемым сворачиванием (из-за большинства симметрий в 2 раза). На уровне алгебр Ли это соответствует взятию инвариантной подалгебры под внешней группой автоморфизмов, и процесс можно определить исключительно со ссылкой на корневые системы, без использования диаграмм. Кроме того, любую многошнурованную диаграмму (конечную или бесконечную) можно получить путем сложения просто-шнурованной диаграммы.

Единственное условие автоморфизма, позволяющее сворачивание, состоит в том, что различные узлы графа на одной и той же орбите (при автоморфизме) не должны быть соединены ребром; на уровне корневых систем корни на одной орбите должны быть ортогональны. На уровне диаграмм это необходимо, поскольку в противном случае фактор-диаграмма будет иметь петлю из-за идентификации двух узлов, но наличия ребра между ними, а петли в диаграммах Дынкина не допускаются.

Узлы и ребра факторизационной («свернутой») диаграммы являются орбитами узлов и ребер исходной диаграммы; ребра являются одиночными, если только два инцидентных ребра не отображаются на одно и то же ребро (особенно в узлах с валентностью больше 2) - «точка ветвления» карты, и в этом случае вес равен количеству инцидентных ребер, а стрелка указывает в сторону узел, в котором они происходят - «точка ветвления отображается в неоднородную точку». Например, при _ребро сворачивании D4 в G2 _в G2 _{указывает} из класса трех внешних узлов (валентность 1) на класс центрального узла (валентность 3).

Свертками конечных диаграмм являются:

• $A_{2n-1}\to C_{n}$

(Автоморфизм A _{2 n} не приводит к свертыванию, поскольку два средних узла соединены ребром, но находятся на одной и той же орбите.)

• $D_{n+1}\to B_{n}$
• $D_{4}\to G_{2}$ (при факторизации по полной группе или 3-циклу, помимо $D_{4}\to B_{3}$ тремя разными способами, если факторизовать по инволюции)
• $E_{6}\to F_{4}$

Подобные складки существуют для аффинных диаграмм, в том числе:

• ${\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}$
• ${\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}$
• ${\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}$
• ${\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}$

Понятие складок также можно применить к диаграммам Кокстера в более общем смысле. – в частности, можно обобщить допустимые факторы диаграмм Дынкина на H _n и I ₂ ( p ). Геометрически это соответствует проекциям однородных многогранников . Примечательно, что любую просто сшитую диаграмму Дынкина можно сложить до I ₂ ( h ), где h — число Кокстера , которое геометрически соответствует проекции на плоскость Кокстера .

Складку можно применять, чтобы свести вопросы о (полупростых) алгебрах Ли к вопросам о просто связных алгебрах вместе с автоморфизмом, что может быть проще, чем непосредственное рассмотрение алгебр с многократной связкой; это можно сделать, например, при построении полупростых алгебр Ли. См. раздел «Математическое переполнение: свертывание с помощью автоморфизмов» для дальнейшего обсуждения.

Другие карты диаграмм

система 2- корневая

G 2 Корневая система

Некоторые дополнительные карты диаграмм имеют содержательные интерпретации, как подробно описано ниже. Однако не все карты корневых систем возникают в виде карт диаграмм.

Например, есть два включения корневых систем A ₂ в G ₂ , либо в виде шести длинных корней, либо в виде шести коротких корней. Однако узлы на диаграмме G ₂ соответствуют одному длинному корню и одному короткому корню, а узлы на диаграмме A ₂ соответствуют корням одинаковой длины, и поэтому эту карту корневых систем нельзя выразить как карту диаграмм .

Некоторые включения корневых систем могут быть выражены как одна диаграмма, являющаяся индуцированным подграфом другой, что означает «подмножество узлов со всеми ребрами между ними». Это связано с тем, что исключение узла из диаграммы Дынкина соответствует удалению простого корня из корневой системы, что дает корневую систему ранга на один ниже. Напротив, удаление ребра (или изменение кратности ребра) при оставлении узлов неизменными соответствует изменению углов между корнями, что невозможно сделать без изменения всей корневой системы. Таким образом, можно осмысленно удалять узлы, но не ребра. Удаление узла из связной диаграммы может привести к связной диаграмме (простая алгебра Ли), если узел является листом, или несвязной диаграмме (полупростая, но не простая алгебра Ли), с двумя или тремя компонентами (последнее для D _n и Е _н ). На уровне алгебр Ли эти включения соответствуют суб-алгебрам Ли.

Максимальные подграфы следующие; подграфы, связанные автоморфизмом диаграммы , помечены как «сопряженные»:

• An _{. +1} : _An двумя сопряженными способами
• Б _{н +1} : А _н , Б _н .
• C _{n +1} : An _, C _n .
• D _{n +1} : An ₍ 2 сопряженных способа), D _n .
• Е _{н +1} : А _н , Д _н , Е _н .
  • Для E6 _два из них совпадают: $\mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}$ и являются сопряженными.
• Ф ₄ : Б ₃ , С ₃ .
• G ₂ : A ₁ , двумя несопряженными способами (как длинный корень или как короткий корень).

Наконец, двойственность диаграмм соответствует изменению направления стрелок, если они есть: B _n и C _n двойственны, а F ₄ и G ₂ самодвойственны, как и просто-шнурованные диаграммы ADE.

Просто зашнурованный

Основная статья: классификация ADE

Просто составленные диаграммы Дынкина классифицируют разнообразные математические объекты; это называется классификацией ADE .

Диаграмма Дынкина без кратных ребер называется просто кружевной , как и соответствующие алгебра Ли и группа Ли. Это $A_{n},D_{n},E_{n}$ диаграммы и явления, которые классифицируются такими диаграммами, называются классификацией ADE . В этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Кокстера, поскольку кратных ребер нет.

Диаграммы Сатаке

Основная статья: Диаграмма Сатаке

Диаграммы Дынкина классифицируют комплексные полупростые алгебры Ли. Реальные полупростые алгебры Ли можно классифицировать как вещественные формы комплексных полупростых алгебр Ли, и они классифицируются диаграммами Сатаке , которые получаются из диаграммы Дынкина путем маркировки некоторых вершин черными (заполненными) и соединения некоторых других вершин попарно стрелками, по определенным правилам.

История

Смотрите также: Полупростая алгебра Ли § История

Евгений Дынкин .

Диаграммы Дынкина названы в честь Евгения Дынкина , который использовал их в двух статьях (1946, 1947), упрощающих классификацию полупростых алгебр Ли; см. ( Дынкин 2000 ). Когда Дынкин покинул Советский Союз в 1976 году, что в то время считалось равносильным государственной измене, советским математикам было приказано ссылаться на «диаграммы простых корней», а не использовать его имя.

Неориентированные графы ранее использовались Коксетером (1934) для классификации групп отражений , где узлы соответствовали простым отражениям; Затем графы были использованы (с информацией о длине) Виттом (1941) применительно к корневым системам, причем узлы соответствовали простым корням, как они используются сегодня. Затем Дынкин использовал их в 1946 и 1947 годах, признав Кокстеру и Витту в своей статье 1947 года.

Конвенции

Диаграммы Дынкина рисовались разными способами; соглашение, которому следуют здесь, является общим: углы 180° в узлах валентности 2, углы 120° в узле валентности 3 D _n и углы 90°/90°/180° в узлах валентности 3 En _, с кратностью Обозначается 1, 2 или 3 параллельными краями, а длина корня обозначается стрелкой на краю для ориентации. Помимо простоты, еще одним преимуществом этого соглашения является то, что автоморфизмы диаграмм реализуются с помощью евклидовых изометрий диаграмм.

Альтернативное соглашение включает в себя написание числа у края для обозначения кратности (обычно используется в диаграммах Кокстера), затемнение узлов для обозначения длины корня или использование углов 120 ° на узлах валентности 2, чтобы сделать узлы более отчетливыми.

Существуют также соглашения о нумерации узлов. Наиболее распространенная современная конвенция сложилась к 1960-м годам и проиллюстрирована в ( Bourbaki 1968 ).

Диаграммы Дынкина 2-го ранга

Диаграммы Дынкина эквивалентны обобщенным матрицам Картана , как показано в этой таблице диаграмм Дынкина ранга 2 с соответствующими матрицами Картана 2 × 2 .

Для ранга 2 форма матрицы Картана имеет вид:

$A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$

Многореберная диаграмма соответствует недиагональным матричным элементам Картана ⁠ $-a_{21},-a_{12}$⁠ , с количеством нарисованных ребер, равным ⁠ $\max(-a_{21},-a_{12})$⁠ и стрелка, указывающая на элементы, не равные единице.

Обобщенная матрица Картана представляет собой квадратную матрицу. $A=(a_{ij})$ такой, что:

1. Для диагональных записей $a_{ii}=2$.
2. Для недиагональных записей: $a_{ij}\leq 0$.
3. $a_{ij}=0$ тогда и только тогда, когда $a_{ji}=0$

Матрица Картана определяет, имеет ли группа конечный тип (если она положительно определена, т. е. все собственные значения положительны), аффинного типа (если она не положительно определена, а положительно-полуопределенна, т. е. все собственные значения неопределенны). отрицательный), или неопределенного типа . Неопределенный тип часто подразделяется на дополнительные подразделения, например, группа Кокстера является лоренцевой, если она имеет одно отрицательное собственное значение, а все остальные собственные значения положительны. Более того, во многих источниках упоминаются гиперболические группы Кокстера, но существует несколько неэквивалентных определений этого термина. В обсуждении ниже гиперболические группы Кокстера являются частным случаем лоренциана, удовлетворяющим дополнительному условию. Для ранга 2 все матрицы Картана с отрицательным определителем соответствуют гиперболической группе Коксетера. Но в целом большинство отрицательных детерминантных матриц не являются ни гиперболическими, ни лоренцевыми.

Конечные ветви имеют $(-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)$, а аффинные ветви (с нулевым определителем) имеют ⁠ $(-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)$⁠ .

Диаграммы Дынкина 2-го ранга

Группа имя	Диаграмма Дынкина			Матрица Картана		Симметрия заказ	Связанный просто кружевной группа 3
	(Стандарт) многогранный график	Ценный график 1	Коксетер график 2	$\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$	Определитель ⁠ $(4-a_{21}\cdot a_{12})$⁠
Конечный					Определитель > 0
А 1 х А 1				$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	4	2
А 2 (ненаправленный)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3	3
BБ2				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	4	${A}_{3}$
С 2				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	4	${A}_{3}$
БК 2 (ненаправленный)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2	4
Г 2				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	1	6	${D}_{4}$
Г 2 (ненаправленный)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	1	6
Аффинный					Определитель = 0
А 1 (1)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {A}}_{3}$
А 2 (2)				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	0	∞	${\tilde {D}}_{4}$
гиперболический					Определитель < 0
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-5&2\end{smallmatrix}}\right]$	−1	—
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	−2	—
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-6&2\end{smallmatrix}}\right]$	−2	—
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-7&2\end{smallmatrix}}\right]$	−3	—
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-4&2\end{smallmatrix}}\right]$	−4	—
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-8&2\end{smallmatrix}}\right]$	−4	—
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-3\\-3&2\end{smallmatrix}}\right]$	−5	—
				$\left[{\begin{smallmatrix}2&-b\\-a&2\end{smallmatrix}}\right]$	⁠ $4-ab<0$⁠	—
Примечание 1 : Для гиперболических групп ( a 12 ⋅ a 21 >4) от многореберного стиля отказываются в пользу явной маркировки ( a 21 , a 12 ) на ребре. Обычно они не применяются к конечным и аффинным графам. Примечание 2 : Для неориентированных групп диаграммы Кокстера взаимозаменяемы. Обычно они обозначаются порядком симметрии, при этом порядок 3 подразумевается без метки. Примечание 3 : Многие многореберные группы могут быть получены из группы с простой связкой более высокого ранга, применяя подходящую операцию свертывания .

Конечные диаграммы Дынкина

Конечные графы Дынкина с числом узлов от 1 до 9.

Классифицировать	Классические группы Ли				Исключительные группы Ли
	${A}_{1+}$	${B}_{2+}$	${C}_{2+}$	${D}_{2+}$	${E}_{3-8}$	${G}_{2}$ / ${F}_{4}$
1	А 1
2	А 2	BБ2	С 2 =В 2	Д 2 =А 1 А 1		Г 2
3	AА3	BБ3	С 3	Д3 = А3	Е 3 =А 2 А 1
4	A 4	Б 4	С 4	Д 4	Е 4 =А 4	FF4
5	AА5	Б 5	CС5	Д 5	Е 5 =Д 5
6	А 6	Б 6	CС6	Д 6	EЕ6
7	A 7	Б 7	CС7	D 7	E 7
8	А 8	Б 8	С 8	Д 8	EЕ8
9	AА9	BБ9	С 9	DД9
10+	..	..	..	..

Аффинные диаграммы Дынкина

Дополнительная информация: Аффинная корневая система.

Существуют расширения диаграмм Дынкина, а именно аффинные диаграммы Дынкина ; они классифицируют матрицы Картана аффинных алгебр Ли . Они классифицированы в ( Kac 1994 , Глава 4, стр. 47– ), конкретно перечислены в ( Kac 1994 , стр. 53–55 ). Аффинные диаграммы обозначаются как $X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},$ или $X_{l}^{(3)},$ где X — буква соответствующей конечной диаграммы, а показатель степени зависит от того, в какой серии аффинных диаграмм они находятся. Первая из них: $X_{l}^{(1)},$ являются наиболее распространенными и называются расширенными диаграммами Дынкина и обозначаются тильдой , а также иногда отмечаются верхним индексом + . как в ${\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}$. Ряды (2) и (3) называются скрученными аффинными диаграммами .

См. в генераторе диаграмм Дынкина диаграммы .

Набор расширенных аффинных диаграмм Дынкина с добавленными узлами, выделенными зеленым цветом ( $n\geq 3$ для $B_{n}$ и $n\geq 4$ для $D_{n}$)

«Искаженные» аффинные формы имеют надстрочные индексы (2) или (3). (Индекс k всегда подсчитывает количество желтых узлов в графе, т. е. общее количество узлов минус 1.)

Вот все графы Дынкина для аффинных групп до 10 узлов. Расширенные графы Дынкина представлены в виде семейств ~ , так же, как и конечные графы, приведенные выше, с добавлением одного узла. Другие варианты ориентированного графа обозначаются верхним индексом (2) или (3), обозначающим свертывания групп более высокого порядка. Они относятся к категории искривленных аффинных диаграмм.

Связные аффинные графы Дынкина до (от 2 до 10 узлов)
(Сгруппированы как неориентированные графы)

Классифицировать	${\tilde {A}}_{1+}$	${\tilde {B}}_{3+}$	${\tilde {C}}_{2+}$	${\tilde {D}}_{4+}$	Э / Ф / Г
2	${\tilde {A}}_{1}$ или ${A}_{1}^{(1)}$		${A}_{2}^{(2)}$:
3	${\tilde {A}}_{2}$ или ${A}_{2}^{(1)}$		${\tilde {C}}_{2}$ или ${C}_{2}^{(1)}$ ${D}_{5}^{(2)}$: ${A}_{4}^{(2)}$:		${\tilde {G}}_{2}$ или ${G}_{2}^{(1)}$ ${D}_{4}^{(3)}$
4	${\tilde {A}}_{3}$ или ${A}_{3}^{(1)}$	${\tilde {B}}_{3}$ или ${B}_{3}^{(1)}$ ${A}_{5}^{(2)}$:	${\tilde {C}}_{3}$ или ${C}_{3}^{(1)}$ ${D}_{6}^{(2)}$: ${A}_{6}^{(2)}$:
5	${\tilde {A}}_{4}$ или ${A}_{4}^{(1)}$	${\tilde {B}}_{4}$ или ${B}_{4}^{(1)}$ ${A}_{7}^{(2)}$:	${\tilde {C}}_{4}$ или ${C}_{4}^{(1)}$ ${D}_{7}^{(2)}$: ${A}_{8}^{(2)}$:	${\tilde {D}}_{4}$ или ${D}_{4}^{(1)}$	${\tilde {F}}_{4}$ или ${F}_{4}^{(1)}$ ${E}_{6}^{(2)}$
6	${\tilde {A}}_{5}$ или ${A}_{5}^{(1)}$	${\tilde {B}}_{5}$ или ${B}_{5}^{(1)}$ ${A}_{9}^{(2)}$:	${\tilde {C}}_{5}$ или ${C}_{5}^{(1)}$ ${D}_{8}^{(2)}$: ${A}_{10}^{(2)}$:	${\tilde {D}}_{5}$ или ${D}_{5}^{(1)}$
7	${\tilde {A}}_{6}$ или ${A}_{6}^{(1)}$	${\tilde {B}}_{6}$ или ${B}_{6}^{(1)}$ ${A}_{11}^{(2)}$:	${\tilde {C}}_{6}$ или ${C}_{6}^{(1)}$ ${D}_{9}^{(2)}$: ${A}_{12}^{(2)}$:	${\tilde {D}}_{6}$ или ${D}_{6}^{(1)}$	${\tilde {E}}_{6}$ или ${E}_{6}^{(1)}$
8	${\tilde {A}}_{7}$ или ${A}_{7}^{(1)}$	${\tilde {B}}_{7}$ или ${B}_{7}^{(1)}$ ${A}_{13}^{(2)}$:	${\tilde {C}}_{7}$ или ${C}_{7}^{(1)}$ ${D}_{10}^{(2)}$: ${A}_{14}^{(2)}$:	${\tilde {D}}_{7}$ или ${D}_{7}^{(1)}$	${\tilde {E}}_{7}$ или ${E}_{7}^{(1)}$
9	${\tilde {A}}_{8}$ или ${A}_{8}^{(1)}$	${\tilde {B}}_{8}$ или ${B}_{8}^{(1)}$ ${A}_{15}^{(2)}$:	${\tilde {C}}_{8}$ или ${C}_{8}^{(1)}$ ${D}_{11}^{(2)}$: ${A}_{16}^{(2)}$:	${\tilde {D}}_{8}$ или ${D}_{8}^{(1)}$	${\tilde {E}}_{8}$ или ${E}_{8}^{(1)}$
10	${\tilde {A}}_{9}$ или ${A}_{9}^{(1)}$	${\tilde {B}}_{9}$ или ${B}_{9}^{(1)}$ ${A}_{17}^{(2)}$:	${\tilde {C}}_{9}$ или ${C}_{9}^{(1)}$ ${D}_{12}^{(2)}$: ${A}_{18}^{(2)}$:	${\tilde {D}}_{9}$ или ${D}_{9}^{(1)}$
11	...	...	...	...

Гиперболические и высшие диаграммы Дынкина

Перенумеровано множество компактных и некомпактных гиперболических графов Дынкина. Все гиперболические графы ранга 3 компактны. Компактные гиперболические диаграммы Дынкина существуют до ранга 5, а некомпактные гиперболические графы — до ранга 10.

Краткое содержание

Классифицировать	Компактный	Некомпактный	Общий
3	31	93	123
4	3	50	53
5	1	21	22
6	0	22	22
7	0	4	4
8	0	5	5
9	0	5	5
10	0	4	4

Компактные гиперболические диаграммы Дынкина

Компактные гиперболические графы

3-й ранг		Ранг 4	5-й ранг
Линейные графики (6 4 2): Н 100 (3) : Н 101 (3) : Н 105 (3) : Н 106 (3) : (6 6 2): Н 114 (3) : Н 115 (3) : Н 116 (3) :	Циклические графики (4 3 3): Ч 1 (3) : (4 4 3): 3 формы... (4 4 4): 2 формы... (6 3 3): Ч 3 (3) : (6 4 3): 4 формы... (6 4 4): 4 формы... (6 6 3): 3 формы... (6 6 4): 4 формы... (6 6 6): 2 формы...	(4 3 3 3): Ч 8 (4) : Ч 13 (4) : (4 3 4 3): Ч 14 (4) :	(4 3 3 3 3): H 7 (5) :

Некомпактные (чрезмерно расширенные) формы

Некоторые обозначения, используемые в теоретической физике , такие как М-теория , используют верхний индекс «+» для расширенных групп вместо «~», и это позволяет определять группы более высоких расширений.

1. Расширенные диаграммы Дынкина (аффинные) имеют знак «+» и представляют собой один добавленный узел. (То же, что и «~»)
2. Чрезмерно расширенные диаграммы Дынкина (гиперболические) обозначаются «^» или «++» и представляют собой два добавленных узла.
3. Очень расширенным диаграммам Дынкина с добавленными тремя узлами присвоен рейтинг «+++».

Некоторые примеры чрезмерно расширенных (гиперболических) диаграмм Дынкина

Классифицировать	АЕ н = А н-2 (1)^	БЭ н = Б н-2 (1)^ CE н	С н-2 (1)^	ДЭ н = Д н-2 (1)^	Э / Ф / Г
3	АЕ 3 :
4	ЕС 4 :		С 2 (1)^ A 4 (2)'^ A 4 (2)^ Д 3 (2)^		Г 2 (1)^ Д 4 (3)^
5	АЕ 5 :	БЫТЬ 5 CE 5	С 3 (1)^ А 6 (2)^ А 6 (2)'^ Д 5 (2)^
6	АЕ 6	БЫТЬ 6 CE 6	С 4 (1)^ А 8 (2)^ А 8 (2)'^ D 7 (2)^	ДЕ 6	FF4 (1)^ EЕ6 (2)^
7	AEАЕ7	БЫТЬ 7 CE 7		ДЕ 7
8	ДА 8	лет 8 г. н. э. 8		ДЭ 8	EЕ6 (1)^
9	AEАЕ9	БЭ 9 г. н.э. 9		ДЭ 9	E 7 (1)^
10		лет 10 г. н. э. 10		ИЗ 10	Е 10 = Е 8 (1)^

238 Гиперболические группы (компактные и некомпактные)

238 гиперболических групп (компактных и некомпактных) ранга $n\geq 3$ называются как $H_{i}^{(n)}$ и указан как $i=1,2,3...$ за каждый ранг.

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Очень расширенный

Очень расширенные группы — это группы Лоренца , определяемые добавлением трех узлов к конечным группам. E ₈ , E ₇ , E ₆ , F ₄ и G ₂ предлагают шесть серий, заканчивающихся очень расширенными группами. Другие не показанные расширенные серии могут быть определены из An _, Bn _, Cn _и Dn _как разные серии для каждого n . Определитель связанной матрицы Картана определяет, где ряд изменяется от конечной (положительной) до аффинной (нулевой) до некомпактной гиперболической группы (отрицательной) и заканчивается группой Лоренца, которую можно определить с использованием одного времениподобного измерения. и используется в теории М.

Расширенная серия 2 ранга

Конечный	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$
2	А 2	С 2	Г 2
3	$A_{2}^{+}={\tilde {A}}_{2}$	$C_{2}^{+}={\tilde {C}}_{2}$	$G_{2}^{+}={\tilde {G}}_{2}$
4	А 2 ++	С 2 ++	Г 2 ++
5	А 2 +++	С 2 +++	Г 2 +++
Это( М н )	3(3− п )	2(3− п )	3− н

Расширенные серии 3 и 4 ранга

Конечный	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$
2		А 1 2						А 2
3	AА3	BБ3	С 3		Б 2 А 1		А 1 3
4	$A_{3}^{+}={\tilde {A}}_{3}$	$B_{3}^{+}={\tilde {B}}_{3}$	$C_{3}^{+}={\tilde {C}}_{3}$	A 4	Б 4	С 4	Д 4	FF4
5	AА3 ++	BБ3 ++	С 3 ++	$A_{4}^{+}={\tilde {A}}_{4}$	$B_{4}^{+}={\tilde {B}}_{4}$	$C_{4}^{+}={\tilde {C}}_{4}$	$D_{4}^{+}={\tilde {D}}_{4}$	$F_{4}^{+}={\tilde {F}}_{4}$
6	AА3 +++	BБ3 +++	С 3 +++	A 4 ++	Б 4 ++	С 4 ++	Д 4 ++	FF4 ++
7				A 4 +++	Б 4 +++	С 4 +++	Д 4 +++	FF4 +++
Это( М н )	4(4− п )	2(4− п )		5(5− п )	2(5− п )		4(5− п )	5− н

Расширенные серии 5 и 6 ранга

Конечный	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$
4		Б 3 А 1	А 3 А 1				А 2 2
5	AА5		Д 5		Б 4 А 1	Д 4 А 1	AА5
6	$A_{5}^{+}={\tilde {A}}_{5}$	$B_{5}^{+}={\tilde {B}}_{5}$	$D_{5}^{+}={\tilde {D}}_{5}$	А 6	Б 6	Д 6	EЕ6
7	AА5 ++	Б 5 ++	Д 5 ++	$A_{6}^{+}={\tilde {A}}_{6}$	$B_{6}^{+}={\tilde {B}}_{6}$	$D_{6}^{+}={\tilde {D}}_{6}$	$E_{6}^{+}={\tilde {E}}_{6}$
8	AА5 +++	Б 5 +++	Д 5 +++	А 6 ++	Б 6 ++	Д 6 ++	EЕ6 ++
9				А 6 +++	Б 6 +++	Д 6 +++	EЕ6 +++
Это( М н )	6(6− п )	2(6− п )	4(6− п )	7(7− п )	2(7− п )	4(7− п )	3(7− п )

Некоторые расширенные серии 7-го ранга и выше.

Конечный	A 7	Б 7	D 7	E 7	EЕ8
3					Е 3 =А 2 А 1
4				А 3 А 1	Е 4 =А 4
5				AА5	Е 5 =Д 5
6		Б 5 А 1	D 5 A 1	Д 6	EЕ6
7	A 7	Б 7	D 7	E 7	E 7
8	$A_{7}^{+}={\tilde {A}}_{7}$	$B_{7}^{+}={\tilde {B}}_{7}$	$D_{7}^{+}={\tilde {D}}_{7}$	$E_{7}^{+}={\tilde {E}}_{7}$	EЕ8
9	A 7 ++	Б 7 ++	D 7 ++	E 7 ++	$E_{9}=E_{8}^{+}={\tilde {E}}_{8}$
10	A 7 +++	Б 7 +++	D 7 +++	E 7 +++	Е 10 = Е 8 ++
11					Е 11 = Е 8 +++
Это( М н )	8(8− п )	2(8− п )	4(8− п )	2(8− п )	9− н

См. также

• Нарисуйте диаграмму
• Список неприводимых индексов Титса
• Классификация корневых систем (на немецком языке)

Ссылки

• Дынкин Е.Б. (1947), "Строение полупростых алгебр.", Успехи матем. Наук , Н.С., 2 (4(20)): 59–127.
• Бурбаки, Николя (1968), «Главы 4–6», Группы Ли и алгебры , Париж: Герман
• Джейкобсон, Натан (1 июня 1971 г.), Исключительные алгебры лжи , CRC Press, ISBN  978-0-8247-1326-3
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN  978-0-387-90053-7
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Дынкин Евгений Борисович; Александр Адольф Юшкевич; Гэри М. Зейтц; А. Л. Онищик (2000), Избранные статьи Е. Б. Дынкина с комментариями , Книжный магазин АМС, ISBN  978-0-8218-1065-1
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-4259-4
• Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и соответствии Маккея , Монографии Спрингера по математике, arXiv : math/0510216 , doi : 10.1007/978-3-540-77399-3 , ISBN  978-3-540-77398-6 , S2CID   117958873
• Карбоне, Лиза; Чунг, Сьювон; Коббс, Ли; Макрэ, Роберт; Нанди, Дебаджьоти; Навки, Юсра; Пента, Диего (март 2010 г.), «Классификация гиперболических диаграмм Дынкина, длин корней и орбит группы Вейля». (PDF) , Журнал физики A: Математический и теоретический , 43 (15): 155209, arXiv : 1003.0564 , Bibcode : 2010JPhA...43o5209C , doi : 10.1088/1751-8113/43/15/155209 , MR   2608 277 , С2КИД   16946456
• Кац, Виктор Г. (1994). Бесконечномерные алгебры Ли . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46693-6 .
• Дынкин, Евгений Б. (2000). Юшкевич А.А.; Зейтц , генеральный директор; Онищик А.Л. (ред.). Избранные статьи Е.Б. Дынкина с комментариями . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1065-1 . МР   1757976 .

Внешние ссылки

• Джон Баэз о повсеместном распространении диаграмм Дынкина в математике
• Веб-инструмент для создания диаграмм Дынкина с метками публикационного качества (написан на JavaScript)