Аликвотная последовательность

Нерешенная задача по математике :

Все ли последовательности аликвот в конечном итоге заканчиваются простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел? (гипотеза Каталана о последовательности аликвот)

(еще нерешенные задачи по математике)

В математике аликвотная последовательность — это последовательность натуральных чисел, в которой каждый член является суммой собственных делителей предыдущего члена. Если последовательность достигает числа 1, она заканчивается, поскольку сумма собственных делителей 1 равна 0.

Определение и обзор

Последовательность аликвот, начинающаяся с целого положительного числа k, может быть определена формально через функцию суммы делителей σ ₁ или суммы аликвот функцию s следующим образом: $${\begin{aligned}s_{0}&=k\\[4pt]s_{n}&=s(s_{n-1})=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}>0\\[4pt]s_{n}&=0\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}=0\\[4pt]s(0)&={\text{undefined}}\end{aligned}}$$Если s _{n -1} = 0 добавить условие , то все члены после 0 равны 0, и все аликвотные последовательности будут бесконечными, и мы можем предположить, что все аликвотные последовательности сходятся , предел этих последовательностей обычно равен 0 или 6. .

Например, аликвотная последовательность из 10 равна 10, 8, 7, 1, 0 , потому что:

$${\begin{aligned}\sigma _{1}(10)-10&=5+2+1=8,\\[4pt]\sigma _{1}(8)-8&=4+2+1=7,\\[4pt]\sigma _{1}(7)-7&=1,\\[4pt]\sigma _{1}(1)-1&=0.\end{aligned}}$$

Многие аликвотные последовательности оканчиваются на нуле; все такие последовательности обязательно заканчиваются простым числом, за которым следует 1 (поскольку единственным собственным делителем простого числа является 1), за которым следует 0 (поскольку 1 не имеет собственных делителей). См. список таких номеров до 75 (последовательность A080907 в OEIS ). Существует множество способов, которыми последовательность аликвоты может не прерываться:

• Совершенное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1. Аликвотная последовательность 6, например, равна 6, 6, 6, 6,...
• Дружественное число имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 2. Например, аликвотная последовательность 220 равна 220, 284, 220, 284,...
• Общительный номер имеет повторяющуюся аликвотную последовательность периода 3 или больше. (Иногда термин «социальное число» используется также для обозначения дружественных чисел.) Например, аликвотная последовательность 1264460 равна 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460,…
• Некоторые числа имеют аликвотную последовательность, которая в конечном итоге является периодической, но само число не является идеальным, дружелюбным или общительным. Например, аликвотная последовательность 95 равна 95, 25, 6, 6, 6, 6,... Числа типа 95, которые не являются идеальными, но имеют в конечном итоге повторяющуюся аликвотную последовательность периода 1, называются стремящимися числами .

Аликвотные последовательности от 0 до 47 показывать

n	Aliquot sequence of n	Length (OEIS: A098007)
0	0	1
1	1, 0	2
2	2, 1, 0	3
3	3, 1, 0	3
4	4, 3, 1, 0	4
5	5, 1, 0	3
6	6	1
7	7, 1, 0	3
8	8, 7, 1, 0	4
9	9, 4, 3, 1, 0	5
10	10, 8, 7, 1, 0	5
11	11, 1, 0	3
12	12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
13	13, 1, 0	3
14	14, 10, 8, 7, 1, 0	6
15	15, 9, 4, 3, 1, 0	6
16	16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7
17	17, 1, 0	3
18	18, 21, 11, 1, 0	5
19	19, 1, 0	3
20	20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8
21	21, 11, 1, 0	4
22	22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	7
23	23, 1, 0	3
24	24, 36, 55, 17, 1, 0	6
25	25, 6	2
26	26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
27	27, 13, 1, 0	4
28	28	1
29	29, 1, 0	3
30	30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	16
31	31, 1, 0	3
32	32, 31, 1, 0	4
33	33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	7
34	34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	9
35	35, 13, 1, 0	4
36	36, 55, 17, 1, 0	5
37	37, 1, 0	3
38	38, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0	8
39	39, 17, 1, 0	4
40	40, 50, 43, 1, 0	5
41	41, 1, 0	3
42	42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	15
43	43, 1, 0	3
44	44, 40, 50, 43, 1, 0	6
45	45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0	8
46	46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0	9
47	47, 1, 0	3

Длины аликвотных последовательностей, начинающихся с n, равны

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (последовательность A044050 в OEIS )

Конечные члены (исключая 1) аликвотных последовательностей, начинающихся с n, равны

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (последовательность A115350 в OEIS )

Числа, последовательность аликвот которых заканчивается на 1:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A080907 в ОЭИС )

Числа, последовательность аликвот которых, как известно, оканчивается совершенным числом , отличным от самих совершенных чисел (6, 28, 496, ...), являются

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (последовательность A063769 в OEIS )

Числа, последовательность аликвот которых заканчивается циклом длиной не менее 2, называются числами.

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2172, 2362, ... ( последовательность A121507 в OEIS )

Числа, чья аликвотная последовательность не является конечной или периодической, называются

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 13 50, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (последовательность A131884 в OEIS )

Число, которое никогда не является последующим в аликвотной последовательности, называется неприкасаемым числом .

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262, 268, 276 , 288 , 290 , 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS )

Гипотеза Каталана – Диксона

Важная гипотеза Каталана Диксона , иногда называемая гипотезой Каталана- , заключается в том, что каждая последовательность аликвот заканчивается одним из вышеуказанных способов: простым числом, совершенным числом или набором дружественных или общительных чисел. Альтернативой может быть существование числа, последовательность аликвот которого бесконечна, но никогда не повторяется. Таким числом может быть любое из многих чисел, последовательность аликвот которых не была полностью определена. Первые пять чисел-кандидатов часто называют пятёркой Лемера (названной в честь Д. Х. Лемера ): 276 , 552, 564, 660 и 966. Однако стоит отметить, что 276 может достигать высокой вершины в своей аликвотной последовательности, а затем опускаться; число 138 достигает пика 179931895322, а затем возвращается к 1.

Гай и Селфридж полагают, что гипотеза Каталана-Диксона ложна (поэтому они предполагают, что некоторые аликвотные последовательности неограничены сверху (т. е. расходятся)).

Систематический поиск аликвотных последовательностей

Последовательность аликвот можно представить в виде ориентированного графа , $G_{n,s}$, для данного целого числа $n$, где $s(k)$ обозначает сумму собственных делителей $k$. Циклы в $G_{n,s}$ обозначают общительные числа в интервале $[1,n]$. Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары .

См. также

• Арифметическая динамика

Ссылки

• Мануэль Бенито; Вольфганг Креяуфмюллер; Хуан Луис Варона; Пол Циммерманн. Последовательность аликвот 3630 заканчивается после достижения 100 цифр . Экспериментальная математика, вып. 11, номер. 2, Натик, Массачусетс, 2002, с. 201–206.
• В. Креяуфмюллер. Семейства простых чисел — каталонская проблема и семейства простых чисел в диапазоне от 1 до 3000 в деталях . Штутгарт 2000 (3-е изд.), 327 стр.

Внешние ссылки

• Текущий статус аликвотных последовательностей с начальным сроком менее 2 миллионов
• Таблицы аликвотных циклов (JOM Pedersen)
• Аликвотная страница (Вольфганг Креяуфмюллер)
• Аликвотные последовательности (Кристоф Клавье)
• Форум по расчету аликвотных последовательностей (MersenneForum)
• Страница сводки аликвотных последовательностей для последовательностей до 100 000 (есть аналогичные страницы для более высоких диапазонов) (Карстен Бонат)
• Активный исследовательский центр аликвотных последовательностей (Жан-Люк Гарамбуа) (на французском языке)