Алгебра Вирасоро

В математике — алгебра Вирасоро (названа в честь физика Мигеля Анхеля Вирасоро ). — комплексная алгебра Ли и единственное центральное расширение алгебры Витта . Он широко используется в двумерной конформной теории поля и в теории струн .

Определение

Алгебра Вирасоро натянута на генераторы и L _n для n ∈ ℤ центрального заряда c . Эти генераторы удовлетворяют $[c,L_{n}]=0$ и

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}.$

Фактор $1/12$ это просто вопрос соглашения. Для вывода алгебры как единственного центрального расширения алгебры Витта см. вывод алгебры Вирасоро .

Алгебра Вирасоро имеет представление в терминах двух образующих (например, и _L3 L − ₂ ) и шести отношений.

Теория представлений

Представления с наибольшим весом

Представление алгебры Вирасоро с наивысшим весом — это представление, порожденное первичным состоянием: вектором $v$ такой, что

$L_{n>0}v=0,\quad L_{0}v=hv,$

где число h называется конформной размерностью или конформным весом $v$.

Представление с наивысшим весом охватывается собственными состояниями $L_{0}$. Собственные значения принимают вид $h+N$, где целое число $N\geq 0$ называется уровнем соответствующего собственного состояния.

Точнее, представление с наивысшим весом охватывается $L_{0}$-собственные состояния типа $L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}v$ с $0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots n_{k}$ и $k\geq 0$, уровни которого $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$. Любое состояние, уровень которого не равен нулю, называется состоянием-потомком $v$.

Для любой пары комплексных чисел h и c модуль Вермы ${\mathcal {V}}_{c,h}$ является максимально возможное представление с наибольшим весом. (Одна и та же буква c используется как для элемента c алгебры Вирасоро, так и для его собственного значения в представлении.)

Штаты $L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}v$ с $0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots n_{k}$ и $k\geq 0$ составляют основу модуля Verma. Модуль Вермы неразложим, а для общих значений h и c он также неприводим. Когда оно приводимо, существуют другие представления старшего веса с этими значениями h и c , называемые вырожденными представлениями, которые являются смежными классами модуля Верма. В частности, единственное неприводимое представление со старшим весом с этими значениями h и c является фактором модуля Вермы по его максимальному подмодулю.

Модуль Верма неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет сингулярных векторов.

Сингулярные векторы

Сингулярный вектор или нулевой вектор представления с наивысшим весом — это состояние, которое является одновременно потомком и первичным.

Достаточное условие модуля Верма ${\mathcal {V}}_{c,h}$ иметь сингулярный вектор на уровне $N$ является $h=h_{r,s}(c)$ для некоторых положительных целых чисел $r,s$ такой, что $N=rs$, с

$h_{r,s}(c)={\frac {1}{4}}{\Big (}(b+b^{-1})^{2}-(br+b^{-1}s)^{2}{\Big )}\ ,\quad {\text{where}}\quad c=1+6(b+b^{-1})^{2}\ .$

В частности, $h_{1,1}(c)=0$и приводимый модуль Верма ${\mathcal {V}}_{c,0}$ имеет единственный вектор $L_{-1}v$ на уровне $N=1$. Затем $h_{2,1}(c)=-{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}b^{2}$, а соответствующий приводимый модуль Верма имеет сингулярный вектор $(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2})v$ на уровне $N=2$.

Это условие существования сингулярного вектора на уровне $N$ в этом нет необходимости. В частности, существует сингулярный вектор на уровне $N$ если $N=rs+r's'$ с $h=h_{r,s}(c)$ и $h+rs=h_{r',s'}(c)$. Этот сингулярный вектор теперь является потомком другого сингулярного вектора на уровне $rs$. Однако этот тип сингулярных векторов может существовать только в том случае, если центральный заряд имеет тип

$c=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}}\quad {\text{with}}\quad p,q\in \mathbb {Z}$.

(Для $p>q\geq 2$ взаимно простые, это центральные заряды минимальных моделей .)

Целые числа $r,s$ которые появляются в $h_{r,s}(c)$ называются индексами Каца . Может быть полезно использовать нецелые индексы Каца для параметризации конформных размерностей модулей Верма, не имеющих сингулярных векторов, например, в критической модели случайного кластера .

Эрмитова форма и унитарность

Представление с наибольшим весом с реальным значением $c$ имеет уникальную эрмитову форму, такую, что эрмитово сопряженное $L_{n}$ является $L_{n}^{\dagger }=L_{-n}$ и норма первичного состояния одна. Представление называется унитарным , если эта эрмитова форма положительно определена. Поскольку любой сингулярный вектор имеет нулевую норму, все унитарные представления со старшим весом неприводимы.

Определитель по Граму основы уровня $N$ задается формулой определителя Каца ,

$A_{N}\prod _{1\leq r,s\leq N}{\big (}h-h_{r,s}(c){\big )}^{p(N-rs)},$

где функция p ( N ) — статистическая сумма , и $A_{N}$ положительная константа, не зависящая от $h$ или $c$. Формула определителя Каца была сформулирована В. Кацем (1978), а ее первое опубликованное доказательство было дано Фейгиным и Фуксом (1984).

Неприводимое представление со старшим весом со значениями h и c унитарно тогда и только тогда, когда либо c ≥ 1 и h ≥ 0, либо

$c\in \left\{1-{\frac {6}{m(m+1)}}\right\}_{m=2,3,4,\ldots }=\left\{0,{\frac {1}{2}},{\frac {7}{10}},{\frac {4}{5}},{\frac {6}{7}},{\frac {25}{28}},\ldots \right\}$

и h - одно из значений

$h=h_{r,s}(c)={\frac {{\big (}(m+1)r-ms{\big )}^{2}-1}{4m(m+1)}}$

для r = 1, 2, 3, ..., m - 1 и s = 1, 2, 3, ..., r .

Дэниел Фридан , Зонган Цю и Стивен Шенкер (1984) показали, что эти условия необходимы, а Питер Годдард , Адриан Кент и Дэвид Олив (1986) использовали конструкцию смежного класса или конструкцию GKO (идентифицируя унитарные представления алгебры Вирасоро внутри тензорных произведений унитарных представлений аффинных алгебр Каца–Муди ), чтобы показать, что они достаточны.

Персонажи

Характер представительства ${\mathcal {R}}$ алгебры Вирасоро — это функция

$\chi _{\mathcal {R}}(q)=\operatorname {Tr} _{\mathcal {R}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}.$

Характер модуля Верма ${\mathcal {V}}_{c,h}$ является

$\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h}}(q)={\frac {q^{h-{\frac {c}{24}}}}{\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}}={\frac {q^{h-{\frac {c-1}{24}}}}{\eta (q)}}=q^{h-{\frac {c}{24}}}\left(1+q+2q^{2}+3q^{3}+5q^{4}+\cdots \right),$

где $\eta$ Дедекинда – эта-функция .

Для любого $c\in \mathbb {C}$ и для $r,s\in \mathbb {N} ^{*}$, модуль Верма ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$ приводима ввиду существования сингулярного вектора на уровне $rs$. Этот сингулярный вектор порождает подмодуль, изоморфный модулю Вермы. ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}$. Фактор ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$ этим подмодулем неприводима, если ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$ не имеет других сингулярных векторов и имеет характер

$\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}}=(1-q^{rs})\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}}.$

Позволять $c=c_{p,p'}$ с $2\leq p<p'$ и $p,p'$ взаимнопростые, и $1\leq r\leq p-1$ и $1\leq s\leq p'-1$. (Затем $(r,s)$ находится в таблице Каца соответствующей минимальной модели ). Модуль Верма ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}$ имеет бесконечное число сингулярных векторов и поэтому приводима к бесконечному числу подмодулей. Этот модуль Верма имеет неприводимое частное по наибольшему нетривиальному подмодулю. (Спектры минимальных моделей строятся на основе таких неприводимых представлений.) Неприводимый фактор имеет следующий характер:

${\begin{aligned}&\chi _{{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}}/({\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}+{\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)})}\\&=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\left(\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r-ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}-\chi _{{\mathcal {V}}_{c,{\frac {1}{4pp'}}\left((p'r+ps+2kpp')^{2}-(p-p')^{2}\right)}}\right).\end{aligned}}$

Это выражение представляет собой бесконечную сумму, поскольку подмодули ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+rs}$ и ${\mathcal {V}}_{c,h_{r,s}+(p-r)(p'-s)}$ имеют нетривиальное пересечение, которое само по себе является сложным подмодулем.

Приложения

Конформная теория поля

В двух измерениях алгебра локальных конформных преобразований состоит из двух копий алгебры Витта . Отсюда следует, что алгеброй симметрий двумерной конформной теории поля является алгебра Вирасоро. Технически, конформный бутстрап- подход к двумерной CFT опирается на конформные блоки Вирасоро , специальные функции, которые включают и обобщают характеры представлений алгебры Вирасоро.

Теория струн

Поскольку алгебра Вирасоро включает в себя генераторы конформной группы мирового листа , тензор напряжений в теории струн подчиняется коммутационным соотношениям (двух копий) алгебры Вирасоро. Это связано с тем, что конформная группа распадается на отдельные диффеоморфизмы переднего и заднего световых конусов. Из диффеоморфной инвариантности мирового листа дополнительно следует, что тензор напряжений обращается в нуль. Это известно как ограничение Вирасоро , и в квантовой теории его нельзя применять ко всем состояниям теории, а только к физическим состояниям (сравните формализм Гупты-Блейлера ).

Обобщения

Супералгебры Вирасоро

Основная статья: Супералгебра Вирасоро

Существует два суперсимметричных расширения N = 1 алгебры Вирасоро, называемых алгеброй Невё – Шварца и алгеброй Рамона . Их теория аналогична теории алгебры Вирасоро, в которой теперь используются числа Грассмана . Существуют дальнейшие расширения этих алгебр с большей суперсимметрией, такие как суперконформная алгебра N = 2 .

W-алгебры

Основная статья: W-алгебра

W-алгебры — это ассоциативные алгебры, содержащие алгебру Вирасоро и играющие важную роль в двумерной конформной теории поля . Среди W-алгебр алгебра Вирасоро имеет особенность быть алгеброй Ли.

Аффинные алгебры Ли

Основная статья: аффинная алгебра Ли

Алгебра Вирасоро — это подалгебра универсальной обертывающей алгебры любой аффинной алгебры Ли, как показывает конструкция Сугавары . В этом смысле аффинные алгебры Ли являются расширениями алгебры Вирасоро.

Мероморфные векторные поля на римановых поверхностях.

Алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами на римановой поверхности рода 0 . На компактной римановой поверхности высшего рода алгебра Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами также имеет центральное расширение, которое является обобщением алгебры Вирасоро. Это можно далее обобщить на супермногообразия.

Вертексные алгебры и конформные алгебры

Алгебра Вирасоро также имеет вершинные алгебраические и конформно-алгебраические аналоги, которые в основном возникают в результате объединения всех базисных элементов в генерирующие ряды и работы с отдельными объектами.

История

Алгебра Витта (алгебра Вирасоро без центрального расширения) была открыта Э. Картан (1909). Ее аналоги над конечными полями изучал Э. Витт примерно в 1930-е годы. Центральное расширение алгебры Витта, дающее алгебру Вирасоро, было впервые найдено (в характеристике p > 0) Р.Э. Блоком (1966, стр. 381) и независимо переоткрыто (в характеристике 0) И.М. Гельфандом и Дмитрием Фуксом (1968). Вирасоро (1970) записал некоторые операторы, порождающие алгебру Вирасоро (позже известные как операторы Вирасоро ), изучая модели двойного резонанса , но не нашел центрального расширения. Центральное расширение, дающее алгебру Вирасоро, было вновь открыто в физике вскоре после этого Дж. Вейсом, согласно Брауэру и Торну (1971, сноска на странице 167).

См. также

• Конформная теория поля
• Теорема Годдарда – Торна
• Алгебра Гейзенберга
• Конформная алгебра Ли
• Заряд Полмейера
• Супер алгебра Вирасоро
• W-алгебра
• Алгебра Витта
• Модель гепатита С

Ссылки

• Александр Белавин , Александр Поляков и Александр Замолодчиков (1984). «Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля» . Ядерная физика Б . 241 (2): 333–380. Бибкод : 1984НуФБ.241..333Б . дои : 10.1016/0550-3213(84)90052-X .
• Р.Э. Блок (1966). «Об аксиомах Миллса–Селигмана для алгебр Ли классического типа» . Труды Американского математического общества . 121 (2): 378–392. дои : 10.1090/S0002-9947-1966-0188356-3 . JSTOR   1994485 .
• Р. К. Брауэр; CB Торн (1971). «Устранение ложных состояний из модели двойного резонанса» . Ядерная физика Б . 31 (1): 163–182. Бибкод : 1971НуФБ..31..163Б . дои : 10.1016/0550-3213(71)90452-4 . .
• Э. Картан (1909). «Непрерывные, бесконечные, простые группы преобразований» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 26 : 93–161. дои : 10.24033/asens.603 . ЖФМ   40.0193.02 .
• Б.Л. Фейгин, Д.Б. Фукс, Модули Вермы над алгеброй Вирасоро, Л.Д. Фаддеев (ред.), А.А. Мальцев (ред.), Топология. Учеб. Школа-интернат. Тополь. Конф. Ленинград 1982, Лектор. заметки по математике, 1060, Springer (1984), стр. 230–245
• Фридан Д., Цю З. и Шенкер С. (1984). «Конформная инвариантность, унитарность и критические показатели в двух измерениях». Письма о физических отзывах . 52 (18): 1575–1578. Бибкод : 1984PhRvL..52.1575F . doi : 10.1103/PhysRevLett.52.1575 . S2CID   122320349 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .
• И. М. Гельфанд , Д. Б. Фукс, Когомологии алгебры Ли векторных полей в окружности Функц. Анальный. Приложение, 2 (1968) С. 342–343 Функц. Анальный. и прилож., 2 : 4 (1968) стр. 92–93.
• П. Годдард, А. Кент и Д. Олив (1986). «Унитарные представления алгебр Вирасоро и супер-Вирасоро» . Связь в математической физике . 103 (1): 105–119. Бибкод : 1986CMaPh.103..105G . дои : 10.1007/BF01464283 . МР   0826859 . S2CID   91181508 . Збл   0588.17014 . .
• Йохара, Кенджи; Кога, Ёсиюки (2011), Теория представлений алгебры Вирасоро , Монографии Springer по математике, Лондон: Springer-Verlag London Ltd., doi : 10.1007/978-0-85729-160-8 , ISBN  978-0-85729-159-2 , МР   2744610
• А. Кент (1991). «Особые векторы алгебры Вирасоро». Буквы по физике Б. 273 (1–2): 56–62. arXiv : hep-th/9204097 . Бибкод : 1991PhLB..273...56K . дои : 10.1016/0370-2693(91)90553-3 . S2CID   15105921 .
• Виктор Кац (2001) [1994], «Алгебра Вирасоро» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• В. Г. Кац, "Представления бесконечномерных алгебр Ли со старшим весом", Тр. Интерн. Конгресс математиков (Хельсинки, 1978), стр.299-304.
• В.Г. Кац, А.К. Райна, Бомбейские лекции по представлениям высших весов , World Sci. (1987) ISBN   9971-5-0395-6 .
• Добрев, В.К. (1986). «Мультиплетная классификация неразложимых модулей со старшим весом над супералгебрами Неве-Шварца и Рамона». Летт. Математика. Физ . 11 (3): 225–234. Бибкод : 1986LMaPh..11..225D . дои : 10.1007/bf00400220 . S2CID   122201087 . и исправление: там же. 13 (1987) 260.
• В. К. Добрев, "Характеры неприводимых модулей старшего веса над алгебрами Вирасоро и супер-Вирасоро", Доп. Отчеты Circolo Matematico di Palermo , серия II, номер 14 (1987) 25-42.
• Энтони Вассерманн (2010). «Конспекты лекций по алгебрам Каца-Муди и Вирасоро». arXiv : 1004.1287 [ math.RT ].
• Энтони Вассерманн (2010). «Прямые доказательства формулы характера Фейгина-Фукса для унитарных представлений алгебры Вирасоро». arXiv : 1012.6003 [ math.RT ].