Алгебра вершинных операторов

В математике алгебра вершинных операторов ( VOA ) — это алгебраическая структура, играющая важную роль в двумерной конформной теории поля и теории струн . Помимо физических приложений, алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических контекстах, таких как чудовищный самогон и геометрическое соответствие Ленглендса .

Родственное понятие вершинной алгебры было введено Ричардом Борчердсом в 1986 году на основе конструкции бесконечномерной алгебры Ли, предложенной Игорем Френкелем . При этом построении используется пространство Фока , допускающее действие вершинных операторов, присоединенных к элементам решетки . Борчердс сформулировал понятие вершинной алгебры путем аксиоматизации отношений между операторами вершин решетки, создав алгебраическую структуру, которая позволяет строить новые алгебры Ли, следуя методу Френкеля.

Понятие вертекс-операторной алгебры было введено как модификация понятия вершинной алгебры Френкелем, Джеймсом Леповски и Арне Мерманом в 1988 году в рамках их проекта по построению самогонного модуля . Они заметили, что многие вершинные алгебры, которые появляются «в природе», несут в себе действие алгебры Вирасоро и удовлетворяют ограниченному снизу свойству по отношению к оператору энергии . Вдохновленные этим наблюдением, они добавили в качестве аксиом действие Вирасоро и свойство ограниченности снизу.

Теперь у нас есть апостериорная мотивация этих понятий из физики, а также несколько интерпретаций аксиом, которые изначально не были известны. Физически вершинные операторы, возникающие в результате вставок голоморфных полей в точках двумерной конформной теории поля, допускают разложение операторного произведения при столкновении вставок, и они точно удовлетворяют соотношениям, указанным в определении алгебры вершинных операторов. Действительно, аксиомы алгебры вершинных операторов представляют собой формальную алгебраическую интерпретацию того, что физики называют киральными алгебрами (не путать с более точным понятием с таким же названием в математике) или «алгебрами киральных симметрий», где эти симметрии описывают Тождества Уорда, которым удовлетворяет данная конформная теория поля , включая конформную инвариантность. Другие формулировки аксиом вершинной алгебры включают более позднюю работу Борчердса о сингулярных коммутативных кольцах , алгебрах над некоторыми операдами на кривых, введенных Хуангом, Крицем и другими, D-модуль -теоретические объекты, называемые киральными алгебрами, введенные Александром Бейлинсоном и Владимиром Дринфельдом , и факторизационные алгебры , также введенные Бейлинсоном и Дринфельдом.

Важные базовые примеры алгебр вершинных операторов включают решеточные VOA (моделирующие решеточные конформные теории поля), VOA, заданные представлениями аффинных алгебр Каца – Муди (из модели WZW ), VOA Вирасоро, которые представляют собой VOA, соответствующие представлениям алгебры Вирасоро. , а самогонный модуль V ^♮ , который отличается своей монструозной симметрией . Более сложные примеры, такие как аффинные W-алгебры и киральный комплекс де Рама на комплексном многообразии, возникают в теории геометрических представлений и математической физике .

Формальное определение

Вертексная алгебра

Вершинная алгебра — это набор данных, удовлетворяющих определенным аксиомам.

Данные

• векторное пространство $V$, называемое пространством состояний. Базовым полем обычно считаются комплексные числа , хотя первоначальная формулировка Борчердса допускала произвольное коммутативное кольцо .
• элемент идентичности $1\in V$, иногда пишут $|0\rangle$ или $\Omega$ для обозначения состояния вакуума.
• эндоморфизм ​ $T:V\rightarrow V$, называемый «перевод». (Первоначальная формулировка Борчердса включала систему разделения властей $T$, потому что он не предполагал, что заземляющее кольцо является делимым.)
• карта линейного умножения $Y:V\otimes V\rightarrow V((z))$, где $V((z))$ — пространство всех формальных рядов Лорана с коэффициентами из $V$. Эта структура имеет несколько альтернативных представлений:
  • как бесконечная коллекция билинейных произведений $\cdot _{n}:u\otimes v\mapsto u_{n}v$ где $n\in \mathbb {Z}$ и $u_{n}\in \mathrm {End} (V)$, так что для каждого $v$, есть $N$ такой, что $u_{n}v=0$ для $n<N$.
  • как карта левого умножения $V\rightarrow \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$. Это карта «состояние-поле» так называемого соответствия «состояние-поле». Для каждого $u\in V$ со значениями эндоморфизмов , формальное распределение $Y(u,z)$ называется вершинным оператором или полем, а коэффициент при $z^{-n-1}$ это оператор $u_{n}$. В контексте вершинных алгебр поле — это, точнее, элемент $\mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$, который можно записать $A(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }A_{n}z^{n},A_{n}\in \mathrm {End} (V)$ такой, что для любого $v\in V,A_{n}v=0$ для достаточно малого $n$ (что может зависеть от $v$). Стандартное обозначение умножения:

$$u\otimes v\mapsto Y(u,z)v=\sum _{n\in \mathbf {Z} }u_{n}vz^{-n-1}.$$

Аксиомы

Эти данные необходимы для удовлетворения следующих аксиом:

• Личность. Для любого $u\in V\,,\,Y(1,z)u=u$ и $\,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]$.
• Перевод. $T(1)=0$, и для любого $u,v\in V$,

$[T,Y(u,z)]v=TY(u,z)v-Y(u,z)Tv={\frac {d}{dz}}Y(u,z)v$

• Локальность (тождество Якоби или тождество Борчердса). Для любого $u,v\in V$, существует целое положительное число N такое, что:

$(z-x)^{N}Y(u,z)Y(v,x)=(z-x)^{N}Y(v,x)Y(u,z).$

Эквивалентные формулировки аксиомы локальности

Аксиома локальности имеет несколько эквивалентных формулировок в литературе, например, Френкель-Леповски-Мерман ввел тождество Якоби:

$\forall u,v,w\in V:\qquad z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y(u,x)Y(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y(v,y)Y(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y(Y(u,z)v,y)w,$

где мы определяем формальный дельта-ряд следующим образом:

$\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.$

Борчердс первоначально использовал следующие два тождества: для любых векторов u , v и w и целых чисел m и n мы имеем

$(u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)$

и

$u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u$.

Позже он предложил более расширенную версию, эквивалентную, но более простую в использовании: для любых векторов u , v и w и целых чисел m , n и q мы имеем

$\sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)$

Наконец, существует формальная функциональная версия локальности: для любого $u,v,w\in V$, есть элемент

$X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]$

такой, что $Y(u,z)Y(v,x)w$ и $Y(v,x)Y(u,z)w$ являются соответствующими разложениями $X(u,v,w;z,x)$ в $V((z))((x))$ и $V((x))((z))$.

Алгебра вершинных операторов

Алгебра вершинных операторов — это вершинная алгебра, снабженная конформным элементом $\omega \in V$, такой, что вершинный оператор $Y(\omega ,z)$ это вес два поля Вирасоро $L(z)$:

$Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}$

и удовлетворяет следующим свойствам:

• $[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{12}}\delta _{m+n,0}(m^{3}-m)c\,\mathrm {Id} _{V}$, где $c$ является константой, называемой зарядом или рангом центральным $V$. В частности, коэффициенты этого вершинного оператора обеспечивают $V$ с действием алгебры Вирасоро с центральным зарядом $c$.
• $L_{0}$ действует полупросто на $V$ с целыми собственными значениями, ограниченными снизу.
• При градуировке, обеспечиваемой собственными значениями $L_{0}$, умножение на $V$ является однородным в том смысле, что если $u$ и $v$ однородны, то $u_{n}v$ является однородным по степени $\mathrm {deg} (u)+\mathrm {deg} (v)-n-1$.
• Личность $1$ имеет степень 0, а конформный элемент $\omega$ имеет степень 2.
• $L_{-1}=T$.

Гомоморфизм вершинных алгебр — это отображение основных векторных пространств, которое учитывает дополнительную структуру тождества, перевода и умножения. Гомоморфизмы алгебр вершинных операторов имеют «слабую» и «сильную» формы в зависимости от того, соблюдают ли они конформные векторы.

Коммутативные вершинные алгебры

Вершинная алгебра $V$ коммутативен, если все вершинные операторы $Y(u,z)$ ездить друг с другом. Это эквивалентно тому свойству, что все продукты $Y(u,z)v$ роды $V[[z]]$, или это $Y(u,z)\in \operatorname {End} [[z]]$. Таким образом, альтернативным определением коммутативной вершинной алгебры является определение, в котором все вершинные операторы $Y(u,z)$ регулярно посещают $z=0$.

Учитывая коммутативную вершинную алгебру, постоянные члены умножения наделяют векторное пространство коммутативной и ассоциативной кольцевой структурой, вакуумным вектором $1$ является единицей и $T$ является производным. Следовательно, коммутативная вершинная алгебра оснащена $V$ со структурой коммутативной алгебры с единицей с дифференцированием. Обратно, любое коммутативное кольцо $V$ с выводом $T$ имеет каноническую структуру вершинной алгебры, где мы полагаем $Y(u,z)v=u_{-1}vz^{0}=uv$, так что $Y$ ограничивается картой $Y:V\rightarrow \operatorname {End} (V)$ какая карта умножения $u\mapsto u\cdot$ с $\cdot$ произведение алгебры. Если вывод $T$ исчезает, мы можем установить $\omega =0$ чтобы получить алгебру вершинных операторов, сосредоточенную в нулевой степени.

Любая конечномерная вершинная алгебра коммутативна.

показывать Доказательство

This follows from the translation axiom. From $[T,Y(u,z)]=\partial _{z}Y(u,z)$ and expanding the vertex operator as a power series one obtains $$\operatorname {ad} Tu_{n}=[T,u_{n}]=-nu_{n-1}.$$ Then $$\operatorname {ad} T^{m}u_{n}=(-1)^{m}n(n-1)\cdots (n-m+1)u_{n-m}.$$ From here, we fix $n$ to always be non-negative. For $m>n$, we have $\operatorname {ad} T^{m}u_{n}=0$. Now since $V$ is finite dimensional, so is $\operatorname {End} (V)$, and all the $u_{n}$ are elements of $\operatorname {End} (V)$. So a finite number of the $u_{n}$ span the vector subspace of $\operatorname {End} (V)$ spanned by all the $u_{n}$. Therefore there's an $M$ such that $\operatorname {ad} T^{M}u_{n}=0$ for all $u_{n}$. But also, $$\operatorname {ad} T^{M}u_{M+n}=(-1)^{m}(M+n+1)\cdots (n+1)u_{n}$$ and the left hand side is zero, while the coefficient in front of $u_{n}$ is non-zero. So $u_{n}=0$. So $Y(u,z)$ is regular. $\square$

Таким образом, даже самые маленькие примеры некоммутативных вершинных алгебр требуют значительного введения.

Основные свойства

Оператор перевода $T$ в вершинной алгебре вызывает бесконечно малые симметрии в структуре произведения и удовлетворяет следующим свойствам:

• $\,Y(u,z)1=e^{zT}u$
• $\,Tu=u_{-2}1$, так $T$ определяется $Y$.
• $\,Y(Tu,z)={\frac {\mathrm {d} Y(u,z)}{\mathrm {d} z}}$
• $\,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)$
• (кососимметрия) $Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u$

Для алгебры вершинных операторов другие операторы Вирасоро обладают аналогичными свойствами:

• $\,x^{L_{0}}Y(u,z)x^{-L_{0}}=Y(x^{L_{0}}u,xz)$
• $\,e^{xL_{1}}Y(u,z)e^{-xL_{1}}=Y(e^{x(1-xz)L_{1}}(1-xz)^{-2L_{0}}u,z(1-xz)^{-1})$
• (квазиконформность) $[L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)$ для всех $m\geq -1$.
• (Ассоциативность или свойство двоюродного брата): Для любого $u,v,w\in V$, элемент

$X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]$

данное в определении также расширяется до $Y(Y(u,z-x)v,x)w$ в $V((x))((z-x))$.

Свойство ассоциативности вершинной алгебры следует из того, что коммутатор $Y(u,z)$ и $Y(v,z)$ аннулируется конечной степенью $z-x$, т. е. ее можно разложить как конечную линейную комбинацию производных формальной дельта-функции в $(z-x)$, с коэффициентами в $\mathrm {End} (V)$.

Реконструкция: Пусть $V$ — вершинная алгебра, и пусть $J_{a}$ быть набором векторов с соответствующими полями $J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$. Если $V$ натянут мономами от положительных весовых коэффициентов полей (т. е. конечными произведениями операторов $J_{n}^{a}$ применяется к $1$, где $n$ отрицательно), то мы можем записать операторное произведение такого монома как нормально упорядоченное произведение разделенных степенных производных полей (здесь нормальный порядок означает, что полярные члены слева перемещаются вправо). Конкретно,

$Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:$

В более общем смысле, если дано векторное пространство $V$ с эндоморфизмом $T$ и вектор $1$, и присваивается набору векторов $J^{a}$ набор полей $J^{a}(z)\in \mathrm {End} (V)[[z^{\pm 1}]]$ которые взаимно локальны, чьи положительные весовые коэффициенты генерируют $V$, и которые удовлетворяют условиям тождества и перевода, то предыдущая формула описывает структуру вершинной алгебры.

Расширение продукта оператора

В теории вершинной алгебры из-за ассоциативности мы можем злоупотреблять обозначениями для записи, например $A,B,C\in V,$ $$Y(A,z)Y(B,w)C=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}C.$$ Это расширение продукта оператора . Эквивалентно, $$Y(A,z)Y(B,w)=\sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}}+:Y(A,z)Y(B,w):.$$ Поскольку нормальная упорядоченная часть является регулярной в $z$ и $w$, это можно записать в соответствии с физическими соглашениями как $$Y(A,z)Y(B,w)\sim \sum _{n\geq 0}{\frac {Y(A_{(n)}\cdot B,w)}{(z-w)^{n+1}}},$$ где отношение эквивалентности $\sim$ обозначает эквивалентность с точностью до регулярных членов.

Часто используемые OPE

Здесь зафиксированы некоторые ОПЭ, часто встречающиеся в конформной теории поля.

ОПЭ

1-е распределение	2-я раздача	Коммутационные отношения	ОПЕ	Имя	Примечания
$a(z)=\sum a_{m}z^{-m-1}$	$b(w)=\sum b_{n}z^{-n-1}$	$[a_{m},b_{n}]=c_{m+n}$	$a(z)b(w)\sim {\frac {\sum c_{n}w^{-n-1}}{z-w}}$	Общий ОПЕ
$a(z)=\sum a_{m}z^{-m-1}$	$b(w)=\sum b_{n}z^{-n-1}$	$[a_{m},b_{n}]=m\delta _{m+n,0}$	$a(z)b(w)\sim {\frac {1}{(z-w)^{2}}}$	Свободный бозон OPE	Инвариантность при $z\leftrightarrow w$ показывает «бозонную» природу этого ОПЭ.
$L(z)=\sum L_{m}z^{-m-2}$	$a(w)=\sum a_{n}w^{-n-\Delta }$	$[L_{m},a_{n}]=((\Delta -1)m-n)a_{m+n}$	$L(z)a(w)\sim {\frac {\Delta a(w)}{(z-w)^{2}}}+{\frac {\partial a(w)}{z-w}}$	Первичное поле OPE	Первичные поля определяются как поля a(z), удовлетворяющие этому OPE при умножении на поле Вирасоро. Они важны, поскольку представляют собой поля, которые преобразуются «как тензоры» при преобразованиях координат мирового листа в теории струн .
$L(z)=\sum L_{m}z^{-m-2}$	$L(w)=\sum L_{n}z^{-n-2}$	$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {m^{3}-m}{12}}\delta _{m+n,0}c$	$L(z)L(w)\sim {\frac {c/2}{(z-w)^{4}}}+{\frac {2L(w)}{(z-w)^{2}}}+{\frac {\partial L(w)}{z-w}}$	ТТ ОПЕ	В физике поле Вирасоро часто отождествляется с тензором энергии-импульса и обозначается T(z), а не L(z).

Примеры из алгебр Ли

Основные примеры взяты из бесконечномерных алгебр Ли.

Алгебра вершинных операторов Гейзенберга

Базовым примером некоммутативной вершинной алгебры является свободный бозон ранга 1, также называемый алгеброй вершинных операторов Гейзенберга. Он «генерируется» одним вектором b в том смысле, что, применяя коэффициенты поля b ( z ) := Y ( b , z ) к вектору 1 , мы получаем остовное множество. Базовое векторное пространство представляет собой кольцо полиномов с бесконечной переменной. $\mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]$, где для положительного $n$, $b_{-n}$ действует, очевидно, путем умножения, и $b_{n}$ действует как $n\partial _{b_{-n}}$. Действие b ₀ является умножением на ноль, создавая представление Фока V ₀ «нулевого импульса» алгебры Ли Гейзенберга (генерируемое для _– целых чисел n , с коммутационными соотношениями [ bn _bn , b _m ]= n δ _{n, m} ), индуцированный тривиальным представлением подалгебры, натянутой на , _bn n ≥ 0.

Пространство Фока V ₀ можно превратить в вершинную алгебру с помощью следующего определения отображения оператора состояния на базисе $b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}}$ с каждым $j_{i}<0$,

$Y(b_{j_{1}}b_{j_{2}}...b_{j_{k}},z):={\frac {1}{(-j_{1}-1)!(-j_{2}-1)!\cdots (-j_{k}-1)!}}:\partial ^{-j_{1}-1}b(z)\partial ^{-j_{2}-1}b(z)...\partial ^{-j_{k}-1}b(z):$

где $:{\mathcal {O}}:$ обозначает нормальный порядок оператора ${\mathcal {O}}$. Вершинные операторы также можно записать как функционал функции многих переменных f следующим образом:

$Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):$

если мы поймем, что каждый член в разложении f нормально упорядочен.

Свободный бозон ранга n определяется путем n -кратного тензорного произведения свободного бозона ранга 1. Для любого вектора b в n -мерном пространстве существует поле b ( z ), коэффициенты которого являются элементами алгебры Гейзенберга ранга n , чьи коммутационные соотношения имеют дополнительный член внутреннего произведения: [ b _n , c _m ]= n (b ,в) δ _n,–m .

Алгебра вершинных операторов Гейзенберга имеет однопараметрическое семейство конформных векторов с параметром $\lambda \in \mathbb {C}$ конформных векторов $\omega _{\lambda }$ предоставлено

$\omega _{\lambda }={\frac {1}{2}}b_{-1}^{2}+\lambda b_{-2},$

с центральной оплатой $c_{\lambda }=1-12\lambda ^{2}$.

Когда $\lambda =0$, существует следующая формула для персонажа Вирасоро :

$Tr_{V}q^{L_{0}}:=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}$

Это производящая функция для разделов , она также записывается как q ^1/24 умноженное на вес -1/2 модулярной формы 1/η (обратная эта-функция Дедекинда ). Тогда свободный бозон ранга n имеет семейство векторов Вирасоро с n параметрами, и когда эти параметры равны нулю, символ q ^{н /24} умноженное на вес − n /2 модулярная форма η ^{− п} .

Алгебра вершинных операторов Вирасоро

Алгебры вершинных операторов Вирасоро важны по двум причинам: во-первых, конформный элемент в алгебре вершинных операторов канонически индуцирует гомоморфизм из алгебры вершинных операторов Вирасоро, поэтому они играют универсальную роль в теории. Во-вторых, они тесно связаны с теорией унитарных представлений алгебры Вирасоро и играют важную роль в конформной теории поля . В частности, унитарные минимальные модели Вирасоро являются простыми факторами этих вершинных алгебр, а их тензорные произведения позволяют комбинаторно строить более сложные вертексные операторные алгебры.

Алгебра вершинных операторов Вирасоро определяется как индуцированное представление алгебры Вирасоро : если мы выбираем центральный заряд c , существует единственный одномерный модуль для подалгебры C [z]∂ _z + K, для которого K действует как c Id , а C [z]∂ _z действует тривиально, а соответствующий индуцированный модуль натянут многочленами из L _–n = –z ^−n–1 ∂ _z, поскольку n варьируется в пределах целых чисел больше 1. Тогда модуль имеет функцию секционирования

$Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}$.

Это пространство имеет структуру алгебры вершинных операторов, где вершинные операторы определяются следующим образом:

$Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):$

и $\omega =L_{-2}|0\rangle$. Тот факт, что поле Вирасоро L(z) локально относительно самого себя, можно вывести из формулы для его самокоммутатора:

$[L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)$

где c — центральный заряд .

Учитывая гомоморфизм вершинной алгебры вершинной алгебры Вирасоро центрального заряда c в любую другую вершинную алгебру, вершинный оператор, присоединенный к образу ω, автоматически удовлетворяет соотношениям Вирасоро, т. е. образ ω является конформным вектором. И наоборот, любой конформный вектор в вершинной алгебре индуцирует выделенный гомоморфизм вершинной алгебры из некоторой алгебры вершинных операторов Вирасоро.

Алгебры вершинных операторов Вирасоро просты, за исключением случаев, когда c имеет форму 1–6( p – q ) ² / pq для взаимно простых целых чисел p , q строго больше 1 – это следует из определительной формулы Каца. В этих исключительных случаях существует единственный максимальный идеал, и соответствующий фактор называется минимальной моделью. Когда p = q +1, вершинные алгебры являются унитарными представлениями Вирасоро, а их модули известны как представления дискретных серий. Они играют важную роль в конформной теории поля отчасти потому, что они необычайно послушны и при малых p соответствуют хорошо известным системам статистической механики на критическом уровне, например, модели Изинга , трикритической модели Изинга , трехкритической модели Изинга , трехкритической модели Изинга. модель штата Поттс и т. д. Работа Вэйкан Ванга Что касается правил слияния , у нас есть полное описание тензорных категорий унитарных минимальных моделей. Например, когда c = 1/2 (Изинг), существует три неприводимых модуля с наименьшим L ₀ -весом 0, 1/2 и 1/16, а их связующее кольцо — Z [ x , y ]/( x ² –1 и ² – х –1, ху – у ).

Аффинная вершинная алгебра

Заменив алгебру Ли Гейзенберга раскрученной аффинной алгеброй Ли Каца–Муди (т. е. универсальным центральным расширением алгебры петель на конечномерной простой алгебре Ли ), можно построить вакуумное представление почти так же, как свободное Построена вершинная алгебра бозонов. Эта алгебра возникает как текущая алгебра модели Весса-Зумино-Виттена , которая создает аномалию , интерпретируемую как центральное расширение.

Конкретно, оттягивая назад центральную вытяжку

$0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0$

по включению ${\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]$ дает расщепленное расширение, а вакуумный модуль индуцируется из одномерного представления последнего, на который центральный базисный элемент действует с помощью некоторой выбранной константы, называемой «уровнем». Поскольку центральные элементы можно отождествить с инвариантными скалярными произведениями на алгебре Ли конечного типа ${\mathfrak {g}}$Обычно уровень нормализуется так, чтобы форма Киллинга имела уровень, в два раза превышающий двойное число Кокстера . Эквивалентно, первый уровень дает внутренний продукт, для которого самый длинный корень имеет норму 2. Это соответствует соглашению алгебры петель , где уровни дискретизируются третьими когомологиями односвязных компактных групп Ли .

Выбрав базис J ^а алгебры Ли конечного типа можно сформировать базис аффинной алгебры Ли, используя J ^а _п = Дж ^а т ^н вместе с центральным элементом K . Путем реконструкции мы можем описать вершинные операторы нормально упорядоченными произведениями производных полей

$J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.$

Когда уровень некритичен, т. е. внутренний продукт не равен минус половине формы Киллинга, представление вакуума имеет конформный элемент, заданный конструкцией Сугавары . При любом выборе двойственных оснований J ^а , J _a относительно внутреннего продукта уровня 1, конформным элементом является

$\omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1$

и дает алгебру вершинных операторов, центральный заряд которой равен $k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })$. На критическом уровне конформная структура разрушается, поскольку знаменатель равен нулю, но можно создать операторы L _n для n ≥ –1, взяв предел при приближении k к критичности.

Модули

Как и обычные кольца, вершинные алгебры допускают понятие модуля или представления. Модули играют важную роль в конформной теории поля, где их часто называют секторами. Стандартное предположение в физической литературе состоит в том, что полное гильбертово пространство конформной теории поля распадается на сумму тензорных произведений левых и правых секторов:

${\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}$

То есть конформная теория поля имеет вершинную операторную алгебру левоподвижных киральных симметрий, вершинно-операторную алгебру правоподвижных киральных симметрий, а сектора, движущиеся в заданном направлении, являются модулями для соответствующей вершинно-операторной алгебры.

Определение

Для вершинной алгебры V с умножением Y -модуль V представляет собой векторное пространство M, снабженное действием Y ^М : V ⊗ M → M (( z )), удовлетворяющий следующим условиям:

(Личность) Y ^М (1,z) = Id _M

(Ассоциативность или тождество Якоби) Для любых u , v ∈ V , w ∈ M существует элемент

$X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]$

такой, что Y ^М ( u , z ) Y ^М ( v , x ) w и Y ^М ( Y ( ты , z – Икс ) v , Икс ) ш являются соответствующими разложениями $X(u,v,w;z,x)$ в M (( z ))(( x )) и M (( x ))(( z – x )). Эквивалентно, имеет место следующее « тождество Якоби »:

$z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.$

Модули вершинной алгебры образуют абелеву категорию . При работе с алгебрами вершинных операторов предыдущее определение иногда называют слабым. $V$-module и настоящие V -модули должны уважать конформную структуру, заданную конформным вектором $\omega$. Точнее, они должны удовлетворять дополнительному условию, что L ₀ действует полупросто с конечномерными собственными пространствами и собственными значениями, ограниченными снизу в каждом смежном классе Z . Работы Хуана, Леповски, Миямото и Чжана показал на различных уровнях общности, что модули алгебры вершинных операторов допускают операцию слияния тензорного произведения и образуют плетеную тензорную категорию .

Если категория -модулей V полупроста с конечным числом неприводимых объектов, алгебра вершинных операторов V называется рациональной. -коконечности Чжу Алгебры рациональных вершинных операторов, удовлетворяющие дополнительной гипотезе конечности (известной как условие C ₂ ), как известно, особенно хорошо себя ведут и называются регулярными . Например, теорема модульной инвариантности Чжу 1996 года утверждает, что характеры модулей регулярного VOA образуют векторное представление $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$. В частности, если VOA голоморфен , то есть его категория представления эквивалентна категории векторных пространств, то его статистическая сумма равна $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$-инвариант с точностью до константы. Хуанг показал, что категория модулей регулярного ВОА является модульной тензорной категорией и ее правила слияния удовлетворяют формуле Верлинде .

Модули алгебры Гейзенберга

Модули алгебры Гейзенберга можно построить как пространства Фока. $\pi _{\lambda }$ для $\lambda \in \mathbb {C}$ которые являются индуцированными представлениями алгебры Ли Гейзенберга , заданными вакуумным вектором $v_{\lambda }$ удовлетворяющий $b_{n}v_{\lambda }=0$ для $n>0$, $b_{0}v_{\lambda }=0$, и на него свободно воздействуют отрицательные модусы $b_{-n}$ для $n>0$. Пространство можно записать как $\mathbb {C} [b_{-1},b_{-2},\cdots ]v_{\lambda }$. Каждое несократимое, $\mathbb {Z}$Модуль -градуированной алгебры Гейзенберга с ограниченной снизу градуировкой имеет такой вид.

Они используются для построения решетчатых вершинных алгебр, которые как векторные пространства являются прямыми суммами модулей Гейзенберга, когда образ $Y$ распространяется соответствующим образом на элементы модуля.

Категория модулей не является полупростой, поскольку можно индуцировать представление абелевой алгебры Ли, где b0 _{действует ,} посредством нетривиального жорданова блока . Для свободного бозона ранга n существует неприводимый модуль V _λ для каждого вектора λ в комплексном n -мерном пространстве. Каждый вектор b ∈ C ^н дает оператор b ₀ , а пространство Фока V _λ отличается тем, что каждый такой b ₀ действует как скалярное умножение на скалярное произведение ( b , λ).

Витые модули

В отличие от обычных колец, вершинные алгебры допускают понятие скрученного модуля, присоединенного к автоморфизму. Для автоморфизма σ порядка N действие имеет вид V ⊗ M → M (( z ^1/Н )), со следующим условием монодромии : если u ∈ V удовлетворяет σ u = exp(2π ik / N ) u , то un _n = 0, если только не удовлетворяет n + k / N ∈ Z (среди специалистов существуют некоторые разногласия по поводу знаков ). Геометрически скрученные модули можно прикрепить к точкам ветвления на алгебраической кривой с разветвленным накрытием Галуа . В литературе по конформной теории поля скрученные модули называются скрученными секторами и тесно связаны с теорией струн на орбифолдах .

Дополнительные примеры

Алгебра вершинных операторов, определяемая четной решеткой

Конструкция решетчатой ​​вершинной алгебры была первоначальной мотивацией для определения вершинных алгебр. Он строится путем взятия суммы неприводимых модулей алгебры Гейзенберга, соответствующей векторам решетки, и определения операции умножения путем указания переплетающих операторов между ними. То есть, если Λ — четная решетка (если решетка нечетная, то полученная структура представляет собой вершинную супералгебру), решетчатая вершинная алгебра V _Λ разлагается на свободные бозонные модули следующим образом:

$V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }$

Решетчатые вершинные алгебры канонически прикреплены к двойным покрытиям четных целочисленных решеток , а не к самим решеткам. Хотя каждая такая решетка имеет уникальную решеточную вершинную алгебру с точностью до изоморфизма, конструкция вершинной алгебры не является функториальной, поскольку решеточные автоморфизмы имеют неоднозначность в подъеме.

Рассматриваемые двойные накрытия однозначно определяются с точностью до изоморфизма по следующему правилу: элементы имеют вид ±e _α для векторов решетки α ∈ Λ (т. е. существует отображение в Λ, переводящее e _α в α, забывающее знаки), и умножение удовлетворяет соотношениям e _α e _β = (–1) ^{(а, б)} е _β е _α . Другой способ описать это состоит в том, что для четной решетки Λ существует единственный (с точностью до кограницы) нормированный коцикл ε ( α , β ) со значениями ±1 такой, что (−1) ^{( а , б )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , где условие нормировки состоит в том, что ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 для всех α ∈ Λ . Этот коцикл индуцирует центральное расширение Λ группой порядка 2, и мы получаем скрученное групповое кольцо Cε _и [Λ] с базисом e _α ( α ∈ Λ) правилом умножения e _α e _β = ε ( α , β ) e _{α + β} – условие коцикла на ε обеспечивает ассоциативность кольца.

Вершинный оператор, присоединенный к вектору наименьшего веса v _λ в пространстве Фока V _λ, равен

$Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),$

где г ^л является сокращением линейного отображения, которое переводит любой элемент α-пространства Фока V _α в моном z ^{( л , а )} . Затем путем реконструкции определяются вершинные операторы для других элементов пространства Фока.

Как и в случае со свободным бозоном, существует выбор конформного вектора, заданного элементом s векторного пространства Λ ⊗ C , но условие того, что дополнительные пространства Фока имеют целые L0 _{собственных значений ,} ограничивает выбор s : для ортонормированный базис x _i , вектор 1/2 x _i,1 ² + s2 _s должно удовлетворять условиям ( s , λ ) ∈ Z для всех λ ∈ Λ, т. е. лежит в двойственной решетке.

Если четная решетка Λ порождается своими «корневыми векторами» (удовлетворяющими (α, α) = 2), и любые два корневых вектора соединены цепочкой корневых векторов с последовательными ненулевыми внутренними произведениями, то алгебра вершинных операторов — единственный простой фактор вакуумного модуля аффинной алгебры Каца–Муди соответствующей простой ажурной алгебры Ли на первом уровне. Это известно как конструкция Френкеля-Каца (или Френкеля - Каца - Сигала ) и основано на более ранней конструкции Серджио Фубини и Габриэле Венециано тахионного вершинного оператора в модели двойного резонанса . Среди других особенностей, нулевые моды вершинных операторов, соответствующие корневым векторам, дают конструкцию базовой простой алгебры Ли, связанную с представлением, первоначально принадлежащим Жаку Титсу . В частности, конструкция всех групп Ли типа ADE получается непосредственно из их корневых решеток. И это обычно считается самым простым способом построения 248-мерной группы E ₈ .

Алгебра вершин монстров

Алгебра вершин монстров $V^{\natural }$ (также называемый «самогонным модулем») является ключом к доказательству Борчердса чудовищных гипотез о самогоне. Он был построен Френкелем, Леповски и Мерманом в 1988 году. Он примечателен тем, что его характером является j-инвариант без постоянного члена: $j(\tau )-744$, а его группа автоморфизмов — группа монстров . Он строится путем орбифолдинга решетчатой ​​вершинной алгебры, построенной из решетки Лича, с помощью автоморфизма порядка 2, индуцированного отражением решетки Лича в начале координат. То есть формируется прямая сумма решетки Лича VOA со скрученным модулем и берутся неподвижные точки при индуцированной инволюции. Френкель, Леповски и Мерман в 1988 году предположили, что $V^{\natural }$ - единственная голоморфная алгебра вершинных операторов с центральным зарядом 24 и статистической суммой $j(\tau )-744$. Эта гипотеза все еще остается открытой.

Комплекс Чирал де Рам

Маликов, Шехтман и Вайнтроб показали, что методом локализации можно канонически присоединить систему bcβγ (бозон-фермионное суперполе) к гладкому комплексному многообразию. Этот комплекс пучков имеет выделенный дифференциал, а глобальные когомологии представляют собой вершинную супералгебру. Бен-Цви, Хелуани и Щесный показали, что риманова метрика на многообразии индуцирует суперконформную структуру N = 1, которая превращается в структуру N = 2, если метрика кэлерова и риччи-плоская , а гиперкэлерова структура индуцирует N =4 структура. с двумя переменными можно получить эллиптический род Борисов и Либгобер показали, что из когомологий комплекса Кираля де Рама компактного комплексного многообразия. Если многообразие Калаби–Яу , то этот род является слабой формой Якоби .

Вертексная алгебра, связанная с поверхностным дефектом

Вертексная алгебра может возникнуть как подсектор многомерной квантовой теории поля, который локализуется в двумерном подмногообразии пространства, на котором определена многомерная теория. Типичным примером является конструкция Бема, Леемоса, Лиендо, Пилаерса, Растелли и ван Риса, которая сопоставляет вершинную алгебру с любой 4d N =2 суперконформной теорией поля. Эта вершинная алгебра обладает тем свойством, что ее характер совпадает с индексом Шура 4d-суперконформной теории. Когда теория допускает предел слабой связи, вершинная алгебра имеет явное описание как БРСТ-редукция системы bcβγ.

Супералгебры вершинных операторов

Позволяя базовому векторному пространству быть суперпространством (т. е. с Z /2 Z -градуировкой векторным пространством $V=V_{+}\oplus V_{-}$) можно определить вершинную супералгебру с помощью тех же данных, что и вершинную алгебру, с 1 в V ₊ и T — четным оператором. Аксиомы по существу одинаковы, но необходимо включить подходящие знаки в аксиому локальности или одну из эквивалентных формулировок. То есть, если a и b однородны, сравнивается Y ( a , z ) Y ( b , w ) с ε Y ( b , w ) Y ( a , z ), где ε равно –1, если оба a и b равны нечетное и 1 в противном случае. имеется элемент Вирасоро ω Если, кроме того, в четной части V ₂ и выполняются обычные ограничения градуировки, то V называется супералгеброй вершинных операторов .

Одним из простейших примеров является супералгебра вершинных операторов, порожденная одним свободным фермионом ψ. Как представление Вирасоро, оно имеет центральный заряд 1/2 и разлагается как прямая сумма модулей Изинга с наименьшим весом 0 и 1/2. Его также можно описать как спиновое представление алгебры Клиффорда в квадратичном пространстве t ^1/2 С [ т , т ⁻¹ ]( дт ) ^1/2 с остаточным спариванием. Супералгебра вершинных операторов голоморфна в том смысле, что все модули являются прямыми суммами самой себя, т. е. категория модулей эквивалентна категории векторных пространств.

Тензорный квадрат свободного фермиона называется свободным заряженным фермионом и по бозонно-фермионному соотношению изоморфен супералгебре вершин решетки, присоединенной к нечетной решетке Z . Это соответствие было использовано Дате-Джимбо-Кашивара-Мива для построения солитонных решений иерархии КП нелинейных УЧП.

Суперконформные структуры

Алгебра Вирасоро имеет некоторые суперсимметричные расширения , которые естественным образом появляются в суперконформной теории поля и теории суперструн . N . =1, 2 и 4 суперконформные алгебры Особое значение имеют

Инфинитезимальные голоморфные суперконформные преобразования суперкривой ( с одной четной локальной координатой z и N нечетными локальными координатами θ ₁ ,...,θ _N ) порождаются коэффициентами тензора супернапряжения-энергии T (z, θ ₁ , . .., θ _N ).

Когда N =1, T имеет нечетную часть, заданную полем Вирасоро L ( z ), и четную часть, заданную полем

$G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}$

подчиняется коммутационным соотношениям

• $[G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}$
• $[G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c$

Исследуя симметрию операторных произведений, можно обнаружить, что существует две возможности для поля G : индексы n либо все целые числа, что дает алгебру Рамона , либо все полуцелые числа, что дает алгебру Неве–Шварца . Эти алгебры имеют представления унитарных дискретных серий при центральном заряде.

${\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3$

и унитарные представления для всех c больше 3/2, с наименьшим весом h , ограниченным только h ≥ 0 для Неве–Шварца и h ≥ c /24 для Рамона.

Суперконформный вектор N =1 в алгебре вершинных операторов V центрального заряда c — это нечетный элемент τ ∈ V веса 3/2 такой, что

$Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},$

G _−1/2 τ = ω, а коэффициенты G ( z ) дают действие N =1 алгебры Неве–Шварца при центральном заряде c .

Для суперсимметрии N =2 получаются четные поля L ( z ) и J ( z ) и нечетные поля G ⁺ (z) и G ⁻ (з). Поле J ( z ) порождает действие алгебр Гейзенберга (описываемое физиками как ток U (1)). Существуют N =2 суперконформные алгебры Рамона и Неве–Шварца, в зависимости от того, является ли индексация полей G целой или полуцелой. Однако ток U (1) порождает однопараметрическое семейство изоморфных суперконформных алгебр, интерполирующих между Рамондом и Невё–Шварцем, и эта деформация структуры известна как спектральный поток. Унитарные представления задаются дискретными рядами с центральным зарядом c = 3–6/ m для целых чисел m не менее 3 и континуумом наименьших весов для c > 3.

Суперконформная структура N =2 на алгебре вершинных операторов — это пара нечетных элементов τ ⁺ , т ⁻ веса 3/2 и четный элемент µ веса 1 такой, что τ ^± генерировать G ^± (z), а µ порождает J ( z ).

Для N =3 и 4 унитарные представления имеют центральные заряды только в дискретном семействе с c =3k / 2 и 6k соответственно , поскольку k варьируется в пределах положительных целых чисел.

Дополнительные конструкции

• Подалгебры с неподвижными точками: учитывая действие группы симметрии на алгебру вершинных операторов, подалгебра фиксированных векторов также является алгеброй вершинных операторов. В 2013 году Миямото доказал, что два важных свойства конечности, а именно условие Чжу C ₂ и регулярность, сохраняются при взятии неподвижных точек при действиях конечных разрешимых групп.
• Текущие расширения: учитывая алгебру вершинных операторов и некоторые модули целого конформного веса, при благоприятных обстоятельствах можно описать структуру алгебры вершинных операторов в прямой сумме. Решетчатые вершинные алгебры являются стандартным примером этого. Другое семейство примеров — это структурированные VOA, которые начинаются с тензорных произведений моделей Изинга и добавляют модули, соответствующие четным кодам.
• Орбифолды: учитывая конечную циклическую группу, действующую на голоморфный VOA, предполагается, что можно построить второй голоморфный VOA, присоединяя неприводимые скрученные модули и беря неподвижные точки при индуцированном автоморфизме, если эти скрученные модули имеют подходящий конформный вес. Как известно, это справедливо в особых случаях, например, когда группы порядка не выше 3 действуют на решетке VOA.
• Конструкция смежного класса (благодаря Годдарду, Кенту и Оливу): учитывая алгебру вершинных операторов V с центральным зарядом c и набор S векторов, можно определить коммутант C ( V , S ) как подпространство векторов v строго исходящими из S , т. е. такие, что Y ( s , z ) v ∈ V[[ z ]] для всех s ∈ S. коммутируют со всеми полями , Это оказывается вершинная подалгебра с Y , T и единицей, унаследованной от V . А если S — VOA с центральным зарядом c _S коммутант — это VOA с центральным зарядом c – c _S. , то Например, вложение SU (2) на уровне k +1 в тензорное произведение двух SU (2)-алгебр на уровнях k и 1 дает дискретный ряд Вирасоро с p = k +2, q = k +3 и это было использовано для доказательства их существования в 1980-х годах. Опять же, с SU (2), вложение уровня k +2 в тензорное произведение уровня k и уровня 2 дает N =1 суперконформный дискретный ряд.
• BRST-редукция: для любого вектора v степени 1, удовлетворяющего v ₀ ² =0 когомологии этого оператора имеют структуру градуированной вершинной супералгебры. В более общем смысле можно использовать любое поле веса 1, остаток которого имеет квадратный ноль. Обычный метод — тензор с фермионами, поскольку тогда получается канонический дифференциал. Важным частным случаем является квантовая редукция Дринфельда–Соколова, примененная к аффинным алгебрам Каца–Муди для получения аффинных W -алгебр как когомологий степени 0. Эти W -алгебры допускают также конструкции в виде вершинных подалгебр свободных бозонов, заданных ядрами экранирующих операторов.

Связанные алгебраические структуры

• Если рассматривать только особую часть ОПЭ в вершинной алгебре, можно прийти к определению конформной алгебры Ли . Поскольку часто речь идет только об сингулярной части ОПЭ, это делает конформные алгебры Ли естественным объектом для изучения. Существует функтор от вершинных алгебр к конформным алгебрам Ли, который забывает регулярную часть ОПЭ и имеет левый сопряженный, называемый функтором «универсальной вершинной алгебры». Вакуумные модули аффинных алгебр Каца–Муди и вершинных алгебр Вирасоро являются универсальными вершинными алгебрами, и, в частности, их можно очень кратко описать после разработки базовой теории.
• В литературе существует несколько обобщений понятия вершинной алгебры. Некоторые мягкие обобщения включают ослабление аксиомы локальности, чтобы допустить монодромию, например абелевы переплетающиеся алгебры Донга и Леповского. Их можно рассматривать примерно как объекты вершинной алгебры в плетеной тензорной категории градуированных векторных пространств, во многом так же, как вершинная супералгебра является таким объектом в категории супервекторных пространств. Более сложные обобщения относятся к q -деформациям и представлениям квантовых групп, например, в работах Френкеля – Решетихина, Этингофа – Каждана и Ли.
• Бейлинсон и Дринфельд ввели теоретико-пучковое понятие киральной алгебры , которое тесно связано с понятием вершинной алгебры, но определяется без использования каких-либо видимых степенных рядов . Для алгебраической кривой X киральная алгебра на X представляет собой D _X -модуль A, снабженный операцией умножения $j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A$ на X × X, удовлетворяющий условию ассоциативности. Они также ввели эквивалентное понятие факторизационной алгебры , которая представляет собой систему квазикогерентных пучков на всех конечных произведениях кривой, вместе с условием совместимости, включающим возвраты к дополнению различных диагоналей. Любую трансляционно-эквивариантную киральную алгебру на аффинной прямой можно отождествить с вершинной алгеброй, взяв слой в точке, и существует естественный способ присоединить киральную алгебру на гладкой алгебраической кривой к любой вертекс-операторной алгебре.

См. также

• Операторная алгебра
• Zhu algebra

Источники

• Борчердс, Ричард (1986), «Вертексные алгебры, алгебры Каца-Муди и монстр», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 83 (10): 3068–3071, Bibcode : 1986PNAS... 83.3068B , дои : 10.1073/пнас.83.10.3068 , ПМК   323452 , ПМИД   16593694
• Борисов Лев А.; Либгобер, Анатолий (2000), «Эллиптические роды торических многообразий и приложения к зеркальной симметрии», Inventiones Mathematicae , 140 (2): 453–485, arXiv : math/9904126 , Bibcode : 2000InMat.140..453B , doi : 10.1007 /s002220000058 , MR   1757003 , S2CID   8427026
• Френкель, Эдвард ; Бен-Цви, Дэвид (2001), Вершинные алгебры и алгебраические кривые , Математические обзоры и монографии, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2894-0
• Френкель, Игорь ; Леповски, Джеймс ; Мерман, Арне (1988), Алгебры вершинных операторов и монстр , Чистая и прикладная математика, том. 134, Академическое издательство, ISBN  0-12-267065-5
• Кац, Виктор (1998), Вершинные алгебры для начинающих , Серия университетских лекций, том. 10 (2-е изд.), Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-1396-Х
• Ван, Вэйцян (1993), «Рациональность алгебр вершинных операторов Вирасоро», Международные уведомления о математических исследованиях , 1993 (7): 197, doi : 10.1155/S1073792893000212
• Сюй, Сяопин (1998), Введение в супералгебры вершинных операторов и их модули , Springer, ISBN  079235242-4