Суперконформная алгебра

В теоретической физике суперконформная алгебра — это градуированная алгебра Ли или супералгебра , сочетающая в себе конформную алгебру и суперсимметрию . В двух измерениях суперконформная алгебра бесконечномерна. В более высоких измерениях суперконформные алгебры конечномерны и порождают суперконформную группу (в двух евклидовых измерениях супералгебра Ли не порождает никакой супергруппы Ли ).

Суперконформная алгебра в размерности больше 2

Конформная группа $(p+q)$-мерное пространство $\mathbb {R} ^{p,q}$ является $SO(p+1,q+1)$ и его алгебра Ли есть ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$. Суперконформная алгебра — это супералгебра Ли, содержащая бозонный фактор ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$ и чьи нечетные генераторы преобразуются в спинорные представления ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$. Учитывая классификацию Каца конечномерных простых супералгебр Ли, это может произойти только при малых значениях $p$ и $q$. Список (возможно неполный)

• ${\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)$ в 3+0D благодаря ${\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)$;
• ${\mathfrak {osp}}(N|4)$ в 2+1D благодаря ${\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)$;
• ${\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)$ в 4+0D благодаря ${\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)$;
• ${\mathfrak {su}}(2,2|N)$ в 3+1D благодаря ${\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)$;
• ${\mathfrak {sl}}(4|N)$ в 2+2D благодаря ${\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)$;
• реальные формы $F(4)$ в пяти измерениях
• ${\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)$ в 5+1D благодаря тому, что спинорные и фундаментальные представления ${\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )$ отображаются друг в друга внешними автоморфизмами.

Суперконформная алгебра в 3+1D

В соответствии с суперконформная алгебра с ${\mathcal {N}}$ суперсимметрии в 3+1 измерениях задаются бозонными генераторами $P_{\mu }$, $D$, $M_{\mu \nu }$, $K_{\mu }$, U(1) R-симметрия $A$SU(N) R-симметрия $T_{j}^{i}$ и фермионные генераторы $Q^{\alpha i}$, ${\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}$, $S_{i}^{\alpha }$ и ${\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}$. Здесь, $\mu ,\nu ,\rho ,\dots$ обозначают пространственно-временные индексы; $\alpha ,\beta ,\dots$ левые спинорные индексы Вейля; ${\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots$ правосторонние спинорные индексы Вейля; и $i,j,\dots$ индексы внутренней R-симметрии.

Суперскобки Ли бозонной конформной алгебры имеют вид

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }$

$[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }$

$[M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }$

$[M_{\mu \nu },D]=0$

$[D,P_{\rho }]=-P_{\rho }$

$[D,K_{\rho }]=+K_{\rho }$

$[P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D$

$[K_{n},K_{m}]=0$

$[P_{n},P_{m}]=0$

где η — метрика Минковского ; а для фермионных генераторов:

$\left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }$

$\left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0$

$\left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }$

$\left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0$

$\left\{Q,S\right\}=$

$\left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0$

Бозонные конформные генераторы не несут никаких R-зарядов, поскольку они коммутируют с генераторами R-симметрии:

$[A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0$

$[T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0$

Но фермионные генераторы несут R-заряд:

$[A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q$

$[A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}$

$[A,S]={\frac {1}{2}}S$

$[A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}$

$[T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}$

$[T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}$

$[T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}$

$[T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}$

При бозонных конформных преобразованиях фермионные генераторы преобразуются как:

$[D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q$

$[D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}$

$[D,S]={\frac {1}{2}}S$

$[D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}$

$[P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0$

$[K,S]=[K,{\overline {S}}]=0$

Суперконформная алгебра в 2D

Основная статья: супералгебра Вирасоро

Существуют две возможные алгебры с минимальной суперсимметрией в двух измерениях; алгебра Невё–Шварца и алгебра Рамона. Возможна дополнительная суперсимметрия, например, суперконформная алгебра N = 2 .

См. также

• Конформная симметрия
• Супералгебра Вирасоро
• Алгебра суперсимметрии