Rabinovich–Fabrikant equations

Траектория решения со значениями параметров $\alpha =0.05$ и $\gamma =0.1$ и начальные условия $x_{0}=0.1$, $y_{0}=-0.1$, и $z_{0}=0.1$, используя решатель ОДУ по умолчанию в MATLAB. Цвета со временем меняются от синего до желтого.

Траектория решения со значениями параметров $\alpha =0.05$ и $\gamma =0.1$ и начальные условия $x_{0}=0.1$, $y_{0}=-0.1$, и $z_{0}=0.1$, используя решатель ОДУ по умолчанию в системе Mathematica. Цвет со временем меняется от оранжево-красного до пурпурно-красного. Обратите внимание на резкое изменение решений по сравнению с решением, полученным с помощью MATLAB.

Хаотический аттрактор найден со значениями параметров $\alpha =1.1$ и $\gamma =0.87$ и начальные условия $x_{0}=-1$, $y_{0}=-0$, и $z_{0}=0.5$, используя решатель ОДУ по умолчанию в системе Mathematica. Цвет со временем меняется от оранжево-красного до пурпурно-красного. Обратите внимание, что цвета не следуют никакому порядку, что отражает хаотичную динамику решения.

Уравнения Рабиновича –Фабриканта представляют собой совокупность трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнений, демонстрирующих хаотическое поведение при определенных значениях параметров . Они названы в честь Михаила Рабиновича и Анатолия Фабриканта , описавших их в 1979 году.

Описание системы

Уравнения:

${\dot {x}}=y(z-1+x^{2})+\gamma x\,$

${\dot {y}}=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\,$

${\dot {z}}=-2z(\alpha +xy),\,$

где α , γ — константы, управляющие эволюцией системы. При одних значениях α и γ система хаотична, а при других стремится к устойчивой периодической орбите.

Данка и Чен Обратите внимание, что систему Рабиновича – Фабриканта сложно анализировать (из-за наличия квадратичных и кубических членов) и что разные аттракторы могут быть получены для одних и тех же параметров, используя разные размеры шага интегрирования, см. справа пример решение, полученное двумя разными решателями для одинаковых значений параметров и начальных условий. Также недавно скрытый аттрактор . в системе Рабиновича–Фабриканта был обнаружен

Точки равновесия

График регионов, для которых точки равновесия ${\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2,3,4}$ существовать.

Система Рабиновича – Фабриканта имеет пять гиперболических точек равновесия : одну в начале координат и четыре, зависящие от параметров системы α и γ :

${\tilde {\mathbf {x} }}_{0}=(0,0,0)$

${\tilde {\mathbf {x} }}_{1,2}=\left(\pm q_{-},\mp {\frac {\alpha }{q_{-}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{-}^{2}\right)$

${\tilde {\mathbf {x} }}_{3,4}=\left(\pm q_{+},\mp {\frac {\alpha }{q_{+}}},1-\left(1-{\frac {\gamma }{\alpha }}\right)q_{+}^{2}\right)$

где

$q_{\pm }={\sqrt {\frac {1\pm {\sqrt {1-\gamma \alpha \left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}{2\left(1-{\frac {3\gamma }{4\alpha }}\right)}}}$

Эти точки равновесия существуют только для определенных значений α и γ > 0.

γ = 0,87, α = 1,1

Пример хаотического поведения получен для γ = 0,87 и α = 1,1 с начальными условиями (−1, 0, 0,5), см. траекторию справа. Корреляционная размерность оказалась равной 2,19 ± 0,01. Показатели Ляпунова λ равны примерно 0,1981, 0, −0,6581, а Каплана – Йорка размерность D _KY ≈ 2,3010 .

γ = 0,1

Данка и Ромера показал, что при γ = 0,1 система хаотична при α = 0,98, но движется по устойчивому предельному циклу при α = 0,14.

3D параметрический график решения уравнений Рабиновича-Фабриканта для α =0,14 и γ =0,1 (предельный цикл показан красной кривой)

См. также

• Список хаотичных карт

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Рабиновича – Фабриканта». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
• Хаотика Моделирует более подходящий подход к хаотическому графу системы «Уравнение Рабиновича – Фабриканта».