G ₂Коллектор

В дифференциальной геометрии многообразие G ₂ содержащейся или многообразие Джойса — это семимерное риманово многообразие с группой голономии, в G ₂ . Группа $G_{2}$ — одна из пяти исключительных простых групп Ли . Ее можно описать как группу автоморфизмов октонионов , или, наконец , или, что то же самое, как собственную подгруппу специальной ортогональной группы SO(7), которая сохраняет спинор в восьмимерном спинорном представлении как подгруппу общей линейной группы GL( 7), сохраняющий невырожденную 3-форму $\phi$ , ассоциативная форма. Двойник Ходжа , $\psi =*\phi$ тогда это параллельная 4-форма, коассоциативная форма. Эти формы являются калибровками в смысле Риз Харви и Х. Блейна Лоусона . ^[1] и таким образом определить специальные классы 3- и 4-мерных подмногообразий.

Характеристики

Все $G_{2}$ -многообразие — это 7-мерные Риччи-плоские ориентируемые спиновые многообразия . Кроме того, любое компактное многообразие с голономией, равной $G_{2}$ имеет конечную фундаментальную группу , ненулевой первый класс Понтрягина и ненулевые третье и четвертое числа Бетти .

История

Тот факт, что $G_{2}$ Возможно, группа голономии некоторых римановых 7-многообразий была впервые предложена классификационной теоремой Марселя Бергера 1955 года , и это оставалось в соответствии с упрощенным доказательством, позже данным Джимом Саймонсом в 1962 году. Хотя ни один пример такого многообразия не имел еще не обнаружен, Эдмон Бонан , тем не менее, внес полезный вклад, показав, что если бы такое многообразие действительно существовало, оно имело бы как параллельную 3-форму, так и параллельную 4-форму и обязательно было бы Риччи-плоским. ^[2]

Первые локальные примеры 7-многообразий с голономией. $G_{2}$ были окончательно построены примерно в 1984 году Робертом Брайантом , а полное доказательство их существования появилось в «Анналах» в 1987 году. ^[3] Далее, полные (но все еще некомпактные) 7-многообразия с голономией $G_{2}$ были построены Брайантом и Саймоном Саламонами в 1989 году. ^[4] Первые компактные 7-многообразия с голономией $G_{2}$ были построены Домиником Джойсом в 1994 году. Компактные $G_{2}$ поэтому многообразия иногда называют «многообразиями Джойса», особенно в физической литературе. ^[5]

В 2015 году новая конструкция компактного $G_{2}$ многообразия Алессио Корти , Марка Хаскинса, Йоханнеса Нордстрема и Томмазо Пачини объединили идею склейки, предложенную Саймоном Дональдсоном, с новыми алгебро-геометрическими и аналитическими методами построения многообразий Калаби – Яу с цилиндрическими концами, что привело к десяткам тысяч диффеоморфизмов. типы новых примеров. ^[6]

Связь с физикой

Эти многообразия играют важную роль в теории струн . Они нарушают первоначальную суперсимметрию на 1/8 от первоначальной суммы. Например, М-теория, компактифицированная на $G_{2}$ многообразие приводит к реалистичной четырехмерной (11-7=4) теории с суперсимметрией N=1. Получающаяся в результате низкоэнергетическая эффективная супергравитация содержит один супермультиплет супергравитации , количество киральных супермультиплетов, равное третьему числу Бетти $G_{2}$ многообразие и число векторных супермультиплетов U(1), равное второму числу Бетти.

См. также

Ссылки

^ Харви, Риз; Лоусон, Х. Блейн (1982), «Калиброванная геометрия», Acta Mathematica , 148 : 47–157, doi : 10.1007/BF02392726 , MR 0666108 .
^ Бонан, Эдмонд (1966), «О римановых многообразиях с группой голономии G2 или Spin(7)», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 262 : 127–129 .
^ Брайант, Роберт Л. (1987), «Метрики с исключительной голономией», Annals of Mathematics , 126 (2): 525–576, doi : 10.2307/1971360 , JSTOR 1971360 .
^ Брайант, Роберт Л .; Саламон, Саймон М. (1989), «О построении некоторых полных метрик с исключительной голономией», Duke Mathematical Journal , 58 (3): 829–850, doi : 10.1215/s0012-7094-89-05839-0 , MR 1016448 .
^ Джойс, Доминик Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press , ISBN 0-19-850601-5 .
^ Корти, Алессио ; Хаскинс, Марк; Нордстрем, Йоханнес; Пачини, Томмазо (2015). «G2-многообразия и ассоциативные подмногообразия через трехмерные полуфано» (PDF) . Математический журнал Дьюка . 164 (10): 1971–2092. дои : 10.1215/00127094-3120743 . S2CID 119141666 .

Дальнейшее чтение

Беккер, Катрин; Беккер, Мелани ; Шварц, Джон Х. (2007), «Многообразия с голономией G ₂ и спином (7)», Теория струн и М-теория: современное введение , Cambridge University Press, стр. 433–455, ISBN 978-0-521-86069-7 .
Фернандес, М.; Грей, А. (1982), "Римановы многообразия со структурной группой G ₂ ", Ann. Мат. Приложение Пура. , 32 : 19–845, doi : 10.1007/BF01760975 , S2CID 123137620 .
Карияннис, Спиро (2011), «Что такое... G ₂ -многообразие?» (PDF) , Уведомления AMS , 58 (4): 580–581 .

[1] Харви, Риз; Лоусон, Х. Блейн (1982), «Калиброванная геометрия», Acta Mathematica , 148 : 47–157, doi : 10.1007/BF02392726 , MR 0666108 .

[2] Бонан, Эдмонд (1966), «О римановых многообразиях с группой голономии G2 или Spin(7)», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 262 : 127–129 .

[3] Брайант, Роберт Л. (1987), «Метрики с исключительной голономией», Annals of Mathematics , 126 (2): 525–576, doi : 10.2307/1971360 , JSTOR 1971360 .

[4] Брайант, Роберт Л .; Саламон, Саймон М. (1989), «О построении некоторых полных метрик с исключительной голономией», Duke Mathematical Journal , 58 (3): 829–850, doi : 10.1215/s0012-7094-89-05839-0 , MR 1016448 .

[5] Джойс, Доминик Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Оксфордские математические монографии, Oxford University Press , ISBN 0-19-850601-5 .

[6] Корти, Алессио ; Хаскинс, Марк; Нордстрем, Йоханнес; Пачини, Томмазо (2015). «G2-многообразия и ассоциативные подмногообразия через трехмерные полуфано» (PDF) . Математический журнал Дьюка . 164 (10): 1971–2092. дои : 10.1215/00127094-3120743 . S2CID 119141666 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach