Фонон

Не путать с Photon , Phonon (программное обеспечение) или Phonon (компания) .

Фонон — это коллективное возбуждение в периодическом упругом расположении атомов или молекул в конденсированном веществе , особенно в твердых телах и некоторых жидкостях . Разновидность квазичастицы в физике . Фонон — возбужденное состояние при квантовомеханическом квантовании мод колебаний упругих структур взаимодействующих частиц. Фононы можно рассматривать как квантованные звуковые волны , подобно фотонам как квантованные световые волны .

Исследование фононов является важной частью физики конденсированного состояния. Они играют важную роль во многих физических свойствах систем конденсированного вещества, таких как теплопроводность и электропроводность , а также в моделях рассеяния нейтронов и связанных с ним эффектов.

Понятие фононов было введено в 1932 году советским физиком Игорем Таммом . Название фонон происходит от греческого слова φωνή ( фоне ), которое переводится как звук или голос , поскольку длинноволновые фононы порождают звук . Название подчеркивает аналогию со словом «фотон» , поскольку фононы представляют корпускулярно-волновой дуализм для звуковых волн точно так же, как фотоны представляют корпускулярно-волновой дуализм для световых волн . Твердые тела с более чем одним атомом в наименьшей элементарной ячейке обладают как акустическими , так и оптическими фононами.

Определение

Фонон — это квантовомеханическое описание элементарного колебательного движения, при котором решетка атомов или молекул равномерно колеблется с одной частотой . В классической механике это обозначает нормальный режим вибрации. Нормальные моды важны, потому что любое произвольное колебание решетки можно рассматривать как суперпозицию этих элементарных мод колебаний (см. Фурье-анализ ). В то время как нормальные моды представляют собой волновые явления в классической механике, фононы также обладают свойствами частиц , что связано с корпускулярно-волновым дуализмом квантовой механики.

Решётчатая динамика

Уравнения в этом разделе не используют аксиомы квантовой механики, а вместо этого используют соотношения, которым существует прямое соответствие в классической механике.

Например: жесткая правильная кристаллическая (не аморфная ) решетка состоит из N частиц. Эти частицы могут быть атомами или молекулами. N — большое число, скажем порядка 10. ²³ , или порядка числа Авогадро для типичного образца твердого тела. Поскольку решетка жесткая, атомы должны оказывать друг на друга силы , чтобы удерживать каждый атом вблизи положения равновесия. Этими силами могут быть силы Ван-дер-Ваальса , ковалентные связи , электростатические притяжения и другие, все из которых в конечном итоге обусловлены электрической силой. Магнитные и гравитационные силы обычно незначительны. Силы между каждой парой атомов можно охарактеризовать функцией энергии потенциальной V , которая зависит от расстояния разделения атомов. Потенциальная энергия всей решетки представляет собой сумму всех парных потенциальных энергий, умноженную на коэффициент 1/2 для компенсации двойного счета:

${\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)$

где r _i — положение го атома i- , а V — потенциальная энергия между двумя атомами.

трудно решить Эту проблему многих тел явно ни в классической, ни в квантовой механике. Для упрощения задачи два важных приближения обычно вводятся . Во-первых, суммирование производится только по соседним атомам. Хотя электрические силы в реальных твердых телах простираются до бесконечности, это приближение по-прежнему справедливо, поскольку поля, создаваемые удаленными атомами, эффективно экранируются . Во-вторых, потенциалы V рассматриваются как гармонические потенциалы . Это допустимо до тех пор, пока атомы остаются близкими к положениям равновесия. Формально это достигается путем расширения Тейлором V относительно его равновесного значения до квадратичного порядка, что дает V, пропорциональное смещению x. ² а сила упругости просто пропорциональна x . Ошибка игнорирования членов более высокого порядка остается небольшой, если x остается близким к положению равновесия.

Полученную решетку можно представить как систему шариков, соединенных пружинами. На следующем рисунке показана кубическая решетка, которая является хорошей моделью для многих типов кристаллических твердых тел. Другие решетки включают линейную цепочку, очень простую решетку, которую мы вскоре будем использовать для моделирования фононов. (Информацию о других распространенных решетках см. в разделе Кристаллическая структура .)

Потенциальную энергию решетки теперь можно записать как

$\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.$

Здесь ω — собственная частота гармонических потенциалов, которые считаются одинаковыми, поскольку решетка регулярна. R _i — координата положения i- го атома, которую мы теперь отсчитываем от его положения равновесия. Сумма по ближайшим соседям обозначается (nn).

Важно отметить, что приведенная здесь математическая обработка сильно упрощена, чтобы сделать ее доступной для неспециалистов. Упрощение достигнуто за счет двух основных допущений в выражении для полной потенциальной энергии кристалла. Эти предположения заключаются в том, что (i) полную потенциальную энергию можно записать как сумму парных взаимодействий и (ii) каждый атом взаимодействует только со своими ближайшими соседями. В современной динамике решетки они используются лишь умеренно. Более общий подход состоит в том, чтобы выразить потенциальную энергию через силовые константы. См., например, статью Wiki о многомасштабных функциях Грина.

Решетчатые волны

Фонон, распространяющийся через квадратную решетку (смещения атомов сильно преувеличены)

Благодаря связям между атомами смещение одного или нескольких атомов из положений равновесия приводит к возникновению набора вибрационных волн, распространяющихся по решетке. Одна из таких волн показана на рисунке справа. Амплитуда волны определяется смещением атомов из положений равновесия. длина волны λ Отмечена .

Существует минимально возможная длина волны, равная удвоенному равновесному расстоянию a между атомами. Любая длина волны короче этой может быть преобразована в длину волны более 2а из -за периодичности решетки. Это можно рассматривать как одно из следствий теоремы выборки Найквиста-Шеннона , точки решетки рассматриваются как «точки выборки» непрерывной волны.

Не каждое возможное колебание решетки имеет четко определенную длину волны и частоту. Однако нормальные моды обладают четко определенными длинами волн и частотами .

Одномерная решетка

Анимация, показывающая 6 нормальных мод одномерной решетки: линейная цепочка частиц. Самая короткая длина волны находится вверху, а более длинные волны — внизу. В самых нижних линиях видно движение волн вправо.

Чтобы упростить анализ, необходимый для трехмерной решетки атомов, удобно смоделировать одномерную решетку или линейную цепочку. Эта модель достаточно сложна, чтобы отобразить основные особенности фононов.

Классическое лечение

Предполагается, что силы между атомами линейны и действуют по отношению к ближайшим соседям, и они представлены упругой пружиной. Предполагается, что каждый атом представляет собой точечную частицу, а ядро ​​и электроны движутся ступенчато ( адиабатическая теорема ):

п - 1   п   п + 1   ←   а   →

···о++++++о++++++о++++++о++++++о++++++о++++++о++++ ++о++++++о++++++о···

→→  →  →→→

ты _{п - 1}   ты _п   ты _{п + 1}

где n обозначает n- й атом из общего количества N , a — расстояние между атомами, когда цепь находится в равновесии, а un _— смещение n- го атома из положения равновесия.

Если C — упругая постоянная пружины, а m — масса атома, то уравнение движения n- го атома имеет вид

$-2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.$

Это система связанных уравнений.

Поскольку ожидается, что решения будут колебательными, новые координаты определяются дискретным преобразованием Фурье , чтобы отделить их.

Помещать

$u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.$

Здесь na соответствует непрерывной переменной x скалярной теории поля и переходит к ней. Q k _{нормальные} известны как координаты , моды непрерывного поля φ _k .

Подстановка в уравнение движения дает следующие несвязанные уравнения (это требует значительных манипуляций с использованием соотношений ортонормированности и полноты дискретного преобразования Фурье):

$2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.$

Это уравнения для разделенных гармонических осцилляторов , которые имеют решение

$Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.$

Каждая нормальная координата Qk _, представляет собой независимую колебательную моду решетки с волновым числом k называемую нормальной модой .

Второе уравнение для ωk _между известно как дисперсионное соотношение угловой частотой и волновым числом .

В континуума пределе a → 0, N → ∞, с Na фиксированным , un _и → φ ( x ) , скалярное поле $\omega (k)\propto ka$. Это составляет классическую свободную скалярную теорию поля , совокупность независимых осцилляторов.

Квантовое лечение

Одномерная квантовомеханическая гармоническая цепочка состоит из N одинаковых атомов. Это простейшая квантовомеханическая модель решетки, позволяющая возникать из нее фононам. Формализм этой модели легко обобщается на два и три измерения.

В отличие от предыдущего раздела, положения масс обозначаются не u _i , а вместо этого x ₁ , x ₂ ..., измеренные от их равновесных положений (т. е. x _i = 0, если i частица в положении равновесия.) В двух или более измерениях x _i являются векторными величинами. Гамильтониан есть для этой системы

${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}$

где m — масса каждого атома (при условии, что она одинакова для всех), а x _i и pi _— операторы положения и импульса соответственно для i -го атома, а сумма производится по ближайшим соседям (nn). Однако можно ожидать, что в решетке могут возникать и волны, ведущие себя как частицы. принято иметь дело С волнами в пространстве Фурье используются нормальные моды волнового вектора , где в качестве переменных вместо координат частиц . Число нормальных мод совпадает с числом частиц. Тем не менее, пространство Фурье очень полезно, учитывая периодичность системы.

k и N « _{сопряженных} Может быть введен набор N «нормальных координат» Q k, определяемых как импульсов » дискретные преобразования Фурье x _Π k , определенных как _{преобразования} Фурье p _k :

${\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}$

Величина k _n оказывается волновым числом фонона, т. е. 2 π, деленным на длину волны .

Этот выбор сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов.

${\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}$

Из общего результата

${\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}$

Термин потенциальной энергии

${\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}$

где

$\omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|$

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

${\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)$

Связи между переменными положения были преобразованы; если бы Q и Π были эрмитовыми (а это не так), преобразованный гамильтониан описывал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты периодические накладываются граничные условия, определяющие ( N + 1)-й атом как эквивалент первого атома. Физически это соответствует соединению концов цепи. Результирующее квантование

$k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\$

Верхняя граница n определяется минимальной длиной волны, которая в два раза превышает шаг решетки a , как обсуждалось выше.

Собственные значения гармонического осциллятора или уровни энергии для моды ω _k :

$E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots$

Уровни равномерно распределены:

${\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots$

где ⁠ 1/2 ħω гармонического ⁠ — энергия нулевой точки квантового осциллятора .

Точное должно быть передано в решетку гармонического осциллятора , количество энергии ħω чтобы перевести ее на следующий энергетический уровень. По аналогии с фотонным случаем, когда электромагнитное поле квантовано, квант колебательной энергии называется фононом.

Все квантовые системы одновременно проявляют волновые и корпускулярные свойства. Частичные свойства фонона лучше всего понять, используя методы вторичного квантования и операторные методы, описанные позже.

Смотрите также: Каноническое квантование § Действительное скалярное поле

Трехмерная решетка

Это можно обобщить на трехмерную решетку. Волновое число k заменяется трехмерным волновым вектором k . Более того, каждый k теперь связан с тремя нормальными координатами.

Новые индексы s = 1, 2, 3 обозначают поляризацию фононов. В одномерной модели движение атомов было ограничено, поэтому фононы соответствовали продольным волнам . В трех измерениях вибрация не ограничивается направлением распространения и может также возникать в перпендикулярных плоскостях, как поперечные волны . Это приводит к появлению дополнительных нормальных координат, которые, как показывает форма гамильтониана, мы можем рассматривать как независимые разновидности фононов.

Дисперсионное соотношение

Дисперсионные кривые в линейной двухатомной цепочке

Оптические и акустические колебания в линейной двухатомной цепочке.

Колебания двухатомной цепочки на разных частотах.

Дисперсионное соотношение ω = ω ( k ) для некоторых волн, соответствующих колебаниям решетки в GaAs.

Для одномерного чередующегося массива двух типов ионов или атомов масс m ₁ , m _{2 ,} повторяющихся периодически на расстоянии a , соединенных пружинами с жесткостью пружины K , возникают два режима вибрации:

$\omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},$

где k — волновой вектор вибрации, связанный с ее длиной волны соотношением $k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}$.

Связь между частотой и волновым вектором ω = ω ( k ) известна как дисперсионное соотношение . Знак плюс соответствует так называемому оптическому режиму, а знак минус – акустическому режиму. В оптическом режиме два соседних разных атома движутся друг против друга, а в акустическом режиме они движутся вместе.

Скорость распространения акустического фонона, которая также является скоростью звука в решетке, определяется наклоном закона акустической дисперсии: ⁠ ∂ ω _k / ∂ k ⁠ (см. групповую скорость .) При малых значениях k (т. е. длинных волнах) дисперсионный закон почти линейен, а скорость звука равна примерно ωa , не зависящая от частоты фононов. В результате пакеты фононов с разными (но длинными) длинами волн могут распространяться на большие расстояния по решетке, не распадаясь. Это причина того, что звук распространяется через твердые тела без значительных искажений. Такое поведение не работает при больших значениях k , т.е. при коротких длинах волн, из-за микроскопических деталей решетки.

Для кристалла, имеющего в своей примитивной ячейке хотя бы два атома , дисперсионные соотношения проявляют два типа фононов, а именно оптические и акустические моды, соответствующие верхней синей и нижней красной кривой на диаграмме соответственно. Вертикальная ось — это энергия или частота фонона, а горизонтальная ось — волновой вектор . Границы в — ⁠ π / а ⁠ и ⁠ π / a ⁠ — это зоны первой зоны Бриллюэна . Кристалл с N ≥ 2 различными атомами в примитивной ячейке демонстрирует три акустические моды: одну продольную акустическую моду и две поперечные акустические моды . Число оптических мод составляет 3 N – 3. На нижнем рисунке показаны дисперсионные соотношения для нескольких фононных мод в GaAs в зависимости от волнового вектора k в главных направлениях его зоны Бриллюэна.

Моды также называют ветвями фононной дисперсии. В общем, если в примитивной элементарной ячейке есть p-атомы (обозначенные ранее N), в трехмерном кристалле будет 3p-ветви дисперсии фононов. Из них 3 ветви соответствуют акустическим модам, а остальные 3p-3 ветви будут соответствовать оптическим модам. В некоторых особых направлениях некоторые ветви совпадают из-за симметрии. Эти ветви называются вырожденными. В акустических модах все p-атомы колеблются синфазно. Поэтому никаких изменений в относительных смещениях этих атомов при распространении волны не происходит.

Исследование дисперсии фононов полезно для моделирования распространения звуковых волн в твердых телах, которое характеризуется фононами. Энергия каждого фонона, как указано ранее, равна ħω. Скорость волны также выражается через ω и k . Направление волнового вектора — это направление распространения волны, а вектор поляризации фононов определяет направление вибрации атомов. Действительно, вообще говоря, скорость волны в кристалле различна для разных направлений k. Другими словами, большинство кристаллов анизотропны для распространения фононов.

Волна является продольной, если атомы колеблются в том же направлении, в котором распространяется волна. В поперечной волне атомы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. Однако, за исключением изотропных кристаллов, волны в кристалле не являются точно продольными или поперечными. Для обычных анизотропных кристаллов фононные волны являются продольными или поперечными только в некоторых особых направлениях симметрии. В других направлениях они могут быть почти продольными или почти поперечными. Лишь для удобства маркировки их часто называют продольными или поперечными, но на самом деле они являются квазипродольными или квазипоперечными. Обратите внимание, что в трехмерном случае в каждой точке прямой есть два направления, перпендикулярных прямой. Следовательно, на каждую (квази)продольную волну всегда приходится две (квази)поперечные волны.

Многие кривые дисперсии фононов были измерены методом неупругого рассеяния нейтронов .

Физика звука в жидкостях отличается от физики звука в твердых телах, хотя обе они являются волнами плотности: звуковые волны в жидкостях имеют только продольные компоненты, тогда как звуковые волны в твердых телах имеют продольные и поперечные компоненты. Это связано с тем, что жидкости не могут выдерживать напряжения сдвига (но см. вязкоупругие жидкости, которые применимы только к высоким частотам).

Интерпретация фононов с использованием методов вторичного квантования

Выведенный выше гамильтониан может выглядеть как классическая функция Гамильтона, но если его интерпретировать как оператор , то он описывает квантовую теорию поля невзаимодействующих бозонов . Метод второго квантования , аналогичный методу лестничного оператора , используемому для квантовых гармонических осцилляторов , представляет собой средство извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциальных уравнений. Учитывая гамильтониан, ${\mathcal {H}}$, а также сопряженное положение, $Q_{k}$, и сопряженный импульс $\Pi _{k}$ определенные в разделе квантовой обработки выше, мы можем определить операторы создания и уничтожения :

$b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)$ и ${b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)$

Следующие коммутаторы можно легко получить, подставив в каноническое коммутационное соотношение :

$\left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0$

Используя это, операторы b _k ^† и b _k можно инвертировать, чтобы переопределить сопряженное положение и импульс как:

$Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)$ и $\Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)$

Непосредственно заменив эти определения на $Q_{k}$ и $\Pi _{k}$ в гамильтониан пространства волновых векторов, как он определен выше, и тогда упрощение приводит к тому, что гамильтониан принимает форму:

${\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)$

Это известно как метод второго квантования, также известный как формулировка числа заполнения, где n _k = b _k ^† b _k – номер занятия. Можно увидеть, что это сумма N независимых гамильтонианов осциллятора, каждый из которых имеет уникальный волновой вектор и совместим с методами, используемыми для квантового гармонического осциллятора (обратите внимание, что является _nk эрмитовым ) . Когда гамильтониан можно записать как сумму коммутирующих субгамильтонианов, собственные состояния энергии будут задаваться произведениями собственных состояний каждого из отдельных субгамильтонианов. Соответствующий энергетический спектр тогда задается суммой отдельных собственных значений субгамильтонианов.

Как и в случае с квантовым гармоническим осциллятором, можно показать, что b _k ^† и bk _k поля — фонон с энергией ħω _{соответственно создают и уничтожают одно возбуждение} .

С помощью этого метода можно вывести три важных свойства фононов. Во-первых, фононы являются бозонами , поскольку любое количество одинаковых возбуждений может быть создано повторным применением оператора рождения b _k ^† . Во-вторых, каждый фонон представляет собой «коллективную моду», вызванную движением каждого атома решетки. Это можно увидеть из того факта, что операторы создания и уничтожения, определенные здесь в пространстве импульсов, содержат суммы по операторам положения и импульса каждого атома, когда они записаны в пространстве позиций (см. Пространство позиций и импульсов ). Наконец, используя положение-положение корреляционную функцию , можно показать, что фононы действуют как волны смещения решетки.

Этот метод легко обобщается на три измерения, где гамильтониан принимает форму:

${\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).$

Что можно интерпретировать как сумму 3N гамильтонианов независимых осцилляторов, по одному на каждый волновой вектор и поляризацию.

Акустические и оптические фононы

Твердые тела с более чем одним атомом в наименьшей элементарной ячейке обладают двумя типами фононов: акустическими фононами и оптическими фононами.

Акустические фононы представляют собой когерентные движения атомов решетки из положений равновесия. Если смещение происходит по направлению распространения, то в одних областях атомы будут ближе, в других дальше друг от друга, как в звуковой волне в воздухе (отсюда и название акустическая). Смещение, перпендикулярное направлению распространения, сравнимо с волнами на струне. Если длина волны акустических фононов стремится к бесконечности, это соответствует простому смещению всего кристалла, а это требует нулевой энергии деформации. Акустические фононы демонстрируют линейную зависимость между частотой и волновым вектором фонона для длинных волн. Частоты акустических фононов стремятся к нулю с увеличением длины волны. Продольные и поперечные акустические фононы часто обозначают LA и TA фононами соответственно.

Оптические фононы представляют собой противофазные движения атомов в решетке: один атом движется влево, а его сосед вправо. Это происходит, если основа решетки состоит из двух и более атомов. Их называют оптическими, потому что в ионных кристаллах, таких как хлорид натрия , флуктуации смещения создают электрическую поляризацию, которая соединяется с электромагнитным полем. Следовательно, они могут быть возбуждены инфракрасным излучением , электрическое поле света будет перемещать каждый положительный ион натрия в направлении поля, а каждый отрицательный ион хлорида - в другом направлении, заставляя кристалл вибрировать.

Оптические фононы имеют ненулевую частоту в центре зоны Бриллюэна и не демонстрируют дисперсии вблизи этого длинноволнового предела. Это связано с тем, что они соответствуют режиму вибрации, при котором положительные и отрицательные ионы в соседних узлах решетки колеблются друг против друга, создавая изменяющийся во времени электрический дипольный момент . Оптические фононы, взаимодействующие таким образом со светом, называются инфракрасно-активными . Оптические фононы, активные при комбинационном рассеянии света , также могут косвенно взаимодействовать со светом посредством комбинационного рассеяния света . Оптические фононы часто обозначаются сокращенно как LO и TO фононы для продольных и поперечных мод соответственно; расщепление между частотами LO и TO часто точно описывается соотношением Лиддейна-Сакса-Теллера .

При экспериментальном измерении энергии оптических фононов частоты оптических фононов иногда обозначаются в виде спектроскопических волновых чисел , где символ ω представляет собой обычную частоту (а не угловую частоту) и выражается в единицах см. ⁻¹ . Значение получается путем деления частоты на скорость света в вакууме . Другими словами, волновое число в см ⁻¹ единиц соответствует обратной длине волны фотона в вакууме, который имеет ту же частоту , что и измеренный фонон.

Кристаллический импульс

Основная статья: Кристаллический импульс

k-векторы, превышающие первую зону Бриллюэна (красный), несут не больше информации, чем их коллеги (черный) в первой зоне Бриллюэна.

По аналогии с фотонами и волнами материи , фононы рассматривались с волновым вектором k так, как если бы он имел импульс ħk ; однако это не совсем верно, поскольку ħk на самом деле не является физическим импульсом; его называют кристаллическим импульсом или псевдоимпульсом . Это связано с тем, что k определяется только с точностью до сложения постоянных векторов ( векторов обратной решетки и их целых кратных). Например, в одномерной модели нормальные координаты Q и Π определяются так, что

$Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}$

где

$K={\frac {2n\pi }{a}}$

для любого целого числа n . Таким образом, фонон с волновым числом k эквивалентен бесконечному семейству фононов с волновыми числами k ± ⁠ 2 π / а ⁠ , k ± ⁠ 4 π / a ⁠ и так далее. Физически векторы обратной решетки действуют как дополнительные порции импульса, которые решетка может передать фонону. Блоховские электроны подчиняются аналогичному набору ограничений.

Зоны Бриллюэна: (а) в квадратной решетке, (б) в гексагональной решетке

Обычно удобно рассматривать фононные волновые векторы k , имеющие наименьшую величину | к | в их «семье». Набор всех таких волновых векторов определяет первую зону Бриллюэна . Дополнительные зоны Бриллюэна можно определить как копии первой зоны, сдвинутые на некоторый вектор обратной решетки.

Термодинамика

Термодинамические . свойства твердого тела напрямую связаны с его фононной структурой Весь набор всех возможных фононов, описываемых соотношениями фононной дисперсии, объединяется в так называемую плотность фононных состояний , которая определяет теплоемкость кристалла. По характеру этого распределения в теплоемкости преобладает высокочастотная часть распределения, а в теплопроводности – преимущественно низкочастотная область.

При абсолютной нулевой температуре кристаллическая решетка находится в основном состоянии и не содержит фононов. Решетка при ненулевой температуре имеет энергию, которая не является постоянной, а хаотически колеблется около некоторого среднего значения . Эти колебания энергии вызваны случайными колебаниями решетки, которую можно рассматривать как газ фононов. Поскольку эти фононы генерируются температурой решетки, их иногда называют тепловыми фононами.

Тепловые фононы могут создаваться и разрушаться случайными колебаниями энергии. На языке статистической механики это означает, что химический потенциал присоединения фонона равен нулю. Такое поведение является продолжением гармонического потенциала в ангармонический режим. Поведение тепловых фононов аналогично фотонному газу, создаваемому электромагнитной полостью , где фотоны могут излучаться или поглощаться стенками полости. Это сходство не случайно, поскольку оказывается, что электромагнитное поле ведет себя как набор гармонических осцилляторов, порождая излучение черного тела . Оба газа подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна : в тепловом равновесии и в гармоническом режиме вероятность обнаружения фононов или фотонов в заданном состоянии с заданной угловой частотой равна:

$n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}$

где ω _{k , s} — частота фононов (или фотонов) в состоянии, k _B — постоянная Больцмана , а T — температура.

Фононное туннелирование

Было показано, что фононы проявляют поведение квантового туннелирования (или фононного туннелирования ), когда через зазоры шириной до нанометра тепло может течь через фононы, которые «туннелируют» между двумя материалами. Этот тип теплопередачи работает на расстояниях, слишком больших для проводимости возникновения излучения , но слишком малых для возникновения , и поэтому не может быть объяснен классическими моделями теплопередачи .

Операторный формализм

Фононный гамильтониан имеет вид

${\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)$

Что касается операторов создания и уничтожения , они задаются формулой

${\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }$

Здесь, выражая гамильтониан в операторном формализме, мы не учли ⁠ 1 / 2 ⁠ ħω _q термин, поскольку для заданной континуума или бесконечной решетки ⁠ 1/2 бесконечный членов ⁠ ħω _q сложатся, давая член . Поскольку мы измеряем разницу в энергии, а не ее абсолютное значение, постоянный член ⁠ 1/2 можно игнорировать , ħω ⁠ q _. не меняя уравнений движения Следовательно, ⁠ 1/2 - для ⁠ ħω _q фактор отсутствует в операторно-формализованном выражении гамильтониана .

Основное состояние, также называемое « вакуумным состоянием », — это состояние, в котором отсутствуют фононы. Следовательно, энергия основного состояния равна 0. Когда система находится в состоянии | n ₁ n ₂ n ₃ …⟩ мы говорим, что существует n _α фононов типа α , где n _α — число заполнения фононов. Энергия одного фонона типа α определяется выражением ħω _q , а полная энергия общей фононной системы определяется выражением n ₁ ħω ₁ + n ₂ ħω ₂ +.... Поскольку перекрестных членов нет (например, n ₁ ħω ₂ ), фононы называются невзаимодействующими. Действие операторов создания и уничтожения определяется следующим образом:

${a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }$

и,

$a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }$

Оператор α _{создания} ^† создает фонон типа α а α _, аннигилирует его. Следовательно, они являются соответственно операторами рождения и уничтожения фононов. Аналогично случаю квантового гармонического осциллятора , мы можем определить оператор числа частиц как

$N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.$

Числовой оператор коммутирует со строкой произведений операторов рождения и уничтожения тогда и только тогда, когда количество операторов создания равно числу операторов уничтожения.

Можно показать, что фононы симметричны относительно обмена (т. е. | α , β ⟩ = | β , α ⟩ ), поэтому их считают бозонами .

Нелинейность

Как и фотоны , фононы могут взаимодействовать посредством параметрического преобразования с понижением частоты. и образуют сжатые когерентные состояния .

Прогнозируемые свойства

Недавние исследования показали, что фононы и ротоны могут иметь значительную массу и подвергаться воздействию гравитации так же, как и стандартные частицы. В частности, предсказано, что фононы будут иметь своего рода отрицательную массу и отрицательную гравитацию. Это можно объяснить тем, что фононы, как известно, движутся быстрее в более плотных материалах. Поскольку часть материала, направленная к источнику гравитации, находится ближе к объекту, на этом конце он становится плотнее. Исходя из этого, прогнозируется, что фононы будут отклоняться, когда они обнаруживают разницу в плотностях, проявляя качества отрицательного гравитационного поля. Хотя эффект будет слишком мал, чтобы его можно было измерить, вполне возможно, что будущее оборудование может привести к успешным результатам.

Сверхпроводимость

Сверхпроводимость — это состояние электронной материи, при котором электрическое сопротивление исчезает, а магнитные поля вытесняются из материала. В сверхпроводнике электроны связаны в куперовские пары слабой силой притяжения. В обычном сверхпроводнике это притяжение вызвано обменом фононами между электронами. Доказательством того, что фононы, колебания ионной решетки, имеют отношение к сверхпроводимости, служит изотопический эффект — зависимость критической температуры сверхпроводимости от массы ионов.

Другие исследования

В 2019 году исследователям впервые удалось изолировать отдельные фононы, не разрушая их.

Также было показано, что они образуют «фононные ветры», когда электрический ток на поверхности графена генерируется потоком жидкости над ней из-за сил вязкости на границе раздела жидкость-твердое тело.

См. также

• Бозон
• Бриллюэновское рассеяние
• Фрактон
• Линейная эластичность
• Механическая волна
• Рассеяние фононов
• Рассеяние несущих
• Фононный кристалл
• Волна Рэлея
• Релятивистская теплопроводность
• Жесткие режимы агрегата
• САСЕР
• Второй звук
• Поверхностная акустическая волна
• Поверхностный фонон
• Теплопроводность
• Вибрация

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с Фононом , в Wikiquote
• Объяснение: Фононы , MIT News, 2010.
• Оптические и акустические режимы
• Фононы в одномерном микрофлюидном кристалле [1] и [2] с фильмами в [3] .