Авраам де Муавр

Авраам де Муавр
ФРС
Авраам де Муавр ФРС
Рожденный	26 мая 1667 г. ; Витри-ле-Франсуа , Королевство Франция
Умер	27 ноября 1754 г. (87 лет) ; Лондон , Англия
Альма-матер	Академия Сомюра ; Колледж Харкорта [ фр ]
Известный	Формула де Муавра ; Закон де Муавра ; Мартингейл Де Муавра ; Теорема Де Муавра – Лапласа ; Принцип включения-исключения ; Генерирующая функция
	Научная карьера
Поля	Математика

Авраам де Муавр ФРС ( Французское произношение: [abʁaam də mwavʁ] ; 26 мая 1667 — 27 ноября 1754) — французский математик, известный формулой де Муавра , формулой, связывающей комплексные числа и тригонометрию , а также своими работами по нормальному распределению и теории вероятностей .

Он переехал в Англию в молодом возрасте из-за религиозных преследований гугенотов во Франции, которые достигли апогея в 1685 году с Указом Фонтенбло . ^[1]Он был другом Исаака Ньютона , Эдмонда Галлея и Джеймса Стирлинга . Среди своих собратьев-гугенотов, изгнанных в Англии, он был коллегой редактора и переводчика Пьера де Мезо .

Де Муавр написал книгу по вероятностей теории «Доктрина шансов» , которую, как говорят, высоко ценили игроки. Де Муавр первым открыл формулу Бине — выражение в замкнутой форме для чисел Фибоначчи, связывающее n -ю степень золотого сечения φ с n-м числом Фибоначчи. Он также был первым, кто постулировал центральную предельную теорему , краеугольный камень теории вероятностей.

Жизнь

Ранние годы

Авраам де Муавр родился в Витри-ле-Франсуа в Шампани 26 мая 1667 года. Его отец, Даниэль де Муавр, был хирургом, который верил в ценность образования. Хотя родители Авраама де Муавра были протестантами, сначала он посещал католическую школу «Христианские братья» в Витри, которая была необычайно терпимой, учитывая религиозную напряженность во Франции в то время. Когда ему было одиннадцать, родители отправили его в протестантскую академию в Седане , где он провел четыре года, изучая греческий язык под руководством Жака дю Ронделя. Протестантская академия Седана была основана в 1579 году по инициативе Франсуазы де Бурбон, вдовы Анри-Робера де ла Марка.

В 1682 году протестантская академия в Седане была закрыта, и де Муавр поступил на два года изучать логику в Сомюре . Хотя математика не была частью его курсовой работы, де Муавр самостоятельно прочитал несколько работ по математике, в том числе «Элементы математики» французского ораторского священника и математика Жана Престе и краткий трактат об азартных играх « De Ratiociniis in Ludo Aleae » Христиан Гюйгенс — голландский физик, математик, астроном и изобретатель. В 1684 году де Муавр переехал в Париж, чтобы изучать физику, и впервые получил формальное математическое образование под частными уроками Жака Озанама .

Религиозные преследования во Франции стали жестокими, когда король Людовик XIV издал Фонтенблоский эдикт в 1685 году, отменивший Нантский эдикт , который давал значительные права французским протестантам. Он запрещал протестантское богослужение и требовал, чтобы всех детей крестили католические священники. Де Муавра отправили в Приоре Сен-Мартен-де-Шан, школу, куда власти отправляли протестантских детей для идеологической обработки в католицизме.

Неясно, когда де Муавр покинул Приорат Сен-Мартен и переехал в Англию, поскольку в записях Приора Сен-Мартен указано, что он покинул школу в 1688 году, но де Муавр и его брат представились гугенотами, допущенными к Савойская церковь в Лондоне 28 августа 1687 года.

Средние годы

К моменту прибытия в Лондон де Муавр был компетентным математиком, хорошо знающим многие стандартные тексты. ^[1] Чтобы заработать на жизнь, де Муавр стал частным репетитором по математике , посещая своих учеников или преподавая в кофейнях Лондона. Де Муавр продолжил свои исследования математики после посещения графа Девоншира и просмотра недавней книги Ньютона Principia Mathematica . Просматривая книгу, он понял, что она намного глубже, чем книги, которые он изучал ранее, и решил прочитать и понять ее. Однако, поскольку ему приходилось совершать длительные прогулки по Лондону, чтобы перемещаться между своими учениками, у де Муавра было мало времени для учебы, поэтому он вырывал страницы из книги и носил их в кармане, чтобы читать между уроками.

Согласно, возможно, апокрифической истории, Ньютон в последние годы своей жизни отсылал людей, задававших ему математические вопросы, к Муаву, говоря: «Он знает все эти вещи лучше, чем я». ^[2]

К 1692 году Муавр подружился с Эдмоном Галлеем , а вскоре и с самим Исааком Ньютоном . первую математическую статью Муавра, ставшую результатом его исследования флюксий в Principia Mathematica В 1695 году Галлей передал Королевскому обществу . Эта статья была опубликована в журнале Philosophical Transactions в том же году. Ньютона Вскоре после публикации этой статьи де Муавр также обобщил примечательную биномиальную теорему в полиномиальную теорему . Королевское общество узнало об этом методе в 1697 году и 30 ноября 1697 года избрало де Муавра своим научным сотрудником.

После того как де Муавр был принят, Галлей посоветовал ему обратить свое внимание на астрономию. В 1705 году де Муавр интуитивно открыл, что «центростремительная сила любой планеты прямо связана с ее расстоянием от центра сил и обратно пропорциональна произведению диаметра эволюты и куба перпендикуляра к касательной. ." Другими словами, если планета M движется по эллиптической орбите вокруг фокуса F и имеет точку P, где PM касается кривой, а FPM — прямой угол, так что FP — перпендикуляр к касательной, тогда центростремительная сила в точке P пропорциональна FM/(R*(FP) ³) где R — радиус кривизны в точке М. Эту формулу доказал математик Иоганн Бернулли в 1710 году.

Несмотря на эти успехи, де Муавр не смог получить место на кафедре математики ни в одном университете, что освободило бы его от зависимости от отнимающего много времени репетиторства, которое обременяло его больше, чем большинство других математиков того времени. По крайней мере, отчасти причина заключалась в предвзятом отношении к его французскому происхождению. ^[3]^[4]^[5]

В ноябре 1697 года он был избран членом Королевского общества. ^[1] и в 1712 г. был назначен в комиссию, учрежденную обществом, вместе с М.М. Арбутнота, Хилла, Галлея, Джонса, Мачина, Бёрнета, Робартса, Бонета, Астона и Тейлора для рассмотрения утверждений Ньютона и Лейбница о том, кто открыл исчисление. Полную информацию о споре можно найти в статье о споре об исчислении Лейбница и Ньютона .

Всю свою жизнь де Муавр оставался бедным. Сообщается, что он был постоянным посетителем старой кофейни Slaughter's Coffee House на Сент-Мартинс-лейн на Крэнборн-стрит, где зарабатывал немного денег игрой в шахматы.

Спустя годы

Де Муавр продолжал изучать области вероятности и математики до своей смерти в 1754 году, и после его смерти было опубликовано несколько дополнительных статей. По мере того, как он становился старше, он становился все более вялым , и ему требовалось больше времени для сна. Распространено утверждение, что Де Муавр отметил, что каждую ночь он спал на 15 дополнительных минут, и правильно рассчитал дату своей смерти как день, когда время сна достигло 24 часов, 27 ноября 1754 года. ^[6] В тот день он действительно умер в Лондоне, и его тело было похоронено в церкви Святого Мартина в полях , хотя позже его тело было перенесено. Однако утверждение о том, что он предсказал свою собственную смерть, оспаривается, поскольку нигде не было задокументировано во время ее наступления. ^[7]

Вероятность

Де Муавр был пионером в развитии аналитической геометрии и теории вероятностей, расширив работы своих предшественников, особенно Христиана Гюйгенса и нескольких членов семьи Бернулли. Он также выпустил второй учебник по теории вероятностей « Доктрина шансов: метод расчета вероятностей событий в игре» . (Первая книга об азартных играх, Liber de ludo aleae ( «О бросании кубика »), была написана Джироламо Кардано в 1560-х годах, но опубликована она была только в 1663 году.) Эта книга вышла в четырёх изданиях: в 1711 году на латыни, и на английском языке в 1718, 1738 и 1756 годах. В более поздние издания своей книги де Муавр включил свой неопубликованный результат 1733 года, который представляет собой первое утверждение аппроксимации биномиального распределения в терминах того, что мы теперь называем нормальным или Функция Гаусса . ^[8] Это был первый метод нахождения вероятности появления ошибки заданного размера, когда эта ошибка выражается через изменчивость распределения как единицы, и первый метод расчета вероятной ошибки . Кроме того, он применил эти теории к проблемам азартных игр и актуарным таблицам .

Выражение, обычно встречающееся в вероятностях, — это n ! но до того, как появились калькуляторы, вычисляющие n ! для большого n отнимало много времени. В 1733 году Муавр предложил формулу для оценки факториала как n ! = сп ^{( п +1/2)}и ^{− п}. Он получил приближенное выражение для постоянной c, но именно Джеймс Стирлинг обнаружил, что c равна √ 2 $π$ . ^[9]

Де Муавр также опубликовал статью под названием «Аннуитеты за жизнь», в которой выявил нормальное распределение уровня смертности по возрасту человека. На основании этого он вывел простую формулу для аппроксимации дохода от ежегодных выплат в зависимости от возраста человека. Это похоже на формулы, используемые сегодня страховыми компаниями.

Приоритет относительно распределения Пуассона

Некоторые результаты о распределении Пуассона были впервые представлены де Муавром в De Mensura Sortis или; о вероятности событий в играх, зависящих от случайности, в философских трудах Королевского общества, с. 219. ^[10] В результате некоторые авторы утверждают, что распределение Пуассона должно носить имя Муавра. ^[11]^[12]

Формула де Муавра

В 1707 году Муавр вывел уравнение, из которого можно сделать вывод:

\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}

что он смог доказать для всех натуральных чисел n . ^[13]^[14] В 1722 году он представил уравнения, из которых можно вывести более известную форму формулы де Муавра :

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,

^[15]^[16]

В 1749 году Эйлер доказал эту формулу для любого вещественного n, используя формулу Эйлера , что делает доказательство довольно простым. ^[17] Эта формула важна, поскольку она связывает комплексные числа и тригонометрию . Кроме того, эта формула позволяет вывести полезные выражения для cos( nx ) и sin( nx ) через cos( x ) и sin( x ).

Приближение Стирлинга

Де Муавр изучал вероятность, и его исследования требовали от него расчета биномиальных коэффициентов, что, в свою очередь, требовало от него расчета факториалов. ^[18]^[19] В 1730 году Муавр опубликовал свою книгу «Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis» («Аналитический сборник рядов и интегралов»), в которую вошли таблицы логарифмов ( n !). ^[20] Для больших значений n де Муавр аппроксимировал коэффициенты членов биномиального разложения. В частности, если задано положительное целое число n , где n четное и большое, то коэффициент при среднем члене (1 + 1) ^н аппроксимируется уравнением: ^[21]^[22]

{n \choose n/2}={\frac {n!}{(({\frac {n}{2}})!)^{2}}}\approx {2^{n}}{\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}

19 июня 1729 года Джеймс Стирлинг отправил де Муару письмо, в котором иллюстрировал, как он вычислил коэффициент при среднем члене биномиального разложения (a + b). ^н для больших значений n. ^[23]^[24] В 1730 году Стирлинг опубликовал свою книгу «Methodus Differentialis» («Дифференциальный метод»), в которую включил свою серию для log( n !): ^[25]

\log _{10}(n+{\frac {1}{2}})!\approx \log _{10}{\sqrt {2\pi }}+n\log _{10}n-{\frac {n}{\ln 10}},

так что для большого $n$ , $n!\approx {\sqrt {2\pi }}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ .

12 ноября 1733 года де Муавр частным образом опубликовал и распространил брошюру — Приближение суммы биномиальных членов (a+b). ^н in Seriem expansi [Приближение суммы членов бинома (a + b) ^н расширен в серию] – в котором он признал письмо Стирлинга и предложил альтернативное выражение для центрального члена биномиального расширения. ^[26]

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Авраам де Муавр» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Беллхаус, Дэвид Р. (2011). Абрахам де Муавр: подготовка почвы для классической теории вероятности и ее приложений . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 99. ИСБН 978-1-56881-349-3 .
^ Кофлин, Раймонд Ф.; Зитарелли, Дэвид Э. (1984). Восхождение математики . МакГроу-Хилл. п. 437. ИСБН 0-07-013215-1 . К сожалению, поскольку Де Муавр не был британцем, ему так и не удалось получить должность преподавателя в университете.
^ Юнгникель, Криста ; Маккормах, Рассел (1996). Кавендиш . Мемуары Американского философского общества. Том. 220. Американское философское общество. п. 52. ИСБН 9780871692207 . Имея хорошие связи в математических кругах и высоко ценимый за свою работу, он все еще не мог найти хорошую работу. Даже его обращение в англиканскую церковь в 1705 году не могло изменить того факта, что он был иностранцем.
^ Тантон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики . Издательство информационной базы. п. 122. ИСБН 9780816051243 . Он надеялся получить должность преподавателя математики, но ему, как иностранцу, так и не предложили такую должность.
^ Каджори, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Американское математическое общество . п. 229. ИСБН 9780821821022 .
^ «Биографические подробности. Действительно ли Авраам де Муавр предсказал свою смерть?» .
^
См.:
- Авраам де Муавр (12 ноября 1733 г.) «Приближение к сумме членов бинома (a + b) ^н in seriem expansi» (самоизданная брошюра), 7 страниц.
- Английский перевод: А. Де Муавр, Доктрина шансов …, 2-е изд. (Лондон, Англия: Х. Вудфолл, 1738), стр. 235–243 .
^ Пирсон, Карл (1924). «Историческая справка о происхождении нормальной кривой ошибок». Биометрика . 16 (3–4): 402–404. дои : 10.1093/biomet/16.3-4.402 .
^ Джонсон, Н.Л., Коц, С., Кемп, А.В. (1993) Одномерные дискретные распределения (2-е издание). Уайли. ISBN 0-471-54897-9 , стр. 157.
^ Стиглер, Стивен М. (1982). «Пуассон о распределении Пуассона». Статистика и вероятностные буквы . 1 : 33–35. дои : 10.1016/0167-7152(82)90010-4 .
^ Хальд, Андерс; де Муавр, Авраам; МакКлинток, Брюс (1984). «А. де Муавр: 'De Mensura Sortis' или 'Об измерении случайности' ». Международный статистический обзор/Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045 .
^
Муавр, Аб. (1707 г.). «Аналитическое разрешение некоторых уравнений третьей, пятой, седьмой, девятой и высших степеней, продолжающихся до бесконечности, в конечных терминах, подобно правилам для кубик, которые называются Карданисами» [О некоторых уравнениях третьей, пятой, седьмой, девятая и высшая степень, вплоть до бесконечности, действуя в конечных терминах в форме правил для кубик, которые Кардано называет разрешением путем анализа.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 25 (309): 2368–2371. дои : 10.1098/rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 .
- Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009)
На стр. 2370 Муавр заявил, что если ряд имеет вид $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4 \times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{ 6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ , где n — любое заданное нечетное целое число (положительное или отрицательное) и где y и a могут быть функциями, то после решения для y результатом будет уравнение (2) на той же странице: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt [{n}]{a- {\sqrt {aa-1}}}}$ . Если y = cos x и a = cos nx, то результат будет $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$ $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\ соз(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
- В 1676 году Исаак Ньютон нашел связь между двумя аккордами, находившимися в соотношении n к 1; отношение было выражено в приведенном выше ряду. Серия появляется в письме - приора Эпистолы Д. Иссаси Ньютона, математического профессора в Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — от 13 июня 1676 г. от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; копия письма была отправлена Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. стр. 106 из: Био, Ж.-Б.; Лефорт Ф., ред. (1856). Эпистолярная переписка Дж. Коллинза и др. по вопросам анализа и т. д.: оу... (на латыни). Париж, Франция: Малле-Башелье. стр. 102–112.
- В 1698 году ту же серию вывел де Муавр. Видеть: де Муавр, А. (1698). «Метод извлечения корней бесконечного уравнения» . Философские труды Лондонского королевского общества . 20 (240): 190–193. дои : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . ; см. стр. 192.
- В 1730 году де Муавр явно рассмотрел случай, когда функциями являются cos θ и cos nθ. Видеть: Муавр, А. де (1730). Разный анализ рядов и квадратур (на латыни). Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. п. 1. Из с. 1: «Лемма 1. Если l & x — косинусы двух дуг A и B, каждая из которых описывается одним и тем же радиусом 1, причем первая из которых кратна последней в том отношении, в котором число n имеет к единству, тогда $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ . (Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, обе из которых описываются одним и тем же радиусом 1 и из которых первая кратна последней в том отношении, как число n имеет отношение к 1, то это будет быть [правдой, что] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Итак, если дуга A = n × дуга B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно, $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
См. также:
- Кантор, Мориц (1898). истории Лекции математики по Bibliotheca mathematica Teuberiana, Vol. 8–9 (на немецком языке). Том 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.
- Браунмюль, А. фон (1901). «К истории возникновения так называемой теоремы Муавра» . Библиотека Математика . 3-я серия (на немецком языке). 2 :97-102. ; см. стр. 98.
^ Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике, том 3 , Courier Dover Publications, стр. 444, ISBN 9780486646909
^
Муавр, А. де (1722). "Desectione anguli" [О разрезе угла] (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 32 (374): 228–230. дои : 10.1098/rstl.1722.0039 . S2CID 186210081 . Проверено 6 июня 2020 г.
- Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009). Архивировано 28 ноября 2020 года в Wayback Machine.
Из стр. 229:
«Пусть x будет бухтой по направлению к дуге свободной
[Пусть] клюнет на нос другого.
[Пусть] 1 будет радиусом круга.
Пусть первая дуга относится к последней как 1 к n , тогда, приняв два уравнения, которые мы можем назвать связанными, 1 — 2 z ^н + я ^22н = – 2з ^нт 1 – 2 z + zz = – 2 zx . возникнет Из точки z связь между x и t ». уравнение, посредством которого определяется
(Пусть x — версия любой дуги [т. е. x = 1 – cos θ].
[Пусть] это будет версия другой дуги.
[Пусть] 1 будет радиусом круга.
И пусть первая дуга по отношению к последней [т. е. «еще одна дуга»] равна 1 к n [так что t = 1 – cos nθ ], тогда, с учетом двух принятых уравнений, которые можно назвать связанными,1 – 2 з ^н + я ^22н = –2z ^нт 1 – 2 z + zz = – 2 zx .А за счет исключения z возникнет уравнение, по которому связь между x и t .) определяется
То есть, учитывая уравнения1 – 2 з ^н + я ^22н = – 2з ^н (1 – cos n θ)1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ),
используйте квадратичную формулу для решения z ^н в первом уравнении и для z во втором уравнении. Результат будет: z ^н = cos n θ ± i sin n θ и z = cos θ ± i sin θ, откуда сразу следует, что (cos θ ± i sin θ) ^н = потому что n θ ± я грех n θ.
См. также:
- Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике . Том. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446. см. стр. 445, сноска 1.
↑
В 1738 году Муавр использовал тригонометрию для определения корней n-й степени действительного или комплексного числа. Видеть: Муавр, А. де (1738). «О приведении радикалов к более простым терминам или об извлечении любого данного корня из бинома $a+{\sqrt {+b}}$ , хорошо $a+{\sqrt {-b}}$ . Эпистола» [О приведении радикалов к более простым терминам или об извлечении любого данного корня из бинома, $a+{\sqrt {+b}}$ или $a+{\sqrt {-b}}$ . Письмо.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 40 (451): 463–478. дои : 10.1098/rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 . Из стр. 475: «Проблема III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio impossibleli» $a+{\sqrt {-b}}$ . ... и те негативы, дуги которых больше квадранта». (Задача III. Пусть корень, индекс [т. е. степень] которого равен n, извлекается из комплексного бинома $a+{\sqrt {-b}}$ $a+{\sqrt {-b}}$ .Решение. Пусть его корень будет $x+{\sqrt {-y}}$ $x+{\sqrt {-y}}$ , то я определяю ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ ; я тоже определяю ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ [Примечание: следует читать: ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ], нарисуйте или вообразите круг, радиус которого равен ${\sqrt {m}}$ ${\sqrt {м}}$ , и предположим в этом [круге] некоторую дугу A, косинус которой равен ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ ; пусть C будет всей окружностью. Предположим, [измеренные] на одном и том же радиусе косинусы дуг ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {C-A}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$ ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {CA}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}} ,{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$ , и т. д.
до тех пор, пока множество [т. е. количество] их [т. е. дуг] не станет равным числу n; когда это будет сделано, остановитесь на этом; тогда косинусов будет столько, сколько значений величины $x$ $х$ , что связано с количеством $y$ $y$ ; это [т.е., $y$ $y$ ] всегда будет $m-xx$ $м-хх$ .
Не следует пренебрегать, хотя и упоминалось ранее, [что] те косинусы, дуги которых меньше прямого угла, следует считать положительными, а те косинусы, дуги которых больше прямого угла, [следует рассматривать как] отрицательные.)
См. также:
- Браунмюль, А. фон (1903). тригонометрии ( Лекции по истории на немецком языке). Том 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. стр. 76–77.
^ Эйлер (1749 г.). «Исследования мнимых корней уравнений» [Исследования комплексных корней уравнений]. Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке). 5 : 222–288. См. стр. 260–261: « Теорема XIII. §. 70. Из какой бы степени мы ни извлекали корень, или из действительной величины, или из мнимой вида M + N √-1, корни всегда будут, или вещественные, или мнимое того же вида M + N √-1 . (Теорема XIII. § 70. Для любой степени, будь то вещественная величина или комплексная вида M + N √−1, из которой извлекается корень, корни всегда будут либо действительными, либо комплексными той же формы M + N √−1.)
^
Де Муавр пытался определить коэффициент среднего члена (1 + 1). ^н для больших п с 1721 г. или раньше. В своей брошюре от 12 ноября 1733 г. – «Approximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a + b ) ^н in Seriem expansi» [Приближение суммы членов бинома ( a + b ) ^н расширен в серию] – де Муавр сказал, что он начал работать над этой проблемой 12 или более лет назад: «Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram;…» (Прошло уже дюжину лет или больше с тех пор, как я нашел это [ то есть, то, что следует];
- (Арчибальд, 1926), с. 677.
- (де Муавр, 1738), с. 235.
Де Муавр считает, что Александр Каминг (ок. 1690–1775), шотландский аристократ и член Лондонского королевского общества, мотивировал в 1721 году его поиск приближения для центрального члена биномиального разложения. (де Муавр, 1730), с. 99.
^
Роли де Муавра и Стирлинга в поиске приближения Стирлинга представлены в:
- Желинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства ряда Стирлинга для log (N!)» arxiv.org
- Ланье, Денис; Троту, Дидье (1998). «Формула Стирлинга» Меж-ИРЭМ комиссии по истории и эпистемологии математики (ред.). и аналитический подход: племянники Декарта: материалы 11-й меж-IREM конференции по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. 11-й меж-IREM коллоквиум по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10– 11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Институт исследований математического образования] Реймса. стр. 231–286. Анализ
^ Муавр, А. де (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Аналитический сборник рядов и квадратур [т. е. интегралов] ]. Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. стр. 103–104.
^ Со стр. 102 из (Муавр, 1730 г.) : «Задача III. Найти коэффициент при члене средней степени очень большой и четной степени или найти отношение коэффициента при среднем члене к сумме всех коэффициентов... примерно к 1 ."
(Задача 3. Найти коэффициент среднего члена [биномиального разложения] для очень большой и четной степени [ n ] или найти отношение коэффициента среднего члена к сумме всех коэффициентов.
Решение. Пусть n — степень степени, до которой бином a + b возведен , затем, полагая [оба] a и b = 1, отношение среднего члена к его степени ( a + b ) ^н или 2 ^н [Примечание: сумма всех коэффициентов биномиального разложения (1 + 1) ^н 2 ^н.] будет почти таким же ${\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ до 1.
Но когда какой-то ряд для исследования мог быть определен более точно, [но] был проигнорирован из-за недостатка времени, я затем вычисляю путем повторного интегрирования, [и] восстанавливаю для использования отдельные количества, [которыми] ранее пренебрегали; так получилось, что я наконец смог заключить, что искомое соотношение примерно равно ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ или ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}$ до 1.)
Приближение ${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ взято на стр. 124–128 из (de Moivre, 1730).
^
Де Муавр определил значение константы $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ аппроксимируя значение ряда, используя только его первые четыре члена. Де Муавр думал, что ряд сходится, но английский математик Томас Байес (ок. 1701–1761) обнаружил, что ряд на самом деле расходится. Со стр. 127–128 (Де Муавр, 1730 г.): «Cum vero perciperem имеет серию valde implicatas evadere,… вывод факторем 2,168 seu ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ( Но когда я задумал, [как] избежать этих очень сложных рядов — хотя все они были совершенно суммируемы, — я думаю, что [не было] ничего другого, что можно было бы сделать, кроме как преобразовать их к бесконечному случаю; таким образом, присвойте m значение бесконечности, то сумма первого рационального ряда сократится до 1/12, сумма второго [сократится] до 1/360, таким образом бывает, что суммы всех рядов получаются из этого одного ряда; $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ и т. д., можно будет отбросить столько терминов, сколько пожелает; но я решил [сохранить] четыре [члена] этой [серии], потому что их было достаточно, [как] достаточно точное приближение; теперь, когда этот ряд сходится, тогда его члены уменьшаются с чередующимися положительными и отрицательными знаками, [и] можно сделать вывод, что первый член 1/12 больше [чем] суммы ряда, или первый член больше [чем ] разница, которая существует между всеми положительными терминами и всеми отрицательными терминами; но этот член следует рассматривать как гиперболический [т. е. натуральный] логарифм; кроме того, число, соответствующее этому логарифму, составляет почти 1,0869 [т. е. ln (1,0869) ≈ 1/12], что при умножении на 2 произведение будет 2,1738, и, таким образом, [в случае возведения бинома] к бесконечная мощность, обозначаемая n, величина $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ будет больше, чем отношение среднего члена бинома к сумме всех членов, а переходя к остальным членам, обнаружится, что коэффициент 2,1676 как раз меньше [чем отношение среднего члена к сумме из всех членов], и аналогично, что 2,1695 больше, в свою очередь, что 2,1682 опускается немного ниже истинного [значения отношения]; учитывая это, я пришел к выводу, что коэффициент [составляет] 2,168 или ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ Примечание. Фактор, который искал Муавр, заключался в следующем: ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots$ ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots$ (Ланье и Троту, 1998), с. 237.
- Байес, Томас (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного г-на Байеса, ФРС, Джону Кантону, Массачусетс и ФРС». Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 269–271. дои : 10.1098/rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .
^ (де Муавр, 1730), стр. 170–172.
↑
В письме Стирлинга от 19 июня 1729 года Муару Стирлинг заявил, что он написал Александру Кьюмингу «quadrienium circiter abhinc» (около четырех лет назад [т. е. 1725 г.]) о (среди прочего) аппроксимации с использованием теории Исаака Ньютона. метод дифференциалов, коэффициент при среднем члене биномиального разложения. Стирлинг признал, что де Муавр решил проблему несколькими годами ранее: «…; ответьте Illustrissimus vir se dubitare an Issuea a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias». (...; этот самый прославленный человек [Александр Каминг] ответил, что он сомневается в том, что проблема, решенная вами несколькими годами ранее, касающаяся поведения среднего члена любой степени бинома, может быть решена с помощью дифференциалов.) Стирлинг писал что затем он начал исследовать проблему, но поначалу его прогресс был медленным.
- (де Муавр, 1730), с. 170.
- Забелл, С.Л. (2005). Симметрия и ее недостатки: Очерки истории индуктивной вероятности . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ИСБН 9780521444705 .
^
См.:
- Стерлинг, Джеймс (1730). Дифференциальный метод... (на латыни). Лондон: Г. Страхан. п. 137. Со с. 137: «Кроме того, если вам нужна сумма любого количества натуральных логарифмов чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., пусть z-n будет последним из чисел, причем n = ½; и три или четыре термины из этой серии $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ [Примечание: l,z = log(z)] добавление к логарифму окружности круга, радиус которого равен единице, то есть к этому 0,39908,99341,79, даст искомую сумму, и это с меньшими усилиями, поскольку их больше Логарифмы надо складывать». (Более того, если вы хотите получить сумму любого количества логарифмов натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., установите z–n как последнее число, n равно ½; и три или четыре члена этой серии $z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ добавление к [половине] логарифма длины окружности, радиус которого равен единице [т.е. ½ log(2 $π$ )] – то есть [добавлено] к этому: 0,39908,99341,79 – даст искомую сумму , и чем больше логарифмов [которые] нужно добавить, тем меньше это работы.) Примечание: $a=0.434294481903252$ (См. стр. 135.) = 1/ln(10).
- Английский перевод: Стерлинг, Джеймс (1749). Дифференциальный метод . Перевод Холлидея, Фрэнсиса. Лондон, Англия: Э. Кейв. п. 121. [Примечание: принтер неправильно пронумеровал страницы этой книги, так что страница 125 пронумерована как «121», страница 126 — как «122» и так далее до стр. 121. 129.]
^
См.:
- Арчибальд, Р.К. (октябрь 1926 г.). «Редкая брошюра о Муавре и некоторых его открытиях». Исида (на английском и латыни). 8 (4): 671–683. дои : 10.1086/358439 . S2CID 143827655 .
- Английский перевод брошюры опубликован в: Муавр, Авраам де (1738). Доктрина шансов… (2-е изд.). Лондон, Англия: Самостоятельная публикация. стр. 235–243.

Ссылки

де Муавра См. Miscellanea Analytica (Лондон: 1730), стр. 26–42.
HJR Мюррей , 1913. История шахмат . Издательство Оксфордского университета: стр. 846.
Шнайдер И., 2005, «Учение о шансах» в книге Граттан-Гиннесс, И. , изд., «Веховые статьи в западной математике» . Эльзевир: стр. 105–20.

Дальнейшее чтение

«Де Муавр, Авраам» . Архивировано из оригинала 19 декабря 2007 года . Проверено 15 июня 2002 г.
«Авраам Демуавр » энциклопедия Британская Том. VII (9-е изд.). 1878. с. 60
Доктрина шанса на MathPages.
Биография (PDF) , Мэтью Мэти Биография Авраама Де Муавра , переведенная, аннотированная и дополненная .
де Муавр, О законе нормальной вероятности.

[mactutor-1] Jump up to: ^а ^б ^с О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Авраам де Муавр» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[2] Беллхаус, Дэвид Р. (2011). Абрахам де Муавр: подготовка почвы для классической теории вероятности и ее приложений . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 99. ИСБН 978-1-56881-349-3 .

[3] Кофлин, Раймонд Ф.; Зитарелли, Дэвид Э. (1984). Восхождение математики . МакГроу-Хилл. п. 437. ИСБН 0-07-013215-1 . К сожалению, поскольку Де Муавр не был британцем, ему так и не удалось получить должность преподавателя в университете.

[4] Юнгникель, Криста ; Маккормах, Рассел (1996). Кавендиш . Мемуары Американского философского общества. Том. 220. Американское философское общество. п. 52. ИСБН 9780871692207 . Имея хорошие связи в математических кругах и высоко ценимый за свою работу, он все еще не мог найти хорошую работу. Даже его обращение в англиканскую церковь в 1705 году не могло изменить того факта, что он был иностранцем.

[5] Тантон, Джеймс Стюарт (2005). Энциклопедия математики . Издательство информационной базы. п. 122. ИСБН 9780816051243 . Он надеялся получить должность преподавателя математики, но ему, как иностранцу, так и не предложили такую должность.

[Cajori-History-6] Каджори, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Американское математическое общество . п. 229. ИСБН 9780821821022 .

[hsmstex-7] «Биографические подробности. Действительно ли Авраам де Муавр предсказал свою смерть?» .

[8] См.:
Авраам де Муавр (12 ноября 1733 г.) «Приближение к сумме членов бинома (a + b) ^н in seriem expansi» (самоизданная брошюра), 7 страниц.
Английский перевод: А. Де Муавр, Доктрина шансов …, 2-е изд. (Лондон, Англия: Х. Вудфолл, 1738), стр. 235–243 .

[9] Авраам де Муавр (12 ноября 1733 г.) «Приближение к сумме членов бинома (a + b) ^н in seriem expansi» (самоизданная брошюра), 7 страниц.

[10] Английский перевод: А. Де Муавр, Доктрина шансов …, 2-е изд. (Лондон, Англия: Х. Вудфолл, 1738), стр. 235–243 .

[9] Пирсон, Карл (1924). «Историческая справка о происхождении нормальной кривой ошибок». Биометрика . 16 (3–4): 402–404. дои : 10.1093/biomet/16.3-4.402 .

[JKK157-10] Джонсон, Н.Л., Коц, С., Кемп, А.В. (1993) Одномерные дискретные распределения (2-е издание). Уайли. ISBN 0-471-54897-9 , стр. 157.

[11] Стиглер, Стивен М. (1982). «Пуассон о распределении Пуассона». Статистика и вероятностные буквы . 1 : 33–35. дои : 10.1016/0167-7152(82)90010-4 .

[12] Хальд, Андерс; де Муавр, Авраам; МакКлинток, Брюс (1984). «А. де Муавр: 'De Mensura Sortis' или 'Об измерении случайности' ». Международный статистический обзор/Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045 .

[13] Муавр, Аб. (1707 г.). «Аналитическое разрешение некоторых уравнений третьей, пятой, седьмой, девятой и высших степеней, продолжающихся до бесконечности, в конечных терминах, подобно правилам для кубик, которые называются Карданисами» [О некоторых уравнениях третьей, пятой, седьмой, девятая и высшая степень, вплоть до бесконечности, действуя в конечных терминах в форме правил для кубик, которые Кардано называет разрешением путем анализа.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 25 (309): 2368–2371. дои : 10.1098/rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 .
Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009)
На стр. 2370 Муавр заявил, что если ряд имеет вид $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ , где n — любое заданное нечетное целое число (положительное или отрицательное) и где y и a могут быть функциями, то после решения для y результатом будет уравнение (2) на той же странице: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ . Если y = cos x и a = cos nx, то результат будет $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
В 1676 году Исаак Ньютон нашел связь между двумя аккордами, находившимися в соотношении n к 1; отношение было выражено в приведенном выше ряду. Серия появляется в письме - приора Эпистолы Д. Иссаси Ньютона, математического профессора в Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — от 13 июня 1676 г. от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; копия письма была отправлена Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. стр. 106 из: Био, Ж.-Б.; Лефорт Ф., ред. (1856). Эпистолярная переписка Дж. Коллинза и др. по вопросам анализа и т. д.: оу... (на латыни). Париж, Франция: Малле-Башелье. стр. 102–112.
В 1698 году ту же серию вывел де Муавр. Видеть: де Муавр, А. (1698). «Метод извлечения корней бесконечного уравнения» . Философские труды Лондонского королевского общества . 20 (240): 190–193. дои : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . ; см. стр. 192.
В 1730 году де Муавр явно рассмотрел случай, когда функциями являются cos θ и cos nθ. Видеть: Муавр, А. де (1730). Разный анализ рядов и квадратур (на латыни). Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. п. 1. Из с. 1: «Лемма 1. Если l & x — косинусы двух дуг A и B, каждая из которых описывается одним и тем же радиусом 1, причем первая из которых кратна последней в том отношении, в котором число n имеет к единству, тогда $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ . (Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, обе из которых описываются одним и тем же радиусом 1 и из которых первая кратна последней в том отношении, как число n имеет отношение к 1, то это будет быть [правдой, что] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Итак, если дуга A = n × дуга B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно, $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
См. также:
Кантор, Мориц (1898). истории Лекции математики по Bibliotheca mathematica Teuberiana, Vol. 8–9 (на немецком языке). Том 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.
Браунмюль, А. фон (1901). «К истории возникновения так называемой теоремы Муавра» . Библиотека Математика . 3-я серия (на немецком языке). 2 :97-102. ; см. стр. 98.

[16] Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009)

[17] В 1676 году Исаак Ньютон нашел связь между двумя аккордами, находившимися в соотношении n к 1; отношение было выражено в приведенном выше ряду. Серия появляется в письме - приора Эпистолы Д. Иссаси Ньютона, математического профессора в Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — от 13 июня 1676 г. от Исаака Ньютона Генри Ольденбургу, секретарю Королевского общества; копия письма была отправлена Готфриду Вильгельму Лейбницу . См. стр. 106 из: Био, Ж.-Б.; Лефорт Ф., ред. (1856). Эпистолярная переписка Дж. Коллинза и др. по вопросам анализа и т. д.: оу... (на латыни). Париж, Франция: Малле-Башелье. стр. 102–112.

[18] В 1698 году ту же серию вывел де Муавр. Видеть: де Муавр, А. (1698). «Метод извлечения корней бесконечного уравнения» . Философские труды Лондонского королевского общества . 20 (240): 190–193. дои : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . ; см. стр. 192.

[19] В 1730 году де Муавр явно рассмотрел случай, когда функциями являются cos θ и cos nθ. Видеть: Муавр, А. де (1730). Разный анализ рядов и квадратур (на латыни). Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. п. 1. Из с. 1: «Лемма 1. Если l & x — косинусы двух дуг A и B, каждая из которых описывается одним и тем же радиусом 1, причем первая из которых кратна последней в том отношении, в котором число n имеет к единству, тогда $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ . (Если l и x являются косинусами двух дуг A и B, обе из которых описываются одним и тем же радиусом 1 и из которых первая кратна последней в том отношении, как число n имеет отношение к 1, то это будет быть [правдой, что] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Итак, если дуга A = n × дуга B, то l = cos A = cos nB и x = cos B. Следовательно, $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$

[20] Кантор, Мориц (1898). истории Лекции математики по Bibliotheca mathematica Teuberiana, Vol. 8–9 (на немецком языке). Том 3. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. п. 624.

[21] Браунмюль, А. фон (1901). «К истории возникновения так называемой теоремы Муавра» . Библиотека Математика . 3-я серия (на немецком языке). 2 :97-102. ; см. стр. 98.

[14] Смит, Дэвид Юджин (1959), Справочник по математике, том 3 , Courier Dover Publications, стр. 444, ISBN 9780486646909

[15] Муавр, А. де (1722). "Desectione anguli" [О разрезе угла] (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 32 (374): 228–230. дои : 10.1098/rstl.1722.0039 . S2CID 186210081 . Проверено 6 июня 2020 г.
Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009). Архивировано 28 ноября 2020 года в Wayback Machine.
Из стр. 229:
«Пусть x будет бухтой по направлению к дуге свободной
[Пусть] клюнет на нос другого.
[Пусть] 1 будет радиусом круга.
Пусть первая дуга относится к последней как 1 к n , тогда, приняв два уравнения, которые мы можем назвать связанными, 1 — 2 z ^н + я ^22н = – 2з ^нт 1 – 2 z + zz = – 2 zx . возникнет Из точки z связь между x и t ». уравнение, посредством которого определяется
(Пусть x — версия любой дуги [т. е. x = 1 – cos θ].
[Пусть] это будет версия другой дуги.
[Пусть] 1 будет радиусом круга.
И пусть первая дуга по отношению к последней [т. е. «еще одна дуга»] равна 1 к n [так что t = 1 – cos nθ ], тогда, с учетом двух принятых уравнений, которые можно назвать связанными,1 – 2 з ^н + я ^22н = –2z ^нт 1 – 2 z + zz = – 2 zx .А за счет исключения z возникнет уравнение, по которому связь между x и t .) определяется
То есть, учитывая уравнения1 – 2 з ^н + я ^22н = – 2з ^н (1 – cos n θ)1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ),
используйте квадратичную формулу для решения z ^н в первом уравнении и для z во втором уравнении. Результат будет: z ^н = cos n θ ± i sin n θ и z = cos θ ± i sin θ, откуда сразу следует, что (cos θ ± i sin θ) ^н = потому что n θ ± я грех n θ.
См. также:
Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике . Том. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446. см. стр. 445, сноска 1.

[24] Английский перевод Ричарда Дж. Пулскампа (2009). Архивировано 28 ноября 2020 года в Wayback Machine.

[25] Смит, Дэвид Ойген (1959). Справочник по математике . Том. 2. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Dover Publications Inc., стр. 444–446. см. стр. 445, сноска 1.

[16] В 1738 году Муавр использовал тригонометрию для определения корней n-й степени действительного или комплексного числа. Видеть: Муавр, А. де (1738). «О приведении радикалов к более простым терминам или об извлечении любого данного корня из бинома $a+{\sqrt {+b}}$ , хорошо $a+{\sqrt {-b}}$ . Эпистола» [О приведении радикалов к более простым терминам или об извлечении любого данного корня из бинома, $a+{\sqrt {+b}}$ или $a+{\sqrt {-b}}$ . Письмо.]. Философские труды Лондонского королевского общества (на латыни). 40 (451): 463–478. дои : 10.1098/rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 . Из стр. 475: «Проблема III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio impossibleli» $a+{\sqrt {-b}}$ . ... и те негативы, дуги которых больше квадранта». (Задача III. Пусть корень, индекс [т. е. степень] которого равен n, извлекается из комплексного бинома $a+{\sqrt {-b}}$ .Решение. Пусть его корень будет $x+{\sqrt {-y}}$ , то я определяю ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ ; я тоже определяю ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ [Примечание: следует читать: ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ], нарисуйте или вообразите круг, радиус которого равен ${\sqrt {m}}$ , и предположим в этом [круге] некоторую дугу A, косинус которой равен ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ ; пусть C будет всей окружностью. Предположим, [измеренные] на одном и том же радиусе косинусы дуг ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {C-A}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$ , и т. д.
до тех пор, пока множество [т. е. количество] их [т. е. дуг] не станет равным числу n; когда это будет сделано, остановитесь на этом; тогда косинусов будет столько, сколько значений величины $x$ , что связано с количеством $y$ ; это [т.е., $y$ ] всегда будет $m-xx$ .
Не следует пренебрегать, хотя и упоминалось ранее, [что] те косинусы, дуги которых меньше прямого угла, следует считать положительными, а те косинусы, дуги которых больше прямого угла, [следует рассматривать как] отрицательные.)
См. также:
Браунмюль, А. фон (1903). тригонометрии ( Лекции по истории на немецком языке). Том 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. стр. 76–77.

[27] Браунмюль, А. фон (1903). тригонометрии ( Лекции по истории на немецком языке). Том 2. Лейпциг, Германия: Б. Г. Тойбнер. стр. 76–77.

[17] Эйлер (1749 г.). «Исследования мнимых корней уравнений» [Исследования комплексных корней уравнений]. Мемуары Берлинской академии наук (на французском языке). 5 : 222–288. См. стр. 260–261: « Теорема XIII. §. 70. Из какой бы степени мы ни извлекали корень, или из действительной величины, или из мнимой вида M + N √-1, корни всегда будут, или вещественные, или мнимое того же вида M + N √-1 . (Теорема XIII. § 70. Для любой степени, будь то вещественная величина или комплексная вида M + N √−1, из которой извлекается корень, корни всегда будут либо действительными, либо комплексными той же формы M + N √−1.)

[18] Де Муавр пытался определить коэффициент среднего члена (1 + 1). ^н для больших п с 1721 г. или раньше. В своей брошюре от 12 ноября 1733 г. – «Approximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a + b ) ^н in Seriem expansi» [Приближение суммы членов бинома ( a + b ) ^н расширен в серию] – де Муавр сказал, что он начал работать над этой проблемой 12 или более лет назад: «Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram;…» (Прошло уже дюжину лет или больше с тех пор, как я нашел это [ то есть, то, что следует];
(Арчибальд, 1926), с. 677.
(де Муавр, 1738), с. 235.
Де Муавр считает, что Александр Каминг (ок. 1690–1775), шотландский аристократ и член Лондонского королевского общества, мотивировал в 1721 году его поиск приближения для центрального члена биномиального разложения. (де Муавр, 1730), с. 99.

[30] (Арчибальд, 1926), с. 677.

[31] (де Муавр, 1738), с. 235.

[19] Роли де Муавра и Стирлинга в поиске приближения Стирлинга представлены в:
Желинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства ряда Стирлинга для log (N!)» arxiv.org
Ланье, Денис; Троту, Дидье (1998). «Формула Стирлинга» Меж-ИРЭМ комиссии по истории и эпистемологии математики (ред.). и аналитический подход: племянники Декарта: материалы 11-й меж-IREM конференции по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. 11-й меж-IREM коллоквиум по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10– 11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Институт исследований математического образования] Реймса. стр. 231–286. Анализ

[33] Желинас, Жак (24 января 2017 г.) «Оригинальные доказательства ряда Стирлинга для log (N!)» arxiv.org

[34] Ланье, Денис; Троту, Дидье (1998). «Формула Стирлинга» Меж-ИРЭМ комиссии по истории и эпистемологии математики (ред.). и аналитический подход: племянники Декарта: материалы 11-й меж-IREM конференции по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10 и 11 мая 1996 г. 11-й меж-IREM коллоквиум по эпистемологии и истории математики, Реймс, 10– 11 мая 1996 г.] (на французском языке). Реймс, Франция: IREM [Институт исследований математического образования] Реймса. стр. 231–286. Анализ

[20] Муавр, А. де (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Аналитический сборник рядов и квадратур [т. е. интегралов] ]. Лондон, Англия: Дж. Тонсон и Дж. Уоттс. стр. 103–104.

[21] Со стр. 102 из (Муавр, 1730 г.) : «Задача III. Найти коэффициент при члене средней степени очень большой и четной степени или найти отношение коэффициента при среднем члене к сумме всех коэффициентов... примерно к 1 ."
(Задача 3. Найти коэффициент среднего члена [биномиального разложения] для очень большой и четной степени [ n ] или найти отношение коэффициента среднего члена к сумме всех коэффициентов.
Решение. Пусть n — степень степени, до которой бином a + b возведен , затем, полагая [оба] a и b = 1, отношение среднего члена к его степени ( a + b ) ^н или 2 ^н [Примечание: сумма всех коэффициентов биномиального разложения (1 + 1) ^н 2 ^н.] будет почти таким же ${\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ до 1.
Но когда какой-то ряд для исследования мог быть определен более точно, [но] был проигнорирован из-за недостатка времени, я затем вычисляю путем повторного интегрирования, [и] восстанавливаю для использования отдельные количества, [которыми] ранее пренебрегали; так получилось, что я наконец смог заключить, что искомое соотношение примерно равно ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ или ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}$ до 1.)
Приближение ${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ взято на стр. 124–128 из (de Moivre, 1730).

[22] Де Муавр определил значение константы $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ аппроксимируя значение ряда, используя только его первые четыре члена. Де Муавр думал, что ряд сходится, но английский математик Томас Байес (ок. 1701–1761) обнаружил, что ряд на самом деле расходится. Со стр. 127–128 (Де Муавр, 1730 г.): «Cum vero perciperem имеет серию valde implicatas evadere,… вывод факторем 2,168 seu ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ( Но когда я задумал, [как] избежать этих очень сложных рядов — хотя все они были совершенно суммируемы, — я думаю, что [не было] ничего другого, что можно было бы сделать, кроме как преобразовать их к бесконечному случаю; таким образом, присвойте m значение бесконечности, то сумма первого рационального ряда сократится до 1/12, сумма второго [сократится] до 1/360, таким образом бывает, что суммы всех рядов получаются из этого одного ряда; $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ и т. д., можно будет отбросить столько терминов, сколько пожелает; но я решил [сохранить] четыре [члена] этой [серии], потому что их было достаточно, [как] достаточно точное приближение; теперь, когда этот ряд сходится, тогда его члены уменьшаются с чередующимися положительными и отрицательными знаками, [и] можно сделать вывод, что первый член 1/12 больше [чем] суммы ряда, или первый член больше [чем ] разница, которая существует между всеми положительными терминами и всеми отрицательными терминами; но этот член следует рассматривать как гиперболический [т. е. натуральный] логарифм; кроме того, число, соответствующее этому логарифму, составляет почти 1,0869 [т. е. ln (1,0869) ≈ 1/12], что при умножении на 2 произведение будет 2,1738, и, таким образом, [в случае возведения бинома] к бесконечная мощность, обозначаемая n, величина $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ будет больше, чем отношение среднего члена бинома к сумме всех членов, а переходя к остальным членам, обнаружится, что коэффициент 2,1676 как раз меньше [чем отношение среднего члена к сумме из всех членов], и аналогично, что 2,1695 больше, в свою очередь, что 2,1682 опускается немного ниже истинного [значения отношения]; учитывая это, я пришел к выводу, что коэффициент [составляет] 2,168 или ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ Примечание. Фактор, который искал Муавр, заключался в следующем: ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots$ (Ланье и Троту, 1998), с. 237.
Байес, Томас (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного г-на Байеса, ФРС, Джону Кантону, Массачусетс и ФРС». Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 269–271. дои : 10.1098/rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .

[38] Байес, Томас (31 декабря 1763 г.). «Письмо покойного преподобного г-на Байеса, ФРС, Джону Кантону, Массачусетс и ФРС». Философские труды Лондонского королевского общества . 53 : 269–271. дои : 10.1098/rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .

[23] (де Муавр, 1730), стр. 170–172.

[24] В письме Стирлинга от 19 июня 1729 года Муару Стирлинг заявил, что он написал Александру Кьюмингу «quadrienium circiter abhinc» (около четырех лет назад [т. е. 1725 г.]) о (среди прочего) аппроксимации с использованием теории Исаака Ньютона. метод дифференциалов, коэффициент при среднем члене биномиального разложения. Стирлинг признал, что де Муавр решил проблему несколькими годами ранее: «…; ответьте Illustrissimus vir se dubitare an Issuea a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias». (...; этот самый прославленный человек [Александр Каминг] ответил, что он сомневается в том, что проблема, решенная вами несколькими годами ранее, касающаяся поведения среднего члена любой степени бинома, может быть решена с помощью дифференциалов.) Стирлинг писал что затем он начал исследовать проблему, но поначалу его прогресс был медленным.
(де Муавр, 1730), с. 170.
Забелл, С.Л. (2005). Симметрия и ее недостатки: Очерки истории индуктивной вероятности . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ИСБН 9780521444705 .

[41] (де Муавр, 1730), с. 170.

[42] Забелл, С.Л. (2005). Симметрия и ее недостатки: Очерки истории индуктивной вероятности . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. п. 113. ИСБН 9780521444705 .

[25] См.:
Стерлинг, Джеймс (1730). Дифференциальный метод... (на латыни). Лондон: Г. Страхан. п. 137. Со с. 137: «Кроме того, если вам нужна сумма любого количества натуральных логарифмов чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., пусть z-n будет последним из чисел, причем n = ½; и три или четыре термины из этой серии $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ [Примечание: l,z = log(z)] добавление к логарифму окружности круга, радиус которого равен единице, то есть к этому 0,39908,99341,79, даст искомую сумму, и это с меньшими усилиями, поскольку их больше Логарифмы надо складывать». (Более того, если вы хотите получить сумму любого количества логарифмов натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., установите z–n как последнее число, n равно ½; и три или четыре члена этой серии $z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ добавление к [половине] логарифма длины окружности, радиус которого равен единице [т.е. ½ log(2 $π$ )] – то есть [добавлено] к этому: 0,39908,99341,79 – даст искомую сумму , и чем больше логарифмов [которые] нужно добавить, тем меньше это работы.) Примечание: $a=0.434294481903252$ (См. стр. 135.) = 1/ln(10).
Английский перевод: Стерлинг, Джеймс (1749). Дифференциальный метод . Перевод Холлидея, Фрэнсиса. Лондон, Англия: Э. Кейв. п. 121. [Примечание: принтер неправильно пронумеровал страницы этой книги, так что страница 125 пронумерована как «121», страница 126 — как «122» и так далее до стр. 121. 129.]

[44] Стерлинг, Джеймс (1730). Дифференциальный метод... (на латыни). Лондон: Г. Страхан. п. 137. Со с. 137: «Кроме того, если вам нужна сумма любого количества натуральных логарифмов чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., пусть z-n будет последним из чисел, причем n = ½; и три или четыре термины из этой серии $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ [Примечание: l,z = log(z)] добавление к логарифму окружности круга, радиус которого равен единице, то есть к этому 0,39908,99341,79, даст искомую сумму, и это с меньшими усилиями, поскольку их больше Логарифмы надо складывать». (Более того, если вы хотите получить сумму любого количества логарифмов натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., установите z–n как последнее число, n равно ½; и три или четыре члена этой серии $z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ добавление к [половине] логарифма длины окружности, радиус которого равен единице [т.е. ½ log(2 $π$ )] – то есть [добавлено] к этому: 0,39908,99341,79 – даст искомую сумму , и чем больше логарифмов [которые] нужно добавить, тем меньше это работы.) Примечание: $a=0.434294481903252$ (См. стр. 135.) = 1/ln(10).

[45] Английский перевод: Стерлинг, Джеймс (1749). Дифференциальный метод . Перевод Холлидея, Фрэнсиса. Лондон, Англия: Э. Кейв. п. 121. [Примечание: принтер неправильно пронумеровал страницы этой книги, так что страница 125 пронумерована как «121», страница 126 — как «122» и так далее до стр. 121. 129.]

[26] См.:
Арчибальд, Р.К. (октябрь 1926 г.). «Редкая брошюра о Муавре и некоторых его открытиях». Исида (на английском и латыни). 8 (4): 671–683. дои : 10.1086/358439 . S2CID 143827655 .
Английский перевод брошюры опубликован в: Муавр, Авраам де (1738). Доктрина шансов… (2-е изд.). Лондон, Англия: Самостоятельная публикация. стр. 235–243.

[47] Арчибальд, Р.К. (октябрь 1926 г.). «Редкая брошюра о Муавре и некоторых его открытиях». Исида (на английском и латыни). 8 (4): 671–683. дои : 10.1086/358439 . S2CID 143827655 .

[48] Английский перевод брошюры опубликован в: Муавр, Авраам де (1738). Доктрина шансов… (2-е изд.). Лондон, Англия: Самостоятельная публикация. стр. 235–243.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

v т и сэр Исаак Ньютон
Publications	Fluxions (1671) De Motu (1684) Principia (1687) Opticks (1704) Queries (1704) Arithmetica (1707) De Analysi (1711)
Other writings	Quaestiones (1661–1665) "standing on the shoulders of giants" (1675) Notes on the Jewish Temple (c. 1680) "General Scholium" (1713; "hypotheses non fingo" ) Ancient Kingdoms Amended (1728) Corruptions of Scripture (1754)
Contributions	Calculus fluxion Impact depth Inertia Newton disc Newton polygon Newton–Okounkov body Newton's reflector Newtonian telescope Newton scale Newton's metal Spectrum Structural coloration
Newtonianism	Bucket argument Newton's inequalities Newton's law of cooling Newton's law of universal gravitation post-Newtonian expansion parameterized gravitational constant Newton–Cartan theory Schrödinger–Newton equation Newton's laws of motion Kepler's laws Newtonian dynamics Newton's method in optimization Apollonius's problem truncated Newton method Gauss–Newton algorithm Newton's rings Newton's theorem about ovals Newton–Pepys problem Newtonian potential Newtonian fluid Classical mechanics Corpuscular theory of light Leibniz–Newton calculus controversy Newton's notation Rotating spheres Newton's cannonball Newton–Cotes formulas Newton's method generalized Gauss–Newton method Newton fractal Newton's identities Newton polynomial Newton's theorem of revolving orbits Newton–Euler equations Newton number kissing number problem Newton's quotient Parallelogram of force Newton–Puiseux theorem Absolute space and time Luminiferous aether Newtonian series table
Personal life	Woolsthorpe Manor (birthplace) Cranbury Park (home) Early life Later life Apple tree Religious views Occult studies Scientific Revolution Copernican Revolution
Relations	Catherine Barton (niece) John Conduitt (nephew-in-law) Isaac Barrow (professor) William Clarke (mentor) Benjamin Pulleyn (tutor) Roger Cotes (student) William Whiston (student) John Keill (disciple) William Stukeley (friend) William Jones (friend) Abraham de Moivre (friend)
Depictions	Newton by Blake (monotype) Newton by Paolozzi (sculpture) Isaac Newton Gargoyle Astronomers Monument
Namesake	Newton (unit) Newton's cradle Isaac Newton Institute Isaac Newton Medal Isaac Newton Telescope Isaac Newton Group of Telescopes XMM-Newton Sir Isaac Newton Sixth Form Statal Institute of Higher Education Isaac Newton Newton International Fellowship
Categories	Isaac Newton

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST ISNI VIAF WorldCat
National	Norway Spain 2 France BnF data Germany Italy Israel Belgium United States Sweden Czech Republic Australia Croatia Netherlands 2
Academics	CiNii MathSciNet Mathematics Genealogy Project zbMATH
People	Deutsche Biographie Trove
Other	IdRef