Тетрадекагон

Правильный тетрадекагон
Правильный тетрадекагон
	Правильный тетрадекагон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	14
Символ Шлефли	{14}, т{7}
Диаграммы Кокстера – Динкина	;
Группа симметрии	Двугранник (Д 14 ), заказ 2×14
Внутренний угол ( градусы )	154+2/7°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии тетрадекагон тетракаидекагон или или 14-угольник — это четырнадцатисторонний многоугольник .

Правильный тетрадекагон

тетрадекагон Правильный t{7}, в имеет символ Шлефли {14} и может быть построен как квазиправильный усеченный семиугольник котором чередуются два типа ребер.

Площадь выражением правильного тетрадекагона со стороной a определяется

A={\frac {14}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{14}}\approx 15.3345a^{2}

Строительство

Поскольку 14 = 2 × 7, правильный тетрадекагон невозможно построить с помощью циркуля и линейки . ^[1] Однако его можно построить с помощью неусиса с использованием трисектора угла , ^[2] или с отмеченной линейкой, ^[3] как показано в следующих двух примерах.

Тетрадекагон с *данной описанной окружностью* :
Анимация (1 мин 47 с) конструкции нейзиса с радиусом описанной окружности. ${\overline {OA}}=6$ ,
по словам Эндрю М. Глисона , ^[2] на основе трисекции угла с помощью томагавка .

Симметрия

Правильный тетрадекагон имеет Dih ₁₄ симметрию , порядок 28. Существует 3 симметрии диэдра подгруппы: Dih ₇ , Dih ₂ и Dih ₁ , а также 4 циклической группы симметрии _{: Z 14} , Z ₇ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти 8 симметрий можно увидеть в 10 различных симметриях тетрадекагона, большем количестве, потому что линии отражения могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[4] Полная симметрия правильной формы — это r28 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g14 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Неправильные тетрадекагоны с наивысшей симметрией - это d14 , изогональный тетрадекагон, построенный из семи зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие ребра, и p14 , изотоксальный тетрадекагон, построенный с одинаковой длиной ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного тетрадекагона.

Диссекция

14-кубовая проекция	84 ромбовидное рассечение

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. ^[5]В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного тетрадекагона =7 , m и его можно разделить на 21:3 набора по 7 ромбов. Это разложение основано на Петри многоугольной проекции 7-куба с 21 из 672 граней. Список OEIS : A006245 определяет количество решений как 24698, включая до 14-кратных вращений и киральные формы в отражении.

Рассечение на 21 ромб.

Нумизматическое использование

Правильный тетрадекагон используется в качестве формы некоторых памятных золотых и серебряных монет Малайзии , количество сторон которых соответствует 14 штатам Малайзийской Федерации. ^[6]

Связанные цифры

Тетрадекаграмма — это 14-сторонний звездчатый многоугольник , обозначенный символом {14/n}. Есть два правильных звездчатых многоугольника : {14/3} и {14/5}, использующие одни и те же вершины, но соединяющие каждую третью или пятую точку. Также есть три соединения: {14/2} редуцируется до 2{7} как два семиугольника , а {14/4} и {14/6} редуцируются до 2{7/2} и 2{7/3}. как две разные гептаграммы , и, наконец, {14/7} сокращается до семи двуугольников .

Примечательным применением четырнадцатиконечной звезды является флаг Малайзии , который включает желтую тетрадекаграмму {14/6} в правом верхнем углу, символизирующую единство тринадцати штатов с федеральным правительством .

Соединения и звездчатые многоугольники
н	1	2	3	4	5	6	7
Форма	Обычный	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный	Звездный многоугольник	Сложный
Изображение	{14/1} = {14}	{14/2} = 2{7}	{14/3}	{14/4} = 2{7/2}	{14/5}	{14/6} = 2{7/3}	{14/7} или 7{2}
Внутренний угол	≈154.286°	≈128.571°	≈102.857°	≈77.1429°	≈51.4286°	≈25.7143°	0°

Более глубокие усечения правильного семиугольника и гептаграмм могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных форм тетрадекаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. Другие усечения могут образовывать многоугольники с двойным покрытием 2{p/q}, а именно: t{7/6}={14/6}=2{7/3}, t{7/4}={14/4}=2 {7/2} и t{7/2}={14/2}=2{7}. ^[7]

Изогональные усечения семиугольника и гептаграммы
Quasiregular	Isogonal	Quasiregular Double covering
t{7}={14}		{7/6}={14/6} =2{7/3}
t{7/3}={14/3}		t{7/4}={14/4} =2{7/2}
t{7/5}={14/5}		t{7/2}={14/2} =2{7}

Изотоксальные формы

может Изотоксальный многоугольник быть обозначен как {p _α } с самым внешним внутренним углом α и звездным многоугольником {( p / q ) _α }, где q — число витков , а НОД( p , q )=1, q < п . Изотоксальные тетрадекагоны имеют p = 7, а поскольку 7 — простое число, все решения q = 1..6 являются многоугольниками.

{ _7а }	{(7/2) _а }	{(7/3) _а }	{(7/4) _а }	{(7/5) _а }	{(7/6) _а }

Полигоны Петри

Правильные косые тетрадекагоны существуют как многоугольники Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанных в этих косых ортогональных проекциях , в том числе:

Полигоны Петри
B₇		2I₂(7) (4D)
7-orthoplex	7-cube	7-7 duopyramid	7-7 duoprism
A₁₃	D₈		E₈
13-simplex	5₁₁	1₅₁	4₂₁	2₄₁

Ссылки

^ Ванцель, Пьер (1837). «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу геометрии кожи с помощью линейки и циркуля» (PDF) . Математический журнал : 366–372.
^ Jump up to: ^а ^б Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Угол трисекции, семиугольник, стр. 186 (рис.1) –187» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 2 февраля 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Семиугольник». Из MathWorld, веб-ресурса Wolfram.
^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
^ Нумизмат , Том 96, выпуски 7–12, стр. 1409, Американская нумизматическая ассоциация, 1983.
^ Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Тетрадекагон» . Математический мир .

[1] Ванцель, Пьер (1837). «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу геометрии кожи с помощью линейки и циркуля» (PDF) . Математический журнал : 366–372.

[Gleason-2] Jump up to: ^а ^б Глисон, Эндрю Маттей (март 1988 г.). «Угол трисекции, семиугольник, стр. 186 (рис.1) –187» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 95 (3): 185–194. дои : 10.2307/2323624 . Архивировано из оригинала (PDF) 2 февраля 2016 г.

[Johnson-3] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Семиугольник». Из MathWorld, веб-ресурса Wolfram.

[4] Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)

[5] Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141

[6] Нумизмат , Том 96, выпуски 7–12, стр. 1409, Американская нумизматическая ассоциация, 1983.

[7] Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]