Ричард Шон

Ричард Шон
Обувь в 2015 году
Рожденный	( 1950-10-23 ) 23 октября 1950 г. Форт-Рекавери, Огайо , США
Национальность	Американский
Альма-матер	Дейтонский университет ( бакалавр наук ) Стэнфордский университет ( доктор философии )
Известный	Теорема о дифференцируемой сфере Геометрия положительной скалярной кривизны Теорема о положительной массе Геометрия и теория регулярности гармонических отображений и устойчивых минимальных гиперповерхностей К сожалению, проблема
Супруг	Дорис Фишер-Колбри
Награды	Программа стипендий для аспирантов NSF (1972) Исследовательская стипендия Слоана (1979) Стипендия Макартура (1983) Американская академия искусств и наук (1988) Премия Мемориала Бошера (1989) Национальная академия наук (1991) Член AAAS (1995). Стипендия Гуггенхайма (1996) Член AMS (2012 г.) Премия декана за преподавание, Стэнфордский университет (2014–15) Почетный доктор наук Уорикского университета (2015 г.). Премия Вольфа (2017) Премия Хайнца Хопфа (2017) Медаль и премия Лобачевского (2017). Премия Рольфа Шока (2017)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Институт Куранта, Нью-Йоркский университет Стэнфордский университет Калифорнийский университет, Беркли Калифорнийский университет, Ирвин Калифорнийский университет, Сан-Диего
Диссертация	Теоремы существования и регулярности некоторых геометрических вариационных задач
Докторантура	Леон Саймон Шинг-Тунг Яу
Докторанты	Хьюберт Брэй Хосе Ф. Эскобар Остров Фрейзер Лань-Сюань Хуан Чикако Месе Уильям Миникоцци Андре Невес

Ричард Мелвин Шон (родился 23 октября 1950 г.) — американский математик, известный своими работами в области дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Он наиболее известен решением проблемы Ямабе в 1984 году.

Ранняя жизнь и образование

Шон родился в Селине, штат Огайо , 23 октября 1950 года. В 1968 году он окончил среднюю школу Форт-Рекавери. Он получил степень бакалавра в Дейтонском университете математики . Затем он получил докторскую степень в 1977 году в Стэнфордском университете .

Карьера

После преподавательских должностей в Институте Куранта Нью-Йоркского университета , Калифорнийском университете в Беркли и Калифорнийском университете в Сан-Диего он был профессором Стэнфордского университета с 1987 по 2014 год, а с 1992 года — бас-профессором гуманитарных и естественных наук. В настоящее время он является заслуженным профессором и отличником кафедры преподавания в Калифорнийском университете в Ирвайне . Его фамилия произносится как «Шейн».

Шон получил исследовательскую стипендию NSF в 1972 году и исследовательскую стипендию Слоана в 1979 году. Шон — стипендиат программы Макартура 1983 года . приглашали выступить на Международном конгрессе математиков (ICM) Его трижды , в том числе дважды в качестве пленарного докладчика . В 1983 году он был приглашенным докладчиком на ICM в Варшаве , в 1986 году он был пленарным докладчиком на ICM в Беркли , а в 2010 году он был пленарным спикером на ICM в Хайдарабаде . За работу над проблемой Ямабе Шон был удостоен Мемориальной премии Бошера в 1989 году.

В 1988 году он был избран членом Американской академии искусств и наук и Национальной академии наук в 1991 году, стал членом Американской ассоциации содействия развитию науки в 1995 году и выиграл стипендию Гуггенхайма в 1996 году. В 2012 году он стал членом Американского математического общества . Он получил Премию декана Стэнфордского университета в 2014–2015 годах за выдающиеся достижения в области преподавания. В 2015 году он был избран вице-президентом Американского математического общества . В 2015 году он был удостоен звания почетного доктора наук Уорикского университета . Он получил премию Вольфа по математике за 2017 год, которую разделил с Чарльзом Фефферманом . В том же году он был удостоен премии Хайнца Хопфа , медали и премии Лобачевского Казанского федерального университета , премии Рольфа Шока .

У него было более 44 докторантов, в том числе Юбер Брей , Хосе Ф. Эскобар , Айлана Фрейзер , Чикако Мезе , Уильям Миникоцци и Андре Невес .

Шен исследовал использование аналитических методов в глобальной дифференциальной геометрии , внес ряд фундаментальных вкладов в теорию регулярности минимальных поверхностей и гармонических отображений.

Гармонические карты

В 1976 году Шон и Шинг-Тунг Яу Яу использовали более ранние теоремы Лиувилля , чтобы распространить явления жесткости, обнаруженные ранее Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, на некомпактные условия. Выявив определенное взаимодействие тождества Бохнера для гармонических карт вместе со вторым вариантом формулы площади для минимальных гиперповерхностей, они также определили некоторые новые условия в области, ведущие к тому же выводу. Эти теоремы о жесткости дополняются теоремой их существования для гармонических отображений в некомпактных областях как простое следствие решения Ричардом Гамильтоном краевой задачи Дирихле. Как следствие, они получили некоторые поразительные геометрические результаты, например, то, что некоторые некомпактные многообразия не допускают каких-либо полных метрик неотрицательной кривизны Риччи.

В двух статьях 1980-х годов Шен и Карен Уленбек внесли основополагающий вклад в теорию регулярности гармонических карт, минимизирующих энергию . Разработанные ими методы, широко использующие формулы монотонности, оказали большое влияние на область геометрического анализа и были адаптированы для решения ряда других задач. Их фундаментальные выводы включают теоремы о компактности множеств гармонических отображений и контроле над размером соответствующих сингулярных множеств. Леон Саймон применил такие результаты, чтобы получить четкое представление о мелкомасштабной геометрии гармонических карт, минимизирующих энергию.

Позже Михаил Громов понял, что расширение теории гармонических отображений, допускающее значения в метрических пространствах, а не в римановых многообразиях , будет иметь ряд важных приложений, а аналоги классической теоремы Иллса-Сэмпсона о жесткости дадут новые теоремы о жесткости. для решеток . Подробные аналитические детали такой теории были разработаны Шоном. Дальнейшие основы этого нового контекста гармонических карт были заложены Шоном и Николасом Коревааром.

Минимальные поверхности, положительная скалярная кривизна и теорема о положительной массе

В 1979 году Шон и его бывший научный руководитель Шинг-Тунг Яу внесли ряд весьма влиятельных вкладов в изучение положительной скалярной кривизны . С помощью элементарной, но новой комбинации уравнения Гаусса , формулы второй вариации площади и теоремы Гаусса-Бонне Шон и Яу смогли исключить существование нескольких типов стабильных минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях положительных скалярная кривизна. Сопоставляя этот результат с их аналитически глубокой теоремой, устанавливающей существование таких поверхностей, они смогли добиться ограничений, при которых многообразия могут допускать метрику положительной скалярной кривизны. Позже Шон и Дорис Фишер-Колбри предприняли более широкое исследование стабильных минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях, используя вместо этого анализ оператора устойчивости и его спектральных свойств.

Индуктивный аргумент, основанный на существовании стабильных минимальных гиперповерхностей, позволил им распространить свои результаты на более высокие измерения. Дальнейшие аналитические методы облегчили применение топологических операций на многообразиях, допускающих метрики положительной скалярной кривизны, показав, что класс таких многообразий топологически богат. Михаил Громов и Х. Блейн Лоусон получили аналогичные результаты другими методами, также предприняв более глубокий анализ топологических последствий.

Распространив свои методы на некомпактные многообразия, Шон и Яу смогли решить важный римановский случай теоремы о положительной массе в общей теории относительности , которую можно рассматривать как утверждение о геометрическом поведении вблизи бесконечности некомпактных многообразий с положительной скалярной кривизной. . Как и их первоначальные результаты, этот аргумент основан на противоречии. Более конструктивный аргумент, использующий теорию гармонических спиноров вместо минимальных гиперповерхностей, был позже найден Эдвардом Виттеном .

Шен, Яу и Леон Саймон определили простую комбинацию формулы Саймонса с формулой второй вариации площади, которая дает важные оценки кривизны для стабильных минимальных гиперповерхностей малых размеров. В 1983 году Шон получил аналогичные оценки в частном случае двумерных поверхностей, используя существование изотермических координат . Несколько более слабые оценки были получены Шоном и Саймоном, хотя и без каких-либо ограничений на размерность. Фундаментальные следствия оценок Шёна-Саймона включают теоремы о компактности для стабильных минимальных гиперповерхностей, а также контроль над размером «сингулярных множеств». В частности, оценки Шона-Саймона являются важным инструментом в мин-макс-теории Альмгрена-Питтса , которая нашла ряд приложений.

Возможное наличие сингулярных множеств ограничивает размерности, в которых можно легко провести индуктивные аргументы Шона и Яу. Между тем существенное использование Виттеном спиноров ограничивает его результаты топологически частными случаями. Таким образом, общий случай теоремы о положительной массе в более высоких измерениях остался основной открытой проблемой в работе Шена и Яу 1979 года. В 1988 году они решили проблему в произвольной размерности в особом случае, когда тензор Вейля равен нулю; это имело важное значение в конформной геометрии. В 2017 году они выпустили препринт, в котором рассматривается общий случай, в котором они имеют дело непосредственно с сингулярными множествами минимальных гиперповерхностей.

Проблема Ямабе и конформная геометрия

В 1960 году Хидехико Ямабе представил «функционал Ямабе» для конформного класса римановых метрик и продемонстрировал, что критическая точка будет иметь постоянную скалярную кривизну . Он добился частичного прогресса в доказательстве того, что критические точки должны существовать, что было развито Нилом Трудингером и Тьерри Обеном . Работа Обена, в частности, разрешила случаи большой размерности или случаи, когда существует точка, в которой тензор Вейля отличен от нуля. В 1984 году Шон урегулировал случаи, оставшиеся открытыми благодаря работе Обена, решающим моментом которой стало изменение масштаба метрики с помощью функции Грина оператора Лапласа-Бельтрами . Это позволило применить теорему Шена и Яу о положительной массе к полученной метрике, дав важную асимптотическую информацию об исходной метрике. Работы Ямабе, Трудингера, Обина и Шена вместе составляют решение проблемы Ямабе , которая утверждает, что в каждом конформном классе существует метрика постоянной скалярной кривизны.

В 1989 году Шен также смог адаптировать анализ пузырьков Карен Уленбек , разработанный для других геометрическо-аналитических задач, к условиям постоянной скалярной кривизны. Единственность критических точек функционала Ямабе и, в более общем плане, компактность множества всех критических точек — это тонкий вопрос, впервые исследованный Шоном в 1991 году. Более полные результаты были позже получены Саймоном Брендлом , Маркусом Кхури, Фернандо Кода Маркесом , и Шен.

Теорема о дифференцируемой сфере

В 1980-х годах Ричард Гамильтон представил поток Риччи и доказал ряд результатов о сходимости, особенно для двумерных и трехмерных пространств. Хотя он и другие нашли частичные результаты в больших измерениях, прогресс был заблокирован трудностью понимания сложного тензора кривизны Римана . Саймон Брендл и Шон смогли доказать, что положительность «изотропной кривизны» Марио Микаллефа и Джона Мура сохраняется потоком Риччи в любом измерении, факт, независимо доказанный Хай Нгуеном. Брендл и Шен также смогли связать свое условие положительности с положительностью секционной кривизны и оператора кривизны , что позволило им использовать недавние на тот момент алгебраические идеи Кристофа Бема и Буркхарда Вилкинга, тем самым получив новую теорему сходимости для потока Риччи. Особый случай их теоремы о сходимости имеет в качестве простого следствия теорему о дифференцируемой сфере , которая была хорошо известной гипотезой при изучении положительной секционной кривизны в течение последних пятидесяти лет.

Избранные публикации

• Шен, Р.; Саймон, Л .; Яу, СТ (1975). «Оценки кривизны минимальных гиперповерхностей» . Акта Математика . 134 (3–4): 275–288. дои : 10.1007/BF02392104 . МР   0423263 . Збл   0323.53039 .
• Шон, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1976). «Гармонические отображения и топология стабильных гиперповерхностей и многообразий с неотрицательной кривизной Риччи». Комментарии по математике Helvetici . 51 (3): 333–341. дои : 10.1007/BF02568161 . МР   0438388 . S2CID   120845708 . Збл   0361.53040 .
• Шен, Р.; Яу, Шинг Тунг (1979). «Существование несжимаемых минимальных поверхностей и топология трехмерных многообразий неотрицательной скалярной кривизны». Анналы математики . Вторая серия. 110 (1): 127–142. дои : 10.2307/1971247 . JSTOR   1971247 . МР   0541332 . S2CID   118216230 . Збл   0431.53051 .
• Шен, Р.; Яу, СТ (1979). «О строении многообразий положительной скалярной кривизны» . Манускрипта Математика . 28 (1–3): 159–183. дои : 10.1007/BF01647970 . МР   0535700 . S2CID   121008386 . Збл   0423.53032 .
• Шон, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1979). «О доказательстве гипотезы положительной массы в общей теории относительности» . Связь в математической физике . 65 (1): 45–76. Бибкод : 1979CMaPh..65...45S . дои : 10.1007/BF01940959 . МР   0526976 . S2CID   54217085 . Збл   0405.53045 .
• Фишер-Колбри, Дорис ; Шен, Ричард (1980). «Структура полных устойчивых минимальных поверхностей в 3-многообразиях неотрицательной скалярной кривизны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 33 (2): 199–211. CiteSeerX   10.1.1.1081.96 . дои : 10.1002/cpa.3160330206 . МР   0562550 . Збл   0439.53060 .
• Шен, Ричард; Саймон, Леон (1981). «Регулярность устойчивых минимальных гиперповерхностей». Сообщения по чистой и прикладной математике . 34 (6): 741–797. дои : 10.1002/cpa.3160340603 . МР   0634285 . S2CID   124924186 . Збл   0497.49034 .
• Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1981). «Доказательство теоремы о положительной массе. II» . Связь в математической физике . 79 (2): 231–260. Бибкод : 1981CMaPh..79..231S . дои : 10.1007/BF01942062 . МР   0612249 . S2CID   59473203 . Збл   0494.53028 .
• Шен, Ричард; Уленбек, Карен (1982). «Теория регулярности гармонических отображений» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 307–335. дои : 10.4310/jdg/1214436923 . МР   0664498 . Збл   0521.58021 . (Ошибка: дои : 10.4310/jdg/1214437667 )
• Шен, Ричард (1983). «Оценки устойчивых минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях». В Бомбьери, Энрико (ред.). Семинар по минимальным подмногообразиям . Анналы математических исследований. Том. 103. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 111–126. дои : 10.1515/9781400881437-006 . ISBN  0-691-08324-Х . МР   0795231 . S2CID   118467538 . Збл   0532.53042 .
• Шен, Ричард; Уленбек, Карен (1983). «Граничная регулярность и проблема Дирихле для гармонических отображений» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2): 253–268. дои : 10.4310/jdg/1214437663 . МР   0710054 . Збл   0547.58020 .
• Шен, Ричард (1984). «Конформная деформация римановой метрики до постоянной скалярной кривизны» . Журнал дифференциальной геометрии . 20 (2): 479–495. дои : 10.4310/jdg/1214439291 . МР   0788292 . Збл   0576.53028 .
• Шен, Ричард М. (1984). «Аналитические аспекты проблемы гармонического отображения». В Черне С.С. (ред.). Семинар по нелинейным уравнениям в частных производных . Семинар состоялся в Научно-исследовательском институте математических наук, Беркли, Калифорния, 9 мая 1983 г. Публикации Научно-исследовательского института математических наук. Том. 2. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг . стр. 321–358. дои : 10.1007/978-1-4612-1110-5_17 . ISBN  0-387-96079-1 . МР   0765241 . S2CID   118833790 . Збл   0551.58011 .
• Шен, Р.; Яу, С.-Т. (1988). «Конформно плоские многообразия, клейновы группы и скалярная кривизна» . Математические изобретения . 92 (1): 47–71. Бибкод : 1988InMat..92...47S . дои : 10.1007/BF01393992 . МР   0931204 . S2CID   59029712 . Збл   0658.53038 .
• Шен, Ричард М. (1989). «Вариационная теория функционала полной скалярной кривизны для римановых метрик и смежные темы». В Джаквинте, М. (ред.). Темы вариационного исчисления . Вторая сессия CIME состоялась в Монтекатини-Терме, 20–28 июля 1987 г. Конспекты лекций по математике . Том. 1365. Берлин: Шпрингер . стр. 120–154. CiteSeerX   10.1.1.599.8478 . дои : 10.1007/BFb0089180 . ISBN  3-540-50727-2 . МР   0994021 . Збл   0702.49038 .
• Шен, Ричард М. (1991). «О количестве постоянных метрик скалярной кривизны в конформном классе». В Лоусоне, Блейн ; Тененблат, Кети (ред.). Дифференциальная геометрия . Симпозиум в честь Манфреду ду Карму. Монографии и обзоры Питмана по чистой и прикладной математике. Том. 52. Харлоу: Лонгман научно-технический . стр. 311–320. ISBN  0-582-05590-3 . МР   1173050 . Збл   0733.53021 .
• Громов, Михаил ; Шен, Ричард (1992). «Гармонические отображения в сингулярные пространства и p-адическая сверхжесткость решеток в группах ранга один» . Математические публикации Института перспективных научных исследований . 76 : 165–246. дои : 10.1007/bf02699433 . МР   1215595 . S2CID   118023776 . Збл   0896.58024 .
• Кореваар, Николас Дж.; Шон, Ричард М. (1993). «Пространства Соболева и гармонические отображения для метрических космических объектов» . Коммуникации в анализе и геометрии . 1 (3–4): 561–659. дои : 10.4310/CAG.1993.v1.n4.a4 . МР   1266480 . Збл   0862.58004 .
• Брендл, Саймон ; Шон, Ричард (2009). «Многообразия с кривизной в 1/4 дюйма являются космическими формами» . Журнал Американского математического общества . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Бибкод : 2009JAMS...22..287B . дои : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 . МР   2449060 . Збл   1251.53021 .

Учебники

• Шен, Р.; Яу, С.-Т. (1994). Лекции по дифференциальной геометрии . Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии. Том. 1. Конспекты лекций подготовили Вэй Юэ Дин, Кун Цин Чанг, Цзя Цин Чжун и И Чао Сюй. Перевод с китайского Дин и С.Ю. Ченг. Предисловие в переводе с китайского Кайсинга Цо. Кембридж, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-012-8 . МР   1333601 . Збл   0830.53001 .
• Шен, Р.; Яу, СТ (1997). Лекции по гармоническим картам . Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии. Том. 2. Кембридж, Массачусетс: Международная пресса. ISBN  1-57146-002-0 . МР   1474501 . Збл   0886.53004 .

См. также

• Теория мин-макса Альмгрена-Питта
• Гармоническая карта
• Теорема о сфере

Внешние ссылки

• Персональный веб-сайт
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Ричард Шон» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Ричард Шон в проекте «Математическая генеалогия»
• Сормани, Кристина (август 2018 г.). «Математика Ричарда Шона» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 65 (11): 1349–1376. дои : 10.1090/noti1749 .