Эллиптическая функция

области комплексного анализа В математической эллиптические функции представляют собой особые виды мероморфных функций, которые удовлетворяют двум условиям периодичности. Они называются эллиптическими функциями, потому что происходят от эллиптических интегралов . Эти интегралы, в свою очередь, называются эллиптическими, потому что они впервые были использованы при вычислении длины дуги эллипса .

Важными эллиптическими функциями являются эллиптические функции Якоби и функция Вейерштрасса. $\wp$ -функция .

Дальнейшее развитие этой теории привело к гиперэллиптическим функциям и модулярным формам .

Определение

называется Мероморфная функция эллиптической функцией, если существуют две $\mathbb {R}$ - линейные независимые комплексные числа $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ такой, что

f(z+\omega _{1})=f(z)

и

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

.

Таким образом, эллиптические функции имеют два периода и, следовательно, являются двоякопериодическими функциями .

Решетка периодов и фундаментальная область

Если $f$ — эллиптическая функция с периодами $\omega _{1},\omega _{2}$ он также утверждает, что

f(z+\gamma )=f(z)

для каждой линейной комбинации $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ с $m,n\in \mathbb {Z}$ .

Абелева группа

\Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}

называется решеткой периодов .

Параллелограмм , порожденный $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$

\{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}

является фундаментальной областью $\Lambda$ действуя на $\mathbb {C}$ .

Геометрически комплексная плоскость замощена параллелограммами. Все, что происходит в одной фундаментальной области, повторяется во всех остальных. По этой причине мы можем рассматривать эллиптические функции как функции с факторгруппой $\mathbb {C} /\Lambda$ как их домен. Эту факторгруппу, называемую эллиптической кривой , можно представить в виде параллелограмма с противоположными сторонами, который топологически является тором . ^{[ 1 ]}

Теоремы Лиувилля

Следующие три теоремы известны как . теоремы Лиувилля (1847 г.)

1-я теорема

Голоморфная эллиптическая функция постоянна. ^{[ 2 ]}

Это исходная форма теоремы Лиувилля , которую можно вывести из нее. ^{[ 3 ]} Голоморфная эллиптическая функция ограничена, поскольку она принимает все свои значения в компактной фундаментальной области. Значит, по теореме Лиувилля оно постоянно.

2-я теорема

Каждая эллиптическая функция имеет конечное число полюсов. $\mathbb {C} /\Lambda$ и сумма его вычетов равна нулю. ^{[ 4 ]}

Из этой теоремы следует, что не существует эллиптической функции, не равной нулю, с ровно одним полюсом первого порядка или ровно одним нулем первого порядка в фундаментальной области.

3-я теорема

Непостоянная эллиптическая функция принимает каждое значение одинаковое количество раз в $\mathbb {C} /\Lambda$ считается с кратностью. ^{[ 5 ]}

℘-функция Вейерштрасса

Одной из наиболее важных эллиптических функций является функция Вейерштрасса. $\wp$ -функция. Для данного периода решетка $\Lambda$ это определяется

\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).

Она построена таким образом, что в каждой точке решетки имеет полюс второго порядка. Термин $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ есть ли возможность сделать ряд сходящимся.

$\wp$ – четная эллиптическая функция; то есть, $\wp (-z)=\wp (z)$ . ^{[ 6 ]}

Его производная

\wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}

является нечетной функцией, т.е. $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ ^{[ 6 ]}

Одним из основных результатов теории эллиптических функций является следующий: каждая эллиптическая функция относительно заданной решетки периодов $\Lambda$ можно выразить как рациональную функцию через $\wp$ и $\wp '$ . ^{[ 7 ]}

The $\wp$ -функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},

где $g_{2}$ и $g_{3}$ являются константами, которые зависят от $\Lambda$ . Точнее, $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})$ и $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})$ , где $G_{4}$ и $G_{6}$ это так называемые ряды Эйзенштейна . ^{[ 8 ]}

На алгебраическом языке поле эллиптических функций изоморфно полю

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

,

где изоморфизм отображает $\wp$ к $X$ и $\wp '$ к $Y$ .

Вейерштрасс $\wp$ -функция с решеткой периодов $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$
Производная от $\wp$ -функция

Связь с эллиптическими интегралами

Связь с эллиптическими интегралами имеет главным образом историческую подоплеку. Эллиптические интегралы изучались Лежандром , чью работу продолжили Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби .

Абель открыл эллиптические функции, взяв обратную функцию $\varphi$ эллиптической интегральной функции

\alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}

с $x=\varphi (\alpha )$ . ^{[ 9 ]}

Дополнительно он определил функции ^{[ 10 ]}

f(\alpha )={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

и

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

.

После продолжения на комплексную плоскость они оказались двоякопериодическими и известны как эллиптические функции Абеля .

Эллиптические функции Якоби получаются аналогично как обратные функции эллиптических интегралов.

Якоби рассматривал интегральную функцию

\xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}

и перевернул его: $x=\operatorname {sn} (\xi )$ . $\operatorname {sn}$ означает sinus amplitudinis и является названием новой функции. ^{[ 11 ]} Затем он ввел функции cosinus amplitudinis и delta amplitudinis , которые определяются следующим образом:

\operatorname {cn} (\xi ):={\sqrt {1-x^{2}}}

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

.

Только сделав этот шаг, Якоби смог доказать свою общую формулу преобразования эллиптических интегралов в 1827 году. ^{[ 12 ]}

История

Вскоре после разработки исчисления бесконечно малых теория эллиптических функций была начата итальянским математиком Джулио ди Фаньяно и швейцарским математиком Леонардом Эйлером . Когда они попытались вычислить длину дуги лемнискаты, они столкнулись с проблемами, связанными с интегралами, содержащими квадратный корень из полиномов 3-й и 4-й степени. ^{[ 13 ]} Было ясно, что так называемые эллиптические интегралы невозможно решить с помощью элементарных функций. Фаньяно обнаружил алгебраическую связь между эллиптическими интегралами, которую он опубликовал в 1750 году. ^{[ 13 ]} Эйлер сразу же обобщил результаты Фаньяно и сформулировал свою теорему алгебраического сложения для эллиптических интегралов. ^{[ 13 ]}

За исключением комментария Ландена ^{[ 14 ]} его идеи не были реализованы до 1786 года, когда Лежандр опубликовал свою статью «Мемуары о интеграциях по дугам эллипса» . ^{[ 15 ]} Лежандр впоследствии изучал эллиптические интегралы и назвал их эллиптическими функциями . Лежандр ввёл тройную классификацию – три вида – которая была решающим упрощением довольно сложной в то время теории. Другими важными работами Лежандра являются: «Мемуар о трансцендентных эллиптиках» (1792 г.), ^{[ 16 ]} Упражнения по интегральному исчислению (1811–1817), ^{[ 17 ]} Трактат об эллиптических функциях (1825–1832). ^{[ 18 ]} Работа Лежандра по большей части оставалась нетронутой математиками до 1826 года.

Впоследствии Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Якоби возобновили исследования и быстро обнаружили новые результаты. Сначала они инвертировали эллиптическую интегральную функцию. По предложению Якоби в 1829 году эти обратные функции теперь называются эллиптическими функциями . Одна из наиболее важных работ Якоби — Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, опубликованная в 1829 году. ^{[ 19 ]} Найденная Эйлером теорема сложения была сформулирована и доказана в общем виде Абелем в 1829 году. В те времена теория эллиптических функций и теория двоякопериодических функций считались разными теориями. Их объединили Брио и Буке в 1856 году. ^{[ 20 ]} Гаусс открыл многие свойства эллиптических функций 30 лет назад, но так и не опубликовал ничего по этой теме. ^{[ 21 ]}

См. также

Ссылки

^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 259, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 258, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Джереми Грей (2015), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 118f, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 260, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 262, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Jump up to: ^а ^б К. Чандрасекхаран (1985), Эллиптические функции (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. 28, ISBN 0-387-15295-4
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 275, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 276, ISBN 978-3-540-32058-6
^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 74, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, стр. 75, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, стр. 82, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 81, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. стр. 23ф. ISBN 978-3-319-23715-2 . ОСЛК 932002663 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Джон Лэнден: Исследование общей теоремы о нахождении длины любой дуги любой конической гиперболы с помощью двух эллиптических дуг, а также некоторых других новых и полезных теорем, выведенных из нее. В: Философские труды Лондонского королевского общества 65 (1775), Nr. XXVI, стр. 283–289, JSTOR 106197 .
^ Адриен-Мари Лежандр: Память об интегрировании по дугам эллипсов. В: История Королевской академии наук в Париже (1788), S. 616–643. – Дер.: Вторая диссертация об интегрировании по дугам эллипсов и о сравнении этих дуг. В: История Королевской академии наук в Париже (1788), S. 644–683.
^ Адриен-Мари Лежандр: Мемуары об эллиптических трансцендентах , где мы даем простые методы сравнения и оценки этих трансцендентов, которые включают дуги эллипса и которые часто встречаются в приложениях интегрального исчисления. Дюпон и Фирмен-Дидо, Париж, 1792. Английский Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. В: Томас Лейборн: Новая серия математического репозитория . Группа 2. Глендиннинг, Лондон, 1809 г., Часть 3, С. 1–34.
^ Адриен-Мари Лежандр: Упражнения по интегральному исчислению с трансцендентами различных порядков и квадратурами. 3 Банде. ( Группа 1 , Группа 2 , Группа 3). Париж 1811–1817 гг.
^ Адриен-Мари Лежандр: Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах с таблицами для облегчения численных расчетов. 3 Бде. ( Группа 1 , Группа 2 , Группа 3/1 , Группа 3/2, Группа 3/3). Юзар-Курсье, Париж, 1825–1832 гг.
^ Карл Густав Якоб Якоби: Новые основы теории эллиптических функций. Кенигсберг 1829 г.
^ Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. п. 122. ИСБН 978-3-319-23715-2 . ОСЛК 932002663 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. п. 96. ИСБН 978-3-319-23715-2 . ОСЛК 932002663 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Литература

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 16» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 567, 627. ISBN. 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 . См. также главу 18 . (рассматривается только случай вещественных инвариантов).
Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, перевод на английский язык как AMS Переводы математических монографий, том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2
Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1976. ISBN 0-387-97127-0 (см. главу 1.)
Э. Т. Уиттакер и Дж. Н. Уотсон . Курс современного анализа , издательство Кембриджского университета, 1952 г.

Внешние ссылки

«Эллиптическая функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
МАА, Перевод статьи Абеля об эллиптических функциях.
Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube , лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)
Йоханссон, Фредрик (2018). «Численное вычисление эллиптических функций, эллиптических интегралов и модульных форм». arXiv : 1806.06725 [ cs.NA ].

[1] Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 259, ISBN 978-3-540-32058-6

[2] Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 258, ISBN 978-3-540-32058-6

[3] Джереми Грей (2015), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 118f, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[4] Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 260, ISBN 978-3-540-32058-6

[5] Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 262, ISBN 978-3-540-32058-6

[:0-6] Jump up to: ^а ^б К. Чандрасекхаран (1985), Эллиптические функции (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. 28, ISBN 0-387-15295-4

[7] Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 275, ISBN 978-3-540-32058-6

[8] Рольф Бусам (2006), Теория функций 1 (на немецком языке) (4-е, исправленное и расширенное издание), Берлин: Springer, стр. 276, ISBN 978-3-540-32058-6

[9] Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 74, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[10] Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, стр. 75, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[11] Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в XIX веке (на немецком языке), Cham, стр. 82, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[12] Грей, Джереми (14 октября 2015 г.), Реальность и комплекс: история анализа в 19 веке (на немецком языке), Cham, стр. 81, ISBN 978-3-319-23715-2 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[:1-13] Jump up to: ^а ^б ^с Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. стр. 23ф. ISBN 978-3-319-23715-2 . ОСЛК 932002663 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[14] Джон Лэнден: Исследование общей теоремы о нахождении длины любой дуги любой конической гиперболы с помощью двух эллиптических дуг, а также некоторых других новых и полезных теорем, выведенных из нее. В: Философские труды Лондонского королевского общества 65 (1775), Nr. XXVI, стр. 283–289, JSTOR 106197 .

[15] Адриен-Мари Лежандр: Память об интегрировании по дугам эллипсов. В: История Королевской академии наук в Париже (1788), S. 616–643. – Дер.: Вторая диссертация об интегрировании по дугам эллипсов и о сравнении этих дуг. В: История Королевской академии наук в Париже (1788), S. 644–683.

[16] Адриен-Мари Лежандр: Мемуары об эллиптических трансцендентах , где мы даем простые методы сравнения и оценки этих трансцендентов, которые включают дуги эллипса и которые часто встречаются в приложениях интегрального исчисления. Дюпон и Фирмен-Дидо, Париж, 1792. Английский Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. В: Томас Лейборн: Новая серия математического репозитория . Группа 2. Глендиннинг, Лондон, 1809 г., Часть 3, С. 1–34.

[17] Адриен-Мари Лежандр: Упражнения по интегральному исчислению с трансцендентами различных порядков и квадратурами. 3 Банде. ( Группа 1 , Группа 2 , Группа 3). Париж 1811–1817 гг.

[18] Адриен-Мари Лежандр: Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах с таблицами для облегчения численных расчетов. 3 Бде. ( Группа 1 , Группа 2 , Группа 3/1 , Группа 3/2, Группа 3/3). Юзар-Курсье, Париж, 1825–1832 гг.

[19] Карл Густав Якоб Якоби: Новые основы теории эллиптических функций. Кенигсберг 1829 г.

[20] Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. п. 122. ИСБН 978-3-319-23715-2 . ОСЛК 932002663 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[21] Грей, Джереми (2015). Реальное и сложное: история анализа в XIX веке . Чам. п. 96. ИСБН 978-3-319-23715-2 . ОСЛК 932002663 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]