Октадекагон
| Правильный восьмиугольник | |
|---|---|
 Правильный восьмиугольник | |
| Тип | Правильный многоугольник |
| Ребра и вершины | 18 |
| Символ Шлефли | {18}, т{9} |
| Диаграммы Кокстера – Динкина |     |
| Группа симметрии | Двугранник (Д 18 ), заказ 2×18 |
| Внутренний угол ( градусы ) | 160° |
| Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
| Двойной полигон | Себя |
В геометрии восьмиугольник ) (или октакаидекагон [1] ) или 18-угольник — это восемнадцатисторонний многоугольник . [2]
Правильный восьмиугольник
[ редактировать ]
Правильный усеченный октадекагон имеет символ Шлефли {18} и может быть построен как квазиправильный t{9} , восьмиугольник в котором чередуются два типа ребер.
Строительство
[ редактировать ]Поскольку 18 = 2 × 3 2 Правильный восьмиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки . [3] Однако его можно построить с помощью или трисекции угла томагавком neusis .
Следующая приблизительная конструкция очень похожа на конструкцию эннеагона, поскольку восьмиугольник можно построить как усеченный эннеагон. Это также возможно, если использовать исключительно компас и линейку.
|
Симметрия
[ редактировать ]
Правильный октадекагон имеет Dih 18 симметрию , порядок 36. Существует 5 диэдральных симметрий подгрупп: Dih 9 , (Dih 6 , Dih 3 ) и (Dih 2 Dih 1 ), а также 6 циклических групповых симметрий: (Z 18 , Z 9 ). , (Z 6 , Z 3 ) и (Z 2 , Z 1 ).
Эти 15 симметрий можно увидеть в 12 различных симметриях октадекагона. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. [4] Полная симметрия правильной формы равна r36 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.
Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g18 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Диссекция
[ редактировать ]
Коксетер утверждает, что любой зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. [6] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного восьмиугольника =9 , m и его можно разделить на 36: 4 набора по 9 ромбов. Это разложение основано на Петри многоугольной проекции 9-куба с 36 из 4608 граней. В списке OEIS : A006245 количество решений указано как 112018190, включая до 18-кратных вращений и киральные формы в отражении.
 |  |  |  |  |
Использование
[ редактировать ]
Правильный треугольник, девятиугольник и восьмиугольник могут полностью окружать точку на плоскости, это одна из 17 различных комбинаций правильных многоугольников с этим свойством. [7] Однако этот шаблон нельзя распространить на архимедову мозаику плоскости: поскольку треугольник и девятиугольник имеют нечетное число сторон, ни один из них не может быть полностью окружен кольцом, чередующим два других типа многоугольника.
Правильный октадекагон может замощить плоскость вогнутыми шестиугольными промежутками. А еще одна мозаика смешивает девятиугольники и восьмиугольные промежутки. Первая мозаика связана с усеченной шестиугольной мозаикой , а вторая — с усеченной тригексагональной мозаикой .
Связанные цифры
[ редактировать ]Октадекаграмма — это 18-сторонний звездчатый многоугольник , обозначенный символом {18/n}. Есть два правильных звездчатых многоугольника : {18/5} и {18/7}, использующие одни и те же точки, но соединяющие каждую пятую или седьмую точку. Также существует пять соединений: {18/2} редуцируется до 2{9} или двух эннеагонов , {18/3} редуцируется до 3{6} или трёх шестиугольников , {18/4} и {18/8} являются сокращается до 2{9/2} и 2{9/4} или двух эннеаграмм , {18/6} сокращается до 6{3} или 6 равносторонних треугольников и, наконец, {18/9} сокращается до 9{2} как девять дигонов .
| Соединения и звездчатые многоугольники |
|---|
Более глубокие усечения правильного эннеагона и эннеаграмм могут привести к изогональным ( вершинно-транзитивным ) промежуточным формам октадекаграмм с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. Остальные усечения образуют двойные покрытия: t{9/8}={18/8}=2{9/4}, t{9/4}={18/4}=2{9/2}, t{9/ 2}={18/2}=2{9}. [8]
| Вершинно-транзитивные усечения эннеагона и эннеаграмм |
|---|
Полигоны Петри
[ редактировать ]Правильный косой октадекагон — это многоугольник Петри для ряда многогранников более высокой размерности, показанный в этих косых ортогональных проекциях плоскостей Кокстера :
| Восьмиугольные многоугольники Петри |
|---|
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кинси, Л. Кристина ; Мур, Тереза Э. (2002), Симметрия, форма и поверхности: введение в математику через геометрию , Springer, с. 86, ISBN 9781930190092 .
- ^ Адамс, Генри (1907), Справочник инженера Касселла: включающий факты и формулы, принципы и практику, во всех отраслях техники , Д. Маккей, стр. 528 .
- ^ Конвей, Джон Б. (2010), Математические связи: основной курс , Американское математическое общество, стр. 31, ISBN 9780821849798 .
- ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
- ^ Хиршхорн и Хант 1985 .
- ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
- ^ Даллас, Элмсли Уильям (1855), Элементы плоской практической геометрии и т. д. , Джон В. Паркер и сын, стр. 134 .
- ^ Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум
- Хиршхорн, доктор медицины; Хант, округ Колумбия (1985), «Равносторонние выпуклые пятиугольники, покрывающие плоскость» (PDF) , Журнал комбинаторной теории, серия A , 39 (1): 1–18, doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 , ISSN 1096-0899 , MR 0787713 , получено 30 октября 2020 г.
- восьмиугольник