Формулировка Удвадиа-Калаба

В классической механике формулировка Удвадиа -Калабы представляет собой метод вывода уравнений движения механической системы со связями . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Впервые метод описал Анатолий Федорович Верещагин. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} для частного случая роботизированного оружия , а затем обобщен на все механические системы Фирдаусом Э. Удвадиа и Робертом Э. Калабой в 1992 году. ^{[ 5 ]} Этот подход основан на принципе наименьшего ограничения Гаусса . Метод Удвадиа-Калабы применим как к голономным, так и к неголономным ограничениям, если они линейны по отношению к ускорениям. Метод обобщается на ограничивающие силы, которые не подчиняются принципу Даламбера . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Фон

Уравнение Удвадиа-Калабы было разработано в 1992 году и описывает движение механической системы со связями, на которую наложены ограничения-равенства. ^{[ 5 ]}

Это отличается от лагранжева формализма, который использует множители Лагранжа для описания движения механических систем с ограничениями, и других подобных подходов, таких как подход Гиббса-Аппелла . Физическая интерпретация уравнения находит применение в областях, выходящих за рамки теоретической физики, таких как управление сильно нелинейными общими динамическими системами. ^{[ 9 ]}

Центральная проблема ограниченного движения

При изучении динамики механических систем конфигурация данной системы S , вообще говоря, полностью описывается n обобщенными координатами , так что ее обобщенный координатный n -вектор имеет вид

\mathbf {q} :=[q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}]^{\mathrm {T} }.

где T обозначает транспонирование матрицы . Используя ньютоновскую или лагранжеву динамику , неограниченные уравнения движения исследуемой системы S можно вывести в виде матричного уравнения (см. умножение матриц ):

Уравнения движения Удвадиа – Калабы ( без ограничений )

$\mathbf {M} (q,t){\ddot {\mathbf {q} }}(t)=\mathbf {Q} (q,{\dot {q}},t)\,,$

где точки представляют собой производные по времени :

{\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,.

Предполагается, что начальные условия q (0) и ${\dot {\mathbf {q} }}(0)$ известны. Мы называем систему S неограниченной, потому что ${\dot {\mathbf {q} }}(0)$ может быть назначен произвольно.

Q n -вектор обозначает полную обобщенную силу, действующую на систему некоторым внешним воздействием; его можно выразить как сумму всех консервативных , а также неконсервативных сил.

Матрица nxn размером симметрична . M быть положительно и может определенной $(\mathbf {M} >0)$ или полуположительно определенный $(\mathbf {M} \geq 0)$ . Обычно предполагается, что M является положительно определенным; однако нередко выводятся неограниченные уравнения движения системы S такие, что M является только полуположительно определенным; т. е. матрица масс может быть сингулярной (она не имеет обратной матрицы ). ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

Ограничения

Теперь мы предполагаем, что система S без ограничений подчиняется набору из m непротиворечивых ограничений равенства, заданных формулой

\mathbf {A} (q,{\dot {q}},t){\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {b} (q,{\dot {q}},t),

где A — известная матрица размером m × n ранга r , а b — известный m -вектор. Отметим, что этот набор уравнений ограничений охватывает очень общее разнообразие ограничений голономного и неголономного равенства. Например, голономные связи вида

\varphi (q,t)=0

можно дважды дифференцировать по времени, а неголономные связи вида

\psi (q,{\dot {q}},t)=0

по времени, чтобы mxn размером A матрицу b и вектор получить . можно дифференцировать один раз Короче говоря, могут быть определены ограничения, которые

нелинейные функции перемещения и скорости,
явно зависит от времени и
функционально зависимы.

Предполагается, что в результате наложения этих ограничений на неограниченную систему S возникает дополнительная сила, а именно сила ограничения. Следовательно, система со Sc _{становится} связями

Уравнения движения Удвадиа – Калабы ( с ограничениями )

$\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {Q} _{c}(q,{\dot {q}},t),$

где Q _c — сила ограничения — дополнительная сила, необходимая для удовлетворения наложенных ограничений. Центральная проблема ограниченного движения теперь формулируется следующим образом:

учитывая неограниченные уравнения движения системы S ,
учитывая обобщенное смещение q ( t ) и обобщенную скорость ${\dot {q}}(t)$ системы со связями в _Sc момент времени t и
учитывая ограничения в виде $\mathbf {A} {\ddot {q}}=\mathbf {b}$ как сказано выше,

найти уравнения движения системы со связями — ускорения — в момент времени t , что соответствует согласованным принципам аналитической динамики.

Обозначения

Ниже для положительно определённого ⁠ $\mathbf {M}$ ⁠ , ⁠ $\mathbf {M} ^{-1/2}$ ⁠ обозначает обратную величину квадратного корня , определяемого как

\mathbf {M} ^{-1/2}=\mathbf {W} \mathbf {\Lambda } ^{-1/2}\mathbf {W} ^{T}

,

где ⁠ $\mathbf {W}$ ⁠ - ортогональная матрица возникающая в результате собственного разложения (строки которой состоят из подходящим образом выбранных собственных векторов ⁠ , $\mathbf {M}$ ⁠ ) и ⁠ $\mathbf {\Lambda } ^{-1/2}$ ⁠ - диагональная матрица , диагональные элементы которой являются обратными квадратными корнями собственных значений, соответствующих собственным векторам в ⁠ $\mathbf {W}$ ⁠ . ^{[ 1 ]}

Уравнение движения

Решение этой центральной проблемы даёт уравнение Удвадии–Калабы. Когда матрица M положительно определена, уравнение движения системы со связями S _c в каждый момент времени имеет вид ^{[ 5 ]}^{[ 12 ]}

\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ),

где символ «+» обозначает псевдообратную матрицу $\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}$ . Таким образом, сила ограничения задается явно как

\mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ),

и поскольку матрица M положительно определена, обобщенное ускорение системы со связями S _c определяется явно выражением

{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{-1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} ).

В случае, когда матрица M полуположительно определена $(\mathbf {M} \geq 0)$ , приведенное выше уравнение нельзя использовать напрямую, поскольку M может быть сингулярным. Более того, обобщенные ускорения не могут быть уникальными, если только ( n + m ) на n матрица не может быть уникальной.

{\hat {\mathbf {M} }}=\left[{\begin{array}{c}\mathbf {M} \\\mathbf {A} \end{array}}\right]

имеет полный ранг (rank = n ). ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} так как наблюдаемые ускорения механических систем в природе всегда единственны, то это условие ранга является необходимым и достаточным условием для получения однозначно определенных обобщенных ускорений связанной системы Sc _Но в каждый момент времени. Таким образом, когда ${\hat {\mathbf {M} }}$ имеет полный ранг, уравнения движения связанной системы S _c в каждый момент времени однозначно определяются формулой (1) создающей вспомогательную неограниченную систему ^{[ 11 ]}

\mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}:=(\mathbf {M} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} ){\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {A} ^{+}\mathbf {b} :=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} },

и с помощью (2) применения основного уравнения движения со связями к этой вспомогательной системе без ограничений так, чтобы вспомогательные уравнения движения со связями явно задавались формулой ^{[ 11 ]}

\mathbf {M} _{\mathbf {A} }{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).

Более того, когда матрица ${\hat {\mathbf {M} }}$ имеет полный ранг, матрица $\mathbf {M} _{\mathbf {A} }$ всегда положительно определена. Это явно дает обобщенные ускорения системы со связями S _c как

{\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }+\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).

Это уравнение справедливо, когда матрица M либо положительно определена , либо положительно полуопределенна. Кроме того, сила ограничения, которая заставляет систему Sc _{со связями (} систему, которая может иметь сингулярную матрицу масс M ) удовлетворять наложенным ограничениям, явно определяется выражением

\mathbf {Q} _{c}=\mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{1/2}(\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1/2})^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} _{\mathbf {A} }^{-1}\mathbf {Q} _{\mathbf {b} }).

Неидеальные ограничения

В любой момент движения мы можем рассмотреть возможность возмущения системы виртуальным смещением δ r, соответствующим ограничениям системы. Смещение может быть как обратимым, так и необратимым. Если перемещение необратимо, то оно совершает виртуальную работу . Мы можем записать виртуальную работу перемещения как

W_{c}(t)=\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }(q,{\dot {q}},t)\delta \mathbf {r} (t)

Вектор $\mathbf {C} (q,{\dot {q}},t)$ описывает неидеальность виртуальной работы и может быть связана, например, с силами трения или сопротивления (такие силы имеют зависимость от скорости). Это обобщенный принцип Даламбера , где обычная форма принципа имеет исчезающую виртуальную работу с $\mathbf {C} (q,{\dot {q}},t)=0$ .

Уравнение Удвадиа-Калабы модифицируется дополнительным неидеальным ограничительным членом, чтобы

\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}=\mathbf {Q} +\mathbf {M} ^{1/2}\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}(\mathbf {b} -\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1}\mathbf {Q} )+\mathbf {M} ^{1/2}\left[\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right)^{+}\mathbf {A} \mathbf {M} ^{-1/2}\right]\mathbf {M} ^{-1/2}\mathbf {C}

Примеры

Обратная задача Кеплера

Метод позволяет решить обратную задачу Кеплера по определению закона силы, соответствующего орбитам, имеющим конические сечения . ^{[ 13 ]} Мы считаем, что внешние силы (даже гравитация) отсутствуют, и вместо этого ограничиваем движение частицы по орбитам вида

r=\varepsilon x+\ell

где $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , $\varepsilon$ это эксцентриситет, а ${\textstyle \ell }$ это полурасширенная прямая кишка. Двойное дифференцирование по времени и небольшая перестановка дают ограничение.

(x-r\varepsilon ){\ddot {x}}+y{\ddot {y}}=-{\frac {(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})^{2}}{r^{2}}}

Мы предполагаем, что тело имеет простую постоянную массу. Мы также предполагаем, что угловой момент вокруг фокуса сохраняется как

m(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})=L

с производной по времени

x{\ddot {y}}-y{\ddot {x}}=0

Мы можем объединить эти два ограничения в матричное уравнение

{\begin{pmatrix}x-r\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix}}

Матрица ограничений имеет обратную

{\begin{pmatrix}x-r\varepsilon &y\\y&-x\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&-(x-r\varepsilon )\end{pmatrix}}

Таким образом, сила принуждения представляет собой ожидаемый центральный закон обратных квадратов.

\mathbf {F} _{c}=m\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ={\frac {m}{\ell r}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&-(x-r\varepsilon )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\frac {L^{2}}{m^{2}r^{2}}}\\0\end{pmatrix}}=-{\frac {L^{2}}{m\ell r^{2}}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}

Наклонная плоскость с трением

Рассмотрим небольшой блок постоянной массы, лежащий на наклонной плоскости под углом $\alpha$ выше горизонтали. Ограничение на то, что блок лежит на плоскости, можно записать как

y=x\tan \alpha

Взяв две производные по времени, мы можем представить это в форме стандартного матричного уравнения ограничений.

{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}=0

Матрица ограничений имеет псевдообратную

{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}^{+}=\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}

Допускаем наличие трения скольжения между бруском и наклонной плоскостью. Мы параметризуем эту силу стандартным коэффициентом трения, умноженным на нормальную силу.

\mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}{\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}

В то время как сила гравитации обратима, сила трения — нет. Следовательно, виртуальная работа, связанная с виртуальным перемещением, будет зависеть C. от Мы можем суммировать три силы (внешнее, идеальное ограничение и неидеальное ограничение) следующим образом:

\mathbf {F} _{\text{ext}}=\mathbf {Q} =-mg{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}

\mathbf {F} _{c,i}=-\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} \mathbf {Q} =mg\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}=mg{\begin{pmatrix}-\sin \alpha \cos \alpha \\\cos ^{2}\alpha \end{pmatrix}}

\mathbf {F} _{c,ni}=(\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{+}\mathbf {A} )\mathbf {C} =-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-\cos ^{2}\alpha {\begin{pmatrix}-\tan \alpha \\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\tan \alpha &1\end{pmatrix}}\right]=-\mu mg\cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\alpha \\\sin \alpha \cos \alpha \end{pmatrix}}

Объединив вышесказанное, находим, что уравнения движения имеют вид

{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {F} _{\text{ext}}+\mathbf {F} _{c,i}+\mathbf {F} _{c,ni}\right)=-g\left(\sin \alpha +\mu \cos \alpha \operatorname {sgn} {\dot {y}}\right){\begin{pmatrix}\cos \alpha \\\sin \alpha \end{pmatrix}}

Это похоже на постоянное ускорение вниз под действием силы тяжести с небольшой модификацией. Если блок движется вверх по наклонной плоскости, то трение увеличивает ускорение вниз. Если блок движется вниз по наклонной плоскости, то трение уменьшает ускорение вниз.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Удвадия, FE; Калаба, Р.Э. (1996). Аналитическая динамика: новый подход . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-04833-8 .
^ Баухау, Оливье А. (2010). Гибкая динамика многотельных тел . Спрингер. п. 444.
^ Верещагин, Анатолий Федорович (1974). «Компьютерное моделирование динамики сложных механизмов роботов-манипуляторов». Инженерная кибернетика . 6 : 65–70.
^ Верещагин, Анатолий Федорович (1975). «Принцип наименьшего ограничения Гаусса для моделирования динамики автоматических манипуляторов с использованием цифрового компьютера». Доклады советской физики . 20 (1): 33–34. Бибкод : 1975СФД...20...33В .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Удвадия, FE; Калаба, Р.Э. (1992). «Новый взгляд на ограниченное движение» (PDF) . Труды Лондонского королевского общества, серия A. 439 (1906): 407–410. Бибкод : 1992RSPSA.439..407U . дои : 10.1098/rspa.1992.0158 . S2CID 120343506 .
^ Удвадия, FE; Калаба, Р.Э. (2002). «Об основах аналитической динамики» (PDF) . Международный журнал нелинейной механики . 37 (6): 1079–1090. Бибкод : 2002IJNLM..37.1079U . CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . дои : 10.1016/S0020-7462(01)00033-6 .
^ Калверли, Б. (2001). «Ограничение или отсутствие ограничений – вот в чем уравнение» . Новости ОСК .
^ Удвадия, Ф.; Калаба, Р. (2002). «Какова общая форма явных уравнений движения механических систем со связями?» (PDF) . Журнал прикладной механики . 69 (3): 335–339. Бибкод : 2002JAM....69..335U . CiteSeerX 10.1.1.174.6353 . дои : 10.1115/1.1459071 .
^ Чжао, Сяо; Чен, Е-Хва; Чжао, Хан; Донг, Фан-Фан (2018). «Уравнение Удвадиа-Калабы для механических систем со связями: формулировка и приложения» . Китайский журнал машиностроения . 31 (1): 106–120. Бибкод : 2018ChJME..31..106Z . дои : 10.1186/s10033-018-0310-x .
^ Jump up to: ^а ^б Удвадия, FE; Пхохомсири, П. (2006). «Явные уравнения движения для механических систем со связями с сингулярными массовыми матрицами и приложения к динамике многих тел» (PDF) . Труды Лондонского королевского общества, серия A. 462 (2071): 2097–2117. Бибкод : 2006RSPSA.462.2097U . дои : 10.1098/rspa.2006.1662 . S2CID 38437 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Удвадия, FE; Шютте, AD (2010). «Уравнения движения для общих систем со связями в лагранжевой механике» (PDF) . Акта Механика . 213 (1): 111–129. дои : 10.1007/s00707-009-0272-2 . S2CID 7432252 .
^ Удвадия, FE; Калаба, RE (1993). «В движении» (PDF) . Журнал Института Франклина . 330 (3): 571–577. дои : 10.1016/0016-0032(93)90099-G .
^ Чжан, Бинчжан; Чжэнь, Шэнчао; Чжао, Хан; Хуанг, Канг; Дэн, Бин; Чен, Е-Хва (2015). «Новое исследование закона Кеплера и закона обратных квадратов гравитации». Евро. Дж. Физ . 36 (3): 035018. Бибкод : 2015EJPh...36c5018Z . дои : 10.1088/0143-0807/36/3/035018 . S2CID 119566554 .

[uk1996-1] Jump up to: ^а ^б Удвадия, FE; Калаба, Р.Э. (1996). Аналитическая динамика: новый подход . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-04833-8 .

[2] Баухау, Оливье А. (2010). Гибкая динамика многотельных тел . Спрингер. п. 444.

[v1974-3] Верещагин, Анатолий Федорович (1974). «Компьютерное моделирование динамики сложных механизмов роботов-манипуляторов». Инженерная кибернетика . 6 : 65–70.

[v1975-4] Верещагин, Анатолий Федорович (1975). «Принцип наименьшего ограничения Гаусса для моделирования динамики автоматических манипуляторов с использованием цифрового компьютера». Доклады советской физики . 20 (1): 33–34. Бибкод : 1975СФД...20...33В .

[uk1992-5] Jump up to: ^а ^б ^с Удвадия, FE; Калаба, Р.Э. (1992). «Новый взгляд на ограниченное движение» (PDF) . Труды Лондонского королевского общества, серия A. 439 (1906): 407–410. Бибкод : 1992RSPSA.439..407U . дои : 10.1098/rspa.1992.0158 . S2CID 120343506 .

[6] Удвадия, FE; Калаба, Р.Э. (2002). «Об основах аналитической динамики» (PDF) . Международный журнал нелинейной механики . 37 (6): 1079–1090. Бибкод : 2002IJNLM..37.1079U . CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . дои : 10.1016/S0020-7462(01)00033-6 .

[7] Калверли, Б. (2001). «Ограничение или отсутствие ограничений – вот в чем уравнение» . Новости ОСК .

[8] Удвадия, Ф.; Калаба, Р. (2002). «Какова общая форма явных уравнений движения механических систем со связями?» (PDF) . Журнал прикладной механики . 69 (3): 335–339. Бибкод : 2002JAM....69..335U . CiteSeerX 10.1.1.174.6353 . дои : 10.1115/1.1459071 .

[9] Чжао, Сяо; Чен, Е-Хва; Чжао, Хан; Донг, Фан-Фан (2018). «Уравнение Удвадиа-Калабы для механических систем со связями: формулировка и приложения» . Китайский журнал машиностроения . 31 (1): 106–120. Бибкод : 2018ChJME..31..106Z . дои : 10.1186/s10033-018-0310-x .

[UdwadiaPho-10] Jump up to: ^а ^б Удвадия, FE; Пхохомсири, П. (2006). «Явные уравнения движения для механических систем со связями с сингулярными массовыми матрицами и приложения к динамике многих тел» (PDF) . Труды Лондонского королевского общества, серия A. 462 (2071): 2097–2117. Бибкод : 2006RSPSA.462.2097U . дои : 10.1098/rspa.2006.1662 . S2CID 38437 .

[UdwadiaSch-11] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Удвадия, FE; Шютте, AD (2010). «Уравнения движения для общих систем со связями в лагранжевой механике» (PDF) . Акта Механика . 213 (1): 111–129. дои : 10.1007/s00707-009-0272-2 . S2CID 7432252 .

[12] Удвадия, FE; Калаба, RE (1993). «В движении» (PDF) . Журнал Института Франклина . 330 (3): 571–577. дои : 10.1016/0016-0032(93)90099-G .

[13] Чжан, Бинчжан; Чжэнь, Шэнчао; Чжао, Хан; Хуанг, Канг; Дэн, Бин; Чен, Е-Хва (2015). «Новое исследование закона Кеплера и закона обратных квадратов гравитации». Евро. Дж. Физ . 36 (3): 035018. Бибкод : 2015EJPh...36c5018Z . дои : 10.1088/0143-0807/36/3/035018 . S2CID 119566554 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]