Jump to content

Срезной узел

(Перенаправлено из Топологически среза )
Гладкий срез диска в позиции Морзе , показывающий минимумы, седла и максимумы, а также в качестве иллюстрации фильм об узле Киношита-Терасака.

Узел среза — это математический узел в трехмерном пространстве, ограничивающий вложенный диск в четырехмерном пространстве.

Определение

[ редактировать ]

Узел называется топологически срезным узлом или гладко срезным узлом , если он является границей вложенного диска в 4-шар. , который является локально плоским или гладким соответственно. Здесь мы используем : 3-сфера граница четырёхмерного шара Каждый гладко срезанный узел топологически является срезом, поскольку гладко вложенный диск локально плоский. Обычно гладко срезанные узлы еще называют просто срезными. Оба типа узлов срезов важны в трехмерной и четырехмерной топологии.

Узлы с гладкими срезами часто иллюстрируются с использованием диаграмм ленточных узлов , и остается открытым вопрос, существуют ли какие-либо узлы с гладкими срезами, которые не являются ленточными узлами («Гипотеза о срезе ленты»).

Конусная конструкция

[ редактировать ]
Конус над узлом трилистника

В определении существенны условия локально-плоской или гладкости: для каждого узла можно построить конус над узлом, который является диском в 4-шаре с требуемым свойством, за исключением того, что он не является локально-плоским или гладким в точке сингулярность (хотя это работает и для тривиального узла).

Обратите внимание, что диск на рисунке справа не имеет самопересечений в 4-мерном пространстве. Они происходят только в проекции на трехмерное пространство. Следовательно, диск «правильно» вложен в каждой точке, но не в особенности (он там не локально-плоский).

Узлы срезов и группа согласования узлов

[ редактировать ]

Два ориентированных узла называются согласованными , если связная сумма это кусочек. Так же, как и раньше, выделим топологически и гладко согласованные. С мы обозначаем зеркальное отображение где, кроме того, ориентация меняется на противоположную. Отношение «согласованное» является рефлексивным, поскольку это кусочек для каждого узла . Можно также показать, что оно транзитивно: если соответствует и соответствует затем соответствует . Поскольку отношение также симметрично, оно является отношением эквивалентности . Классы эквивалентности вместе со связной суммой узлов в качестве операции тогда образуют абелеву группу , которая называется (топологической или гладкой) группой согласия узлов. Нейтральным элементом в этой группе является множество узлов срезов (топологических или гладких соответственно).

С помощью узла-трилистника мы иллюстрируем рефлексивность отношения согласования: каждый узел согласен сам с собой. При определении согласованности происходят две смены ориентаций: меняется ориентация узла (зеленая и красная стрелки), а также ориентация трехмерного пространства. Эффект последнего – зеркальное отображение узла.

Каждый ленточный узел является узлом с гладкими срезами, потому что, за исключением особенностей ленты, узел уже ограничивает вложенный диск (в трехмерном пространстве). Ленточные особенности могут быть в небольшой окрестности деформированы в 4-мерное пространство так, что диск будет вложен.

Существует 21 нетривиальный срезный простой узел с числом пересечений. . Это , , , , , , , , , , , , , , , , , , , и . До этого числа пересечений не существует топологически срезанных узлов, которые не были бы гладко срезанными. [1] Однако, начиная с пересечения номер 11, есть такой пример: узел Конвея (названный в честь Джона Хортона Конвея ) топологически, но не гладко разрезаемый узел. [2] С другой стороны, узел Киношита-Терасака, так называемый « мутант » узла Конвея, плавно разрезается. Крученые узлы , кроме тривиального узла и стивидорного узла. , а не ломтик. [3] Все топологически и плавно нарезанные узлы с номером пересечения известны. [4] Сложные срезные узлы до номера пересечения 12 бывают, кроме узлов вида и , еще два интересных узла и . [5]

Инварианты

[ редактировать ]

Для топологически и гладко срезанных узлов справедливы следующие свойства:Полином Александера срезного узла можно записать как с полиномом Лорана с целыми коэффициентами (условие Фокса-Милнора). [6] Отсюда следует, что определитель узла ( ) — квадратное число.

Сигнатура является инвариантом классов согласования, а сигнатура узлов срезов равна нулю. Более того, карта сигнатур представляет собой гомоморфизм группы согласования целых чисел : Подпись суммы двух классов согласования представляет собой сумму двух сигнатур.

  • Отсюда следует, что группа согласования содержит элементы бесконечного порядка : сигнатура узла-трилистника равна ±2, а сигнатура класса согласования связной суммы трилистники это и поэтому не 0.
  • Группа согласования также содержит элементы 2-го порядка: Узел восьмерка. амфихейрально обратимо и имеем , поэтому мы . В группе согласования находим . Поскольку определитель узла восьмерки равен 5, что не является квадратным числом, этот узел не является срезом, и отсюда следует, что его порядок в группе согласия равен 2. Конечно, узлы с конечным порядком в группе согласия всегда иметь подпись 0.

Для обоих вариантов группы согласия неизвестно, присутствуют ли элементы конечного порядка. существовать.

С другой стороны, существуют инварианты с разными свойствами для двух вариантов согласования:Узлы с тривиальным полиномом Александера ( ) всегда топологически являются срезами, но не обязательно гладко срезами (примером является узел Конвея). S-инвариант Расмуссена исчезает для узлов с гладким срезом, но, вообще говоря, не для узлов с топологическим срезом. [7]

Геометрическое описание отношения согласования

[ редактировать ]
Вверху: композиция двух узловых согласований демонстрирует транзитивность геометрическим образом. Внизу: соответствие рода 1 между двумя узлами. Если узел слева тривиален, то узел справа имеет гладкий 4-род 0 или 1 — это граница вложенной поверхности рода 1, но он также может ограничивать диск.

В качестве альтернативы приведенному выше определению согласованности с использованием узлов срезов существует также второе эквивалентное определение. Два ориентированных узла и согласованы, если они являются границей (локально плоского или гладкого) цилиндра. (в 4-мерном пространстве ). Ориентация двух узлов должна совпадать с ориентацией цилиндра, как показано на третьем рисунке. Граница два с разной ориентацией [8] поэтому два зеркальных трилистника показаны как граница цилиндра. Соединение двух узлов путем вырезания полосы из цилиндра дает диск, показывая, что для всех узлов связная сумма это кусочек. В обоих определениях узел является срезом тогда и только тогда, когда он согласен с тривиальным узлом.

Это также можно проиллюстрировать с помощью первого рисунка вверху статьи: Если вырезать небольшой диск в локальном минимуме слева внизу, то граница поверхности в этом месте представляет собой тривиальный узел, а поверхность представляет собой цилиндр. . На другом конце цилиндра у нас имеется срезной узел. Если диск (или цилиндр) вставлен гладко, его можно слегка деформировать до так называемой позиции Морзе .

Это полезно, поскольку критические точки относительно радиальной функции r имеют геометрический смысл. В седловых точках тривиальные компоненты добавляются или уничтожаются (движения зон, также называемые слиянием и делением). Для ломтиковых узлов возможно любое количество таких перемещений полос, тогда как для ленточных узлов может происходить только слияние, а деление не допускается.

На рисунке справа геометрическое описание конкорданса повернуто на 90°, а параметр r переименован в t. Это название хорошо подходит для временной интерпретации поверхностного «кино».

Аналогичное определение узлов-срезов можно дать и для поверхностей большего рода . Таким образом, 4 -род (также называемый «родом срезов») узла определяется как наименьший род вложенной поверхности в 4-пространстве, границей которого является узел. Как и ранее, мы различаем топологический и гладкий 4-род. Узлы с 4-родом 0 являются срезными узлами, поскольку диск, простейшая поверхность, имеет род 0. 4-род всегда меньше или равен роду узла, поскольку этот инвариант определяется с использованием поверхностей Зейферта, которые уже встроены в трехмерные космос.

Примеры узлов с разными значениями топологического и гладкого 4-рода приведены в следующей таблице. Узел Конвея 11n34, как уже упоминалось, является первым примером в таблицах узлов топологически, но не гладко разрезаемого узла. Судя по значениям в таблице, можно заключить, что гладкий и топологический 4-род всегда отличаются на 1, если они не равны. Однако это не так, и разница может быть сколь угодно большой. [9] Однако неизвестно (по состоянию на 2017 г.), существуют ли чередующиеся узлы с разницей > 1. [10]

4-род (гладкий) 4 2 4 3 3 1
4-род (верх.) 3 1 3 2 2 0

Библиография

[ редактировать ]
  • Дейл Рольфсен: Узлы и связи , Опубликуй или погибни, 1976, Глава 8.E
  • Чарльз Ливингстон: Теория узлов , Математические монографии Каруса, 1993 г.
  • Чарльз Ливингстон: Обзор классического соответствия узлов , глава 7 в «Справочнике по теории узлов», Elsevier, 2005 г.
[ редактировать ]

См. также

[ редактировать ]
  • Согласование связей - отношение эквивалентности связей слабее, чем изотопия, но сильнее, чем гомотопия.
  1. ^ См. К. Ливингстон и А.Х. Мур: KnotInfo: Таблица инвариантов узлов , https://knotinfo.math.indiana.edu/, где указаны обозначения и список узлов срезов (род-4D = 0 и род-4D (вверху). = 0).
  2. ^ Лиза Пиччирильо : Узел Конвея не разрезной. Энн. математики. 191, № 2, с. 581–591, 2020.
  3. ^ Эндрю Кассон , Кэмерон Гордон : Кобордизм классических узлов , в: А. Марин, Л. Гийу: A la recherche de la topologie perdue, Progress in Mathematics, Birkhäuser 1986.
  4. ^ Ленточные диаграммы для них можно найти в: C. Lamm, The Search for Nonsymmetric Ribbon Knots , Exp. Математика. 30, с. 349–363, 2021.
  5. ^ Зеркальные варианты узлов должны быть выбраны таким образом, чтобы общая сигнатура была равна 0.
  6. ^ Ральф Фокс , Джон Милнор : Особенности двухсфер в четырехмерном пространстве и кобордизм узлов. Осака Дж. Математика. 3, с. 257–267, 1966.
  7. ^ Джейкоб Расмуссен: гомология Хованова и род срезов. Инв. Математика. 182, с. 419–447, 2010.
  8. ^ Информацию об ориентации продукта см. Таммо Том Дик: Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, 2008 (онлайн [1] , стр. 373).
  9. ^ П. Феллер, Д. Маккой: О двухмостовых узлах с разными родами гладких и топологических срезов , Proc. амер. Математика. Соц. 144, с. 5435–5442, 2016.
  10. ^ См. отчет конференции « Тридцать лет теории Флоера для трехмерных многообразий» , Международная исследовательская станция Банф, 2017, проблема 25, стр. 12.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d4c35d308780c27541f6e4b093c2e612__1705436640
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d4/12/d4c35d308780c27541f6e4b093c2e612.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Slice knot - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)