Срезной узел
Узел среза — это математический узел в трехмерном пространстве, ограничивающий вложенный диск в четырехмерном пространстве.
Определение
[ редактировать ]Узел называется топологически срезным узлом или гладко срезным узлом , если он является границей вложенного диска в 4-шар. , который является локально плоским или гладким соответственно. Здесь мы используем : 3-сфера — граница четырёхмерного шара Каждый гладко срезанный узел топологически является срезом, поскольку гладко вложенный диск локально плоский. Обычно гладко срезанные узлы еще называют просто срезными. Оба типа узлов срезов важны в трехмерной и четырехмерной топологии.
Узлы с гладкими срезами часто иллюстрируются с использованием диаграмм ленточных узлов , и остается открытым вопрос, существуют ли какие-либо узлы с гладкими срезами, которые не являются ленточными узлами («Гипотеза о срезе ленты»).
Конусная конструкция
[ редактировать ]В определении существенны условия локально-плоской или гладкости: для каждого узла можно построить конус над узлом, который является диском в 4-шаре с требуемым свойством, за исключением того, что он не является локально-плоским или гладким в точке сингулярность (хотя это работает и для тривиального узла).
Обратите внимание, что диск на рисунке справа не имеет самопересечений в 4-мерном пространстве. Они происходят только в проекции на трехмерное пространство. Следовательно, диск «правильно» вложен в каждой точке, но не в особенности (он там не локально-плоский).
Узлы срезов и группа согласования узлов
[ редактировать ]Два ориентированных узла называются согласованными , если связная сумма это кусочек. Так же, как и раньше, выделим топологически и гладко согласованные. С мы обозначаем зеркальное отображение где, кроме того, ориентация меняется на противоположную. Отношение «согласованное» является рефлексивным, поскольку это кусочек для каждого узла . Можно также показать, что оно транзитивно: если соответствует и соответствует затем соответствует . Поскольку отношение также симметрично, оно является отношением эквивалентности . Классы эквивалентности вместе со связной суммой узлов в качестве операции тогда образуют абелеву группу , которая называется (топологической или гладкой) группой согласия узлов. Нейтральным элементом в этой группе является множество узлов срезов (топологических или гладких соответственно).
Примеры
[ редактировать ]Каждый ленточный узел является узлом с гладкими срезами, потому что, за исключением особенностей ленты, узел уже ограничивает вложенный диск (в трехмерном пространстве). Ленточные особенности могут быть в небольшой окрестности деформированы в 4-мерное пространство так, что диск будет вложен.
Существует 21 нетривиальный срезный простой узел с числом пересечений. . Это , , , , , , , , , , , , , , , , , , , и . До этого числа пересечений не существует топологически срезанных узлов, которые не были бы гладко срезанными. [1] Однако, начиная с пересечения номер 11, есть такой пример: узел Конвея (названный в честь Джона Хортона Конвея ) топологически, но не гладко разрезаемый узел. [2] С другой стороны, узел Киношита-Терасака, так называемый « мутант » узла Конвея, плавно разрезается. Крученые узлы , кроме тривиального узла и стивидорного узла. , а не ломтик. [3] Все топологически и плавно нарезанные узлы с номером пересечения известны. [4] Сложные срезные узлы до номера пересечения 12 бывают, кроме узлов вида и , еще два интересных узла и . [5]
Инварианты
[ редактировать ]Для топологически и гладко срезанных узлов справедливы следующие свойства:Полином Александера срезного узла можно записать как с полиномом Лорана с целыми коэффициентами (условие Фокса-Милнора). [6] Отсюда следует, что определитель узла ( ) — квадратное число.
Сигнатура является инвариантом классов согласования, а сигнатура узлов срезов равна нулю. Более того, карта сигнатур представляет собой гомоморфизм группы согласования целых чисел : Подпись суммы двух классов согласования представляет собой сумму двух сигнатур.
- Отсюда следует, что группа согласования содержит элементы бесконечного порядка : сигнатура узла-трилистника равна ±2, а сигнатура класса согласования связной суммы трилистники это и поэтому не 0.
- Группа согласования также содержит элементы 2-го порядка: Узел восьмерка. амфихейрально обратимо и имеем , поэтому мы . В группе согласования находим . Поскольку определитель узла восьмерки равен 5, что не является квадратным числом, этот узел не является срезом, и отсюда следует, что его порядок в группе согласия равен 2. Конечно, узлы с конечным порядком в группе согласия всегда иметь подпись 0.
Для обоих вариантов группы согласия неизвестно, присутствуют ли элементы конечного порядка. существовать.
С другой стороны, существуют инварианты с разными свойствами для двух вариантов согласования:Узлы с тривиальным полиномом Александера ( ) всегда топологически являются срезами, но не обязательно гладко срезами (примером является узел Конвея). S-инвариант Расмуссена исчезает для узлов с гладким срезом, но, вообще говоря, не для узлов с топологическим срезом. [7]
Геометрическое описание отношения согласования
[ редактировать ]В качестве альтернативы приведенному выше определению согласованности с использованием узлов срезов существует также второе эквивалентное определение. Два ориентированных узла и согласованы, если они являются границей (локально плоского или гладкого) цилиндра. (в 4-мерном пространстве ). Ориентация двух узлов должна совпадать с ориентацией цилиндра, как показано на третьем рисунке. Граница два с разной ориентацией [8] поэтому два зеркальных трилистника показаны как граница цилиндра. Соединение двух узлов путем вырезания полосы из цилиндра дает диск, показывая, что для всех узлов связная сумма это кусочек. В обоих определениях узел является срезом тогда и только тогда, когда он согласен с тривиальным узлом.
Это также можно проиллюстрировать с помощью первого рисунка вверху статьи: Если вырезать небольшой диск в локальном минимуме слева внизу, то граница поверхности в этом месте представляет собой тривиальный узел, а поверхность представляет собой цилиндр. . На другом конце цилиндра у нас имеется срезной узел. Если диск (или цилиндр) вставлен гладко, его можно слегка деформировать до так называемой позиции Морзе .
Это полезно, поскольку критические точки относительно радиальной функции r имеют геометрический смысл. В седловых точках тривиальные компоненты добавляются или уничтожаются (движения зон, также называемые слиянием и делением). Для ломтиковых узлов возможно любое количество таких перемещений полос, тогда как для ленточных узлов может происходить только слияние, а деление не допускается.
На рисунке справа геометрическое описание конкорданса повернуто на 90°, а параметр r переименован в t. Это название хорошо подходит для временной интерпретации поверхностного «кино».
4-род
[ редактировать ]Аналогичное определение узлов-срезов можно дать и для поверхностей большего рода . Таким образом, 4 -род (также называемый «родом срезов») узла определяется как наименьший род вложенной поверхности в 4-пространстве, границей которого является узел. Как и ранее, мы различаем топологический и гладкий 4-род. Узлы с 4-родом 0 являются срезными узлами, поскольку диск, простейшая поверхность, имеет род 0. 4-род всегда меньше или равен роду узла, поскольку этот инвариант определяется с использованием поверхностей Зейферта, которые уже встроены в трехмерные космос.
Примеры узлов с разными значениями топологического и гладкого 4-рода приведены в следующей таблице. Узел Конвея 11n34, как уже упоминалось, является первым примером в таблицах узлов топологически, но не гладко разрезаемого узла. Судя по значениям в таблице, можно заключить, что гладкий и топологический 4-род всегда отличаются на 1, если они не равны. Однако это не так, и разница может быть сколь угодно большой. [9] Однако неизвестно (по состоянию на 2017 г.), существуют ли чередующиеся узлы с разницей > 1. [10]
4-род (гладкий) | 4 | 2 | 4 | 3 | 3 | 1 |
4-род (верх.) | 3 | 1 | 3 | 2 | 2 | 0 |
Библиография
[ редактировать ]- Дейл Рольфсен: Узлы и связи , Опубликуй или погибни, 1976, Глава 8.E
- Чарльз Ливингстон: Теория узлов , Математические монографии Каруса, 1993 г.
- Чарльз Ливингстон: Обзор классического соответствия узлов , глава 7 в «Справочнике по теории узлов», Elsevier, 2005 г.
Внешние ссылки
[ редактировать ]См. также
[ редактировать ]- Согласование связей - отношение эквивалентности связей слабее, чем изотопия, но сильнее, чем гомотопия.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ См. К. Ливингстон и А.Х. Мур: KnotInfo: Таблица инвариантов узлов , https://knotinfo.math.indiana.edu/, где указаны обозначения и список узлов срезов (род-4D = 0 и род-4D (вверху). = 0).
- ^ Лиза Пиччирильо : Узел Конвея не разрезной. Энн. математики. 191, № 2, с. 581–591, 2020.
- ^ Эндрю Кассон , Кэмерон Гордон : Кобордизм классических узлов , в: А. Марин, Л. Гийу: A la recherche de la topologie perdue, Progress in Mathematics, Birkhäuser 1986.
- ^ Ленточные диаграммы для них можно найти в: C. Lamm, The Search for Nonsymmetric Ribbon Knots , Exp. Математика. 30, с. 349–363, 2021.
- ^ Зеркальные варианты узлов должны быть выбраны таким образом, чтобы общая сигнатура была равна 0.
- ^ Ральф Фокс , Джон Милнор : Особенности двухсфер в четырехмерном пространстве и кобордизм узлов. Осака Дж. Математика. 3, с. 257–267, 1966.
- ^ Джейкоб Расмуссен: гомология Хованова и род срезов. Инв. Математика. 182, с. 419–447, 2010.
- ^ Информацию об ориентации продукта см. Таммо Том Дик: Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, 2008 (онлайн [1] , стр. 373).
- ^ П. Феллер, Д. Маккой: О двухмостовых узлах с разными родами гладких и топологических срезов , Proc. амер. Математика. Соц. 144, с. 5435–5442, 2016.
- ^ См. отчет конференции « Тридцать лет теории Флоера для трехмерных многообразий» , Международная исследовательская станция Банф, 2017, проблема 25, стр. 12.