Абсолютная конвергенция

В математике чисел бесконечный ряд говорят, что абсолютно сходится (или абсолютно сходится ), если сумма абсолютных значений слагаемых конечна. Точнее реальный или сложный сериал $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ говорят, что он сходится абсолютно, если $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$ для некоторого действительного числа $\textstyle L.$ Аналогично, интеграл функции несобственный , $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,$ Говорят, что он сходится абсолютно, если интеграл от абсолютного значения подынтегральной функции конечен, т. е. если $\textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.$ Сходящийся ряд, не являющийся абсолютно сходящимся, называется условно сходящимся .

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, поскольку ее определение гарантирует, что ряд будет иметь «хорошее» поведение конечных сумм, которым обладают не все сходящиеся ряды. Например, перестановки не меняют значения суммы, что не обязательно верно для условно сходящихся рядов.

Фон

При добавлении конечного числа членов сложение является одновременно ассоциативным и коммутативным , что означает, что группировка и перестановка не изменяют конечную сумму. Например, $(1+2)+3$ равен обоим $1+(2+3)$ и $(3+2)+1$. Однако ассоциативность и коммутативность не обязательно справедливы для бесконечных сумм. Одним из примеров является знакопеременный гармонический ряд.

$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots$

членами которого являются дроби, чередующиеся по знаку. Этот ряд сходится и может быть вычислен с помощью ряда Маклорена для функции $\ln(1+x)$, который сходится для всех $x$ удовлетворяющий $-1<x\leq 1$:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

Замена $x=1$ показывает, что исходная сумма равна $\ln 2$. Сумму также можно переставить следующим образом:

$S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots$

В этой перестановке обратная величина каждого нечетного числа группируется с обратной величиной удвоенного его значения, в то время как обратные величины каждого кратного 4 оцениваются отдельно. Однако оценка членов в скобках дает

$S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots$

или половина оригинальной серии. Нарушение ассоциативности и коммутативности сложения показывает, что знакопеременный гармонический ряд условно сходится . Действительно, сумма абсолютных значений каждого члена равна ${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$, или расходящийся гармонический ряд . Согласно теореме о рядах Римана , любой условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы его сумма была любым конечным действительным числом, или так, чтобы он расходился. При перестановке абсолютно сходящегося ряда его сумма всегда сохраняется.

Определение действительных и комплексных чисел

Сумма действительных чисел или комплексных чисел ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ абсолютно сходится, если сумма абсолютных значений слагаемых ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ сходится .

Суммы более общих элементов

То же определение можно использовать и для серий ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ чьи условия $a_{n}$ являются не числами, а скорее элементами произвольной абелевой топологической группы . В этом случае вместо использования абсолютного значения определение требует, чтобы группа имела норму , которая является положительной действительной функцией. ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ на абелевой группе $G$ (записано аддитивно , с единичным элементом 0) такое, что:

1. Норма единичного элемента $G$ равен нулю: $\|0\|=0.$
2. Для каждого $x\in G,$ $\|x\|=0$ подразумевает $x=0.$
3. Для каждого $x\in G,$ $\|-x\|=\|x\|.$
4. Для каждого $x,y\in G,$ $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

В этом случае функция $d(x,y)=\|x-y\|$ индуцирует структуру метрического пространства (типа топологии ) на $G.$

Затем $G$-значный ряд абсолютно сходится, если ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

В частности, эти утверждения применимы с использованием нормы $|x|$ ( абсолютное значение ) в пространстве действительных или комплексных чисел.

В топологических векторных пространствах

Если $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (TVS) и ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ (возможно, неисчислимое ) семейство в $X$ то это семейство абсолютно суммируемо, если

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ суммируется ​ в $X$ (то есть, если предел ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ сети ​ $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$ сходится в $X,$ где ${\mathcal {F}}(A)$ — направленное множество всех конечных подмножеств $A$ направляется включением $\subseteq$ и ${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$), и
2. для каждой непрерывной полунормы $p$ на $X,$ семья ${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ суммируется в $\mathbb {R} .$

Если $X$ является нормируемым пространством, и если ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ является абсолютно суммируемым семейством в $X,$ тогда обязательно все, кроме счетного набора $x_{\alpha }$0.

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерных пространств .

Отношение к конвергенции

Если $G$ полно относительно метрики $d,$ то всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство такое же, как и для комплекснозначных рядов: используйте полноту, чтобы вывести критерий сходимости Коши (ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать сколь угодно малыми по норме), и примените неравенство треугольника.

В частности, для рядов со значениями в любом банаховом пространстве абсолютная сходимость влечет за собой сходимость. Верно и обратное: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым.

Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, его называют условно сходящимся . Примером условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд . Многие стандартные тесты на дивергенцию и конвергенцию, в первую очередь, включая тест на соотношение и тест на корень , демонстрируют абсолютную сходимость. Это связано с тем, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего диска сходимости.

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится.

Предположим, что ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ является конвергентным. Тогда эквивалентно, ${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$ сходится, что означает, что ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$ и ${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$ сходятся путем почленного сравнения неотрицательных членов. Достаточно показать, что из сходимости этих рядов следует сходимость ${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$ и ${\textstyle \sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right),}$ тогда сходимость ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$ будет следовать по определению сходимости комплекснозначных рядов.

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что сходимость ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ подразумевает сближение ${\textstyle \sum a_{k}.}$

Позволять ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ быть сходящимся. С $0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,$ у нас есть $$0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.$$С ${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$ является сходящимся, ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ представляет собой ограниченную монотонную последовательность частичных сумм и ${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$ также должны сходиться. отмечая, что ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$ является разностью сходящегося ряда, то, как и хотелось, заключаем, что он тоже является сходящимся рядом.

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника

Применяя критерий Коши сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенства треугольника . По Коши критерию ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0,$ существует $N$ такой, что ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$ для любого $n>m\geq N.$ Но неравенство треугольника означает, что ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ так что ${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$ для любого $n>m\geq N,$ что и есть критерий Коши для ${\textstyle \sum a_{i}.}$

Доказательство сходимости любого абсолютно сходящегося ряда в банаховом пространстве.

Приведенный выше результат можно легко обобщить на любое банахово пространство. $(X,\|\,\cdot \,\|).$ Позволять ${\textstyle \sum x_{n}}$ быть абсолютно сходящимся рядом по $X.$ Как ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ является последовательностью Коши действительных чисел для любого $\varepsilon >0$ и достаточно большие натуральные числа $m>n$ он содержит: $$\left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .$$

По неравенству треугольника для нормы Ɓ⋅ρ сразу получаем: $$\left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,$$это означает, что ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ является последовательностью Коши в $X,$ следовательно, ряд сходится по $X.$

Перестановки и безусловная конвергенция

Действительные и комплексные числа

Когда ряд действительных или комплексных чисел абсолютно сходится, любая перестановка или изменение порядка членов этого ряда все равно будет сходиться к одному и тому же значению. Этот факт является одной из причин, по которой абсолютно сходящиеся ряды полезны: демонстрация абсолютной сходимости ряда позволяет объединять члены в пары или переставлять их удобными способами без изменения значения суммы.

Теорема о перестановке Римана показывает, что верно и обратное: любой действительный или комплекснозначный ряд, члены которого нельзя переупорядочить, чтобы дать другое значение, абсолютно сходится.

Ряд с коэффициентами в более общем пространстве

Термин « безусловная сходимость» используется для обозначения ряда, в котором любая перестановка его членов по-прежнему сходится к одному и тому же значению. Для любого ряда со значениями в нормированной абелевой группе $G$, пока $G$ Полно, всякий ряд, сходящийся абсолютно, сходится и безоговорочно.

Более формально:

Теорема — Пусть $G$ быть нормированной абелевой группой. Предполагать $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty .$$Если $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ есть любая перестановка, то $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.$$

Для рядов с более общими коэффициентами обратный процесс сложнее. Как говорилось в предыдущем разделе, для вещественных и комплексных рядов безусловная сходимость всегда подразумевает абсолютную сходимость. Однако в более общем случае ряда со значениями в любой нормированной абелевой группе $G$, обратное не всегда справедливо: могут существовать ряды, не абсолютно сходящиеся, но сходящиеся безусловно.

Например, в банаховом пространстве ℓ ^∞ , один ряд, который является безусловно сходящимся, но не абсолютно сходящимся: $$\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},$$

где $\{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ является ортонормированным базисом. Теорема А. Дворецкого и К. А. Роджерса утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство имеет безусловно сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся.

Доказательство теоремы

Для любого $\varepsilon >0,$ мы можем выбрать некоторые $\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,$ такой, что: $${\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}$$

Позволять $${\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}$$где $\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}$ так что $M_{\sigma ,\varepsilon }$ — наименьшее натуральное число такое, что список $a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}$ включает в себя все условия $a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}$ (и, возможно, другие).

Наконец, для любого целого числа $N>M_{\sigma ,\varepsilon }$ позволять $${\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}$$так что $${\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}I_{\sigma ,\varepsilon }\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}$$и таким образом $${\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}$$

Это показывает, что $${\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,$$то есть: $$\sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.$$

КЭД

Продукты серии

Произведение Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один из рядов сходится абсолютно. То есть предположим, что $$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.$$

Произведение Коши определяется как сумма слагаемых $c_{n}$ где: $$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$$

Если либо ​ $a_{n}$ или $b_{n}$ сумма сходится абсолютно тогда $$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.$$

Абсолютная сходимость по множествам

Обобщением абсолютной сходимости ряда является абсолютная сходимость суммы функции по множеству. Сначала мы можем рассмотреть счетное множество $X$ и функция $f:X\to \mathbb {R} .$ Ниже мы дадим определение суммы $f$ над $X,$ написано как ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

Прежде всего обратите внимание, что поскольку не существует конкретного перечисления (или «индексации») $X$ пока не уточняется, серия ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ не может быть понято с помощью более основного определения серии. Фактически, для некоторых примеров $X$ и $f,$ сумма $f$ над $X$ может вообще не определяться, так как некоторая индексация может дать условно сходящийся ряд.

Поэтому мы определяем ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$ только в том случае, когда существует некоторая биекция $g:\mathbb {Z} ^{+}\to X$ такой, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$ абсолютно сходится. Обратите внимание, что здесь термин «абсолютно сходящийся» использует более простое определение, применяемое к индексированному ряду. В этом случае значение суммы $f$ над $X$ определяется $$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))$$

Обратите внимание: поскольку ряд абсолютно сходится, каждая перестановка идентична другому выбору биекции. $g.$ Поскольку все эти суммы имеют одно и то же значение, то сумма $f$ над $X$ четко определен.

В более общем смысле мы можем определить сумму $f$ над $X$ когда $X$ является неисчислимым. Но сначала мы определим, что означает сходимость суммы.

Позволять $X$ быть любым множеством, счетным или несчетным, и $f:X\to \mathbb {R}$ функция. Мы говорим, что сумма $f$ над $X$ сходится абсолютно, если $$\sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .$$

Существует теорема, которая гласит, что если сумма $f$ над $X$ абсолютно сходится, то $f$ принимает ненулевые значения на множестве, которое не более чем счетно. Таким образом, следующее является последовательным определением суммы $f$ над $X$ когда сумма абсолютно сходится. $$\sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).$$

Обратите внимание, что в последней серии используется определение серии по счетному множеству.

Некоторые авторы определяют повторную сумму ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ быть абсолютно сходящимся, если повторный ряд ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$ Фактически это эквивалентно абсолютной сходимости ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$ То есть, если сумма $f$ над $X,$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$ сходится абсолютно, как определено выше, то повторная сумма ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$ сходится абсолютно, и наоборот.

Абсолютная сходимость интегралов

Интеграл ​ ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ Говорят, что действительная или комплекснозначная функция сходится абсолютно , если ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ Еще один говорит, что $f$ интегрируема абсолютно . Вопрос об абсолютной интегрируемости сложен и зависит от того, Римана , Лебега или Курцвейла-Хенстока рассматривается ли интеграл (калибровочный); для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы интегрируемость только в ее собственном смысле ( $f$ и $A$ оба ограничены ) или допускают более общий случай несобственных интегралов.

Как стандартное свойство интеграла Римана, когда $A=[a,b]$ — ограниченный интервал , каждая непрерывная функция ограничена и интегрируема (по Риману), и поскольку $f$ непрерывное подразумевает $|f|$ непрерывна, каждая непрерывная функция абсолютно интегрируема. Фактически, поскольку $g\circ f$ интегрируем ли Риман на $[a,b]$ если $f$ (собственно) интегрируема и $g$ непрерывно, то отсюда следует, что $|f|=|\cdot |\circ f$ правильно интегрируемо по Риману, если $f$ является. Однако это импликация не выполняется в случае несобственных интегралов. Например, функция ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$ несобственно интегрируема по Риману в своей неограниченной области, но не является абсолютно интегрируемой: $$\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .$$Действительно, в более общем смысле для любого ряда ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ можно рассмотреть связанную ступенчатую функцию $f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ определяется $f_{a}([n,n+1))=a_{n}.$ Затем ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ сходится абсолютно, сходится условно или расходится в соответствии с соответствующим поведением ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Иная ситуация с интегралом Лебега, который не обрабатывает отдельно ограниченные и неограниченные области интегрирования ( см. ниже ). Тот факт, что интеграл $|f|$ неограниченно в приведенных выше примерах, следует, что $f$ также не интегрируемо по Лебегу. Действительно, в теории интеграции Лебега, учитывая, что $f$ измерима ​ , $f$ интегрируема (по Лебегу) тогда и только тогда, когда $|f|$ интегрируема (по Лебегу). Однако гипотеза о том, что $f$ измеримо, имеет решающее значение; вообще говоря, неверно, что абсолютно интегрируемые функции на $[a,b]$ интегрируемы (просто потому, что они могут оказаться неизмеримыми): пусть $S\subset [a,b]$ быть неизмеримым подмножеством и рассмотреть $f=\chi _{S}-1/2,$ где $\chi _{S}$ является характеристической функцией $S.$ Затем $f$ не измеримо по Лебегу и, следовательно, не интегрируемо, но $|f|\equiv 1/2$ является постоянной функцией и явно интегрируемой.

С другой стороны, функция $f$ может быть интегрируемым по Курцвейлю-Хенстоку (калибровочно интегрируемым), а $|f|$ нет. Сюда входит случай функций, несобственно интегрируемых по Риману.

В общем смысле, в любом пространстве с мерой $A,$ Интеграл Лебега действительной функции определяется через ее положительную и отрицательную части, поэтому факты:

1. $f$ интегрируемость подразумевает $|f|$ интегрируемый
2. $f$ измеримый, $|f|$ интегрируемость подразумевает $f$ интегрируемый

по существу встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применяя теорию к считающей мере на множестве $S,$ можно восстановить понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром-Смитом, с использованием сетей (так называемых сейчас). Когда $S=\mathbb {N}$ — множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают.

Наконец, все вышесказанное справедливо для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного определения. Для получения интеграла Лебега необходимо обойти разложение на положительную и отрицательную части с помощью более функционального аналитического подхода Даниэля, получив интеграл Бохнера .

См. также

• Главное значение Коши - метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
• Условная сходимость - свойство бесконечных рядов.
• Сходимость рядов Фурье - Математическая задача классического гармонического анализа
• Теорема Фубини - Условия переключения порядка интегрирования в исчислении
• Режимы конвергенции (аннотированный указатель) – Аннотированный указатель различных режимов конвергенции.
• Радиус сходимости - Область сходимости степенных рядов.
• Теорема о рядах Римана - Безусловные ряды сходятся абсолютно
• Безусловная сходимость - независимая от порядка сходимость последовательности.
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · – математическая бесконечная серия Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · – Математическая бесконечная серия Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления

Ссылки

Цитируемые работы

• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .

Общие ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-05644-9 . OCLC   539541 .
• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN  0-521-29882-2 . OCLC   589250 .
• Райан, Раймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Монографии Спрингера по математике . Лондон Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  978-1-85233-437-6 . ОСЛК   48092184 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .