Электрический дипольный момент

Электрическое поле из -за точечного диполя (в верхнем слевах), физического диполя электрических зарядов (вверху справа), тонкого поляризованного листа (слева внизу) или конденсатора пластины (внизу справа). Все генерируют один и тот же профиль поля, когда расположение бесконечно невелико.
Общие символы	п
Единица	Кулонов - метр (C M)
В базовых единицах SI	m ⋅ s ⋅ A
Измерение	LTI

Электрический дипольный момент является мерой разделения положительных и отрицательных электрических зарядов системы в системе: то есть мера общей полярности . Устройство Si для электрического дипольного момента - метр кулоновский ( C>). Дебая . (D) является еще одной единицей измерения, используемой при атомной физике и химии

Теоретически, электрический диполь определяется термином первого порядка мультипольного расширения ; Он состоит из двух равных и противоположных зарядов, которые бесконечно находятся вблизи, хотя реальные диполи имеют отдельный заряд.

Элементарное определение

Количество, определяющие электрический дипольный момент двух точечных зарядов.

Анимация, показывающая электрическое поле электрического диполя. Диполь состоит из двух точечных электрических зарядов противоположной полярности, расположенных вблизи. Показано преобразование из точечного диполя в электрический диполь конечного размера.

Молекула воды является полярной из -за неравного совместного использования своих электронов в «изогнутой» структуре. Разделение заряда присутствует с отрицательным зарядом в середине (красный оттенок) и положительным зарядом на концах (синий оттенок).

Часто при физике размеры объекта можно игнорировать, чтобы его можно было рассматривать как точечный объект, то есть точечная частица . Частицы точек с электрическим зарядом называются точечными зарядами . Два точечных заряда, один с зарядом + Q , а другой с зарядом - Q, разделенным на расстояние D , составляют электрический диполь (простой случай электрического мультиполя ). Для этого случая электрический дипольный момент имеет величину $$p=qd$$ и направлен от негативного заряда на положительный. Некоторые авторы могут разделить D пополам и использовать S = D /2, поскольку эта величина является расстоянием между либо зарядом и центром диполя, что приводит к коэффициенту двух в определении.

Более сильное математическое определение заключается в использовании векторной алгебры , поскольку количество с величиной и направлением, как и дипольный момент двухточечных зарядов, может быть выражена в векторной форме $$\mathbf {p} =q\mathbf {d}$$ где D - вектор смещения , указывающий от отрицательного заряда до положительного заряда. Электрический дипольный вектор P также указывает от отрицательного заряда до положительного заряда. С этим определением направление диполя имеет тенденцию выровнять себя с внешним электрическим полем (и обратите внимание, что линии электрического потока, создаваемые зарядами самого диполя, которые указывают от положительного заряда к отрицательному заряду, а затем имеют тенденцию противостоять линиям потока внешнее поле). Обратите внимание, что это соглашение о знаке используется в физике, в то время как конвенция о противоположных знаках для диполя, от положительного заряда до отрицательного заряда, используется в химии.

Идеализацией этой системы с двумя зарядами является диполь с электрическим точкой, состоящий из двух (бесконечных) зарядов только бесконечно, но с конечным р . Эта величина используется в определении плотности поляризации .

Энергия и крутящий момент

Электрический диполь P и его крутящий момент τ в равномерном E. поле

Объект с электрическим дипольным моментом P подлежит крутящему моменту τ при помещении во внешнее электрическое поле e . Крутящий момент имеет тенденцию выравнивать диполь с полем. Диполь, выровненный параллельно электрическому полю, имеет более низкую потенциальную энергию , чем диполь, что делает с ним ненулевой угол. Для пространственно равномерного электрического поля через небольшую область, занятую диполем, энергией u и крутящий момент ${\boldsymbol {\tau }}$ даны $$U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} ,\qquad \ {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} .$$

Продукт скалярной точки « ⋅ » и отрицательный знак показывают потенциальную энергию минимизируются, когда диполь параллелен с полем, максимизируется, когда она антипараллельна, и равна нулю, когда он перпендикулярно. Символ « × » относится к векторному перекрестному продукту . Вектор E-поля и дипольный вектор определяют плоскость, и крутящий момент направлен нормальным на эту плоскость с направлением, заданным правым правилом . Диполь в таком равномерном поле может скручиваться и колебаться, но не получает общей чистой силы без линейного ускорения диполя. Диполь поворачивается, чтобы соответствовать внешнему полю.

Однако в неравномерном электрическом поле диполь действительно может получить чистую силу, поскольку сила на одном конце диполя больше не уравновешивает это на другом конце. Можно показать, что эта чистая сила, как правило, параллельна дипольному моменту.

Выражение (общий случай)

В целом, для непрерывного распределения заряда, ограниченного томом V , соответствующее выражение для дипольного момента: $$\mathbf {p} (\mathbf {r} )=\int _{V}\rho (\mathbf {r} ')\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)d^{3}\mathbf {r} ',$$

где R определяет точку наблюдения и D ³ R ′ обозначает элементарный объем в v . Для массива точечных зарядов плотность заряда становится суммой функций Dirac Delta : $$\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right),$$

где каждый r _I является вектором из какой -то эталонной точки до заряда Q _i . Замена в вышеуказанную формулу интеграции предоставляет: $$\mathbf {p} (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\,d^{3}\mathbf {r} _{0}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right).$$

Это выражение эквивалентно предыдущему выражению в случае нейтральности заряда и n = 2. Для двух противоположных зарядов, обозначающих местоположение положительного заряда пары в виде R ₊ и расположение отрицательного заряда в виде R _- : $$\mathbf {p} (\mathbf {r} )=q_{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )+q_{2}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} )-q(\mathbf {r} _{-}-\mathbf {r} )=q(\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-})=q\mathbf {d} ,$$

показывая, что вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда на положительный заряд, потому что вектор позиции точки направлено наружу от начала координат к этой точке.

Дипольный момент особенно полезен в контексте общей нейтральной системы зарядов, такой как пара противоположных зарядов или нейтральный проводник в равномерном электрическом поле. Для такой системы, визуализированной как массив парных противоположных зарядов, отношение для электрического дипольного момента:

$${\begin{aligned}\mathbf {p} (\mathbf {r} )&=\sum _{i=1}^{N}\,\int _{V}q_{i}\left[\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\left(\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}\right)\right)-\delta \left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} _{i}\right)\right]\,\left(\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \right)\ d^{3}\mathbf {r} _{0}\\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\left[\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} _{i}-\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right)\right]\\&=\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d} _{i}=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {p} _{i}\,,\end{aligned}}$$

где r является точкой наблюдения и d _i = r ' _i - r _i , r _i является положением негативного заряда в диполе I , и R ' _I позиция положительного заряда. Это векторная сумма отдельных дипольных моментов парных пар заряда. (Из -за общего нейтралитета заряда дипольный момент не зависит от позиции наблюдателя R. ) Таким образом, значение P не зависит от выбора контрольной точки, при условии, что общий заряд системы равен нулю.

При обсуждении дипольного момента не нейтральной системы, такой как дипольный момент протона , возникает зависимость от выбора контрольной точки. В таких случаях обычно выбирать ориентир является центром масс системы, а не какое -то произвольное происхождение. Этот выбор является не только вопросом соглашения: понятие дипольного момента по существу получено из механического понятия крутящего момента, и, как и в механике, он вычислительно и теоретически полезен для выбора центра массы в качестве точки наблюдения. Для заряженной молекулы центром заряда должен быть эталонной точкой вместо центра масс. Для нейтральных систем контрольная точка не важна, а дипольный момент является внутренним свойством системы.

Потенциал и поле электрического диполя

Потенциальная карта физического электрического диполя. Негативные потенциалы в синем; Положительные потенциалы, в красном.

Идеальный диполь состоит из двух противоположных зарядов с бесконечно малым разделением. Мы рассчитываем потенциал и поле такого идеального диполя, начиная с двух противоположных зарядов при разделении d> 0, и принимаем предел как D → 0.

Две близко расположенные противоположные заряды ± Q имеют потенциал формы: $$V(\mathbf {r} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right|}}-{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right|}}\right),$$ соответствует плотности заряда $$\rho (\mathbf {r} )\ =\ -\varepsilon _{0}\nabla ^{2}V\ =\ q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{+}\right)-q\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{-}\right)$$ по закону Кулона , Где разделение заряда: $$\mathbf {d} =\mathbf {r} _{+}-\mathbf {r} _{-}\,,\quad d=|\mathbf {d} |\,.$$

Пусть R обозначает вектор позиции относительно средней точки ${\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}}$, и ${\hat {\mathbf {R} }}$ соответствующий вектор единицы: $$\mathbf {R} =\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} _{+}+\mathbf {r} _{-}}{2}},\quad {\hat {\mathbf {R} }}={\frac {\mathbf {R} }{|\mathbf {R} |}}\,,$$

Тейлор расширение в ${\tfrac {d}{R}}$ (См. Multipleole Expansion и квадруполь ) выражает этот потенциал в качестве серии. $$V(\mathbf {R} )\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{R^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{R^{3}}}\right)\ \approx \ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}}{|\mathbf {R} |^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {R} }{|\mathbf {R} |^{3}}}\,,$$ где более высокие условия в серии исчезают на больших расстояниях, r , по сравнению с d . Здесь электрический дипольный момент P , как указано выше: $$\mathbf {p} =q\mathbf {d} \,.$$

Результат для дипольного потенциала также может быть выражен как: $$V(\mathbf {R} )\approx -\mathbf {p} \cdot \mathbf {\nabla } {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\,,$$

который связывает дипольный потенциал с потенциалом точечного заряда. Ключевым моментом является то, что потенциал диполя падает быстрее с расстоянием R, чем у точечного заряда.

Электрическое поле диполя является отрицательным градиентом потенциала, что приводит к: $$\mathbf {E} \left(\mathbf {R} \right)={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\right){\hat {\mathbf {R} }}-\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}\,.$$

Таким образом, хотя две близко расположенные противоположные заряды не являются идеальным электрическим диполем (поскольку их потенциал на коротких расстояниях не является диполем), на расстояниях, намного больше, чем их разделение, их дипольный момент P выглядит непосредственно в их потенциале и поле.

По мере того, как два заряда сближаются ( D становится меньше), дипольный термин в мультипольном расширении на основе соотношения d / r становится единственным значительным термином на все более близких расстояниях r , а в пределе бесконечно -максимального разделения дипольное термин В этом расширении - все, что имеет значение. Однако, поскольку D сделан бесконечно максимальным, дипольный заряд должен быть сделан для увеличения для удержания P. постоянной Этот ограничивающий процесс приводит к «точечному диполю».

Плотность дипольного момента и плотность поляризации

Дипольный момент массива обвинений, $$\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\mathbf {d_{i}} \,,$$

Определяет степень полярности массива, но для нейтрального массива это просто векторное свойство массива без информации об абсолютном месте массива. дипольного момента Плотность массива p ( r ) содержит как местоположение массива, так и его дипольный момент. Когда приходит время вычислить электрическое поле в некоторой области, содержащей массив, уравнения Максвелла решаются, и информация о массиве заряда содержится в плотности поляризации P ( R ) уравнений Максвелла. В зависимости от того, насколько мелкозернистая оценка электрического поля требуется, более или менее информация о массиве заряда должна быть выражена с помощью p ( r ). Как объяснено ниже, иногда достаточно точно, чтобы взять p ( r ) = p ( r ). Иногда необходимо более подробное описание (например, дополнение плотности дипольного момента дополнительной квадрупольной плотностью), а иногда и даже более сложные версии p ( r ).

Теперь он исследуется, каким образом плотность поляризации P ( r ), которая входит в уравнения Максвелла, связана с дипольным моментом p общего нейтрального массива зарядов, а также с плотностью дипольного момента p ( r ) (который описывает не только не только Дипольный момент, но также место массива). Только статические ситуации рассматриваются в дальнейшем, поэтому у P ( R ) нет зависимости от времени, и нет тока смещения . Во -первых, некоторое обсуждение плотности поляризации p ( r ). За этим обсуждением следует несколько конкретных примеров.

Формулировка уравнений Максвелла, основанная на разделении обвинений и течений на «свободные» и «связанные» обвинения и токи приводят к введению D - и P -полей: $$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,,$$ где P называется плотностью поляризации . В этой формулировке дивергенция этого уравнения дает: $$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} +\nabla \cdot \mathbf {P} \,,$$ и поскольку термин дивергенции в E является общим зарядом, а ρ _F - «свободный заряд», у нас остается отношение: $$\nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{b}\,,$$ с ρ _b в качестве связанного заряда, под которого подразумевается разница между общей и свободной плотностью заряда.

Кроме того, в отсутствие магнитных эффектов уравнения Максвелла указывают, что $$\nabla \times \mathbf {E} ={\boldsymbol {0}}\,,$$

что подразумевает $$\nabla \times \left(\mathbf {D} -\mathbf {P} \right)={\boldsymbol {0}}\,,$$

Применение разложения Гельмгольца : $$\mathbf {D} -\mathbf {P} =-\nabla \varphi \,,$$ Для некоторого скалярного потенциала φ и: $$\nabla \cdot (\mathbf {D} -\mathbf {P} )=\varepsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{f}+\rho _{b}=-\nabla ^{2}\varphi \,.$$

Предположим, что обвинения разделены на свободные и связанные, а потенциал делится на

$$\varphi =\varphi _{f}+\varphi _{b}\,.$$

Удовлетворение граничных условий при φ может быть произвольно разделена между φ _f и φ _b, поскольку только сумма φ должна удовлетворять эти условия. Отсюда следует, что P просто пропорционален электрическому полю из -за зарядов, выбранных в качестве связанных, с граничными условиями, которые оказываются удобными. В частности, когда нет свободной зарядки, один из возможных выборов - p = ε ₀ e .

Далее обсуждается, как несколько разных описаний дипольных моментов среды связаны с поляризацией, вступающей в уравнения Максвелла.

Средний с зарядом и плотностью диполя

Как описано дальше, модель для плотности момента поляризации P ( R ) приводит к поляризации $$\mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} (\mathbf {r} )$$ ограничен той же моделью. Для плавно изменяющегося распределения дипольного момента p ( r ) соответствующая плотность связанного заряда - просто $$\nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=-\rho _{b},$$ как мы будем вскоре установить интеграцию по частям . Однако, если p ( r ) демонстрирует резкий шаг в дипольном моменте на границе между двумя областями, ∇ · p ( r ) приводит к компоненту поверхностного заряда связанного заряда. Этот поверхностный заряд можно обработать через поверхностный интеграл или с использованием условий разрыва на границе, как показано в различных примерах ниже.

В качестве первого примера, связывающего дипольный момент с поляризацией, рассмотрим среду, состоящую из непрерывной плотности заряда ρ ( r ) и непрерывного распределения дипольного момента p ( r ). Потенциал в позиции R : $$\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\ +{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0},$$

где ρ ( r ) - непарная плотность заряда, а P ( R ) - плотность дипольного момента. Использование личности: $$\nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}$$ Интеграл поляризации может быть преобразован: $${\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|^{3}}}d^{3}\mathbf {r} _{0}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot \nabla _{\mathbf {r} _{0}}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\\={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0},\end{aligned}}$$ где векторная идентичность $$\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\implies \mathbf {A} \cdot (\nabla {B})=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}$$ использовался в последних шагах. Первый термин может быть преобразован в интеграл над поверхностью, ограничивающей объем интеграции, и способствует плотности поверхностного заряда, обсуждается позже. Вернуть этот результат обратно в потенциал и игнорировать поверхностный заряд на данный момент: $$\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,,$$ где объемная интеграция распространяется только на ограничивающую поверхность и не включает эту поверхность.

Потенциал определяется общим зарядом, который показан выше, состоит из: $$\rho _{\text{total}}\left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho \left(\mathbf {r} _{0}\right)-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\,,$$ показывая это: $$-\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)=\rho _{b}\,.$$

Короче говоря, плотность дипольного момента p ( r ) играет роль плотности поляризации P для этой среды. Уведомление, P ( R ) имеет ненулевую дивергенцию, равную плотности связанного заряда (как моделировано в этом приближении).

Можно отметить, что этот подход может быть расширен, чтобы включить все мультиузии: диполь, квадруполь и т. Д. Используя отношение: $$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}\,,$$

Найдится плотность поляризации: $$\mathbf {P} (\mathbf {r} )=\mathbf {p} _{\text{dip}}-\nabla \cdot \mathbf {p} _{\text{quad}}+\cdots \,,$$

где добавленные термины предназначены для указания вкладов из более высоких мультиулов. Очевидно, включение более высоких мультиулов означает, что плотность поляризации P больше не определяется плотностью дипольного момента P. только Например, при рассмотрении рассеяния из массива заряда различные мультиузии разбросают электромагнитную волну по -разному и независимо, требуя представления зарядов, которые выходят за рамки дипольного приближения.

Поверхностный заряд

Единый массив идентичных диполей эквивалентен поверхностному заряду.

Выше обсуждение было отложено на первый термин в выражении для потенциала из -за диполей. Интеграция дивергенции приводит к поверхностному заряду. Рисунок справа дает интуитивно понятное представление о том, почему возникает поверхностный заряд. На рисунке показан равномерный массив идентичных диполей между двумя поверхностями. Внутренне головы и хвосты диполей примыкают и отменяют. Однако на ограничивающих поверхностях не происходит отмены. Вместо этого на одной поверхности дипольные головки создают положительный поверхностный заряд, в то время как на противоположной поверхности дипольные хвосты создают отрицательный поверхностный заряд. Эти два противоположных поверхностных заряда создают чистое электрическое поле в направлении, противоположном направлению диполей.

Эта идея дается математическая форма с использованием потенциального выражения выше. Игнорируя бесплатную зарядку, потенциал: $$\phi \left(\mathbf {r} \right)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}d^{3}\mathbf {r} _{0}\,.$$

Используя теорему дивергенции , термин дивергенции превращается в интеграл поверхности: $${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \nabla _{\mathbf {r} _{0}}\cdot \left(\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right){\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\right)d^{3}\mathbf {r} _{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {p} \left(\mathbf {r} _{0}\right)\cdot d\mathbf {A} _{0}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\,,$$

с d a ₀ элемент площади поверхности объема. В случае, если P ( R ) является постоянной, только поверхностный термин выживает: $$\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,$$ с d a ₀ элементарная область поверхности, ограничивающая заряды. В словах, потенциал, вызванный постоянной P внутри поверхности, эквивалентен потенциалу поверхностного заряда $$\sigma =\mathbf {p} \cdot d\mathbf {A}$$ что положительно для поверхностных элементов с компонентом в направлении P и отрицательно для поверхностных элементов, указанных на противоположности. (Обычно направление поверхностного элемента считается направлением внешнего нормального на поверхность в месте элемента.)

Если ограничивающая поверхность является сферой, а точка наблюдения находится в центре этой сферы, интеграция над поверхностью сферы равна нулю: положительный и отрицательный вклад поверхностного заряда в потенциальную отмену. Однако, если точка наблюдения не в центре, может возникнуть чистый потенциал (в зависимости от ситуации), потому что положительные и отрицательные заряды находятся на разных расстояниях с точки наблюдения. Поле из -за заряда поверхности: $$\mathbf {E} \left(\mathbf {r} \right)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla _{\mathbf {r} }\int {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right|}}\ \mathbf {p} \cdot d\mathbf {A} _{0}\,,$$ который, в центре сферической ограничивающей поверхности, не равен нулю ( поля негативных и положительных зарядов на противоположных сторонах центра добавляют, потому что оба поля указывают одинаково), но вместо этого: это: это: $$\mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{3\varepsilon _{0}}}\,.$$

Если мы предполагаем, что поляризация диполей была вызвана внешним полем, поляризационное поле выступает против приложенного поля и иногда называется полем деполяризации . В случае, когда поляризация находится за пределами сферической полости, поле в полости из -за окружающих диполей находится в том же направлении, что и поляризация.

В частности, если электрическая восприимчивость вводится через приближение: $$\mathbf {p} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,,$$ где E , в данном случае и ниже, представляет внешнее поле , которое вызывает поляризацию.

Затем: $$\nabla \cdot \mathbf {p} (\mathbf {r} )=\nabla \cdot \left(\chi (\mathbf {r} )\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} )\right)=-\rho _{b}\,.$$

Всякий раз, когда χ ( R ) используется для моделирования разрыва шага на границе между двумя областями, шаг дает слой поверхностного заряда. Например, интеграция вдоль нормальной к ограничивающей поверхности от точки только в одной поверхности к другой точке. $$\varepsilon _{0}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \left[\chi \left(\mathbf {r} _{+}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{+}\right)-\chi \left(\mathbf {r} _{-}\right)\mathbf {E} \left(\mathbf {r} _{-}\right)\right]={\frac {1}{A_{n}}}\int d\Omega _{n}\ \rho _{b}=0\,,$$

где n _и , ω _n указывают площадь и объем элементарной области, пробивая границу между областями ${\hat {\mathbf {n} }}$ единица нормальной к поверхности. Правая сторона исчезает по мере того, как объем уменьшается, поскольку ρ _b конечно, что указывает на разрыв в E , и, следовательно, поверхностный заряд. То есть, где смоделированная среда включает в себя этап диэлектрической проницаемости, плотность поляризации, соответствующая плотности дипольного момента $$\mathbf {p} (\mathbf {r} )=\chi (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )$$

обязательно включает вклад поверхностного заряда.

Физически более реалистичное моделирование p ( r ) будет быстро опуститься на плотность дипольного момента, но плавно до нуля на границе ограничивающей области, а не наносят внезапный шаг к нулевой плотности. Тогда поверхностный заряд не будет концентрироваться на бесконечно тонкой поверхности, но вместо этого, будучи дивергенцией плавно изменяющейся плотности дипольного момента, будет распределять себя по тонкому, но конечному переходному слою.

Диэлектрическая сфера в равномерном внешнем электрическом поле

Полевые линии -поля D в диэлектрической сфере с большей восприимчивостью , чем его окружение, помещенные в ранее равномерное поле. E Полевые линии -Field . ( не показаны) совпадают с линии D -поля, но внутри сферы их плотность ниже, что соответствует тому факту, что E -Field слабее внутри сферы, чем снаружи Многие из внешних линий E -Field заканчиваются на поверхности сферы, где есть связанный заряд.

Вышеуказанные общие замечания о поверхностном заряде становятся более бетонными, рассматривая пример диэлектрической сферы в равномерном электрическом поле. Обнаружено, что сфера применяет поверхностный заряд, связанный с дипольным моментом его интерьера.

Предполагается, что равномерное внешнее электрическое поле указывает на Z -направление, и вводятся сферические координаты, поэтому потенциал, созданный этим полем: $$\phi _{\infty }=-E_{\infty }z=-E_{\infty }r\cos \theta \,.$$

Предполагается, что сфера описана диэлектрической постоянной κ , то есть $$\mathbf {D} =\kappa \varepsilon _{0}\mathbf {E} \,,$$

и внутри сферы потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Пропустив несколько деталей, решение внутри сферы: $$\phi _{<}=Ar\cos \theta \,,$$

В то время как за пределами сферы: $$\phi _{>}=\left(Br+{\frac {C}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.$$

На больших расстояниях φ _> → φ _∞, поэтому B = - E _∞ . Непрерывность потенциала и радиального компонента смещения d = κε ₀ e определяют две другие константы. Предположим, что радиус сферы - r , $$A=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }\ ;\ C={\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }R^{3}\,,$$

Как следствие, потенциал: $$\phi _{>}=\left(-r+{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}{\frac {R^{3}}{r^{2}}}\right)E_{\infty }\cos \theta \,,$$ который является потенциалом из -за приложенного поля и, кроме того, диполь в направлении приложенного поля ( z -направление) дипольного момента: $$\mathbf {p} =4\pi \varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}R^{3}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,$$

или, за единицу объема: $${\frac {\mathbf {p} }{V}}=3\varepsilon _{0}\left({\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,.$$

Коэффициент ( κ - 1)/( κ + 2) называется фактором Клаузиуса -Моссотти и показывает, что индуцированная поляризация переворачивает знак, если κ <1. Конечно, это не может произойти в этом примере, но в примере с двумя разными Диэлектрики κ заменяются соотношением диэлектрических константов внутренней и внешней области, которые могут быть больше или меньше одного. Потенциал внутри сферы: $$\phi _{<}=-{\frac {3}{\kappa +2}}E_{\infty }r\cos \theta \,,$$

Ведущий к полю внутри сферы: $$-\nabla \phi _{<}={\frac {3}{\kappa +2}}\mathbf {E} _{\infty }=\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}\right)\mathbf {E} _{\infty }\,,$$

показывая деполяризующий эффект диполя. Обратите внимание, что поле внутри сферы равномерное и параллельно приложенному полю. Дипольный момент является равномерным на протяжении всей сферы. Плотность поверхностного заряда на сфере - это разница между компонентами радиального поля: $$\sigma =3\varepsilon _{0}{\frac {\kappa -1}{\kappa +2}}E_{\infty }\cos \theta ={\frac {1}{V}}\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {R} }}\,.$$

Этот линейный диэлектрический пример показывает, что обработка диэлектрической постоянной эквивалентна однородной модели дипольного момента и приводит к нулевому заряду повсюду, за исключением поверхностного заряда на границе сферы.

Общие СМИ

Если наблюдение ограничено областями, достаточно удаленными от системы зарядов, может быть сделано многополиное расширение точной плотности поляризации. Обрезая это расширение (например, сохранив только термины диполя или только дипольные и квадрупольные термины, или и т. Д. ) Результаты предыдущего раздела восстановлены. В частности, усечение расширения на дипольном термине, результат неотличим от плотности поляризации, генерируемой однородным дипольным моментом, ограниченным областью заряда. К точности этого дипольного приближения, как показано в предыдущем разделе, плотность Dipole Moment P ( R ) (которая включает не только P , но и место P ) служит P ( R ).

В местах внутри массива заряда, чтобы соединить массив парных зарядов к приближению, включающему только плотность дипольного момента P ( r ), требуют дополнительных соображений. Самое простое приближение - заменить массив заряда моделью идеальных (бесконечно массивных) диполей. В частности, как в приведенном выше примере, в которой используется постоянная плотность дипольного момента, ограниченная конечной областью, результаты поверхностного заряда и поля деполяризации. Более общей версией этой модели (которая позволяет поляризации варьироваться в зависимости от положения) является обычный подход с использованием электрической восприимчивости или электрической диэлектрической проницаемости .

Более сложная модель массива точечного заряда вводит эффективную среду, усредняя микроскопические заряды; Например, усреднение может организовать, что только дипольные поля играют роль. Связанный подход состоит в том, чтобы разделить заряды на те, кто находится поблизости в точке наблюдения, и те, кто достаточно далеко, чтобы позволить мультипольную расширение. Затем ближайшие заряды вызывают местные полевые эффекты . В общей модели этого типа отдаленные заряды рассматриваются как однородная среда с использованием диэлектрической постоянной, а близлежащие заряды обрабатываются только в дипольном приближении. Приближение среды или массива зарядов только диполями и связанной с ними плотностью дипольного момента иногда называют точечным дипольным приближением, дискретным дипольным аппроксимацией или просто дипольным аппроксимацией .

Электрические дипольные моменты фундаментальных частиц

Чтобы не путать с магнитными дипольными моментами частиц, много экспериментальной работы продолжается при измерении электрических дипольных моментов (EDM; или аномального электрического дипольного момента ) фундаментальных и составных частиц, а именно моментов электронов и нейтрона , соответственно. Поскольку EDM нарушают как паритет (P), так и симметрии, обрабатывающую по времени (T), их значения дают в основном независимую от модели меру CP-проации в природе (при условии, что симметрия CPT действительна). Следовательно, значения для этих EDM накладывают сильные ограничения на шкалу CP-проации, который может позволить расширения стандартной модели физики частиц . Текущие поколения экспериментов предназначены для чувствительности к -суперсимметрии диапазону EDMS , обеспечивая дополнительные эксперименты для тех, кто проводится в LHC .

Действительно, многие теории несовместимы с текущими пределами и эффективно исключены, и установленная теория допускает гораздо большую ценность, чем эти пределы, что приводит к сильной проблеме CP и побуждает поиск новых частиц, таких как аксиона .

Мы знаем, по крайней мере, в секторе Юкава из нейтральных колебаний Каона, которые разбит CP. Были проведены эксперименты для измерения электрического дипольного момента различных частиц, таких как электрон и нейтрон . Многие модели за пределами стандартной модели с дополнительными CP-ажиолированными терминами в целом предсказывают ненулевой электрический дипольный момент и, следовательно, чувствительны к такой новой физике. Установки Instanton с ненулевого θ -члена в квантовой хромодинамике предсказывают ненулевой электрический дипольный момент для нейтрона и протона, которые не наблюдались в экспериментах (где лучшие границы исходят из -за анализа нейтронов). Это сильная проблема CP и предсказание теории хирального возмущения .

Дипольные моменты молекул

Дипольные моменты в молекулах ответственны за поведение вещества в присутствии внешних электрических полей. Диполи, как правило, выровняются с внешним полем, которое может быть постоянным или зависимым от времени. Этот эффект является основой современной экспериментальной техники, называемой диэлектрической спектроскопией .

Дипольные моменты можно найти в общих молекулах, таких как вода, а также в биомолекулах, таких как белки.

С помощью общего дипольного момента некоторого материала можно вычислить диэлектрическую постоянную, которая связана с более интуитивной концепцией проводимости. Если ${\mathcal {M}}_{\rm {Tot}}$ это общий дипольный момент образца, затем диэлектрическая постоянная дается, $$\varepsilon =1+k\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle$$ где K является постоянным и $\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}^{2}\right\rangle =\left\langle {\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0){\mathcal {M}}_{\text{Tot}}(t=0)\right\rangle$ это временная корреляционная функция общего дипольного момента. В целом, в общем дипольном моменте вносится вклад от переводов и вращений молекул в образце, $${\mathcal {M}}_{\text{Tot}}={\mathcal {M}}_{\text{Trans}}+{\mathcal {M}}_{\text{Rot}}.$$

Следовательно, диэлектрическая постоянная (и проводимость) имеет вклад из обоих терминов. Этот подход может быть обобщен для вычисления диэлектрической функции, зависящей от частоты.

Можно рассчитать дипольные моменты из теории электронной структуры , либо в ответ на постоянные электрические поля, либо по матрице плотности. Такие значения, однако, непосредственно сравнимы с экспериментом из -за потенциального присутствия ядерных квантовых эффектов, что может быть существенным для даже простых систем, таких как молекула аммиака. Теория связанных кластеров (особенно CCSD (T) ) может дать очень точные дипольные моменты, Хотя можно получить разумные оценки (примерно в 5%) от теории функционала плотности , особенно если гибридные или двойные гибридные функции. используются Дипольный момент молекулы также может быть рассчитан на основе молекулярной структуры с использованием концепции методов группового вклада.

Смотрите также

• Аномальный магнитный дипольный момент
• Связанный дипольный момент
• Момент нейтронного электрического дипольного момента
• Электронный электрический дипольный момент
• Тороидальный дипольный момент
• Динамический тороидальный диполь
• Мультипольное расширение
• Мультипольные моменты
• Твердые гармоники
• Осевые мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты
• Сферические моменты мультиполя
• Расширение Лапласа
• Legendre Molynomials

Дальнейшее чтение

• Мелвин Шварц (1987). «Электрический дипольный момент» . Принципы электродинамики (переиздание 1972 года изд.). Публикации курьера. п. 49 фр . ISBN  978-0-486-65493-5 .

Внешние ссылки

• Электрический дипольный момент - из мира физики Эрика Вайсштейна
• Электростатическая дипольная многопользовательская модель