Призматический однородный 4-многогранник
В четырехмерной геометрии призматический однородный 4-многогранник — это однородный 4-многогранник с несвязной группой симметрии диаграммы Кокстера . [ нужна ссылка ] Эти фигуры аналогичны набору однородных многогранников призм и антипризм , но добавляют третью категорию, называемую дуопризмами , построенную как произведение двух правильных многоугольников.
Призматические однородные 4-многогранники состоят из двух бесконечных семейств:
- Многогранные призмы : произведения отрезка и однородного многогранника. Это семейство бесконечно, поскольку в него входят призмы, построенные на основе трехмерных призм и антипризм .
- Дуопризмы : произведение двух правильных многоугольников.
Выпуклые многогранные призмы
[ редактировать ]Наиболее очевидным семейством призматических 4-многогранников являются многогранные призмы, т.е. произведения многогранника с отрезком . Ячейками такого 4-многогранника являются два одинаковых однородных многогранника, лежащие в параллельных гиперплоскостях ( ячейки основания ) и соединяющий их слой призм ( боковые ячейки). В это семейство входят призмы для 75 непризматических однородных многогранников (из них 18 выпуклых; одна из них, куб-призма, указана выше как тессеракт ). [ нужна ссылка ]
Существует 18 выпуклых многогранных призм, созданных из 5 платоновых тел и 13 архимедовых тел, а также для бесконечных семейств трехмерных призм и антипризм . [ нужна ссылка ] Число симметрии многогранной призмы в два раза больше, чем у базового многогранника.
Четырехгранные призмы: А 3 × А 1
[ редактировать ]| # | Имя Джонсона (аббревиатура в стиле Бауэрса) | Картина | Диаграмма Кокстера и Шлефли символы | Ячейки по типу | Количество элементов | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Клетки | Лица | Края | Вершины | |||||||
| 48 | Тетраэдрическая призма (тепе) |  |     {3,3}×{} | 2  3.3.3 | 4  3.4.4 | 6 | 8 {3} 6 {4} | 16 | 8 | |
| 49 | Усеченная тетраэдрическая призма (туттип) |  | т{3,3}×{} | 2  3.6.6 | 4 3.4.4 | 4  4.4.6 | 10 | 8 {3} 18 {4} 8 {6} | 48 | 24 |
| [51] | Выпрямленная тетраэдрическая призма (То же, что и октаэдрическая призма ) (опе) |  | г{3,3}×{} | 2  3.3.3.3 | 4 3.4.4 | 6 | 16 {3} 12 {4} | 30 | 12 | |
| [50] | Кантелляционная тетраэдрическая призма (То же, что и кубооктаэдрическая призма ) (копия) |  | рр{3,3}×{} | 2  3.4.3.4 | 8 3.4.4 | 6  4.4.4 | 16 | 16 {3} 36 {4} | 60 | 24 |
| [54] | Кантиусеченная тетраэдрическая призма (То же, что и усеченная октаэдрическая призма ) (вершина) |  | тр{3,3}×{} | 2  4.6.6 | 8 3.4.4 | 6 4.4.4 | 16 | 48 {4} 16 {6} | 96 | 48 |
| [59] | Вздернутая тетраэдрическая призма (То же, что икосаэдрическая призма ) (ipe) |  |  ср{3,3}×{} | 2  3.3.3.3.3 | 20 3.4.4 | 22 | 40 {3} 30 {4} | 72 | 24 | |
Октаэдрические призмы: BC 3 × A 1
[ редактировать ]| # | Имя Джонсона (аббревиатура в стиле Бауэрса) | Картина | Диаграмма Кокстера и Шлефли символы | Ячейки по типу | Количество элементов | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Клетки | Лица | Края | Вершины | ||||||||
| [10] | Кубическая призма (то же, что и тессеракт ) (То же, что и дуопризма 4-4 ) (tes) |  |  {4,3}×{} | 2 4.4.4 | 6 4.4.4 | 8 | 24 {4} | 32 | 16 | ||
| 50 | Кубооктаэдрическая призма (То же, что и кантелляционная тетраэдрическая призма ) (корпус) | | г{4,3}×{} | 2 3.4.3.4 | 8 3.4.4 | 6 4.4.4 | 16 | 16 {3} 36 {4} | 60 | 24 | |
| 51 | Октаэдрическая призма (То же, что и выпрямленная тетраэдрическая призма ) (То же, что и треугольная антипризматическая призма ) (опе) | | {3,4}×{} | 2 3.3.3.3 | 8 3.4.4 | 10 | 16 {3} 12 {4} | 30 | 12 | ||
| 52 | Ромбокубооктаэдрическая призма (сиркопа) |  | рр{4,3}×{} | 2  3.4.4.4 | 8 3.4.4 | 18 4.4.4 | 28 | 16 {3} 84 {4} | 120 | 96 | |
| 53 | Усеченная кубическая призма (тикап) |  | т{4,3}×{} | 2  3.8.8 | 8 3.4.4 | 6  4.4.8 | 16 | 16 {3} 36 {4} 12 {8} | 96 | 48 | |
| 54 | Усеченная октаэдрическая призма (То же, что и остроконечная тетраэдрическая призма ) (вершина) | | т{3,4}×{} | 2 4.6.6 | 6 4.4.4 | 8 4.4.6 | 16 | 48 {4} 16 {6} | 96 | 48 | |
| 55 | Усеченная кубооктаэдрическая призма (гиркопа) |  | тр{4,3}×{} | 2  4.6.8 | 12 4.4.4 | 8 4.4.6 | 6 4.4.8 | 28 | 96 {4} 16 {6} 12 {8} | 192 | 96 |
| 56 | Курносая кубическая призма (сникап) |  | ср{4,3}×{} | 2  3.3.3.3.4 | 32 3.4.4 | 6 4.4.4 | 40 | 64 {3} 72 {4} | 144 | 48 | |
Икосаэдрические призмы: H 3 × A 1
[ редактировать ]| # | Имя Джонсона (аббревиатура в стиле Бауэрса) | Картина | Диаграмма Кокстера и Шлефли символы | Ячейки по типу | Количество элементов | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Клетки | Лица | Края | Вершины | ||||||||
| 57 | Додекаэдрическая призма (наркотик) |  |  {5,3}×{} | 2  5.5.5 | 12  4.4.5 | 14 | 30 {4} 24 {5} | 80 | 40 | ||
| 58 | Икосододекаэдральная призма (иддип) |  | г{5,3}×{} | 2  3.5.3.5 | 20 3.4.4 | 12 4.4.5 | 34 | 40 {3} 60 {4} 24 {5} | 150 | 60 | |
| 59 | Икосаэдральная призма (то же, что курносая тетраэдрическая призма ) (ipe) | | {3,5}×{} | 2 3.3.3.3.3 | 20 3.4.4 | 22 | 40 {3} 30 {4} | 72 | 24 | ||
| 60 | Усеченная додекаэдрическая призма (пичка) |  | т{5,3}×{} | 2  3.10.10 | 20 3.4.4 | 12  4.4.5 | 34 | 40 {3} 90 {4} 24 {10} | 240 | 120 | |
| 61 | Ромбикосододекаэдральная призма (сриддип) |  | рр{5,3}×{} | 2  3.4.5.4 | 20 3.4.4 | 30 4.4.4 | 12 4.4.5 | 64 | 40 {3} 180 {4} 24 {5} | 300 | 120 |
| 62 | Усеченная икосаэдрическая призма (острие) |  | т{3,5}×{} | 2  5.6.6 | 12 4.4.5 | 20 4.4.6 | 34 | 90 {4} 24 {5} 40 {6} | 240 | 120 | |
| 63 | Усеченная икосододекаэдральная призма (сетка) |  | тр{5,3}×{} | 2  4.6.4.10 | 30 4.4.4 | 20 4.4.6 | 12 4.4.10 | 64 | 240 {4} 40 {6} 24 {5} | 480 | 240 |
| 64 | Курносая додекаэдральная призма (сниддип) |  | ср{5,3}×{} | 2  3.3.3.3.5 | 80 3.4.4 | 12 4.4.5 | 94 | 240 {4} 40 {6} 24 {10} | 360 | 120 | |
Дуопризмы: [p] × [q]
[ редактировать ] 3-3 |  3-4 |  3-5 |  3-6 |  3-7 |  3-8 |
 4-3 |  4-4 |  4-5 |  4-6 |  4-7 |  4-8 |
 5-3 |  5-4 |  5-5 |  5-6 |  5-7 |  5-8 |
 6-3 |  6-4 |  6-5 |  6-6 |  6-7 |  6-8 |
 7-3 |  7-4 |  7-5 |  7-6 |  7-7 |  7-8 |
 8-3 |  8-4 |  8-5 |  8-6 |  8-7 |  8-8 |
Второе — бесконечное семейство однородных дуопризм , произведений двух правильных многоугольников .
Их диаграмма Кокстера имеет вид 
Это семейство пересекается с первым: когда один из двух «факторных» многоугольников является квадратом, произведение эквивалентно гиперпризме, основанием которой является трехмерная призма. Число симметрии дуопризмы, факторами которой являются p -угольник и q -угольник (« p,q -дуопризма»), равно 4 pq , если p ≠ q ; если оба фактора являются p -угольниками, число симметрии равно 8 p 2 . Тессеракт также можно считать 4,4-дуопризмой.
Элементами p,q -дуопризмы ( p ≥ 3, q ≥ 3) являются:
- Ячейки: pq - гональные призмы, qp - гональные призмы.
- Грани: pq квадраты, p q -угольники, q p -угольники
- Края: 2 шт.
- Вершины: pq
Не существует единого четырехмерного аналога бесконечного семейства трехмерных антипризм, за исключением великой дуоантипризмы .
Бесконечный набор дуопризм pq - - p q -угольные призмы, q p -угольные призмы:
- 3-3 дуопризма -
- 6 треугольных призм - 3-4 дуопризма -
- 3 куба, 4 треугольные призмы - 4-4 дуопризмы - - 8 кубиков (такие же, как тессеракт )
- 3-5 дуопризма -
- 3 пятиугольные призмы, 5 треугольных призм - 4-5 дуопризма - - 4 пятиугольные призмы, 5 кубиков
- 5-5 дуопризма - - 10 пятиугольных призм
- 3-6 дуопризма -
- 3 шестиугольные призмы, 6 треугольных призм - 4-6 дуопризма - - 4 шестиугольные призмы, 6 кубиков
- 5-6 дуопризма - - 5 шестиугольных призм, 6 пятиугольных призм
- 6-6 дуопризма - - 12 шестиугольных призм
- ...
Многоугольные призматические призмы
[ редактировать ]Бесконечное множество однородных призматических призм перекрывается с 4-p дуопризмами: (p≥3) - - p- кубы и 4- p -угольные призмы - (все такие же, как 4-p-дуопризма )
- Треугольная призматическая призма - - 3 куба и 4 треугольные призмы - (то же, что и 3-4 дуопризма )
- Квадратная призматическая призма - - 4 куба и 4 куба - (то же самое, что 4-4 дуопризмы и то же, что тессеракт )
- Пятиугольная призматическая призма - - 5 кубов и 4 пятиугольные призмы - (то же, что и 4-5 дуопризма )
- Шестиугольная призматическая призма - - 6 кубов и 4 шестиугольные призмы - (то же, что и 4-6 дуопризма )
- Семиугольная призматическая призма -
- 7 кубов и 4 семиугольные призмы - (то же, что и 4-7 дуопризма ) - Восьмиугольная призматическая призма -
- 8 кубов и 4 восьмиугольные призмы - (то же, что и 4-8 дуопризма ) - ...
Равномерная антипризматическая призма
[ редактировать ]Бесконечные множества однородных антипризматических призм или антидуопризм построены из двух параллельных однородных антипризм : (p≥3) - - 2 p -угольные антипризмы, соединенные 2 p -угольными призмами и 2p- треугольными призмами.
| Имя | с{2,2}×{} | с{2,3}×{} | с{2,4}×{} | с{2,5}×{} | с{2,6}×{} | с{2,7}×{} | с{2,8}×{} | с{2,р}×{} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Коксетер диаграмма |  |  |  |  |  |   |  | |
| Изображение |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Вертекс фигура |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Клетки | 2 с{2,2} (2) {2}×{}= {4} 4 {3}×{} | 2 с{2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{} | 2 с{2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{} | 2 с{2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{} | 2 с{2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{} | 2 с{2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{} | 2 с{2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{} | 2 с{2,п} 2 {p}×{} 2 п {3}×{} |
| Сеть |  |  |  |  |  |  |  |  |
P -угольная антипризматическая призма имеет 4p -треугольника, 4p- квадрата и 4 p-угольника. Он имеет ребра 10p и 4p вершины .
Ссылки
[ редактировать ]- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
- Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий язык), Марко Мёллер, докторская диссертация, 2004 г.
- Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» .