Список тригонометрических тождеств

В тригонометрии , тригонометрические тождества — это равенства , которые включают тригонометрические функции и верны для любого значения встречающихся переменных для которых определены обе части равенства. Геометрически это тождества, включающие в себя определенные функции одного или нескольких углов . Они отличаются от тождеств треугольника , которые потенциально включают в себя углы, но также включают длины сторон или другие длины треугольника .

Эти тождества полезны всякий раз, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Важным применением является интегрирование нетригонометрических функций: общий метод предполагает сначала использование правила замены тригонометрической функцией , а затем упрощение полученного интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Пифагорейские идентичности

Основная статья: Пифагорейское тригонометрическое тождество

Тригонометрические функции и обратные им на единичной окружности. Все прямоугольные треугольники подобны, то есть соотношения между соответствующими сторонами одинаковы. Для sin, cos и tan радиус единичной длины образует гипотенузу определяющего их треугольника. Взаимные тождества возникают как отношения сторон в треугольниках, где эта единичная линия больше не является гипотенузой. Треугольник, закрашенный синим цветом, иллюстрирует идентичность. $1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$, а красный треугольник показывает, что $\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$.

Основное соотношение между синусом и косинусом задается тождеством Пифагора:

$$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$$

где $\sin ^{2}\theta$ означает $(\sin \theta )^{2}$ и $\cos ^{2}\theta$ означает $(\cos \theta )^{2}.$

Это можно рассматривать как версию теоремы Пифагора и следует из уравнения $x^{2}+y^{2}=1$ для единичного круга . Это уравнение можно решить как для синуса, так и для косинуса:

$${\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}$$

где знак зависит квадранта от $\theta .$

Разделив это тождество на $\sin ^{2}\theta$, $\cos ^{2}\theta$, или оба дают следующие тождества: $${\begin{aligned}&1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \\&1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \\&\sec ^{2}\theta +\csc ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \csc ^{2}\theta \end{aligned}}$$

Используя эти тождества, можно выразить любую тригонометрическую функцию через любую другую ( с точностью до знака плюс или минус):

Каждая тригонометрическая функция через каждую из пяти остальных.

с точки зрения	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	$\cos \theta$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec \theta$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	$\tan \theta$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot \theta$

Размышления, сдвиги и периодичность

Исследуя единичную окружность, можно установить следующие свойства тригонометрических функций.

Размышления

Преобразование координат ( a , b ) при сдвиге угла отражения $\alpha$ с шагом ${\frac {\pi }{4}}$.

Когда направление евклидова вектора представлено углом $\theta ,$ это угол, определяемый свободным вектором (начиная с начала координат) и положительным $x$-единичный вектор. Та же концепция может быть применена и к линиям в евклидовом пространстве, где угол определяется параллелью данной линии, проходящей через начало координат и положительную точку. $x$-ось. Если линия (вектор) с направлением $\theta$ отражается относительно линии с направлением $\alpha ,$ тогда направляющий угол $\theta ^{\prime }$ этой отраженной линии (вектора) имеет значение $$\theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .$$

Значения тригонометрических функций этих углов $\theta ,\;\theta ^{\prime }$ для определенных углов $\alpha$ удовлетворяют простым тождествам: либо они равны, либо имеют противоположные знаки, либо используют дополнительную тригонометрическую функцию. Они также известны как формулы приведения .

$\theta$ отражено в $\alpha =0$ нечетные/четные тождества	$\theta$ отражено в $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$	$\theta$ отражено в $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$	$\theta$ отражено в $\alpha ={\frac {3\pi }{4}}$	$\theta$ отражено в $\alpha =\pi$ сравнить с $\alpha =0$
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sin \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\cot \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\sec \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=-\csc \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta \right)=+\tan \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

Сдвиги и периодичность

Преобразование координат ( a , b ) при сдвиге угла $\theta$ с шагом ${\frac {\pi }{2}}$.

Сдвиг на четверть периода	Сдвиг на полпериода	Сдвиг на полные периоды	Период
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

Знаки

Знак тригонометрических функций зависит от квадранта угла. Если ${-\pi }<\theta \leq \pi$ а Sign — знаковая функция ,

$${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },{\tfrac {1}{2}}\pi {\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {1}{2}}\pi \ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {1}{2}}\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {1}{2}}\pi }<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {1}{2}}\pi <\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {1}{2}}\pi },0,{\tfrac {1}{2}}\pi ,\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}$$

Тригонометрические функции периодические с общим периодом. $2\pi ,$ поэтому для значений θ вне интервала $({-\pi },\pi ],$ они принимают повторяющиеся значения (см. § Сдвиги и периодичность выше).

Тождества угловой суммы и разности

См. Также: Доказательства тригонометрических тождеств § Тождества суммы углов и Приближение малых углов § Сумма и разность углов.

Иллюстрация формул сложения синуса и косинуса острых углов. Выделенный отрезок имеет единичную длину.

Диаграмма, показывающая тождества угловой разности для $\sin(\alpha -\beta )$ и $\cos(\alpha -\beta )$.

Они также известны как теоремы сложения и вычитания углов (или формулы ). $${\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\sin(\alpha -\beta )&=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha -\beta )&=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}$$

Тождества угловой разности для $\sin(\alpha -\beta )$ и $\cos(\alpha -\beta )$ можно получить из версий суммы углов, подставив $-\beta$ для $\beta$ и используя факты, которые $\sin(-\beta )=-\sin(\beta )$ и $\cos(-\beta )=\cos(\beta )$. Их также можно получить, используя слегка измененную версию рисунка тождеств суммы углов, оба из которых показаны здесь.

Эти тождества суммированы в первых двух строках следующей таблицы, которая также включает тождества суммы и разности для других тригонометрических функций.

Его	$\sin(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Косинус	$\cos(\alpha \pm \beta )$			$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Касательная	$\tan(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Косеканс	$\csc(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$
секанс	$\sec(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$
Котангенс	$\cot(\alpha \pm \beta )$			$=$	${\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
Арксинус	$\arcsin x\pm \arcsin y$			$=$	$\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
Арккосинус	$\arccos x\pm \arccos y$			$=$	$\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$
Арктангенс	$\arctan x\pm \arctan y$			$=$	$\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$
Арккотангенс	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y$			$=$	$\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Синусы и косинусы сумм бесконечного числа углов

Когда сериал ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ сходится абсолютно тогда

$${\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}$$

Потому что сериал ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ сходится абсолютно, то обязательно ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$ и ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$ В частности, в этих двух тождествах появляется асимметрия, не наблюдаемая в случае сумм конечного числа углов: в каждом произведении имеется лишь конечное число синусоидальных множителей, но коконечное число косинусоидальных множителей. Члены с бесконечным числом синусоидальных множителей обязательно будут равны нулю.

Когда только конечное число углов $\theta _{i}$ ненулевые, то только конечное число слагаемых в правой части отличны от нуля, поскольку все синусоидальные множители, кроме конечного числа, обращаются в нуль. Более того, в каждом члене все косинусные множители, кроме конечного числа, равны единице.

Тангенсы и котангенсы сумм

Позволять $e_{k}$ (для $k=0,1,2,3,\ldots$) – k- й степени элементарный симметричный полином от переменных $$x_{i}=\tan \theta _{i}$$для $i=0,1,2,3,\ldots ,$ то есть,

$${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}$$

Затем

$${\begin{aligned}{\tan }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]{\cot }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$$

используя приведенные выше формулы суммы синуса и косинуса.

Количество слагаемых в правой части зависит от количества слагаемых в левой части.

Например: $${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$$

и так далее. Случай лишь конечного числа членов может быть доказан с помощью математической индукции . Случай бесконечного числа членов можно доказать, используя некоторые элементарные неравенства.

Секансы и косеканты сумм

$${\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$$

где $e_{k}$ – k-й степени элементарный симметричный полином от n переменных $x_{i}=\tan \theta _{i},$ $i=1,\ldots ,n,$ а количество слагаемых в знаменателе и количество множителей произведения в числителе зависят от количества слагаемых в сумме слева. Случай только конечного числа членов можно доказать с помощью математической индукции по числу таких членов.

Например,

$${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$$

Теорема Птолемея

Основная статья: теорема Птолемея

Смотрите также: История тригонометрии § Классическая античность.

Диаграмма, иллюстрирующая связь между теоремой Птолемея и тригонометрическим тождеством суммы углов для синуса. Теорема Птолемея утверждает, что сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей. Когда эти длины сторон выражаются через значения sin и cos, показанные на рисунке выше, это дает тригонометрическое тождество суммы углов для синуса: sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .

Теорема Птолемея важна в истории тригонометрических тождеств, поскольку именно ею были впервые доказаны результаты, эквивалентные формулам суммы и разности для синуса и косинуса. Он утверждает, что в вписанном четырехугольнике $ABCD$, как показано на прилагаемом рисунке, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин диагоналей. В особых случаях, когда одна из диагоналей или сторон является диаметром круга, эта теорема непосредственно приводит к тригонометрическим тождествам суммы углов и разности. Зависимость проще всего прослеживается, когда круг построен так, чтобы его диаметр был равен единице, как показано здесь.

По Фалеса теореме $\angle DAB$ и $\angle DCB$ оба угла прямые. Прямоугольные треугольники $DAB$ и $DCB$ оба имеют общую гипотенузу ${\overline {BD}}$ длины 1. Таким образом, сторона ${\overline {AB}}=\sin \alpha$, ${\overline {AD}}=\cos \alpha$, ${\overline {BC}}=\sin \beta$ и ${\overline {CD}}=\cos \beta$.

По теореме о вписанном угле центральный угол, опирающийся на хорду ${\overline {AC}}$ в центре круга угол в два раза больше $\angle ADC$, то есть $2(\alpha +\beta )$. Следовательно, каждый из симметричных пар красных треугольников имеет угол $\alpha +\beta$ в центре. Каждый из этих треугольников имеет гипотенузу длины ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$, поэтому длина ${\overline {AC}}$ является ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$, то есть просто $\sin(\alpha +\beta )$. Другая диагональ четырехугольника - это диаметр длины 1, поэтому произведение длин диагоналей также равно $\sin(\alpha +\beta )$.

Когда эти значения подставляются в утверждение теоремы Птолемея о том, что $|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|$, это дает тригонометрическое тождество суммы углов для синуса: $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$. Формула угловой разности для $\sin(\alpha -\beta )$ может быть получено аналогичным образом, если положить сторону ${\overline {CD}}$ служить диаметром вместо ${\overline {BD}}$.

Формулы нескольких углов и половинных углов

T n — n -й полином Чебышева	$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$
формула де Муавра , i — мнимая единица	$\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$

Многоугольные формулы

Формулы двойного угла

Наглядная демонстрация формулы двойного угла для синуса. Для приведенного выше равнобедренного треугольника с единичными сторонами и углом $2\theta$, площадь ⁠ 1/2 основание × × ⁠ высота рассчитывается в двух ориентациях. В вертикальном положении площадь $\sin \theta \cos \theta$. На его стороне та же самая площадь ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sin 2\theta }$. Поэтому, $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

Формулы удвоения угла.

• $\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =(\sin \theta +\cos \theta )^{2}-1={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
• $\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}$
• $\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
• $\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$
• $\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$
• $\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}={\frac {1+\tan ^{2}\theta }{2\tan \theta }}$

Формулы тройного угла

Формулы тройных углов.

• $\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
• $\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
• $\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)$
• $\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
• $\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}$
• $\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}$

Многоугольные формулы

Формулы для нескольких углов.

• ${\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta \\{}&=2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin(k\pi /n+\theta )\end{aligned}}$
• $\cos(n\theta )=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta$
• $\cos((2n+1)\theta )=(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos(k\pi /(2n+1)-\theta )$
• $\cos(2n\theta )=(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos((1+2k)\pi /(4n)-\theta )$
• $\tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}$

метод Чебышева

Метод Чебышева представляет собой рекурсивный алгоритм нахождения n-й формулы кратного угла, зная $(n-1)$й и $(n-2)$значения.

$\cos(nx)$ можно вычислить из $\cos((n-1)x)$, $\cos((n-2)x)$, и $\cos(x)$ с

$$\cos(nx)=2\cos x\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x).$$

Это можно доказать, сложив формулы

$${\begin{aligned}\cos((n-1)x+x)&=\cos((n-1)x)\cos x-\sin((n-1)x)\sin x\\\cos((n-1)x-x)&=\cos((n-1)x)\cos x+\sin((n-1)x)\sin x\end{aligned}}$$

По индукции следует, что $\cos(nx)$ представляет собой полином от $\cos x,$ так называемый полином Чебышева первого рода, см. Полиномы Чебышева#Тригонометрическое определение .

Сходным образом, $\sin(nx)$ можно вычислить из $\sin((n-1)x),$ $\sin((n-2)x),$ и $\cos x$ с $$\sin(nx)=2\cos x\sin((n-1)x)-\sin((n-2)x)$$Это можно доказать, сложив формулы для $\sin((n-1)x+x)$ и $\sin((n-1)x-x).$

Для целей, аналогичных цели метода Чебышева, для касательной можно записать:

$$\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.$$

Формулы половинного угла

$${\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}$$

Также $${\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}$$

Стол

См. Также: Формула касательного половинного угла.

Их можно показать, используя либо тождества суммы и разности, либо формулы нескольких углов.

	Его	Косинус	Касательная	Котангенс
Формула двойного угла	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
Формула тройного угла	${\begin{aligned}\sin(3\theta )&=-\sin ^{3}\theta +3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )&=\cos ^{3}\theta -3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}$
Формула половинного угла	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left({\text{or }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[3pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[5pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[5pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[5pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\\[5pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for }}\theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\[3pt]&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\[4pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

Тот факт, что формула тройного угла для синуса и косинуса включает в себя степени только одной функции, позволяет связать геометрическую задачу построения циркуля и линейки с трисекции угла алгебраической задачей решения кубического уравнения , что позволяет доказать что трисекция вообще невозможна с использованием данных инструментов теории поля .

Формула вычисления тригонометрических тождеств для угла в одну треть существует, но она требует нахождения нулей кубического уравнения 4 x ³ − 3 x + d = 0 , где $x$ — значение косинуса под углом в одну треть, а d — известное значение косинуса под полным углом. Однако дискриминант этого уравнения положителен, поэтому это уравнение имеет три вещественных корня (из которых только один является решением косинуса трети угла). Ни одно из этих решений не сводится к реальному алгебраическому выражению , поскольку они используют промежуточные комплексные числа под кубическими корнями .

Формулы снижения мощности

Получено решением второго и третьего вариантов формулы косинуса двойного угла.

Его	Косинус	Другой
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

Формула косинусного приведения в степень: наглядная диаграмма. Красный, оранжевый и синий треугольники подобны, а красный и оранжевый треугольники конгруэнтны. Гипотенуза ${\overline {AD}}$ синий треугольник имеет длину $2\cos \theta$. Угол $\angle DAE$ является $\theta$, поэтому база ${\overline {AE}}$ этого треугольника имеет длину $2\cos ^{2}\theta$. Эта длина также равна сумме длин ${\overline {BD}}$ и ${\overline {AF}}$, то есть $1+\cos(2\theta )$. Поэтому, $2\cos ^{2}\theta =1+\cos(2\theta )$. Разделив обе части на $2$ дает формулу приведения степени для косинуса: $\cos ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\cos(2\theta ))}$. Формулу половинного угла для косинуса можно получить, заменив $\theta$ с $\theta /2$ и извлекаем квадратный корень из обеих частей: ${\textstyle \cos \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1+\cos \theta \right)/2}}.}$

Формула снижения синусоидальной мощности: наглядная диаграмма. Заштрихованные синий и зеленый треугольники и треугольник, обведенный красным. $EBD$ все прямоугольные и подобные, и все содержат угол $\theta$. Гипотенуза ${\overline {BD}}$ треугольника, обведенного красным, имеет длину $2\sin \theta$, так что его сторона ${\overline {DE}}$ имеет длину $2\sin ^{2}\theta$. Отрезок линии ${\overline {AE}}$ имеет длину $\cos 2\theta$ и сумма длин ${\overline {AE}}$ и ${\overline {DE}}$ равна длине ${\overline {AD}}$, что равно 1. Следовательно, $\cos 2\theta +2\sin ^{2}\theta =1$. Вычитание $\cos 2\theta$ с обеих сторон и деление на 2 на два дает формулу приведения мощности для синуса: $\sin ^{2}\theta =$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1-\cos(2\theta ))}$. Формулу половинного угла для синуса можно получить, заменив $\theta$ с $\theta /2$ и извлекаем квадратный корень из обеих частей: ${\textstyle \sin \left(\theta /2\right)=\pm {\sqrt {\left(1-\cos \theta \right)/2}}.}$ Обратите внимание, что на этом рисунке также показано на вертикальном отрезке линии ${\overline {EB}}$, что $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$.

В общих чертах полномочия $\sin \theta$ или $\cos \theta$ следующее верно и может быть выведено с использованием формулы Де Муавра , формулы Эйлера и биномиальной теоремы .

если н ...	$\cos ^{n}\theta$	$\sin ^{n}\theta$
n нечетное	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
n четное	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

Тождества произведения к сумме и суммы к произведению

Доказательство косинусного тождества суммы и разности для расчета простафереза ​​с использованием равнобедренного треугольника.

Тождества произведения к сумме или формулы простафереза ​​можно доказать, разложив их правые части с помощью теорем сложения углов . Исторически первые четыре из них были известны как формулы Вернера , в честь Иоганна Вернера , который использовал их для астрономических расчетов. См. амплитудную модуляцию для применения формул преобразования суммы в сумму, а также детектор биений (акустика) и фазовый детектор для применения формул преобразования суммы в произведение.

Тождества произведения к сумме

• $\cos \theta \,\cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
• $\sin \theta \,\sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
• $\sin \theta \,\cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$
• $\cos \theta \,\sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$
• $\tan \theta \,\tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
• $\tan \theta \,\cot \varphi ={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}$
• ${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$
• $\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}\end{cases}}$

Тождества суммы к произведению

Диаграмма, иллюстрирующая тождества суммы и произведения для синуса и косинуса. Синий прямоугольный треугольник имеет угол $\theta$ а красный прямоугольный треугольник имеет угол $\varphi$. Оба имеют гипотенузу длины 1. Вспомогательные углы, называемые здесь $p$ и $q$, построены так, что $p=(\theta +\varphi )/2$ и $q=(\theta -\varphi )/2$. Поэтому, $\theta =p+q$ и $\varphi =p-q$. Это позволяет двум конгруэнтным треугольникам с фиолетовым контуром $AFG$ и $FCE$ должны быть построены, каждый с гипотенузой $\cos q$ и угол $p$ на их базе. Сумма высот красного и синего треугольников равна $\sin \theta +\sin \varphi$, а это равно удвоенной высоте одного фиолетового треугольника, т.е. $2\sin p\cos q$. Письмо $p$ и $q$ в этом уравнении с точки зрения $\theta$ и $\varphi$ дает тождество суммы к произведению для синуса: $\sin \theta +\sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$. Точно так же сумма ширин красного и синего треугольников дает соответствующее тождество для косинуса.

Тождества суммы к произведению следующие:

• $\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
• $\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
• $\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
• $\tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}$

Котангенсное тождество Эрмита

Основная статья: Котангенс Эрмита

Чарльз Эрмит продемонстрировал следующее тождество. Предполагать $a_{1},\ldots ,a_{n}$ являются комплексными числами , никакие два из которых не отличаются на целое число, кратное π . Позволять

$$A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})$$

(в частности, $A_{1,1},$ будучи пустым продуктом , это 1). Затем

$$\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).$$

Простейшим нетривиальным примером является случай n = 2 :

$$\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).$$

Конечные произведения тригонометрических функций

Для взаимно простых целых чисел n , m

$$\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)$$

где T _n — полином Чебышева .

Для функции синуса справедливо следующее соотношение

$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.$$

В более общем смысле для целого числа n > 0

$$\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi +x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k}{n}}\pi -x\right).$$

или записано в терминах аккорда функции ${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$,

$$\operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {k}{n}}2\pi -x\right).$$

Это происходит в результате факторизации многочлена ${\textstyle z^{n}-1}$ на линейные множители (ср. корень из единицы ): для точки z на комплексной единичной окружности и целого числа n > 0 ,

$$z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}z-\exp {\Bigl (}{\frac {k}{n}}2\pi i{\Bigr )}.$$

Линейные комбинации

Для некоторых целей важно знать, что любая линейная комбинация синусоидальных волн одного и того же периода или частоты, но с разными фазовыми сдвигами, также является синусоидальной волной с тем же периодом или частотой, но с другим фазовым сдвигом. Это полезно при синусоиды подборе данных , поскольку измеренные или наблюдаемые данные линейно связаны с a и b неизвестными базиса синфазных и квадратурных компонентов , приведенного ниже, что приводит к более простому якобиану по сравнению с таковым из $c$ и $\varphi$.

Синус и косинус

Линейная комбинация или гармоническое сложение синусоидальных и косинусоидальных волн эквивалентно одной синусоидальной волне со сдвигом фазы и масштабированной амплитудой.

$$a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )$$

где $c$ и $\varphi$ определяются так:

$${\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &={\arctan }{\bigl (}{-b/a}{\bigr )},\end{aligned}}$$

при условии $a\neq 0.$

Произвольный фазовый сдвиг

В более общем смысле для произвольных фазовых сдвигов мы имеем

$$a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )$$

где $c$ и $\varphi$ удовлетворить:

$${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}$$

Более двух синусоидов

См. также: Сложение векторов

Общий случай гласит

$$\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),$$где $$a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})$$и $$\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.$$

Тригонометрические тождества Лагранжа

Эти личности, названные в честь Жозефа Луи Лагранжа : $${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sin k\theta &={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\theta -\cos \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\\[5pt]\sum _{k=0}^{n}\cos k\theta &={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\theta +\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}\end{aligned}}$$для $\theta \not \equiv 0{\pmod {2\pi }}.$

Связанная функция — ядро ​​Дирихле :

$$D_{n}(\theta )=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos k\theta ={\frac {\sin \left(\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin {\tfrac {1}{2}}\theta }}.$$

Подобная идентичность

$$\sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha ={\frac {\sin(2n\alpha )}{2\sin \alpha }}.$$

Доказательство состоит в следующем. Используя тождества суммы углов и разностей , $$\sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B.$$Тогда давайте рассмотрим следующую формулу:

$$2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\ldots +2\sin \alpha \cos(2n-1)\alpha$$и эту формулу можно записать, используя приведенное выше тождество:

$${\begin{aligned}&2\sin \alpha \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha \\&\quad =\sum _{k=1}^{n}(\sin(2k\alpha )-\sin(2(k-1)\alpha ))\\&\quad =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\ldots +(\sin(2n\alpha )-\sin(2(n-1)\alpha ))\\&\quad =\sin(2n\alpha ).\end{aligned}}$$

Итак, разделив эту формулу на $2\sin \alpha$ завершает доказательство.

Некоторые дробно-линейные преобразования

Если $f(x)$ задается дробно-линейным преобразованием $$f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},$$и аналогично $$g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$$затем $$f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.$$

Если говорить более кратко, то если для всех $\alpha$ мы позволяем $f_{\alpha }$ будь тем, кого мы называли $f$ выше, тогда $$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$$

Если $x$ - наклон линии, тогда $f(x)$ - наклон его поворота на угол $-\alpha .$

Связь с комплексной показательной функцией

Основная статья: формула Эйлера

Формула Эйлера гласит, что для любого действительного числа x : $$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$где я — мнимая единица . Замена − x на x дает нам: $$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x.$$

Эти два уравнения можно использовать для вычисления косинуса и синуса в терминах экспоненциальной функции . Конкретно, $$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$$$$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$$

Эти формулы полезны для доказательства многих других тригонометрических тождеств. Например, это е ^{я ( θ + φ )} = и ^я и ^iφ означает, что

cos( θ + φ ) + я sin( θ + φ ) = (cos θ + я sin θ ) (cos φ + я sin φ ) = (cos θ cos φ − sin θ sin φ ) + i (cos θ sin φ + грех θ потому что φ ) .

То, что действительная часть левой части равна действительной части правой части, является формулой сложения углов для косинуса. Равенство мнимых частей дает формулу сложения углов для синуса.

В следующей таблице тригонометрические функции и их обратные выражаются через экспоненциальную функцию и комплексный логарифм .

Функция	Обратная функция
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$
$\operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }$	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

Расширение серии

При использовании разложения в степенной ряд для определения тригонометрических функций получаются следующие тождества:

$$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$$$$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$$

Формулы бесконечного произведения

Для приложений к специальным функциям следующие формулы бесконечного произведения для тригонометрических функций: полезны

$${\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right),\\[10mu]\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),&\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\!{\vphantom {)}}^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

Обратные тригонометрические функции

Основная статья: Обратные тригонометрические функции

Следующие тождества дают результат составления тригонометрической функции с обратной тригонометрической функцией.

$${\begin{aligned}\sin(\arcsin x)&=x&\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arctan x)&=x\\\sin(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\tan(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\sin(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\tan(\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\sin(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\\\end{aligned}}$$

Если мультипликативное обратное значение обеих частей каждого приведенного выше уравнения приводит к уравнениям для $\csc ={\frac {1}{\sin }},\;\sec ={\frac {1}{\cos }},{\text{ and }}\cot ={\frac {1}{\tan }}.$Правая часть приведенной выше формулы всегда будет перевернута.Например, уравнение для $\cot(\arcsin x)$ является: $$\cot(\arcsin x)={\frac {1}{\tan(\arcsin x)}}={\frac {1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$$в то время как уравнения для $\csc(\arccos x)$ и $\sec(\arccos x)$ являются: $$\csc(\arccos x)={\frac {1}{\sin(\arccos x)}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad {\text{ and }}\quad \sec(\arccos x)={\frac {1}{\cos(\arccos x)}}={\frac {1}{x}}.$$

Следующие тождества подразумеваются тождествами отражения . Они держатся всякий раз, когда $x,r,s,-x,-r,{\text{ and }}-s$ находятся в областях определения соответствующих функций. $${\begin{alignedat}{9}{\frac {\pi }{2}}~&=~\arcsin(x)&&+\arccos(x)~&&=~\arctan(r)&&+\operatorname {arccot}(r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arccsc}(s)\\[0.4ex]\pi ~&=~\arccos(x)&&+\arccos(-x)~&&=~\operatorname {arccot}(r)&&+\operatorname {arccot}(-r)~&&=~\operatorname {arcsec}(s)&&+\operatorname {arcsec}(-s)\\[0.4ex]0~&=~\arcsin(x)&&+\arcsin(-x)~&&=~\arctan(r)&&+\arctan(-r)~&&=~\operatorname {arccsc}(s)&&+\operatorname {arccsc}(-s)\\[1.0ex]\end{alignedat}}$$

Также, $${\begin{aligned}\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\{\frac {3\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\\\end{aligned}}$$$$\arccos {\frac {1}{x}}=\operatorname {arcsec} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x$$$$\arcsin {\frac {1}{x}}=\operatorname {arccsc} x\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x$$

Функцию арктангенса можно разложить в ряд: $$\arctan(nx)=\sum _{m=1}^{n}\arctan {\frac {x}{1+(m-1)mx^{2}}}$$

Идентификаторы без переменных

С помощью функции арктангенса имеем $$\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$$

Любопытная закономерность, известная как закон Морри , $$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},$$

является частным случаем тождества, которое содержит одну переменную: $$\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)={\frac {\sin \left(2^{k}x\right)}{2^{k}\sin x}}.$$

Сходным образом, $$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}$$является частным случаем тождества с $x=20^{\circ }$: $$\sin x\cdot \sin \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \sin \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\sin 3x}{4}}.$$

Для случая $x=15^{\circ }$, $${\begin{aligned}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$$

Для случая $x=10^{\circ }$, $$\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.$$

То же косинусное тождество $$\cos x\cdot \cos \left(60^{\circ }-x\right)\cdot \cos \left(60^{\circ }+x\right)={\frac {\cos 3x}{4}}.$$

Сходным образом, $${\begin{aligned}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }&={\frac {\sqrt {3}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {\sqrt {2}}{8}},\\\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }&={\frac {1}{4}}.\end{aligned}}$$

Сходным образом, $${\begin{aligned}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }&=\tan 80^{\circ },\\\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }&=\tan 10^{\circ }.\end{aligned}}$$

Следующее, возможно, не так легко обобщить на тождество, содержащее переменные (но см. объяснение ниже): $$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.$$

Градусная мера перестает быть более удачной, чем радианная мера, когда мы рассматриваем это тождество с 21 в знаменателе: $$\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.$$

Факторы 1, 2, 4, 5, 8, 10 могут прояснить закономерность: это целые числа, меньшие ⁠ 21 / 2 ⁠, которые относительно просты (или не имеют общих простых множителей с) 21. Последние несколько примеров являются следствием основного факта о неприводимых круговых многочленах : косинусы являются действительными частями нулей этих многочленов. ; сумма нулей представляет собой функцию Мёбиуса, рассчитанную (в самом последнем случае выше) 21; выше присутствует только половина нулей. Две идентичности, предшествующие последней, возникают таким же образом: 21 заменяется 10 и 15 соответственно.

Другие косинусные тождества включают: $${\begin{aligned}2\cos {\frac {\pi }{3}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}&=1,\\2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}&=1,\end{aligned}}$$и так далее для всех нечетных чисел, и, следовательно, $$\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.$$

Многие из этих любопытных личностей проистекают из более общих фактов, таких как следующие: $$\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}$$и $$\prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}.$$

Их объединение дает нам $$\prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}$$

Если n — нечетное число ( $n=2m+1$) мы можем использовать симметрии, чтобы получить $$\prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}$$

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта может быть выражена через полином и полюсы. Установив частоту в качестве частоты среза, можно доказать следующее тождество: $$\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}$$

Вычисление π

Эффективный способ вычисления π для большого количества цифр основан на следующем тождестве без переменных, предложенном Machin . Это известно как формула типа Машины : $${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$$или, альтернативно, используя личность Леонарда Эйлера : $${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$$или используя тройки Пифагора : $$\pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.$$

Другие включают: $${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}},$$$$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,$$$${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.$$

В общем случае для чисел t ₁ , ..., t _{n −1} ∈ (−1, 1), для которых θ _n = Σ ^{п -1}
_{k =1} arctan t _k ∈ ( π /4, 3 π /4) , пусть t _n = tan( π /2 − θ _n ) = cot θ _n . Это последнее выражение можно вычислить непосредственно, используя формулу котангенса суммы углов, тангенсы которых равны t ₁ , ..., t _{n −1} , и его значение будет находиться в (−1, 1) . В частности, вычисленное t _n будет рациональным, если все значения t ₁ , ..., t _{n -1} рациональны. Благодаря этим значениям $${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sgn}(t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}$$

где во всех выражениях, кроме первого, мы использовали формулы касательного полуугла. Первые две формулы работают, даже если одно или несколько значений t _k находятся за пределами (−1, 1) . Заметим, что если t = p / q рационально, то (2 t , 1 − t ² , 1 + т ² ) значения в приведенных выше формулах пропорциональны тройке Пифагора (2 pq , q ² − п ² , q ² + р ² ) .

Например, для n = 3 членов: $${\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)$$для любых a , b , c , d > 0 .

Личность Евклида

Евклид показал в книге XIII, предложении 10 своих «Начал» , что площадь квадрата на стороне правильного пятиугольника, вписанного в круг, равна сумме площадей квадратов на сторонах правильного шестиугольника и правильного десятиугольника. вписаны в тот же круг. На языке современной тригонометрии это говорит: $$\sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.$$

Птолемей использовал это предложение для вычисления некоторых углов в своей таблице хорд в книге I, главе 11 « Альмагеста» .

Состав тригонометрических функций

Эти тождества включают тригонометрическую функцию тригонометрической функции:

$\cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)$

$\sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}$

$\cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)$

$\sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}$

где J _i — функции Бесселя .

Дальнейшие «условные» тождества для случая α + β + γ = 180°.

Условное тригонометрическое тождество — это тригонометрическое тождество, которое выполняется, если выполняются заданные условия на аргументы тригонометрических функций. Следующие формулы применимы к произвольным плоским треугольникам и следуют из $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },$ при условии, что функции, входящие в формулы, четко определены (последнее относится только к формулам, в которых встречаются тангенсы и котангенсы). $${\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\1&=\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)&=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\1&=\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)\\\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)-1\\\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )&=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )&=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )&=-2\cos(2\alpha )\cos(2\beta )\cos(2\gamma )+2\\\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )&=2\cos(2\alpha )\,\cos(2\beta )\,\cos(2\gamma )+1\\1&=\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}$$

Исторические сокращения

Основные статьи: Версин и Эксекант

версинус гаверсинус , коверсинус , В навигации и эксеканс использовались . Например, формула гаверсинуса использовалась для расчета расстояния между двумя точками на сфере. Сегодня они используются редко.

Разнообразный

Ядро Дирихле

Основная статья: ядро ​​Дирихле

Ядро Дирихле D _n ( x ) — это функция, встречающаяся по обе стороны следующего тождества: $$1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}x\right)}}.$$

Свертка интегрируемой любой функции периода $2\pi$ с ядром Дирихле совпадает с функцией $n$приближение Фурье-й степени. То же самое справедливо для любой меры или обобщенной функции .

Замена касательной полуугла

Основная статья: Замена касательной полуугла

Если мы установим $$t=\tan {\frac {x}{2}},$$ затем $$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}};\qquad dx={\frac {2\,dt}{1+t^{2}}},$$где $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ иногда сокращается до цис x .

Когда эта замена $t$ для загара ⁠ x / 2 ⁠ используется в исчислении , отсюда следует, что $\sin x$ заменяется на ⁠ 2 т / 1 + т ² ⁠ , $\cos x$ заменяется на ⁠ 1 - т ² / 1 + т ² ⁠ и дифференциал d x заменяется на ⁠ 2 д т / 1 + т ² ⁠ . Тем самым преобразуются рациональные функции $\sin x$ и $\cos x$ рациональным функциям $t$ чтобы найти их первообразные .

Бесконечный продукт Вьета

См. Также: формула Вьета и функция Sinc.

$$\cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .$$

См. также

• Неравенство Аристарха
• Производные тригонометрических функций
• Точные тригонометрические значения (значения синуса и косинуса, выраженные в сурдах)
• Дайте им высохнуть
• Полусторонняя формула
• Гиперболическая функция
• Законы решения треугольников:
  • Закон косинусов
    • Сферический закон косинусов
  • Закон синусов
  • Закон касательных
  • Закон котангенсов
  • Формула Молвейде
• Список интегралов тригонометрических функций
• Мнемоника в тригонометрии
• Прекрасная пентаграмма
• Доказательства тригонометрических тождеств.
• Простафаэрез
• Теорема Пифагора
• Формула касательного полуугла
• Тригонометрическое число
• Тригонометрия
• Использование тригонометрии
• Версинус и гаверсинус

Библиография

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-61272-0 .
• Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы для пяти мест (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN   61-9103
• Селби, Сэмюэл М., изд. (1970), Стандартные математические таблицы (18-е изд.), The Chemical Rubber Co.

Внешние ссылки

• Значения sin и cos, выраженные в сурдах, для целых чисел, кратных 3° и ⁠5 + 5/8 tan , ⁠ ° и для тех же углов и sec и csc
• Полный список тригонометрических формул