Приближения π

Эта страница посвящена истории приближений π ; см. также хронологию расчета π для сводной таблицы. См. также историю π , чтобы узнать о других аспектах эволюции наших знаний о математических свойствах π .

График, показывающий историческую эволюцию рекордной точности числовых приближений к числу пи, измеренную в десятичных знаках (изображено в логарифмическом масштабе; время до 1400 года не показано в масштабе)

Аппроксимации математической константы пи ( π ) в истории математики достигли точности в пределах 0,04% от истинного значения еще до начала нашей эры . В китайской математике к V веку это было улучшено до приближений, соответствующих примерно семи десятичным цифрам.

Дальнейший прогресс не был достигнут до 14 века, когда Мадхава из Сангамаграмы разработал приближения с точностью до одиннадцати, а затем и тринадцати цифр. Джамшид аль-Каши Следующим набрал шестнадцатизначный результат . Математики раннего Нового времени достигли точности в 35 цифр к началу 17-го века ( Людольф ван Сеулен ) и 126 цифр к 19-му веку ( Юрий Вега ), превосходя точность, необходимую для любого мыслимого применения за пределами чистой математики.

Рекорд ручного приближения числа π принадлежит Уильяму Шэнксу , который правильно вычислил 527 десятичных знаков в 1853 году. С середины 20-го века аппроксимация π была задачей электронных цифровых компьютеров (подробный отчет см. В «Хронологии вычислений π »). 28 июня 2024 года текущий рекорд был установлен командой StorageReview Lab с помощью y-cruncher Александра Йи с 202 триллионами (2,02× 10 ¹⁴ ) цифры.

Ранняя история

Самые известные приближения к числу π, датированные до нашей эры, были с точностью до двух десятичных знаков; это было улучшено в китайской математике , особенно к середине первого тысячелетия, до точности семи десятичных знаков. После этого дальнейшего прогресса не наблюдалось до периода позднего средневековья.

Некоторые египтологи утверждали, что древние египтяне использовали приближение π как 22 ⁄ 7 = 3,142857 (примерно на 0,04% выше) еще в Древнем Королевстве . Это утверждение было встречено со скептицизмом.

Вавилонская математика обычно приближала число π к 3, что было достаточно для архитектурных проектов того времени (в частности, это также отражено в описании Храма Соломона в еврейской Библии ). Вавилоняне знали, что это приближение, и одна древневавилонская математическая табличка, раскопанная недалеко от Суз в 1936 году (датированная между 19 и 17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение π как 25/8 , что примерно на = 3,125 0,528% ниже точного значения.

Примерно в то же время египетский математический папирус Ринда (датированный вторым промежуточным периодом , около 1600 г. до н. э., хотя и считается копией более старого текста Среднего царства ) предполагает приближение π как 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 (с точностью до 0,6 процента) путем вычисления площади круга путем аппроксимации восьмиугольником .

Астрономические расчеты в « Шатапатха-брахмане» (ок. VI века до н. э.) используют дробное приближение 339 ⁄ 108 ≈ 3.139 .

Махабхарата (500 г. до н.э. – 300 г. н.э.) предлагает приблизительное соотношение 3 в соотношениях, предложенных в стихах Бхишма Парвы : 6.12.40–45.

...

Согласно памяти, Луна имеет диаметр одиннадцать тысяч йоджан. Его периферийный круг при расчете составляет тридцать три тысячи йоджан.
...
Солнце — восемь тысяч йоджан и еще две тысячи йоджаны в диаметре. Отсюда следует, что его периферийный круг равен тридцати тысячам йоджан.

...

- «стихи: 6.12.40–45, Бхишма Парва из Махабхараты »

В III веке до нашей эры Архимед доказал строгое неравенство. 223 ⁄ 71 < π < 22 ⁄ 7 с помощью правильных 96-угольников (точность 2·10 ⁻⁴ и 4·10 ⁻⁴ , соответственно).

Во II веке нашей эры Птолемей использовал значение 377 ⁄ 120 , первое известное приближение с точностью до трех десятичных знаков (точность 2 · 10 ⁻⁵ ). Это равно $3+8/60+30/60^{2},$ с точностью до двух шестидесятеричных цифр.

Китайский математик Лю Хуэй в 263 году нашей эры вычислил число π между 3,141 024 и 3,142 708 , вписав 96-угольник и 192-угольник; среднее этих двух значений равно 3,141 866 (точность 9·10 ⁻⁵ ).Он также предположил, что 3,14 является достаточно хорошим приближением для практических целей. Ему также часто приписывают более поздний и более точный результат: π ≈ 3927/1250 10 · = 3,1416 (точность 2 ⁻⁶ ), хотя некоторые ученые вместо этого полагают, что это связано с более поздним (V век) китайским математиком Цзу Чунчжи . Известно, что Цзу Чунчжи рассчитал, что число π находится между 3,1415926 и 3,1415927, что соответствует точности семи десятичных знаков. Он также дал два других приближения π : π ≈ 22 ⁄ 7 и π ≈ 355/113 . результат , что не так точно, как его десятичный Последняя дробь представляет собой наилучшее рациональное приближение числа π с использованием менее пяти десятичных цифр в числителе и знаменателе. Результаты Цзу Чунчжи превосходят точность, достигнутую в эллинистической математике, и останутся без улучшений в течение почти тысячелетия.

В Индии эпохи Гуптов (6 век) математик Арьябхата в своем астрономическом трактате Арьябхатия заявил:

Прибавьте 4 к 100, умножьте на 8 и прибавьте к 62 000. Это «приблизительно» длина окружности диаметром 20 000.

— Арьябхатия

Приближение π до четырех десятичных знаков: π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3.1416, Арьябхата заявил, что его результат «приблизительно» ( асанна «приближается») дает длину окружности. Его комментатор 15-го века Нилаканта Сомаяджи ( школа астрономии и математики Кералы ) утверждал, что это слово означает не только то, что это приближение, но и то, что значение несоизмеримо (иррационально) .

Средний возраст

Дальнейший прогресс не был достигнут в течение почти тысячелетия, вплоть до 14 века, когда индийский математик и астроном Мадхава из Сангамаграмы , основатель Керальской школы астрономии и математики , нашел ряд Маклорена для арктангенса, а затем два бесконечных ряда для π . Одна из них теперь известна как серия Мадхавы-Лейбница , основанная на $\pi =4\arctan(1):$

$\pi =4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)$

Другой был основан на $\pi =6\arctan(1/{\sqrt {3}}):$

$\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

Сравнение сходимости двух рядов Мадхавы (того, что с √ 12 темно-синим цветом) и нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn _— аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Он использовал первые 21 член, чтобы вычислить приближение π с точностью до 11 десятичных знаков как 3,141 592 653 59 .

Он также улучшил формулу, основанную на arctan(1), включив поправку:

$\pi /4\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots -{\frac {(-1)^{n}}{2n-1}}\pm {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}$

Неизвестно, как он придумал эту поправку. Используя это, он нашел приближение π с точностью до 13 десятичных знаков при n = 75.

Джамшид аль-Каши (Кашани), персидский астроном и математик , правильно вычислил дробную часть 2 π до 9 шестидесятеричных цифр в 1424 году: и перевел это в 16 десятичных цифр после десятичной точки:

$2\pi \approx 6.2831853071795864,$

что дает 16 правильных цифр для числа π после запятой:

$\pi \approx 3.1415926535897932$

Он достиг такого уровня точности, вычислив периметр правильного многоугольника размером 3 × 2. ²⁸ стороны.

16-19 веков

Во второй половине 16 века французский математик Франсуа Виет обнаружил бесконечное произведение, сходящееся к числу π, известное как формула Вьета .

Немецко-голландский математик Людольф ван Сеулен ( около 1600 г.) вычислил первые 35 десятичных знаков числа π с точностью до 2. ⁶² -гон. Он так гордился этим достижением, что поместил их на своем надгробии .

В «Циклометрике» (1621 г.) Виллеброрд Снеллиус продемонстрировал, что периметр вписанного многоугольника сходится на окружности в два раза быстрее, чем периметр соответствующего описанного многоугольника. Это доказал Христиан Гюйгенс в 1654 году. Снеллиус смог получить семь цифр числа π из 96-стороннего многоугольника .

В 1656 году Джон Уоллис опубликовал произведение Уоллиса :

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots$

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори ( ряд Тейлора для арктангенса ) и тождество ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi =4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239}$ чтобы вычислить 100 цифр числа π (см. § Машинную формулу ниже). В 1719 году Томас де Ланьи использовал аналогичное тождество для вычисления 127 цифр (из которых 112 были правильными). В 1789 году словенский математик Юрий Вега усовершенствовал формулу Джона Мачина , чтобы вычислить первые 140 цифр, из которых первые 126 были правильными. В 1841 году Уильям Резерфорд вычислил 208 цифр, из которых первые 152 были правильными.

Величину такой точности (152 десятичных знака) можно представить в контексте того факта, что окружность самого большого известного объекта, наблюдаемой Вселенной, можно рассчитать по ее диаметру (93   миллиарда световых лет ) с точностью менее одна планковская длина (при 1,6162 × 10 ⁻³⁵  метры (самая короткая единица длины, которая, как ожидается, может быть непосредственно измерена) с использованием числа π, выраженного всего лишь с 62 десятичными знаками.

Английский математик-любитель Уильям Шэнкс в январе 1853 года рассчитал число π до 530 десятичных знаков, из которых первые 527 были правильными (последние несколько, вероятно, были неправильными из-за ошибок округления). Впоследствии в апреле 1853 года он расширил свой расчет до 607 десятичных знаков. но ошибка, допущенная ровно в 530-м десятичном знаке, сделала остальную часть его расчета ошибочной; из-за характера формулы Мачина ошибка распространилась обратно до 528-го знака после запятой, в результате чего снова остались правильными только первые 527 цифр. Двадцать лет спустя в апреле 1873 года Шанкс расширил свои вычисления до 707 десятичных знаков. Поскольку это было расширением его предыдущего расчета, большинство новых цифр также были неверными. Сообщалось, что Шанкс все утро высчитывал новые цифры, а затем весь день проводил, проверяя свою утреннюю работу. Это было самое продолжительное расширение числа π до появления электронного цифрового компьютера три четверти века спустя.

20 и 21 века

Основная статья: Хронология вычислений π § Эпоха электронных компьютеров (с 1949 г.)

В 1910 году индийский математик Шриниваса Рамануджан обнаружил несколько быстро сходящихся бесконечных рядов π , в том числе

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

который вычисляет еще восемь десятичных знаков числа π для каждого члена ряда. Его ряды теперь являются основой для самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для вычисления π . Оценка только первого члена дает значение с точностью до семи десятичных знаков:

$\pi \approx {\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}\approx 3.14159273$

См. серию Рамануджана-Сато .

Начиная с середины 20-го века, все улучшения в расчете числа π делались с помощью калькуляторов или компьютеров .

В 1944–1945 годах Д. Ф. Фергюсон с помощью механического настольного калькулятора обнаружил, что Уильям Шэнкс допустил ошибку в 528-м десятичном знаке и что все последующие цифры были неправильными.

В первые годы существования компьютера число π было расширено до 100 000 десятичных знаков. было вычислено математиком из Мэриленда Дэниелом Шэнксом (не имеющим отношения к вышеупомянутому Уильяму Шэнксу) и его командой в Исследовательской лаборатории ВМС США в Вашингтоне, округ Колумбия. В 1961 году Шэнкс и его команда использовали два разных степенных ряда для вычисления цифр числа π . Во-первых, было известно, что любая ошибка приведет к несколько большему значению, а во-вторых, было известно, что любая ошибка приведет к несколько заниженному значению. И, следовательно, пока две серии давали одни и те же цифры, существовала очень высокая уверенность в их правильности. Первые 100 265 цифр числа π были опубликованы в 1962 году. Авторы обрисовали, что потребуется для вычисления числа π с точностью до 1 миллиона десятичных знаков, и пришли к выводу, что задача выходит за рамки современных технологий, но будет выполнима через пять-семь лет.

В 1989 году братья Чудновские вычислили число π с точностью до более чем 1 миллиарда десятичных знаков на суперкомпьютере IBM 3090, используя следующий вариант бесконечной серии π Рамануджана :

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.$

С тех пор все рекорды были достигнуты с использованием алгоритма Чудновского .В 1999 году Ясумаса Канада и его команда из Токийского университета вычислили число π с точностью до более чем 200 миллиардов десятичных знаков на суперкомпьютере HITACHI SR8000/MPP (128 узлов), используя другой вариант бесконечной серии π Рамануджана . В ноябре 2002 года Ясумаса Канада и его команда из девяти человек использовали Hitachi SR8000 , 64-узловой суперкомпьютер с 1 терабайтом оперативной памяти, чтобы вычислить число π примерно до 1,24 триллиона цифр примерно за 600 часов (25   дней).

Последние записи

1. В августе 2009 года японский суперкомпьютер T2K Open Supercomputer более чем удвоил предыдущий рекорд, вычислив число π примерно до 2,6 триллиона цифр примерно за 73 часа 36 минут.
2. В декабре 2009 года Фабрис Беллард с помощью домашнего компьютера вычислил 2,7 триллиона десятичных цифр числа π . Расчеты проводились в системе счисления по основанию 2 (двоичная), затем результат переводился в систему счисления по основанию 10 (десятичная). Этапы расчета, конвертации и проверки заняли в общей сложности 131 день.
3. Александра Йи, В августе 2010 года Сигэру Кондо использовал y-кранчер чтобы вычислить 5 триллионов цифр числа π . Это был мировой рекорд для любого типа вычислений, но, что немаловажно, он был выполнен на домашнем компьютере, созданном Кондо. Расчет проводился в период с 4 мая по 3 августа, при этом первичная и вторичная проверки заняли 64 и 66 часов соответственно.
4. В октябре 2011 года Сигэру Кондо побил свой собственный рекорд, вычислив десять триллионов (10 ¹³ ) и пятьдесят цифр, используя тот же метод, но с более совершенным оборудованием.
5. В декабре 2013 года Кондо во второй раз побил свой собственный рекорд, вычислив 12,1 триллиона цифр числа π .
6. В октябре 2014 года Сэндон Ван Несс под псевдонимом «houkouonchi» использовал y-cruncher для вычисления 13,3 триллионов цифр числа π .
7. В ноябре 2016 года Питер Труб и его спонсоры рассчитали с помощью y-cruncher и полностью проверили 22,4 триллиона цифр числа π (22 459 157 718 361 ( π ^и  × 10 ¹² )). Расчет занял (с тремя перерывами) 105 дней. ограничением дальнейшего расширения является, прежде всего, пространство для хранения.
8. В марте 2019 года Эмма Харука Ивао, сотрудница Google , вычислила 31,4 (приблизительно 10 π ) триллионов цифр числа Пи с помощью y-cruncher и Google Cloud машин . На это ушёл 121 день.
9. В январе 2020 года Тимоти Малликан объявил о вычислении 50 триллионов цифр за 303 дня.
10. 14 августа 2021 года группа (DAViS) из Университета прикладных наук Граубюндена объявила о завершении вычисления числа π до 62,8 (приблизительно 20 π ) триллионов цифр.
11. 8 июня 2022 года Эмма Харука Ивао объявила в блоге Google Cloud о вычислении 100 триллионов (10 ¹⁴ ) цифры числа π Александра Йи за 158 дней с использованием y-cruncher .
12. 14 марта 2024 года Джордан Ранус, Кевин О'Брайен и Брайан Билер вычислили число π до 105 триллионов цифр, также используя y-cruncher.
13. 28 июня 2024 года команда StorageReview вычислила число π до 202 триллионов цифр, также используя y-cruncher.

Практические приближения

В зависимости от цели расчета π можно аппроксимировать дробями для простоты расчета. Наиболее заметными такими приближениями являются 22 ⁄ 7 ( относительная погрешность около 4·10 ⁻⁴ ) и 355/113 10 (относительная погрешность около 8· ⁻⁸ ). В китайской математике дроби 22/7 и 355/113 известны как Юэлю ( 约率 ; yuēlǜ ; «приблизительное соотношение») и Милю ( 密率 ; mìlǜ ; «близкое соотношение»).

Нематематические «определения» числа π.

Определенную известность имеют юридические или исторические тексты, якобы «определяющие число π как имеющее некую рациональную ценность», такие как « Билль Индианы Пи » 1897 года, в котором утверждалось, что «отношение диаметра и окружности равно пяти четвертям к четырем» (что подразумевало бы « π = 3,2 ») и отрывок в еврейской Библии , который подразумевает, что π = 3 .

Индиана Билл

Основная статья: Индиана Пи Билл

Так называемый «Закон Индианы о Пи» 1897 года часто характеризовался как попытка «закрепить в законодательстве значение числа Пи». Скорее, законопроект касался предполагаемого решения проблемы геометрического « квадратуры круга ».

Законопроект был почти принят Генеральной Ассамблеей Индианы в США, и, как утверждается, он подразумевает ряд различных значений для π , хотя ближе всего к явному утверждению одного из них является формулировка «отношение диаметра и окружности равно пять четвертей к четырем", что составило бы π = 16/5 3,2 = , расхождение почти 2 процента. Профессор математики, случайно присутствовавший в тот день, когда законопроект был вынесен на рассмотрение Сената после того, как он был принят Палатой представителей, помог остановить принятие законопроекта во втором чтении, после чего собрание тщательно высмеяло его перед отложим это на неопределенный срок .

Вмененная библейская ценность

См. Также: Расплавленное море § Приближение π.

Иногда утверждают, что еврейская Библия подразумевает, что « π равно трем», основываясь на отрывке из 3 Царств 7:23 и 2 Паралипоменон 4:2, в котором указаны размеры круглой чаши, расположенной перед Храмом в Иерусалиме , диаметром 10 локтей и окружность 30 локтей.

Этот вопрос обсуждается в Талмуде и раввинистической литературе . Среди множества объяснений и комментариев есть следующие:

• Рабби Неемия объяснил это в своей «Мишнат ха-Миддот» (самый ранний известный еврейский текст по геометрии , около 150 г. н. э.), сказав, что диаметр измерялся от внешнего края, а окружность измерялась вдоль внутреннего края. Эта интерпретация подразумевает поля толщиной около 0,225 локтя (или, если предположить, что «локоть» составляет 18 дюймов, около 4 дюймов), или одну и треть « ширины ладони » (ср. NRSV и NRSV ).
• Маймонид утверждает (ок. 1168 г. н.э.), что число π можно знать только приблизительно, поэтому значение 3 было дано как достаточно точное для религиозных целей. Это взято некоторыми как самое раннее утверждение о том, что π иррационально.

В библейской науке до сих пор ведутся споры по поводу этого отрывка. Многие реконструкции чаши демонстрируют более широкий край (или расширяющуюся кромку), выступающий наружу от самой чаши на несколько дюймов, что соответствует описанию, данному в NRSV. В последующих стихах обод описывается как «толщиной в ладонь; и край его был сделан, как край чаши, как цветок лилии: он принял и выдержал три тысячи омовений» NRSV , что предполагает форму, которая можно обернуть веревкой короче общей длины полей, например, цветком лилии или чайной чашкой .

Разработка эффективных формул

Основная статья: Список формул, включающих π

Приближение многоугольника к кругу

Архимед в своем «Измерении круга » создал первый алгоритм вычисления числа π, основанный на идее, что периметр любого (выпуклого) многоугольника, вписанного в круг, меньше длины окружности, которая, в свою очередь, равна меньше периметра любого описанного многоугольника. Он начал с вписанных и описанных правильных шестиугольников, периметры которых легко определить. Затем он показывает, как вычислить периметры правильных многоугольников с вдвое большим числом сторон, вписанных и описанных вокруг одной и той же окружности. Это рекурсивная процедура, которую сегодня можно было бы описать следующим образом: Пусть p _k и P _k обозначают периметры правильных многоугольников с k сторонами, вписанными и описанными вокруг одной и той же окружности соответственно. Затем,

$P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.$

Архимед использует это для последовательного вычисления P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ и p ₉₆ . Используя эти последние значения, он получает

$3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.$

Неизвестно, почему Архимед остановился на 96-угольном многоугольнике; требуется только терпение, чтобы расширить вычисления. Герон сообщает в своей «Метрике» (около 60 г. н.э.), что Архимед продолжил вычисления в ныне утерянной книге, но затем приписал ему неправильное значение.

Архимед не использует тригонометрию в этих вычислениях, и сложность применения этого метода заключается в получении хороших приближений для задействованных квадратных корней. Тригонометрия в виде таблицы длин хорд в круге, вероятно, использовалась Клавдием Птолемеем Александрийским для получения значения π, данного в Альмагесте (около 150 г. н.э.).

Прогресс в аппроксимации π (когда методы известны) был достигнут за счет увеличения количества сторон многоугольников, используемых в расчетах. Тригонометрическое усовершенствование Виллеброрда Снелла (1621 г.) позволяет получить лучшие оценки на основе пары оценок, полученных методом многоугольников. Таким образом, более точные результаты были получены для многоугольников с меньшим количеством сторон. Формула Вьета , опубликованная Франсуа Вьетом в 1593 году, была выведена Вьетом с использованием близкородственного многоугольного метода, но с площадями, а не периметрами многоугольников, число сторон которых является степенью двойки.

Последняя крупная попытка вычислить число π этим методом была предпринята Гринбергером в 1630 году, который вычислил 39 десятичных знаков числа π, используя уточнение Снелла.

Машиноподобная формула

Основная статья: Машиноподобная формула

Для быстрых вычислений можно использовать такие формулы, как формула Мачина :

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

вместе с разложением в ряд Тейлора функции arctan ( x ). Эту формулу легче всего проверить, используя полярные координаты комплексных чисел , получив:

$(5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).$

(( x ),( y ) = {239, 13 ² } — решение уравнения Пелля x ² − 2 года ² = −1.)

Формулы такого типа известны как формулы типа Машины . Конкретная формула Мачина использовалась еще в компьютерную эпоху для вычисления рекордного количества цифр числа π . но в последнее время стали использоваться и другие подобные формулы.

Например, в 1961 году Шэнкс и его команда использовали следующую формулу, подобную Машину, для вычисления первых 100 000 цифр числа π :

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

и они использовали другую формулу, подобную Машину,

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}$

в качестве проверки.

Рекорд Ясумасы Канады из Токийского университета на декабрь 2002 года составлял 1 241 100 000 000 цифр. Для этого использовались следующие формулы типа Machin:

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

К. Такано (1982).

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

FCM Стёрмер (1896 г.).

Другие классические формулы

Другие формулы, которые использовались для расчета оценок π, включают:

Лю Хуэй (см. также формулу Вьета ):

${\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}$

Мадхава :

$\pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$

Ньютона /Эйлера: Преобразование сходимости

${\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!!\,x^{2k}}{(2k+1)!!\,(1+x^{2})^{k}}}={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots \\[10mu]{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\end{aligned}}$

где м!! — двойной факториал , произведение натуральных чисел до m с одинаковой четностью .

Эйлер :

${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}$

(Оценено с использованием предыдущего ряда для арктангенса. )

Рамануджан :

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

Давид Чудновский и Григорий Чудновский :

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$

Работа Рамануджана легла в основу алгоритма Чудновского , самого быстрого алгоритма, использовавшегося на рубеже тысячелетий для вычисления π .

Современные алгоритмы

Чрезвычайно длинные десятичные разложения числа π обычно вычисляются с помощью итерационных формул, таких как алгоритм Гаусса – Лежандра и алгоритм Борвейна . Последняя, ​​найденная в 1985 году Джонатаном и Питером Борвейнами , сходится чрезвычайно быстро:

Для $y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}$ и

$y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})$

где $f(y)=(1-y^{4})^{1/4}$, последовательность $1/a_{k}$ четвертично сходится к π , давая около 100 цифр за три шага и более триллиона цифр после 20 шагов. Несмотря на то, что ряд Чудновского сходится только линейно, алгоритм Чудновского на практике может быть быстрее, чем алгоритм Гаусса – Лежандра; это зависит от технологических факторов, таких как объем памяти и время доступа . Для установления мировых рекордов итерационные алгоритмы используются реже, чем алгоритм Чудновского, поскольку они требуют большого объема памяти.

Первый миллион цифр числа π и 1 ⁄ π доступны в Project Gutenberg . Предыдущий рекорд вычислений (декабрь 2002 г.), установленный Ясумасой Канадой из Токийского университета , составлял 1,24 триллиона цифр и был вычислен в сентябре 2002 года на 64-узловом Hitachi суперкомпьютере с 1 терабайтом основной памяти, который выполняет 2 триллиона операций в секунду, что почти вдвое больше, чем компьютер, использованный для предыдущего рекорда (206 миллиардов цифр). Для этого использовались следующие формулы типа Machin:

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$( Кикуо Такано (1982))

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$ ( FCM Størmer (1896)).

В этих приближениях так много цифр, что они уже не имеют никакого практического применения, кроме как для тестирования новых суперкомпьютеров. Такие свойства, как потенциальная нормальность числа π, всегда будут зависеть от бесконечной строки цифр на конце, а не от каких-либо конечных вычислений.

Различные приближения

Исторически система счисления по основанию для расчетов использовалась 60. В этой системе счисления π можно аппроксимировать восемью (десятичными) значащими цифрами с числом 3;8,29,44 ₆₀ , что

$3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}$

(Следующая шестидесятеричная цифра — 0, поэтому усечение здесь дает относительно хорошее приближение.)

можно использовать следующие выражения Кроме того, для оценки π :

• с точностью до трех цифр:

${\frac {22}{7}}=3.143^{+}$

• с точностью до трех цифр:

${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}$

Карл Поппер предположил, что Платон знал это выражение, что он считал, что оно равно в точности π , и что это объясняет некоторую уверенность Платона во всекомпетентности математической геометрии, а также неоднократное обсуждение Платоном особых прямоугольных треугольников , которые являются либо равнобедренными , либо половинками треугольника. равносторонние треугольники.

${\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.1409^{+}$

• с точностью до четырех цифр:

$1+e-\gamma =3.1410^{+},$ где $e$ является натуральным логарифмическим основанием и $\gamma$ постоянная Эйлера

${\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}$

${\sqrt {63}}-{\sqrt {23}}=3.14142\ 2^{+}$

${\sqrt {51}}-{\sqrt {16}}=3.14142\ 8^{+}$

$3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}=3.14142\ 1^{+}$

• с точностью до четырех цифр (или пяти значащих цифр):

${\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}$

• аппроксимация Рамануджана с точностью до 4 цифр (или пяти значащих цифр):

${\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}$

• с точностью до пяти цифр:

${\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}$

${\sqrt[{5}]{306}}=3.14155^{+}$

• с точностью до шести цифр:

$\left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{2^{2}}}\right)^{2}=3.14159\ 6^{+}$ [1]

${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{68}}=3.14159\ 0^{+}$

$4\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\right)-{\frac {2}{10+{\frac {1^{2}}{10+{\frac {2^{2}}{10+{\frac {3^{2}}{10}}}}}}}}=3.14159\ 3^{+}$

• с точностью до семи цифр:

${\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}$

${\frac {{\sqrt {883}}-{\sqrt {21}}}{8}}=3.14159\ 25^{+}$

${\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}=3.14159\ 27^{+}$ - обратная первому члену ряда Рамануджана.

$\left({\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}\right)^{2}\left(15+{\frac {1^{2}}{30+{\frac {3^{2}}{30+{\frac {5^{2}}{30}}}}}}\right)=3.14159\ 27^{+}$

• с точностью до восьми цифр:

${\frac {{\sqrt {2669}}-{\sqrt {547}}}{9}}=3.14159\ 269^{+}$

${\frac {16}{5{\sqrt[{38}]{2}}{\sqrt[{3846}]{2}}}}=3.14159\ 260^{+}$

$3+{\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt[{1234}]{2}}{\sqrt[{1068}]{2}}}{10}}=3.14159\ 268^{+}$

${\frac {99733}{31746}}=3.14159\ 264^{+}$

$\left({\frac {\sqrt {58}}{4}}-{\frac {37{\sqrt {2}}}{33}}\right)^{-1}={\frac {66{\sqrt {2}}}{33{\sqrt {29}}-148}}=3.14159\ 263^{+}$

Это тот случай, который невозможно получить из приближения Рамануджана (22).

• с точностью до девяти цифр:

${\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}$

Это от Рамануджана , который утверждал, что богиня Намагири явилась ему во сне и рассказала истинное значение числа π .

• с точностью до десяти цифр:

${\sqrt[{15}]{28658146}}=3.14159\ 26538^{+}$

• с точностью до десяти цифр:

${\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}$

• с точностью до десяти цифр (или одиннадцати значащих цифр):

${\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}$

Это любопытное приближение следует за наблюдением, что 193-я степень 1/ π дает последовательность 1122211125... Замена 5 на 2 завершает симметрию без уменьшения правильных цифр π , а вставка центральной десятичной точки замечательно фиксирует сопутствующую величину на уровне 10. ¹⁰⁰ .

• с точностью до одиннадцати цифр:

${\sqrt[{18}]{888582403}}=3.14159\ 26535\ 8^{+}$

• с точностью до двенадцати цифр:

${\sqrt[{20}]{8769956796}}=3.14159\ 26535\ 89^{+}$

• с точностью до 12 десятичных знаков:

$\left({\frac {\sqrt {163}}{6}}-{\frac {181}{\sqrt {10005}}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89^{+}$

Это получается из ряда Чудновского (обрезать ряд (1.4) на первом слагаемом и пусть E ₆ ( τ ₁₆₃ ) ² / Е ₄ ( τ ₁₆₃ ) ³ = 151931373056001/151931373056000 ≈ 1).

• с точностью до 16 цифр:

${\frac {2510613731736{\sqrt {2}}}{1130173253125}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 9^{+}$ - обратная сумма первых двух членов ряда Рамануджана.

${\frac {165707065}{52746197}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 4^{+}$

• с точностью до 18 цифр:

$\left({\frac {\sqrt {253}}{4}}-{\frac {643{\sqrt {11}}}{903}}-{\frac {223}{172}}\right)^{-1}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2387^{+}$

Это приближение (22) в статье Рамануджана. с n = 253.

• с точностью до 19 цифр:

${\frac {3949122332{\sqrt {2}}}{1777729635}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 2382^{+}$ - улучшено обращение суммы первых двух членов ряда Рамануджана.

• с точностью до 24 цифр:

${\frac {2286635172367940241408{\sqrt {2}}}{1029347477390786609545}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 2649^{+}$ - обратная сумма первых трех членов ряда Рамануджана.

• с точностью до 25 десятичных знаков:

${\frac {1}{10}}\ln \left({\frac {2^{21}}{({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{24}}}+24\right)=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 9^{+}$

Это вытекает из инварианта класса Рамануджана g ₁₀₀ = 2. ^5/8 /(5 ^1/4  − 1) .

• с точностью до 30 десятичных знаков:

${\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}$

Получено из близости константы Рамануджана к целому числу 640320. ³ +744. Это не допускает очевидных обобщений в целых числах: потому что существует только конечное число чисел Хегнера и отрицательных дискриминантов d с номером класса h (− d ) = 1, а d = 163 является наибольшим по абсолютной величине .

• с точностью до 52 десятичных знаков:

${\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}$

Как и предыдущий, следствие j-инварианта . Среди отрицательных дискриминантов класса 2 это d самое большое по абсолютной величине.

• с точностью до 52 десятичных знаков:

${\frac {\ln(2^{-30}((3+{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}+{\sqrt {11}})({\sqrt {11}}+3))^{12}-24)}{{\sqrt {5}}{\sqrt {7}}{\sqrt {11}}}}$

Это получено из инварианта класса Рамануджана G ₃₈₅ .

• с точностью до 161 десятичного знака:

${\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}$

где u - произведение четырех простых единиц четвертой степени,

$u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})$

и,

${\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}$

Основано на найденном Дэниелом Шэнксом . Аналогично предыдущим двум, но на этот раз является фактором модульной формы , а именно эта-функции Дедекинда , и где аргумент включает в себя $\tau ={\sqrt {-3502}}$. Дискриминант d = 3502 имеет h (− d ) = 16.

• с точностью до 256 цифр:

${\frac {15261343909396942111177730086852826352374060766771618308167575028500999}{48590509502030754798379641288876701245663220023884870402810360529259}}...$

$...{\frac {551152789881364457516133280872003443353677807669620554743{\sqrt {10005}}}{3134188302895457201473978137944378665098227220269702217081111}}$ - улучшена обратная сумма первых девятнадцати членов ряда Чудновского.

• в виде цепной дроби Представление числа π можно использовать для генерации последовательных наилучших рациональных приближений . Эти приближения являются наилучшими рациональными приближениями числа π относительно размера их знаменателей. Вот список первых тринадцати из них:

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}$

Из них ${\frac {355}{113}}$ — единственная дробь в этой последовательности, которая дает более точные цифры числа π (т. е. 7), чем число цифр, необходимое для его аппроксимации (т. е. 6). Точность можно повысить, используя другие дроби с большими числителями и знаменателями, но для большинства таких дробей в приближении требуется больше цифр, чем правильных значащих цифр, полученных в результате.

Суммирование площади круга

Численная аппроксимация π : поскольку точки случайным образом разбросаны внутри единичного квадрата, некоторые попадают в единичный круг. доля точек внутри круга приближается к π/4 . По мере добавления точек

Пи можно получить из круга, если известны его радиус и площадь, используя соотношение:

$A=\pi r^{2}.$

Если нарисовать круг радиуса r с центром в точке (0, 0), то любая точка, расстояние от начала координат которой меньше r, попадет внутрь круга. Теорема Пифагора дает расстояние от любой точки ( x , y ) до центра:

$d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Математическая «миллиметровка» формируется путем воображения квадрата 1×1 с центром вокруг каждой ячейки ( x , y ), где x и y — целые числа от − r до r . Квадраты, центр которых находится внутри или точно на границе круга, затем можно подсчитать, проверив, является ли для каждой ячейки ( x , y )

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.$

Таким образом, общее количество ячеек, удовлетворяющих этому условию, приближается к площади круга, которую затем можно использовать для вычисления приближения π . Более близкие приближения можно получить, используя большие значения r .

Математически эту формулу можно записать:

$\pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}$

Другими словами, начните с выбора значения r . Рассмотрим все ячейки ( x , y ), в которых x и y являются целыми числами от − r до r . Начиная с 0, добавьте 1 для каждой ячейки, расстояние до начала координат (0,0) меньше или равно r . Закончив, разделите сумму, представляющую площадь круга радиуса r , на r. ² чтобы найти приближение π .Например, если r равно 5, то рассматриваются следующие ячейки:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

Этот круг, как если бы он был нарисован на графике декартовых координат . Ячейки (±3, ±4) и (±4, ±3) помечены.

12 ячеек (0, ±5), (±5, 0), (±3, ±4), (±4, ±3) находятся точно на круге, а 69 ячеек полностью внутри , поэтому приблизительная площадь равна 81, а π рассчитан примерно как 3,24, поскольку 81 ⁄ 5 ² = 3,24. Результаты для некоторых значений r показаны в таблице ниже:

р	область	аппроксимация π
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

Соответствующие результаты см. в разделе « Задача о круге: количество точек (x,y) в квадратной решетке с x^2 + y^2 <= n .

Аналогичным образом, более сложные приближения π, приведенные ниже, включают повторные вычисления того или иного типа, приводящие к все более и более точным приближениям с увеличением количества вычислений.

Непрерывные дроби

Помимо его простого представления цепной дроби [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,   ...], который не демонстрирует никакой заметной закономерности, π имеет множество представлений обобщенной цепной дроби, созданных с помощью простого правила, включая эти два.

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{5+{\cfrac {4^{2}}{7+{\cfrac {3^{2}}{9+{\cfrac {6^{2}}{11+{\cfrac {5^{2}}{13+\ddots }}}}}}}}}}$

Оставшуюся часть ряда Мадхавы – Лейбница можно выразить как обобщенную цепную дробь следующим образом.

$\pi =4\sum _{n=1}^{m}{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}+{\cfrac {2(-1)^{m}}{2m+{\cfrac {1^{2}}{2m+{\cfrac {2^{2}}{2m+{\cfrac {3^{2}}{2m+\ddots }}}}}}}}\qquad (m=1,2,3,\ldots )$

Обратите внимание, что поправочный член Мадхавы равен

${\frac {2}{2m+{\frac {1^{2}}{2m+{\frac {2^{2}}{2m}}}}}}=4{\frac {m^{2}+1}{4m^{3}+5m}}$.

Известные ценности 22 ⁄ 7 и 355/113 . — соответственно вторая и четвертая аппроксимации числа π в виде цепной дроби (Другие представления доступны на сайте Wolfram Functions .)

Тригонометрия

Серия Грегори – Лейбница

Серия Грегори -Лейбница

$\pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)$

— это степенной ряд для арктана (x), специализированный для x = 1. Он сходится слишком медленно, чтобы представлять практический интерес. Однако степенной ряд сходится гораздо быстрее при меньших значениях $x$, что приводит к формулам, где $\pi$ возникает как сумма малых углов с рациональными касательными, известная как формулы типа Маха .

Арктангенс

Дополнительная информация: Двойной факториал.

Зная, что 4 arctan 1 = π , формулу можно упростить и получить:

${\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}$

со сходимостью такой, что каждые дополнительные 10 членов дают как минимум еще три цифры.

$\pi =2+{\frac {1}{3}}\left(2+{\frac {2}{5}}\left(2+{\frac {3}{7}}\left(2+\cdots \right)\right)\right)$

Эта серия является основой алгоритма десятичной втулки Рабиновица и Вагона.

Еще одна формула для $\pi$ с использованием функции арктангенса, определяется выражением

${\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,$

где $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ такой, что $a_{1}={\sqrt {2}}$. Аппроксимации можно сделать, используя, например, быстро сходящуюся Эйлера . формулу

$\arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.$

В качестве альтернативы можно использовать следующий простой ряд разложения функции арктангенса:

$\arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},$

где

${\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}$

приблизить $\pi$ с еще более быстрой сходимостью. Сходимость в этой формуле арктангенса для $\pi$ улучшается как целое число $k$ увеличивается.

Константа $\pi$ также может быть выражено бесконечной суммой арктангенсов как

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots$

и

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},$

где $F_{n}$ — n- е число Фибоначчи . Однако эти две формулы для $\pi$ сходятся гораздо медленнее из-за набора арктангенсов, которые участвуют в вычислениях.

Арксинус

Рассматривая равносторонний треугольник и отмечая, что

$\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}$

урожайность

${\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}$

со сходимостью, при которой каждые дополнительные пять членов дают как минимум еще три цифры.

Методы извлечения цифр

Формула Бейли-Борвейна-Плуффа (BBP) для расчета числа π была открыта в 1995 году Саймоном Плуффом. Используя математику по основанию 16 , формула может вычислить любую конкретную цифру числа π , возвращая шестнадцатеричное значение цифры, без необходимости вычисления промежуточных цифр (извлечение цифр).

$\pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}$

В 1996 году Саймон Плуфф разработал алгоритм для извлечения n-й десятичной цифры числа π (с использованием   математических вычислений по основанию 10 для извлечения   цифры по основанию 10), который может делать это с улучшенной скоростью O ( n ³ (журнал n ) ³ ) время. Алгоритм практически не требует памяти для хранения массива или матрицы, поэтому миллионную цифру числа π можно вычислить с помощью карманного калькулятора. Однако сделать это было бы довольно утомительно и непрактично.

$\pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}$

Скорость расчета формулы Плуффа была улучшена до O ( n ² ) Фабриса Беллара , который вывел альтернативную формулу (хотя и только в   математике с основанием 2) для вычисления π .

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)$

Эффективные методы

Многие другие выражения для π были разработаны и опубликованы индийским математиком Шринивасой Рамануджаном . работал с математиком Годфри Гарольдом Харди Он несколько лет в Англии.

Чрезвычайно длинные десятичные разложения числа π обычно вычисляются с помощью алгоритма Гаусса – Лежандра и алгоритма Борвейна ; Также использовался алгоритм Саламина-Брента , изобретенный в 1976 году.

В 1997 году Дэвид Х. Бэйли , Питер Борвейн и Саймон Плауфф опубликовали статью (Bailey, 1997) о новой формуле для π как бесконечного ряда :

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).$

Эта формула позволяет довольно легко вычислить k -ю двоичную или шестнадцатеричную цифру числа π без необходимости вычисления предыдущих k - 1 цифр. сайт Бэйли содержит выводы, а также реализации на различных языках программирования . Проект PiHex вычислил 64 бита вокруг квадриллионного бита числа π (который оказывается равным 0).

Фабрис Беллар еще больше усовершенствовал BBP своей формулой :

$\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)$

Другие формулы, которые использовались для расчета оценок π, включают:

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)$

Ньютон .

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

Шриниваса Рамануджан .

Это сходится чрезвычайно быстро. Работа Рамануджана легла в основу самых быстрых алгоритмов, использовавшихся на рубеже тысячелетий для вычисления π .

В 1988 году Дэвид Чудновский и Григорий Чудновский нашли еще более быстро сходящийся ряд ( алгоритм Чудновского ):

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}$.

Скорость различных алгоритмов вычисления правильных цифр от числа pi до n показана ниже в порядке убывания асимптотической сложности. M(n) — сложность используемого алгоритма умножения.

Алгоритм	Год	Временная сложность или скорость
Алгоритм Гаусса – Лежандра	1975	$O(M(n)\log(n))$
Chudnovsky algorithm	1988	$O(n\log(n)^{3})$
Бинарное расщепление арктанса в формуле Мачина		$O(M(n)(\log n)^{2})$
Формула Лейбница для π	1300-е годы	Сублинейная сходимость. Пять миллиардов членов для 10 правильных десятичных знаков

Проекты

Пи Шестнадцатеричный

Pi Hex — это проект по вычислению трех конкретных двоичных цифр числа π с использованием распределенной сети из нескольких сотен компьютеров. В 2000 году, спустя два года, проект завершил вычисление пятитриллионной (5*10 ¹² ), сорок триллионный и квадриллионный (10 ¹⁵ ) биты. Все три из них оказались 0.

Программа для расчета π

За прошедшие годы было написано несколько программ для вычисления π многозначного числа на персональных компьютерах .

Общее назначение

Большинство систем компьютерной алгебры могут вычислять π и другие распространенные математические константы с любой желаемой точностью.

Функции для вычисления π также включены во многие общие библиотеки для арифметики произвольной точности , например Class Library for Numbers , MPFR и SymPy .

Специальное назначение

Программы, предназначенные для расчета числа π, могут иметь лучшую производительность, чем математическое программное обеспечение общего назначения. Обычно они реализуют контрольные точки и эффективную замену дисков , чтобы облегчить чрезвычайно длительные и ресурсоемкие вычисления.

• TachusPi Фабриса Беллара это программа, которую он использовал для вычисления мирового рекорда числа цифр числа Пи в 2009 году.
• y -cruncher от Александра Йи — это программа, которую каждый мировой рекордсмен, начиная с Сигеру Кондо в 2010 году, использовал для вычисления мирового рекордного количества цифр . y -cruncher также может использоваться для расчета других констант и является мировым рекордсменом по некоторым из них.
• PiFast от Ксавье Гурдона была самой быстрой программой для Microsoft Windows в 2003 году. По словам ее автора, она может вычислить один миллион цифр за 3,5 секунды на процессоре Pentium 4 с частотой 2,4 ГГц . PiFast также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e и √ 2 . Он также может работать с меньшей эффективностью с очень небольшим объемом памяти (вплоть до нескольких десятков мегабайт для вычисления более миллиарда (10 ⁹ ) цифры). Этот инструмент является популярным эталоном в сообществе оверклокеров . PiFast 4.4 доступен на странице Стю Pi . PiFast 4.3 доступен на странице Гурдона.
• QuickPi от Стива Пальяруло для Windows работает быстрее, чем PiFast, при обработке менее 400 миллионов цифр. Версия 4.5 доступна на странице Pi Стю ниже. Как и PiFast, QuickPi также может вычислять другие иррациональные числа, такие как e , √ 2 и √ 3 . Программное обеспечение можно получить на сайте Pi-Hacks Yahoo! форуме или со страницы Стю Пи .
• Super PI by Kanada Laboratory в Токийском университете есть программа для Microsoft Windows объемом от 16 000 до 33 550 000 цифр. Он может вычислить один миллион цифр за 40 минут, два миллиона цифр за 90 минут и четыре миллиона цифр за 220 минут на процессоре Pentium 90 МГц. Версия Super PI 1.9 доступна на странице Super PI 1.9 .

См. также

• Диофантово приближение
• Милу
• Срок исправления Мадхавы
• Пи равно 3

Ссылки

• Бейли, Дэвид Х .; Борвейн, Питер Б. и Плуфф, Саймон (апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF) . Математика вычислений . 66 (218): 903–913. Бибкод : 1997MaCom..66..903B . дои : 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 .
• Бекманн, Петр (1971). История π . Нью-Йорк: Пресса Святого Мартина. ISBN  978-0-88029-418-8 . МР   0449960 .
• Ивс, Ховард (1992). Введение в историю математики (6-е изд.). Издательство Колледжа Сондерса. ISBN  978-0-03-029558-4 .
• Джозеф, Джордж Г. (2000). Герб павлина: неевропейские корни математики (новое издание, Лондон: изд. Penguin). Лондон: Пингвин. ISBN  978-0-14-027778-4 .
• Джексон, К; Стэмп, Дж. (2002). Пирамида: за гранью воображения. Внутри Великой пирамиды Гизы . Лондон: Би-би-си. ISBN  9780563488033 .
• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (2004). Пи: справочник (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media LLC. ISBN  978-1-4757-4217-6 .