Группа ссылок

В теории узлов области математики , группа звеньев является звена аналогом группы узлов узла . , Они были описаны Джоном Милнором в его докторской диссертации. диссертация ( Милнор, 1954 ). Примечательно, что группа ссылок, как правило, не является основной группой ссылки дополнения .

Определение

Связь Уайтхеда является связью, гомотопной развязке , но не изотопной развязке.

Группа связей n -компонентной ссылки по существу представляет собой набор ( n + 1)-компонентных ссылок, расширяющих эту ссылку с точностью до гомотопии ссылки. Другими словами, каждому компоненту расширенного звена разрешено перемещаться посредством регулярной гомотопии (гомотопии посредством погружений ), завязывания или развязывания себя, но не разрешается перемещаться через другие компоненты. Это более слабое условие, чем изотопия: например, связь Уайтхеда имеет номер связи 0 и, таким образом, является гомотопной по отношению к несвязке , но не изотопной по отношению к развязке.

Группа ссылок не является фундаментальной группой , дополнения ссылки поскольку компонентам ссылки разрешено перемещаться сквозь себя, но не друг через друга, но, таким образом, является факторгруппой фундаментальной группы дополнения ссылки, поскольку можно начать с элементов фундаментальной группы, а затем, завязывая или развязывая компоненты, некоторые из этих элементов могут стать эквивалентными друг другу.

Примеры

Связывающая группа n -компонентной отвязки — это свободная группа на n генераторах, $F_{n}$, поскольку группа связей одиночного звена представляет собой группу узлов unknot , которая представляет собой целые числа, а группа связей несвязанного союза представляет собой свободный продукт групп связей компонентов.

Группа ссылок ссылки Хопфа : $\mathbf {Z} ^{2}.$

Группа зацеплений зацепления Хопфа , простейшая нетривиальная зацепка – две окружности, соединенные один раз – это свободная абелева группа на двух образующих, $\mathbf {Z} ^{2}.$ Обратите внимание, что группа зацеплений двух несвязанных окружностей представляет собой свободную неабелеву которой является свободная абелева группа с двумя образующими группу с двумя образующими, фактором . В этом случае группа звеньев является фундаментальной группой дополнения звеньев, поскольку деформация дополнения звеньев стягивается на тор.

Ссылка Уайтхеда является связью, гомотопной несвязке, хотя она и не изотопна несвязке, и, таким образом, имеет группу связей со свободной группой на двух образующих.

Инварианты Милнора

Милнор определил инварианты ссылки (функции в группе ссылок) в ( Milnor 1954 ), используя символ ${\bar {\mu }},$ которые поэтому стали называть « мю -бар-инвариантами Милнора» или просто «инвариантами Милнора». Для каждого k существует k -арная функция ${\bar {\mu }},$ который определяет инварианты, в соответствии с которыми выбираются k связей и в каком порядке.

Инварианты Милнора могут быть связаны с произведениями Мэсси по дополнению ссылки (дополнению ссылки); это было предложено в ( Столлингс 1965 ) и уточнено в ( Тураев 1976 ) и ( Портер 1980 ).

Как и в случае с произведениями Мэсси, инварианты Милнора длины k + 1 определяются, если все инварианты Милнора длины меньше или равной k исчезают. Первый (2-кратный) инвариант Милнора — это просто число зацепления (точно так же, как 2-кратное произведение Мэсси — это произведение чаши, двойственное пересечению), тогда как 3-кратный инвариант Милнора измеряет, являются ли 3 попарно несвязанных круга Борромеевыми. колец , и если да, то в каком-то смысле сколько раз (то есть кольца Борромео имеют 3-кратный инвариант Милнора, равный 1 или –1, в зависимости от порядка, но другие Трехэлементные ссылки могут иметь инвариант 2 или более, так же как номера ссылок могут быть больше 1).

Другое определение следующее: рассмотрим ссылку $L=L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}$. Предположим, что ${\rm {lk}}(L_{i},L_{j})=0$ для $i,j=1,2,3$ и $i<j$. Выберите любые поверхности Зейферта для соответствующих компонентов связи, скажем, $F_{1},F_{2},F_{3}$, такой, что $F_{i}\cap L_{j}=\emptyset$ для всех $i\neq j$. Тогда 3-кратный инвариант Милнора равен минус числу точек пересечения в $F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3}$ счет с помощью знаков; ( Кокран 1990 ).

Инварианты Милнора можно определить и в том случае, если инварианты низшего порядка не обращаются в нуль, но тогда возникает неопределенность, зависящая от значений инвариантов низшего порядка. Эту неопределенность можно понимать геометрически как неопределенность в выражении ссылки в виде ссылки замкнутой строки, как обсуждается ниже (ее также можно рассматривать алгебраически как неопределенность произведений Масси, если произведения Масси более низкого порядка не исчезают).

Инварианты Милнора можно рассматривать как инварианты строковых ссылок , и в этом случае они определены универсально, а неопределенность инварианта Милнора ссылки происходит именно из-за множества способов, которыми данные ссылки могут быть разрезаны на строковую ссылку; это позволяет классифицировать ссылки с точностью до гомотопии ссылок, как в ( Habegger & Lin 1990 ). С этой точки зрения инварианты Милнора являются инвариантами конечного типа , и фактически они (и их произведения) являются единственными рациональными конкордантными инвариантами конечного типа строковых связей; ( Хабеггер и Масбаум 2000 ).

Число линейно независимых инвариантов Милнора длины $k+1$ для m -компонентных связей $mN_{k}-N_{k+1}$, где $N_{k}$ — число базовых коммутаторов длины k в свободной алгебре Ли на m образующих, а именно:

$N_{k}={\frac {1}{k}}\sum _{d|m}\phi (d)\left(m^{k/d}\right)$,

где $\phi$ – функция Мёбиуса ; см., например ( Орр 1989 ). Это число возрастает на порядок $m^{k+1}/k^{2}$.

Приложения

Группы ссылок можно использовать для классификации бруннианских ссылок .

См. также

• Группа узлов
• Регулярная гомотопия

Ссылки

• Кокран, Тим Д. (1990), «Производные связей: инварианты согласия Милнора и произведения Мэсси» , Мемуары Американского математического общества , 84 (427), Американское математическое общество, doi : 10.1090/memo/0427
• Хабеггер, Натан; Линь, Сяо Сун (1990), «Классификация связей с точностью до гомотопии», Журнал Американского математического общества , 2, 3 (2), Американское математическое общество: 389–419, doi : 10.2307/1990959 , JSTOR   1990959
• Хабеггер, Натан; Масбаум, Грегор (2000), «Интеграл Концевича и инварианты Милнора», Топология , 39 (6): 1253–1289, doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5 , MR   1783857
• Милнор, Джон (март 1954 г.), «Группы связей», Annals of Mathematics , 59 (2), Annals of Mathematics: 177–195, doi : 10.2307/1969685 , JSTOR   1969685 , MR   0071020
• Орр, Кент Э. (1989), «Гомотопические инварианты связей», Mathematical Inventions , 95 (2): 379–394, doi : 10.1007/BF01393902 , MR   0974908 , S2CID   120916814
• -инварианты Милнора Портер, Ричард Д. (1980), « Мю и произведения Мэсси», Transactions of the American Mathematical Society , 257 (1), American Mathematical Society: 39–71, doi : 10.2307/1998124 , JSTOR   1998124 , MR   0549154
• Столлингс, Джон Р. (1965), «Гомологии и центральные серии групп», Journal of Algebra , 2 (2): 170–181, doi : 10.1016/0021-8693(65)90017-7 , MR   0175956
• Turaev, Vladimir G. (1976), "The Milnor invariants and Massey products", Zap. Naučn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) , Studies in Topology-II, 66 : 189–203, MR  0451251